【課件】 對數的概念

1、【問題1】2？4，2？16，3？9， 3？324，這里的“ ？”你知道是什么吧！2？3，3？7，1.11？=2，10？=5！你不一定知道了吧？下面問題中的“ ？”，你再看看知道不知道？ 其實這樣的問題，早在18世紀就被大數學家歐拉解決了，那就是他發(fā)現了指數與對數的互逆關系，用對數來表示指數方程的解. 下面我們就來學習研究，大數學歐拉的解決問題的辦法，這節(jié)課我們學習對數的概念及有關知識。4216指數指數2的的4次冪次冪底數底數這說明：這說明：2 2的的4 4次冪等于次冪等于1616，這里的，這里的4 4也稱為也稱為以以2 2為底為底1616的對數的對數。記作：記作：24log 16底數底數對數對

2、數真數真數(x)23？指數指數2的的?(X)次次冪冪底數底數這說明：這說明：2 2的的?(?(不妨設為不妨設為x x) )次冪等于次冪等于3 3，這里的，這里的x x也稱為也稱為以以2 2為底為底3 3的對數的對數。記作：。記作：2l( )3?ogx 底數底數對數對數真數真數類似的我們有：類似的我們有：xaN指數指數a的的x次次冪冪底數底數這說明：這說明：a a的的x x次冪等于次冪等于N N，這里的，這里的x x稱為稱為以以a a為底為底N N的對數的對數。記作：。記作：logaxN底數底數對數對數真數真數更一般的我們有：更一般的我們有：0,1xaaNaaaNaNxN一一 般般 地地 ， 如

3、如 果果= =( (且且) ), ,那那 么么 數數 x x叫叫 做做 以以為為 底底的的 對對 數數 ， 記記 作作其其 中中 叫叫 做做 底底 數數 ，叫叫= = l lo og g, ,做做 真真 數數 。logaxN底數底數對數對數真數真數關于對數的幾點說明：關于對數的幾點說明：( (1)1)對數是對數是由指數轉化而來，則底數由指數轉化而來，則底數a a、指數或對數、指數或對數x x、冪或真數、冪或真數N N的范圍不變，只是位置和名稱發(fā)生了變換的范圍不變，只是位置和名稱發(fā)生了變換；( (2)log2)loga aN N的讀法：以的讀法：以a a為底為底N N的對數的對數. .例1：若對

4、數式log(t2)3有意義，則實數t的取值范圍是 A.2，) B.(2,3)(3，) C.(，2) D.(2，)解：要使對數式log(t2)3有意義，解得t2，且t3.所以實數t的取值范圍是(2,3)(3，).【練1】在Mlog(x3)(x1)中，要使式子有意義，x的取值范圍為 A.(，3 B.(3,4)(4，) C.(4，) D.(3,4)解得3x4.兩類特殊兩類特殊對數對數(1)以10為底的對數叫做常用對數，并把log10N記為lg N；(2)以無理數e2.718 28為底的對數稱為自然對數，并把logeN記為ln N.例如：log109=lg9, log105=lg5,log10N=lg

5、N等等例如：loge9=ln9, loge5=ln5,logex=lnx等等【回頭看】現在你能解決下面問題了吧？2？3，3？7，1.11？=2，10？=5為了便于表示，不妨:2m3，3n7，1.11p=2，10q=5則：mlog23， nlog37 ，plog1.112， qlog105baNlogabN指數指數對數對數冪冪底數底數真數真數-10-2212 log 27=-33=5(4)ln1004.606516 lg =-37) =1(8)log 2log=13 =92xxx2將下列指數式與對數式互化： （1）16 4 （5） （ ）（ ）（ ）（ ） ）( （例2：解（1）2416.-32

6、=27x（ ）153 log 51 （ ）4.6064e100（ ）31log=-29（5） -36 10 =x（ ）127log 1=0（ ）(8)22x(1)指數式化為對數式： 將指數式的冪作為 真數，指數作為對 數，底數不變,寫 出對數式.指數式與對數式互化的思路指數式與對數式互化的思路(2)對數式化為指數式： 將對數式的真數作 為冪，對數作為指 數，底數不變，寫 出指數式.【練2】下列指數式與對數式互化不正確的一組是129132712901000011112 10 =13=1(4)0.31(5)1(021)7=108=(9)=100=3)3 =(1eaaaeeaa aa（ ）（ ）且將

7、下列指數式化為對數式，看看你有什么想法？能得到什么結論？ （1）1 （ ）1 （6） 0）】（ ）且【問題30.323(01)(01)12 lg1=031=0(4)log107 lg10=18=1(9)lolog1(10)g 1=3=1aaaae且且0 （）（ ）（ ）ln（ ）提示】（ ） （6）log ln【aalog 1=0log a=1(5)(5)(01)(01)aaaaaaa且且 （）零和負數沒有對數 。 1 log 1=0（2）log=1 （ 3）對數的基本性質：22log 3=log 3112=3 ln =ln(4)loglog(01)33aaNN aa（）將下列對數式化為指數式

8、，看看你有什么想法？能得到什么結論？ lg （1） 5 lg5（）且 】 【問題421ln3log 3log(01,0)12=3=3(4)3aNaaNeaNlg5且（1）2 提示】（）10 ） 5（ 【=(01,0)logaaNaNaN且對數恒等式： 例3:求下列各式的值. log981_ , log0.41_ ,ln e2_.2解: 設log981x，所以9x8192，故x2，即log9812.設log0.41x，所以0.4x10.40，故x0，即log0.410.0設ln e2x，所以exe2，故x2，即ln e22.2223 ()2332721log2733;39xx 解：(1)由，得4

9、4411log 16416,=162xxx(2）由 ，得即（）10,1=2xxx又且，例4:求下列各式中x的值.272(1)logx3 （2）logx164.71 log 5(3)7x(4)log2(log5x)0；(5)log3(lg x)1；771 log 5log 57(3)7=77=75=5x例4:求下列各式中x的值.272(1)logx3 （2）logx164.71 log 5(3)7x(4)log2(log5x)0；(5)log3(lg x)1；解：（4）log2(log5x)0，log5x201，x515.（5）log3(lg x)1，lg x313，x1031 000.3log

10、 4lg 0.1 1ln23+ log 1102ln2log2eee例5.計算：lg 0.1=4+010 1022e解：原式=4+0100.122=-1ee【悟】利利用用對對數數的的性性質質求求值值的的方方法法(1) 應根據對數的兩個結論loga10和logaa1(a0且a1)，進行變形求解，若已知對數值求真數，則可將其化為指數式運算；（2)已知多重對數式的值，求變量值，應從外到內求，逐步脫去“l(fā)og ” 后再求解；（3)運用對數恒等式一定要注意形式的一致性。【練4】求求左左邊邊各各式式x x的的值值(1)log8log7(log2x)0；(2)log2log3(log2x)1解:(1)由log8log7(log2x)0，得log7(log2x)1， 即log2x7，x27=128.