【優(yōu)化方案】2021高考數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案19-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

學(xué)案19三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)的單調(diào)性．自主梳理1．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域值域周期性奇偶性單調(diào)性在______________________上增，在__________________________________上減在__________________________上增，在______________________________上減在定義域的每一個(gè)區(qū)間________________________________內(nèi)是增函數(shù)2.正弦函數(shù)y＝sinx當(dāng)x＝____________________________________時(shí)，取最大值1；當(dāng)x＝____________________________________時(shí)，取最小值－1.3．余弦函數(shù)y＝cosx當(dāng)x＝__________________________時(shí)，取最大值1；當(dāng)x＝__________________________時(shí)，取最小值－1.4．y＝sinx、y＝cosx、y＝tanx的對(duì)稱中心分別為____________、___________、______________.5．y＝sinx、y＝cosx的對(duì)稱軸分別為______________和____________，y＝tanx沒有對(duì)稱軸．自我檢測(cè)1．(2010·十堰月考)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0)在閉區(qū)間[－π，0]上的圖象如圖所示，則ω為()A．1 B．2 C．3 D．2．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))圖象的對(duì)稱軸方程可能是()A．x＝－eq\f(π,6) B．x＝－eq\f(π,12)C．x＝eq\f(π,6) D．x＝eq\f(π,12)3．(2010·湖北)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期為()A.eq\f(π,2) B．π C．2π D．4π4．(2010·北京海淀高三上學(xué)期期中考試)函數(shù)f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x的最小正周期為()A．4π B．3π C．2π D．π5．假如函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))中心對(duì)稱，那么|φ|的最小值為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)探究點(diǎn)一求三角函數(shù)的定義域例1(2011·衡水月考)求函數(shù)y＝eq\r(2＋log\f(1,2)x)＋eq\r(tanx)的定義域．變式遷移1函數(shù)y＝eq\r(1－2cosx)＋lg(2sinx－1)的定義域?yàn)開_______________________．探究點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性例2求函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的單調(diào)區(qū)間．變式遷移2(2011·南平月考)(1)求函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))，x∈[－π，π]的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的周期及單調(diào)區(qū)間．探究點(diǎn)三三角函數(shù)的值域與最值例3已知函數(shù)f(x)＝2asin(2x－eq\f(π,3))＋b的定義域?yàn)閇0，eq\f(π,2)]，函數(shù)的最大值為1，最小值為－5，求a和b的值．變式遷移3設(shè)函數(shù)f(x)＝acosx＋b的最大值是1，最小值是－3，試確定g(x)＝bsin(ax＋eq\f(π,3))的周期．轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12分)求下列函數(shù)的值域：(1)y＝－2sin2x＋2cosx＋2；(2)y＝3cosx－eq\r(3)sinx，x∈[0，eq\f(π,2)]；(3)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.【答題模板】解(1)y＝－2sin2x＋2cosx＋2＝2cos2x＋2cosx＝2(cosx＋eq\f(1,2))2－eq\f(1,2)，cosx∈[－1,1]．當(dāng)cosx＝1時(shí)，ymax＝4，當(dāng)cosx＝－eq\f(1,2)時(shí)，ymin＝－eq\f(1,2)，故函數(shù)值域?yàn)閇－eq\f(1,2)，4]．[4分](2)y＝3cosx－eq\r(3)sinx＝2eq\r(3)cos(x＋eq\f(π,6))∵x∈[0，eq\f(π,2)]，∴eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)≤eq\f(2π,3)，∵y＝cosx在[eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)]上單調(diào)遞減，∴－eq\f(1,2)≤cos(x＋eq\f(π,6))≤eq\f(\r(3),2)∴－eq\r(3)≤y≤3，故函數(shù)值域?yàn)閇－eq\r(3)，3]．[8分](3)令t＝sinx＋cosx，則sinxcosx＝eq\f(t2－1,2)，且|t|≤eq\r(2).∴y＝t＋eq\f(t2－1,2)＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1，∴當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝－1；當(dāng)t＝eq\r(2)時(shí)，ymax＝eq\f(1,2)＋eq\r(2).∴函數(shù)值域?yàn)閇－1，eq\f(1,2)＋eq\r(2)]．[12分]【突破思維障礙】1．對(duì)于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函數(shù)在求值域時(shí)，需先確定ωx＋φ的范圍，再求值域．同時(shí)，對(duì)于形如y＝asinωx＋bcosωx＋c的函數(shù)，可借助掛念角公式，將函數(shù)化為y＝eq\r(a2＋b2)sin(ωx＋φ)＋c的形式，從而求得函數(shù)的最值．2．關(guān)于y＝acos2x＋bcosx＋c(或y＝asin2x＋bsinx＋c)型或可以為此型的函數(shù)求值域，一般可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題．提示：不論用什么方法，切忌忽視函數(shù)的定義域．1．嫻熟把握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)是爭(zhēng)辯三角問題的基礎(chǔ)，三角函數(shù)的定義域是爭(zhēng)辯其他一切性質(zhì)的前提，求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上就是解最簡(jiǎn)潔的三角不等式(組)．2．三角函數(shù)的值域問題，實(shí)質(zhì)上是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問題．3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把ωx＋φ看作一個(gè)整體，利用y＝sinx的單調(diào)區(qū)間來求．