第05講 垂徑定理、圓心角、圓周角（6大考點）（原卷版）

第05講垂徑定理、圓心角、圓周角（6大考點）考點考點考向一．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．二．垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．三．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．四．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角．五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補．六．相交弦定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）．幾何語言：若弦AB、CD交于點P，則PA?PB＝PC?PD（相交弦定理）（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項．幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC2＝PA?PB（相交弦定理推論）．考點精講考點精講一．垂徑定理（共4小題）1．（2021秋?上城區(qū)期中）如圖，⊙O的半徑為5，C是弦AB的中點，OC＝3，則AB的長是（）A．6 B．8 C．10 D．122．（2022?西湖區(qū)校級一模）已知，⊙O的直徑CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足為M，則DM的長為．3．（2021秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的長．4．（2021?柯橋區(qū)模擬）如圖，在⊙O中，過半徑OD的中點C作AB⊥OD交⊙O于A、B兩點，且AB＝2．（1）求OD的長；（2）計算陰影部分的周長．二．垂徑定理的應(yīng)用（共5小題）5．（2022?富陽區(qū)二模）往直徑為26cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示．若水面寬AB＝24cm，則水的最大深度為（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm6．（2022?諸暨市模擬）有一圓柱形木材，埋在墻壁中，其橫截面如圖所示，測得木材的半徑為15cm，露在墻體外側(cè)的弦長AB＝18cm，其中半徑OC垂直平分AB，則埋在墻體內(nèi)的弓形高CD＝cm．7．（2020秋?衢州期中）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑；（2）有一艘寬為5m的貨船，船艙頂部為長方形，并高出水面3.4m，則此貨船是否能順利通過此圓弧形拱橋，并說明理由．8．（2021秋?余杭區(qū)期中）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？9．（2021秋?柯橋區(qū)月考）某隧道施工單位準備在雙向道路中間全程增加一個寬為1米的隔離帶，已知隧道截面是一個半徑為4米的半圓形，點O是其圓心，AE是隔離帶截面，問一輛高3米，寬1.9米的卡車ABCD能通過這個隧道嗎？請說明理由．三．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共7小題）10．（2021?下城區(qū)校級四模）如圖，等腰△ABC的頂角∠CAB為50°，以腰AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則的度數(shù)為（）A．50° B．25° C．80° D．65°11．（2021秋?瑞安市月考）已知點O，C在直線m的同一側(cè)，作⊙O交m于點A，B．連結(jié)AC，BC，OA，OB，若點C在⊙O外，∠AOB＝110°，則∠C的角度可能是（）A．50° B．55° C．60° D．65°12．（2022?龍灣區(qū)模擬）一段長為6π，弧度為60°的弧所在圓的半徑長為．13．（2018秋?東陽市期末）點A、C為半徑是8的圓周上兩動點，點B為的中點，以線段BA、BC為鄰邊作菱形ABCD，頂點D恰在該圓半徑的中點上，則該菱形的邊長為．14．（2022?金華模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度數(shù)；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的長．15．（2021秋?開化縣校級月考）如圖，⊙O的弦AB和弦CD相交于點E，AB＝CD，求證：AD＝CB．16．（2021秋?長興縣期中）如圖，MB，MD是⊙O的兩條弦，點A，C分別在，上，且AB＝CD，M是的中點．求證：MB＝MD．四．圓周角定理（共8小題）17．（2022?鹿城區(qū)校級三模）如圖，點A，B，C在⊙O上，為優(yōu)弧，已知＝50°，則∠C為（）A．25° B．35° C．40° D．50°18．（2022?拱墅區(qū)校級開學(xué)）已知：如圖OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點C在⊙O上，則∠ACB的度數(shù)為（）A．45° B．40° C．35° D．50°19．（2022?嘉興）如圖，在⊙O中，∠BOC＝130°，點A在上，則∠BAC的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．130°20．（2022?蕭山區(qū)校級二模）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，一條弧經(jīng)過格點（網(wǎng)格線的交點）A，B，D，點C為弧BD上一點．若∠CAD＝30°．則的長為．21．（2022?鄞州區(qū)校級開學(xué)）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作半圓O，交BC于點D，交AC于點E．若∠BAC＝44°，BD＝2，則弧AE的度數(shù)是，DC的長為．22．（2022?金東區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，＝，點D是的中點，連結(jié)OC，AD，交于點E，連結(jié)BE，BD．（1）求∠EBA的度數(shù)．（2）求證：AE＝BD．（3）若DE＝1，求⊙O的面積．23．（2022?鹿城區(qū)校級一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是劣弧上一點，AG，DC的延長線交于點F．（1）求證：∠FGC＝∠AGD．（2）若G是的中點，CE＝CF＝2，求GF的長．24．（2021秋?仙居縣期末）如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O于點D，點E在⊙O上，∠BED＝30°．（1）求∠AOD的度數(shù)；（2）若OA＝2，求AB的長．五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共6小題）25．（2022?鹿城區(qū)二模）如圖，點B在上，∠AOC＝100°，則∠ABC等于（）A．50° B．80° C．100° D．130°26．（2021秋?金東區(qū)期末）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，則∠D的度數(shù)為．27．（2022?吳興區(qū)一模）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝68°，則∠ADC的度數(shù)是．28．（2022?河南模擬）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點F，連接BF并延長交CD的延長線于點E．求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．29．（2021?杭州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，圓內(nèi)接四邊形ACDE的邊CD與直徑AB交于點F，點G在DE延長線上，EA平分∠CEG．（1）求證：AB⊥CD．（2）若AC＝CE，AF＝9，BF＝1，求△ACE的面積．30．（2021?杭州校級模擬）已知，如圖△ABC中，AB＝AC，D是邊BC上一點，BD＜DC，過點A、D、C三點的⊙O交AB于點F，點E在上，連接DF、AE、DE、CE．（1）求證：△BDF是等腰三角形；（2）若，請用題意可以推出的結(jié)論說明命題：“一組對邊相等，且一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是假命題．六．相交弦定理（共2小題）31．（2021秋?東陽市月考）已知四邊形ABCD兩條對角線相交于點E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，則BE?DE的值為（）A．6 B．7 C．12 D．1632．（2021秋?余姚市期中）如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，則CD長為（）A．16 B．24 C．12 D．不能確定鞏固鞏固提升一、單選題1．（2022·浙江溫州·九年級期中）已知：如圖，在以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB和小圓交于點C，D，大圓的半徑是13，，，則OC的長是（

