適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第三章函數(shù)與基本初等函數(shù)第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)課件

第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)第三章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.理解對數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì),了解換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.了解對數(shù)函數(shù)的概念,掌握對數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用.3.掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用.4.了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識梳理1.對數(shù)的概念(1)定義:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)

叫做以a為底N的對數(shù),記作x=

,其中a叫做對數(shù)的

,N叫做

.

(2)常用對數(shù)與自然對數(shù):①常用對數(shù):以

為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),并把log10N記為

.

②自然對數(shù):以

為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),并把logeN記為

.

xlogaN底數(shù)

真數(shù)

10lgNelnN2.對數(shù)的性質(zhì)(1)

沒有對數(shù);

(2)loga1=

,logaa=

;

(3)對數(shù)恒等式:

(a>0,a≠1,N>0).

負(fù)數(shù)和0013.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(1)如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:①loga(MN)=

;②loga=

;③logaMn=

(n∈R).

(2)換底公式:logab=

(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).

換底公式的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)對數(shù)

化為兩個(gè)同底數(shù)的對數(shù)的商

logaM+logaNlogaM-logaN

nlogaM4.對數(shù)函數(shù)及其圖象與性質(zhì)(1)對數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y=

叫做對數(shù)函數(shù),其中x是自變量,定義域?yàn)?/p>

.

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)logax(a>0,且a≠1)(0,+∞)a的取值范圍0<a<1a>1圖象定義域

值域

性質(zhì)過定點(diǎn)(1,0),即x=1時(shí),y=0

這是由于loga1=0

函數(shù)

函數(shù)

(0,+∞)R減

增微思考如何確定對數(shù)型函數(shù)y=kloga(mx+n)+b(a>0,且a≠1,k≠0,m≠0)圖象所過的定點(diǎn)?微點(diǎn)撥函數(shù)y=loga|x|與y=|logax|(a>0,且a≠1)的性質(zhì)(1)函數(shù)y=loga|x|是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,當(dāng)a>1時(shí),在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)0<a<1時(shí),在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減.(2)函數(shù)y=|logax|是非奇非偶函數(shù),圖象全部在x軸上方,在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.5.反函數(shù)一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為

,它們的定義域與值域正好互換.

微點(diǎn)撥只有當(dāng)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)時(shí),才存在反函數(shù).反函數(shù)

常用結(jié)論

3.lg

2+lg

5=1.4.對數(shù)值的符號法則:logab>0?(a-1)(b-1)>0,logab<0?(a-1)(b-1)<0,其中a>0,a≠1,b>0.6.在第一象限內(nèi),不同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.7.對于函數(shù)f(x)=|logax|(a>0,且a≠1),若f(m)=f(n)(m≠n),則必有mn=1.8.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.對點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若a>0,a≠1,M>0,N>0,則loga(M+N)=logaM+logaN.(

)(2)若a>0,a≠1,b>0,b≠1,則logab·logbc=logac.(

)(4)函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1)在其定義域上單調(diào)遞增.(

)√××√2.已知函數(shù)y=ex的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則f(2e)=(

)A.2e2

B.2e

C.1+ln2 D.2ln2答案

C

解析

因?yàn)楹瘮?shù)y=ex的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,所以y=f(x)與y=ex互為反函數(shù),所以f(x)=ln

x,所以f(2e)=ln(2e)=1+ln

2,故選C.3.若已知logx+3(x2+3x)=1,則實(shí)數(shù)x等于(

)A.-3 B.1C.-3或1 D.0或1答案

B

解析

由對數(shù)的性質(zhì)可得x+3=x2+3x,解得x=1或x=-3.但當(dāng)x=-3時(shí),x+3=0,x2+3x=0,對數(shù)式無意義;當(dāng)x=1時(shí),符合題意,故x的值等于1.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一對數(shù)的概念與運(yùn)算典例突破例1.(1)(多選)(2023云南昆明一中模擬)下列計(jì)算正確的是(

)(2)(多選)若10a=4,10b=25,則(

)A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab>8lg22答案

(1)BD

(2)AC

規(guī)律總結(jié)對數(shù)運(yùn)算的常用方法與技巧(1)將指數(shù)式與對數(shù)式進(jìn)行互化,構(gòu)造同底數(shù)的對數(shù)或指數(shù)式.(2)逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),將同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍化簡合并.(3)當(dāng)對數(shù)的底數(shù)不同但真數(shù)相同時(shí),可以取倒數(shù),將其化為同底數(shù)的對數(shù)再進(jìn)行運(yùn)算.(4)通過換底公式的運(yùn)用,轉(zhuǎn)化對數(shù)的底數(shù),再進(jìn)行化簡合并.答案

(1)C

(2)D

考點(diǎn)二對數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用典例突破例2.函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象是(

)答案

C

解析

將函數(shù)y=lg

x的圖象先向右平移1個(gè)單位長度,可得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象,再將所得函數(shù)圖象位于x軸下方的圖象關(guān)于x軸翻折,位于x軸上方的圖象不變,可得到函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象,故選C.突破技巧對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用技巧(1)在識別函數(shù)圖象時(shí),要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)等排除不符合要求的選項(xiàng).(2)對于一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù),在求解其單調(diào)區(qū)間、值域、零點(diǎn)等問題時(shí),可利用數(shù)形結(jié)合的思想.(3)對于一些對數(shù)型方程、不等式等問題,通常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.(2)已知函數(shù)f(x)=|lgx|,若f(lgm)>f(2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)=loga(x-b)(a>0,且a≠1)的圖象如圖所示,則以下說法正確的是(

)A.a+b<0 B.ab<-1C.0<ab<1 D.loga|b|>0解析(1)由題圖可知f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以a>1.令f(x)=loga(x-b)=0,得x=b+1,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為b+1,結(jié)合函數(shù)圖象可知0<b+1<1,所以-1<b<0,因此a+b>0,故A錯(cuò)誤;由選項(xiàng)A中分析,得-a<ab<0,又因?yàn)閍>1,所以-a<-1,因此ab<-1不一定成立,故B錯(cuò)誤;因?yàn)?<|b|<1,所以loga|b|<loga1,即loga|b|<0,故D錯(cuò)誤.考點(diǎn)三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用(多考向探究)考向1.利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小典例突破例3.(1)(2023遼寧朝陽一模)已知

則a,b,c的大小關(guān)系是(

)A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a(2)(多選)(2023山東青島三模)已知實(shí)數(shù)a,b,滿足a>b>0,lnalnb=1,則(

)A.ab>e2

B.loga2<logb2答案

(1)C

(2)BCD

ln

2(ln

b-ln

a),∵函數(shù)y=ln

x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且a>b>0,則ln

b-ln

a<0,∴l(xiāng)oga2-logb2<0,即loga2<logb2,故B正確;對于C,∵a>b>0,且ln

aln

b=1>0,可得ln

a,ln

b同號,若ln

a,ln

b同正,則a>e>b>1,(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1>0,確;對于D,∵a>b>0,即a-b>0,函數(shù)y=xa-b在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴aa-b>ba-b>0,∴aabb>abba,故D正確.故選BCD.方法點(diǎn)撥比較對數(shù)值大小的方法

若底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷;若底數(shù)為同一字母,則需對底數(shù)進(jìn)行分類討論若底數(shù)不同,真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后,再進(jìn)行比較若底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,0等中間量進(jìn)行比較對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2023遼寧沈陽三模)已知a=log53,b=log138,c=,則下列判斷正確的是(

)A.a<b<c

B.a<c<bC.c<a<b

D.b<c<a(2)(多選)若a>b>1,0<m<1,則(

)A.am<bm

B.ma<mbC.logma<logmb D.logam<logbm答案

(1)C

(2)BC

(2)對于A,∵冪函數(shù)y=xm(0<m<1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由a>b>1,可知am>bm,故A錯(cuò)誤;對于B,∵指數(shù)函數(shù)y=mx(0<m<1)在R上單調(diào)遞減,由a>b>1,可知ma<mb,故B正確;對于C,∵對數(shù)函數(shù)y=logmx(0<m<1)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,由a>b>1,可知logma<logmb,故C正確;對于D,由C可知logma<logmb<0,∴

,即logam>logbm,故D錯(cuò)誤.故選BC.考向2.對數(shù)型函數(shù)奇偶性的應(yīng)用典例突破答案

B

突破技巧求解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟

一求求出函數(shù)的定義域,所有問題都必須在定義域內(nèi)討論二判判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的關(guān)系,分a>1與0<a<1兩種情況判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性,運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性對點(diǎn)訓(xùn)練4(多選)(2023山東臨沂一模)已知f(x)=x3g(x)為定義在R上的偶函數(shù),則函數(shù)g(x)的解析式可以為(

)答案

BD解析∵f(x)=x3g(x)是偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),即g(-x)=-g(x),∴g(x)是R上的奇函數(shù).對于A,定義域?yàn)?-1,1),不滿足題意;對于B,定義域?yàn)镽,g(-x)=3-x-