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2011·黃山月考)已知函數(shù)y＝sinx的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇－1，eq\f(1,2)]，則b－a的值不行能是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3) C．π D.eq\f(4π,3)2．(2010·安徽6校高三聯(lián)考)已知函數(shù)y＝tanωx(ω>0)與直線y＝a相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|最小值為π，則函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωx－cosωx的單調(diào)增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)3．函數(shù)f(x)＝tanωx(ω>0)的圖象的相鄰的兩支截直線y＝eq\f(π,4)所得線段長為eq\f(π,4)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值是 ()A．0 B．1 C．－1 D.eq\f(π,4)4．函數(shù)y＝－xcosx的部分圖象是圖中()5．(2011·三明模擬)若函數(shù)y＝sinx＋f(x)在[－eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)可以是()A．1 B．cosxC．sinx D．－cosx題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)f(x)＝sinωx的圖象C的一個(gè)對(duì)稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對(duì)稱軸的距離的最小值是eq\f(π,8)，則f(x)的最小正周期是________．7．函數(shù)f(x)＝2sineq\f(x,4)對(duì)于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，則|x1－x2|的最小值為________．8．(2010·江蘇)定義在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的函數(shù)y＝6cosx的圖象與y＝5tanx的圖象的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y＝sinx的圖象交于點(diǎn)P2，則線段P1P2的長為________．三、解答題(共38分)9．(12分)(2011·廈門月考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2cos4x－3cos2x＋1,cos2x)，求它的定義域和值域，并推斷它的奇偶性．10．(12分)(2010·福建改編)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋eq\f(π,6))＋a(ω>0)與g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)當(dāng)x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，f(x)的最小值為－2，求a的值．11．(14分)(2010·安徽合肥高三二模)已知向量a＝(sinx，2eq\r(3)sinx)，b＝(2cosx，sinx)，定義f(x)＝a·b－eq\r(3).(1)求函數(shù)y＝f(x)，x∈R的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)y＝f(x＋θ)(0<θ<eq\f(π,2))為偶函數(shù)，求θ的值．答案自主梳理1．RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}[－1,1][－1,1]R2π2ππ奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3,2)π](k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)2．2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)3.2kπ(k∈Z)2kπ＋π(k∈Z)4.(kπ，0)(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)5.x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)自我檢測(cè)1．C2.D3.D4.D5.A課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引求三角函數(shù)的定義域時(shí)，需要轉(zhuǎn)化為三角不等式(組)求解，經(jīng)常借助于三角函數(shù)的圖象和周期解決，求交集時(shí)可以利用單位圓，對(duì)于周期相同的可以先求交集再加周期的整數(shù)倍即可．解要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋log\f(1,2)x≥0，,x>0，,tanx≥0，,x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤4，,kπ≤x<kπ＋\f(π,2)k∈Z.))所以函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(π,2)或π≤x≤4)).變式遷移1eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2cosx≥0,2sinx－1>0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx≤\f(1,2),sinx>\f(1,2)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z,\f(π,6)＋2kπ<x<\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))，即x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z.例2解題導(dǎo)引求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：①把“ωx＋φ(ω>0)”視為一個(gè)“整體”；②A>0(A<0)時(shí)，所列不等式的方向與y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同(反)．解y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))可看作是由y＝2sinu與u＝eq\f(π,4)－x復(fù)合而成的．又∵u＝eq\f(π,4)－x為減函數(shù)，∴由2kπ－eq\f(π,2)≤u≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(π,4)－x≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得－2kπ－eq\f(π,4)≤x≤－2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2kπ－\f(π,4)，－2kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)為y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的遞減區(qū)間．由2kπ＋eq\f(π,2)≤u≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，即2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(π,4)－x≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，得－2kπ－eq\f(5π,4)≤x≤－2kπ－eq\f(π,4)(k∈Z)，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2kπ－\f(5π,4)，－2kπ－\f(π,4)))(k∈Z)為y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的遞增區(qū)間．