）A． B． C． D．82．（2022·浙江金華·九年級期末）如圖，點A，B，C，D是⊙O上的四個點，且，OE⊥AB，OF⊥CD，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．3．（2021·浙江·金華海亮外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江金華·九年級期末）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或75．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為（

）A． B． C．或 D．或6．（2021·浙江·杭州市天杭實驗學(xué)校九年級期中）如圖，⊙O的半徑為5，C是弦AB的中點，OC＝3，則AB的長是（）A．6 B．8 C．10 D．127．（2021·浙江衢州·九年級期中）如圖，在半徑為5的中，弦BC，DE所對的圓心角分別是，．若，，則弦BC的弦心距為（

）.A． B． C．4 D．38．（2022·浙江湖州·九年級期末）下列說法正確的是（

）A．等弧所對的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對的弧相等 D．過弦的中點的直線必過圓心9．（2022·浙江寧波·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，，則的度數(shù)是（

）A．50° B．45° C．40° D．35°二、填空題10．（2022·浙江·淳安縣教育發(fā)展研究中心一模）如圖，在每個小正方形邊長都為1的5×5網(wǎng)格中，有四個點A，B，C，D，以其中任意三點為頂點的三角形的外接圓半徑長是______．11．（2020·浙江·九年級期末）已知的半徑為，弦，且，則弦和之間的距離為_______．12．（2021·浙江湖州·二模）如圖所示一個圓柱體容器內(nèi)裝入一些水，截面AB在圓心O下方，若⊙O的直徑為60cm，水面寬AB＝48cm，則水的最大深度為_____cm．13．（2021·浙江·九年級期末）如圖，已知點是圓上一點，以點為圓心，為半徑作弧，交圓于點，則的度數(shù)為______度．14．（2021·浙江溫州·九年級階段練習(xí)）永嘉甌北第一中學(xué)是一所百年老校，屹立在校門口的雕塑激勵歷屆學(xué)子奮發(fā)向上．底座圓形圖案中，AB是⊙O的直徑，且BA＝BC，，DC∥AB，AC＝米，則該圓形圖案的直徑AB為_________米．15．（2022·浙江臺州·九年級期末）把一個球放入長方體紙盒，球的一部分露出盒外，球與紙盒內(nèi)壁都剛好相切，其截面如圖所示，若露出部分的高度為6cm，AF=DE=3cm，則這個球的半徑是_____cm．16．（2022·浙江寧波·九年級期末）如圖1，水車又稱孔明車，是我國最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．如圖2，圓心O在水面上方，且被水面截得的弦AB長為8米，半徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為_______米．17．（2022·浙江湖州·九年級期末）如圖，四邊形ABCD是半圓O的內(nèi)接四邊形，其中AB是直徑，點C是弧DB的中點，若∠C＝110°，則∠ABC的度數(shù)=______．18．（2021·浙江·溫州外國語學(xué)校九年級期中）如圖，是半圓的直徑，且，在半圓上取一點，使得，則________．19．（2022·浙江溫州·九年級期中）如圖，在圓的內(nèi)接△ABC中，，，于點D，則________°．20．（2021·浙江溫州·九年級開學(xué)考試）如圖，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，點E為弧AB的中點，C為半徑OA上一點，將線段CE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE′，若點E′恰好落在半徑OB上，則OE′＝_____．21．（2021·浙江·杭州市建蘭中學(xué)一模）在⊙O中，AB是直徑，AB＝2，C是上一點，D、E分別是、的中點，M是弦DE的中點，則CM的取值范圍是__________________．22．（2022·浙江溫州·九年級期中）如圖1，玉帶橋拱高而薄，形若玉帶，弧形的線條十分流暢．如圖2，橋拱關(guān)于水面AB反射的影子經(jīng)過孤所在的圓心O，已知水面寬米，則水面AB與該橋拱的最高點P之間的距離是________米，在離水面AB相同高度的C，D處安裝兩盛景觀燈，若點C是的中點，則點C離水面AB的距離是________米．三、解答題23．（2021·浙江·金華海亮外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，，AD不平行于BC，過點C作交的外接圓O于點E，連接AE．(1)求證：四邊形AECD為平行四邊形(2)連接CO，求證：CO平分．24．（2022·浙江紹興·九年級期末）學(xué)習(xí)完《垂徑定理》這一節(jié)內(nèi)容后，同學(xué)們學(xué)到了如何用直尺和圓規(guī)來平分一條已知弧的方法，老師接下來請小亮同學(xué)做如下四等分圓弧問題的操作：小亮的作法如下：如圖，（1）連接AB；（2）作AB的垂直平