綜上可知，y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2kπ－\f(5π,4)，－2kπ－\f(π,4)))(k∈Z)；遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2kπ－\f(π,4)，－2kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)．變式遷移2解(1)由y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))，得y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得－eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z，又x∈[－π，π]，∴－π≤x≤－eq\f(7,12)π，－eq\f(π,12)≤x≤eq\f(5,12)π，eq\f(11,12)π≤x≤π.∴函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))，x∈[－π，π]的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(7,12)π))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5,12)π))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11,12)π，π)).(2)函數(shù)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的周期T＝eq\f(π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4))))＝4π.由y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))得y＝－3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))，由－eq\f(π,2)＋kπ<eq\f(x,4)－eq\f(π,6)<eq\f(π,2)＋kπ得－eq\f(4,3)π＋4kπ<x<eq\f(8,3)π＋4kπ，k∈Z，∴函數(shù)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)π＋4kπ，\f(8,3)π＋4kπ))(k∈Z)．例3解題導(dǎo)引解決此類問題，首先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求出y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最值，再由方程的思想解決問題．解∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2,3)π，∴－eq\f(\r(3),2)≤sin(2x－eq\f(π,3))≤1，若a>0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1,－\r(3)a＋b＝－5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝12－6\r(3),b＝－23＋12\r(3)))；若a<0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝－5,－\r(3)a＋b＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12＋6\r(3),b＝19－12\r(3))).綜上可知，a＝12－6eq\r(3)，b＝－23＋12eq\r(3)或a＝－12＋6eq\r(3)，b＝19－12eq\r(3).變式遷移3解∵x∈R，∴cosx∈[－1,1]，若a>0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1,－a＋b＝－3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－1))；若a<0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－3,－a＋b＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝－1)).所以g(x)＝－sin(2x＋eq\f(π,3))或g(x)＝－sin(－2x＋eq\f(π,3))，周期為π.課后練習(xí)區(qū)1．A[畫出函數(shù)y＝sinx的草圖(圖略)，分析知b－a的取值范圍為[eq\f(2π,3)，eq\f(4π,3)]，故選A.]2．B[由題意知，函數(shù)的最小正周期為π，則ω＝1，故f(x)＝eq\r(3)sinωx－cosωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的單調(diào)增區(qū)間滿足：2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)解得2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3).]3．A4．D5．D[由于y＝sinx－cosx＝eq\r(2)sin(x－eq\f(π,4))，－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)，即－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(3π,4)，滿足題意，所以函數(shù)f(x)可以是－cosx．]6.eq\f(π,2)解析依題意得eq\f(T,4)＝eq\f(π,8)，所以最小正周期T＝eq\f(π,2).7．4π解析由f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)、f(x2)分別為f(x)的最小值和最大值，而當(dāng)eq\f(x,4)＝2kπ－eq\f(π,2)，即x＝8kπ－2π(k∈Z)時(shí)，f(x)取最小值；而eq\f(x,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，即x＝8kπ＋2π(k∈Z)時(shí)，f(x)取最大值，∴|x1－x2|的最小值為4π.8.eq\f(2,3)解析線段P1P2的長即為sinx的值，且其中的x滿足6cosx＝5tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，解得sinx＝eq\f(2,3).所以線段P1P2的長為eq\f(2,3).9．解由題意知cos2x≠0，得2x≠kπ＋eq\f(π,2)，解得x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)(k∈Z)．∴f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z}．……………(3分)又f(x)＝eq\f(2cos4x－3cos2x＋1,cos2x)＝eq\f(2cos2x－1cos2x－1,2cos2x－1)＝cos2x－1＝－sin2x，……………………(6分)又∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)是偶函數(shù)．…………(8分)明顯－sin2x∈[－1,0]，又∵x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z，∴－sin2x≠－eq\f(1,2).∴原函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|－1≤y<－\f(1,2)或－\f(1,2)<y≤0)).……………(12分)10．解(1)∵f(x)和g(x)的對(duì)稱軸完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋eq\