第14章三角形（壓軸30題專練）-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期考試滿分全攻略（滬教版）（解析版）

第14章三角形（壓軸30題專練）一．選擇題（共7小題）1．（2012?奉賢區(qū)模擬）如圖，在等邊△ABC中，AC＝9，點O在AC上，且AO＝3，點P是AB上一動點，連接OP，以O(shè)為圓心，OP長為半徑畫弧交BC于點D，連接PD，如果PO＝PD，那么AP的長是（）A．5 B．8 C．7 D．6【分析】連接OD，由題意可知OP＝DP＝OD，即△PDO為等邊三角形，所以∠OPA＝∠PDB＝∠DPA﹣60°，推出△OPA≌△PDB，即可求出AP的長度．【解答】解：連接OD，∵PO＝PD，∴OP＝DP＝OD，∴∠DPO＝60°，∵等邊△ABC，∴∠A＝∠B＝60°，AC＝AB＝9，∴∠OPA＝∠PDB＝∠DPA﹣60°，∴△OPA≌△PDB，∵AO＝3，∴AO＝PB＝3，∴AP＝6．故選：D．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于求證△OPA≌△PDB．2．（2011?松江區(qū)模擬）下列命題中，假命題是（）A．如果兩邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等 B．如果兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等 C．如果兩角及它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等 D．如果兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理對各選項分析論證得出正確選項．【解答】解：A、如果兩邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等，符合判定定理邊角邊，是真命題．B、如果兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．因為兩邊相等，其夾角不一定相等，所以兩三角形不一定全等，故是假命題．C、如果兩角及它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等，符合判定定理角邊角，是真命題．D、如果兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．兩角相等，則根據(jù)三角和內(nèi)角和定理可推出三個角分別相等，有一邊相等，所以符合判定定理角邊角，是真命題．故選：B．【點評】此題考查的是全等三角形的判定，關(guān)鍵是每個選項是否符合全等三角形的判定定理．3．（2006?南寧）如圖是一個等邊三角形木框，甲蟲P在邊框AC上爬行（A，C端點除外），設(shè)甲蟲P到另外兩邊的距離之和為d，等邊三角形ABC的高為h，則d與h的大小關(guān)系是（）A．d＞h B．d＜h C．d＝h D．無法確定【分析】如圖，連接BP，過點P做PD⊥BC，PE⊥AB，分別交于BC，AB于點D，E，則△ABC分成兩個三角形：△BPC和△BPA，根據(jù)兩三角形面積之和等于等邊三角形的面積可推得：d＝h．【解答】解：如圖，連接BP，過點P做PD⊥BC，PE⊥AB，分別交BC，AB于點D，E，∴S△ABC＝S△BPC+S△BPA＝BC?PD+AB?PE＝BC?PD+BC?PE＝BC（PD+PE）＝d?BC＝h?BC∴d＝h．故選：C．【點評】本題通過作輔助線，把等邊三角形分成兩部分，利用三角形的面積公式求得d＝h．4．（2005?包頭）如圖將四個全等的矩形分別等分成四個全等的小矩形，其中陰影部分面積相等的是（）A．只有①和②相等 B．只有③和④相等 C．只有①和④相等 D．①和②，③和④分別相等【分析】根據(jù)三角形的面積公式來計算即可．【解答】解：小矩形的長為a，寬為b，則①中的陰影部分為兩個底邊長為a，高為b的三角形，∴S＝×a?b×2＝ab；②中的陰影部分為一個底邊長為a，高為2b的三角形，∴S＝×a?2b＝ab；③中的陰影部分為一個底邊長為a，高為b的三角形，∴S＝×a?b＝ab；④中的陰影部分為一個底邊長為a，高為b的三角形，∴S＝×a?b＝ab．∴①和②，③和④分別相等．故選：D．【點評】此題主要考查三角形面積公式的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是如何確定三角形的底邊和高的長度．5．（2004?重慶）在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，點A、B是方格紙中的兩個格點（即正方形的頂點），在這個5×5的方格紙中，找出格點C使△ABC的面積為2個平方單位，則滿足條件的格點C的個數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】首先分別在AB的兩側(cè)找到一個使其面積是2個平方單位的點，再分別過這兩點作AB的平行線．找到所有的格點即可．即有5個．【解答】解：滿足條件的C點有5個，如圖平行于AB的直線上，與網(wǎng)格的所有交點就是．故選：A．【點評】此題主要是注意：根據(jù)兩條平行線間的距離處處相等，只需在兩側(cè)各找一個符合條件的點，再作平行線，即可找到所有符合條件的點．6．（2003?上海）如圖，已知AC平分∠PAQ，點B、D分別在邊AP、AQ上．如果添加一個條件后可推出AB＝AD，那么該條件不可以是（）A．BD⊥AC B．BC＝DC C．∠ACB＝∠ACD D．∠ABC＝∠ADC【分析】首先分析選項添加的條件，再根據(jù)判定方法判斷．【解答】解：添加A選項中條件可用ASA判定兩個三角形全等；添加B選項中條件無法判定兩個三角形全等；添加C選項中條件可用ASA判定兩個三角形全等；添加D選項以后是ASA證明三角形全等．故選：B．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．7．（1997?上海）在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．斜三角形【分析】因為∠A﹣∠B＝90°，即∠A＝90°+∠B，那么∠A一定大于90°，即為鈍角三角形．【解答】解：在△ABC中，∵∠A﹣∠B＝90°，∴∠A＝90°+∠B＞90°（∠B肯定大于0），那么△ABC是鈍角三角形．故選：B．【點評】此題較簡單，關(guān)鍵是明白三角形的內(nèi)角和是180°．二．填空題（共12小題）8．（2013?上海模擬）如圖所示，已知邊長為2的正三角形ABC中，P0是BC邊的中點，一束光線自P0發(fā)出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的點P2和P3，且1＜BP3＜（反射角等于入射角），則P1C的取值范圍是1＜P1C＜．【分析】首先利用光的反射定律及等邊三角形的性質(zhì)證明△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到用含P3B的代數(shù)式表示P1C的式子，然后由1＜BP3＜，即可求出P1C長的取值范圍．【解答】解：∵反射角等于入射角，∴∠P0P1C＝∠P2P1A＝∠P2P3B，又∵∠C＝∠A＝∠B＝60°，∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，∴＝＝，設(shè)P1C＝x，P2A＝y(tǒng)，則P1A＝2﹣x，P2B＝2﹣y．∴＝＝，∴，∴x＝（2+P3B）．又∵1＜BP3＜，∴1＜x＜，即P1C長的取值范圍是：1＜P1C＜．故答案為：1＜P1C．【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，在解題時要根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找出對應(yīng)點是解此題的關(guān)鍵，難度較大．9．（2015?安徽模擬）將一個平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”，例如圓的直徑就是它的“面徑”．已知等邊三角形的邊長為2，則它的“面徑”長可以是，（或介于和之間的任意兩個實數(shù)）（寫出2個）．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，最短的面徑平行于三角形一邊，最長的面徑為等邊三角形的高，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出最短面徑，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出高線，然后寫出即可．【解答】解：如圖，EF∥BC時，EF為最短面徑，此時，（）2＝，即＝，解得EF＝，等邊三角形的高AD是最長的面徑，AD＝×2＝，所以，它的面徑長可以是，（或介于和之間的任意兩個實數(shù)）．故答案為：，（或介于和之間的任意兩個實數(shù)）．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，弄明白面徑的定義，并準(zhǔn)確判斷出等邊三角形的最短與最長的面徑是解題的關(guān)鍵．10．（2011?張家界）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為BC邊的中點，∠BAD＝20°，則∠C＝70°．【分析】由已知條件，利用等邊三角形三線合一的性質(zhì)進(jìn)行求解．【解答】解：∵AB＝CA，∴△ABC是等腰三角形，∵D是BC邊上的中點，∴AD平分∠BAC，∵∠BAD＝20°．∴∠C＝90°﹣20°＝70°．故答案為：70°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；利用三線合一是正確解答本題的關(guān)鍵．11．（2009?清遠(yuǎn)）如圖，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，則∠C1＝30°．【分析】本題實際上是全等三角形的性質(zhì)以及根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°來求角的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC≌△A1B1C1，∴∠C1＝∠C，又∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∴∠C1＝∠C＝30°．故答案為：30．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)；解答時，除必備的知識外，還應(yīng)將條件和所求聯(lián)系起來，即將所求的角與已知角通過全等及三角形內(nèi)角之間的關(guān)系聯(lián)系起來．12．（2008?海南）已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，∠A＝∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，還需添加一個條件，這個條件可以是∠B＝∠B1或∠C＝∠C1或AC＝A1C1（答案不唯一）．【分析】根據(jù)全等三角形的判定（有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等SAS）可得當(dāng)AC＝A1C1時可得△ABC≌△A1B1C1．根據(jù)全等三角形的判定（有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等ASA）可得當(dāng)∠B＝∠B1或∠C＝∠C1（AAS）△ABC≌△A1B1C1．【解答】解：添加AC＝A1C1；∠B＝∠B1；∠C＝∠C1后可分別根據(jù)SAS、ASA、AAS判定ABC≌△A1B1C1，故填A(yù)C＝A1C1；∠B＝∠B1；∠C＝∠C1．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．13．（2005?中山）如圖，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD交于點O，且AO平分∠BAC，那么圖中全等三角形共有4對．【分析】根據(jù)已知條件可以找出題目中有哪些相等的角以及線段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一進(jìn)行驗證．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，且AO平分∠BAC，∴△ODA≌△OEA，∴∠B＝∠C，AD＝AE，∴△ADC≌△AEB，∴AB＝AC，∴△OAC≌△OAB，∴△COE≌△OBD．故填4．【點評】本題考查了三角形全等的判定方法；提出猜想，驗證猜想是解決幾何問題的基本方法，做題時要注意從已知條件開始思考結(jié)合全等的判定方法逐一判斷，做到不重不漏，由易到難．14．（2003?江西）已知方格紙中的每個小方格是邊長為1的正方形，A，B兩點在小方格的頂點上，位置如圖所示，在小方格的頂點上確定一點C，連接AB，AC，BC，使△ABC的面積為3個平方單位．則這樣的點C共有6個．【分析】首先在AB的兩側(cè)各找一個點，使得三角形的面積是3．再根據(jù)兩條平行線間的距離相等，過兩側(cè)的點作AB的平行線，交了幾個格點就有幾個點．【解答】解：如圖，符合條件的點有6個．【點評】此類題注意方法：找對兩個點，借助平行線進(jìn)一步找到所有的點．15．（2002?煙臺）若等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則這個等腰三角形底角的度數(shù)為15或75°．【分析】因為三角形的高有三種情況，而直角三角形不合題意，故舍去，所以應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析，從而得到答案．【解答】解：（1）當(dāng)?shù)妊切问卿J角三角形時，腰上的高在三角形內(nèi)部，如圖，BD為等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD＝AB，根據(jù)直角三角形中30°角的對邊等于斜邊的一半的逆用，可知頂角為30°，此時底角為75°；（2）當(dāng)?shù)妊切问氢g角三角形時，腰上的高在三角形外部，如圖，BD為等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD＝AB，根據(jù)直角三角形中30°角的對邊等于斜邊的一半的逆用，可知頂角的鄰補角為30°，此時頂角是150°，底角為15°．故其底角為15°或75°．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)；正確的分類討論是解答本題的關(guān)鍵．16．（1999?重慶）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BP＝CE，BD＝CP，則∠DPE＝70度．【分析】此題先判定△DBP與△PCE全等，得出∠BDP與∠EPC相等，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求∠DPE的度數(shù)．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠DBP＝∠ECP＝70°，又∵BP＝CE，BD＝CP，∴△DBP≌△PCE，∴∠BDP＝∠EPC，又∵∠DBP＝70°，∴∠DPB+∠BDP＝110°，∴∠DPE＝180°﹣（∠DPB+∠EPC）＝180°﹣（∠DPB+∠BDP）＝70°．【點評】本題考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；利用題目中隱含的條件平角解題是解決本題得到關(guān)鍵．17．（2013?高新區(qū)模擬）如圖所示，AOB是一鋼架，且∠AOB＝10°，為了使鋼架更加堅固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF，F(xiàn)G，GH…，添加的鋼管長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管8根．【分析】根據(jù)已知利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，找出圖中存在的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律及三角形的內(nèi)角和定理不難求解．【解答】解：∵添加的鋼管長度都與OE相等，∠AOB＝10°，∴∠GEF＝∠FGE＝20°，…從圖中我們會發(fā)現(xiàn)有好幾個等腰三角形，即第一個等腰三角形的底角是10°，第二個是20°，第三個是30°，四個是40°，五個是50°，六個是60°，七個是70°，八個是80°，九個是90°就不存在了．所以一共有8個．故答案為：8．【點評】此題考查了三角形的內(nèi)角和是180度的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)；發(fā)現(xiàn)并利用規(guī)律是正確解答本題的關(guān)鍵．18．（2009?湘潭）如圖，△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC上的點，已知DF∥BC，EF∥AB，請補充一個條件：AF＝FC或DF＝EC或AD＝FE或F為AC中點或DF為中位線或EF為中位線或DE∥AC，使△ADF≌△FEC．【分析】要使△ADF≌△FEC，現(xiàn)有條件是兩平行線，可得三角形中兩角對應(yīng)相等，根據(jù)全等三角形的判定方法還需邊對應(yīng)相等，于是答案可得．【解答】解：若添加AF＝FC，已知DF∥BC，EF∥AB，得出∠ADF＝∠ABC＝∠FEC，∠AFD＝∠C，可以根據(jù)AAS來判定其全等，同理添加DF＝EC，或AD＝FC，均可以利用AAS來判定其全等．【點評】本題考查了全等三角形的判定；題目是開放型題目，根據(jù)已知條件結(jié)合判定方法，找出所需條件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．19．（2000?昆明）已知：如圖，AC＝DC，∠1＝∠2，請?zhí)砑右粋€已知條件：BC＝EC，使△ABC≌△DEC．【分析】已知給出了∠1＝∠2，可得三角形中一對應(yīng)角相等，又有一邊對應(yīng)相等，根據(jù)邊角邊判定定理，補充BC＝AC可得△ABC≌△DEC答案可得．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠BCA＝∠ECD，又AC＝DC，添加BC＝CE，∴△ABC≌△DEC（SAS）．故填BC＝EC．【點評】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．三．解答題（共11小題）20．（2008?杭州）如圖，在等腰△ABC中，CH是底邊上的高線，點P是線段CH上不與端點重合的任意一點，連接AP交BC于點E，連接BP交AC于點F．（1）證明：∠CAE＝∠CBF；（2）證明：AE＝BF；（3）以線段AE，BF和AB為邊構(gòu)成一個新的三角形ABG（點E與點F重合于點G），記△ABC和△ABG的面積分別為S△ABC和S△ABG，如果存在點P，能使得S△ABC＝S△ABG，求∠ACB的取值范圍．【分析】（1）證得△ACP≌△BCP即可；（2）加上（1）的結(jié)論，證得△ACE≌△BCF即可；（3）假設(shè)存在點P，能使得S△ABC＝S△ABG，由（2）得到的AE＝BF，則新三角形ABG也為等腰三角形，根據(jù)底邊都為AB，面積相等，得到高相等，所以AC＝AE，即三角形ACE為等腰三角形，則底角∠ACB為銳角，即可得到∠ACB的取值范圍．【解答】（1）證明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底邊上的高線，∴AC＝BC，∠ACP＝∠BCP．又∵CP＝CP，∴△ACP≌△BCP．∴∠CAP＝∠CBP，即∠CAE＝∠CBF．（2）證明：∵在△ACE與△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（ASA）．∴AE＝BF．（3）解：∵由（2）知△ABG是以AB為底邊的等腰三角形，∴S△ABC＝S△ABG．∴AE＝AC．①當(dāng)∠ACB為直角或鈍角時，在△ACE中，不論點P在CH何處，均有AE＞AC，所以結(jié)論不成立；②當(dāng)∠ACB為銳角時，∠CAH＝90°﹣∠ACB，而∠CAE＜∠CAH，要使AE＝AC，只需使∠ACB＝∠CEA，此時，∠CAE＝180°﹣2∠ACB，只須180°﹣2∠ACB＜90°﹣∠ACB，解得：60°＜∠ACB＜90°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；兩條線段在不同的三角形中要證明相等時，通常是利用全等來進(jìn)行證明．需注意已證得條件在以后證明中的應(yīng)用，以及分情況進(jìn)行討論等情況．21．（2007?常州）已知，如圖，延長△ABC的各邊，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，順次連接D，E，F(xiàn)，得到△DEF為等邊三角形．求證：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC為等邊三角形．【分析】（1）關(guān)鍵是證出CE＝AF，可由AE＝AB，AC＝BF，兩兩相加可得．再結(jié)合已知條件可證出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等關(guān)系，可得出∠AFE＝∠CED，再結(jié)合△DEF是等邊三角形，可知∠DEF＝60°，從而得出∠BAC＝60°，同理可得∠ACB＝60°，那么∠ABC＝60°．因而△ABC是等邊三角形．【解答】證明：（1）∵BF＝AC，AB＝AE（已知）∴FA＝EC（等量加等量和相等）．∵△DEF是等邊三角形（已知），∴EF＝DE（等邊三角形的性質(zhì)）．又∵AE＝CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC（對應(yīng)角相等），∵∠BCA＝∠EDC+∠DEC＝∠FEA+∠DEC＝∠DEF（等量代換），△DEF是等邊三角形（已知），∴∠DEF＝60°（等邊三角形的性質(zhì)），∴∠BCA＝60°（等量代換），由△AEF≌△CDE，得∠EFA＝∠DEC，∵∠DEC+∠FEC＝60°，∴∠EFA+∠FEC＝60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC＝∠EFA+∠FEC＝60°，∴△ABC中，AB＝BC（等角對等邊）．∴△ABC是等邊三角形（等邊三角形的判定）．【點評】本題利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，還有三角形的外角等不相鄰的兩個內(nèi)角之和，等邊三角形的判定（三個角都是60°，那么就是等邊三角形）．22．（1997?上海）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一點，DE⊥BC，E是垂足，ED的延長線交CA的延長線于點F，求證：AD＝AF．【分析】由AB＝AC，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，可得∠B＝∠C，又由DE⊥BC，根據(jù)等角的余角相等，可得∠F＝∠ADF，又由等角對等邊，可證得AD＝AF．【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠C+∠F＝90°，∠B+∠BDE＝90°，∵∠ADF＝∠BDE，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF．【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．23．（2017春?楊浦區(qū)校級期末）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系．（1）如圖1，△ABC是周長為9的等邊三角形，則△AMN的周長Q＝6；（2）如圖2，當(dāng)點M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM+CN＝MN；此時＝；（3）點M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時，猜想（2）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．【分析】（1）構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換．延長AC至E，使CE＝BM，連接DE．根據(jù)題意得到∠MBD＝∠NCD＝90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，MB＝CE，BD＝DC，因此兩三角形全等，那么DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．三角形MDN和EDN中，有DM＝DE，∠EDN＝∠MDN＝60°，有一條公共邊，因此兩三角形全等，MN＝NE，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因為NE＝CN+CE，因此NM＝BM+CN．可根據(jù)L的值確定與Q的值；（2）如果DM＝DN，∠DMN＝∠DNM，因為BD＝DC，那么∠DBC＝∠DCB＝30°，也就有∠MBD＝∠NCD＝60+30＝90°，直角三角形MBD、NCD中，因為BD＝CD，DM＝DN，根據(jù)HL定理，兩三角形全等．那么BM＝NC，∠BMD＝∠DNC＝60°，三角形NCD中，∠NDC＝30°，DN＝2NC，在三角形DNM中，DM＝DN，∠MDN＝60°，因此三角形DMN是個等邊三角形，因此MN＝DN＝2NC＝NC+BM，三角形AMN的周長Q＝AM+AN+MN＝AM+AN+MB+NC＝AB+AC＝2AB，三角形ABC的周長L＝3AB，因此Q：L＝2：3．（3）如果DM≠DN，我們可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換．延長AC至E，使CE＝BM，連接DE．（1）中我們已經(jīng)得出，∠MBD＝∠NCD＝90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，MB＝CE，BD＝DC，因此兩三角形全等，那么DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．三角形MDN和EDN中，有DM＝DE，∠EDN＝∠MDN＝60°，有一條公共邊，因此兩三角形全等，MN＝NE，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因為NE＝CN+CE，因此NM＝BM+CN．Q與L的關(guān)系的求法同（1），得出的結(jié)果是一樣的．【解答】（1）解：如圖2，延長AC至E，使CE＝BM，連接DE，∵BD＝CD，且∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，又∵△ABC是等邊三角形，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，在△MBD與△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE．∴∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．在△MDN與△EDN中，，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝NE＝NC+BM，∵△AMN的周長Q＝AM+AN+MN＝AM+AN+（NC+BM）＝（AM+BM）+（AN+NC）＝AB+AC＝2AB，等邊△ABC的周長L＝3AB＝9，即AB＝3，則Q＝6；（2）解：如圖，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN．此時＝；（3）猜想：（2）中的結(jié)論仍然成立，證明：如圖，延長AC至E，使CE＝BM，連接DE，∵BD＝CD，且∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，又∵△ABC是等邊三角形，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，在△MBD與△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE．∴∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．在△MDN與△EDN中，，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝NE＝NC+BM，∵△AMN的周長Q＝AM+AN+MN＝AM+AN+（NC+BM）＝（AM+BM）+（AN+NC）＝AB+AC＝2AB，等邊△ABC的周長L＝3AB，∴＝．故答案為：（1）6；（2）BM+NC＝MN；【點評】此題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，題目中線段的轉(zhuǎn)換都是根據(jù)全等三角形來實現(xiàn)的，當(dāng)題中沒有明顯的全等三角形時，我們要根據(jù)條件通過作輔助線來構(gòu)建于已知和所求條件相關(guān)的全等三角形，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．24．（2021秋?浦東新區(qū)期中）如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于點D．（1）求證：BD＝CD．（2）如圖2，若∠BAC的角平分線AE交BC于點E，求證：AB+BE＝AC．（3）如圖3，若∠BAC的外角平分線AE交CB的延長線于點E，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)∠A＝120°，∠C＝20°，可得∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠C＝20°，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）如圖2，過點E作EF∥BD交AC于點F，證明△ABE≌△AFE，可得BE＝EF＝FC，進(jìn)而可得AB+BE＝AC；（3）如圖3，過點A作AF∥BD交BE于點F，結(jié)合（1）和AE是∠BAC的外角平分線，可得FE＝AF＝AC，進(jìn)而可得結(jié)論BE﹣AB＝AC．【解答】（1）證明：∵∠A＝120°，∠C＝20°，∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝ABC＝20°，∴∠DBC＝∠C＝20°，∴BD＝CD；（2）證明：如圖2，過點E作EF∥BD交AC于點F，∴∠FEC＝∠DBC＝20°，∴∠FEC＝∠C＝20°，∴∠AFE＝40°，F(xiàn)E＝FC，∴∠AFE＝∠ABC，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS），∴BE＝EF，∴BE＝EF＝FC，∴AB+BE＝AF+FC＝AC；（3）（2）中的結(jié)論不成立，正確的結(jié)論是BE﹣AB＝AC．理由如下：如圖3，過點A作AF∥BD交BE于點F，∴∠AFC＝∠DBC＝20°，∴∠AFC＝∠C＝20°，∴AF＝AC，∵AE是∠BAC的外角平分線，∴∠EAB＝（180°﹣∠ABC）＝30°，∵∠ABC＝40°，∴∠E＝∠ABC﹣∠EAB＝10°，∴∠E＝∠FAE＝10°，∴FE＝AF，∴FE＝AF＝AC，∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．25．（2020春?浦東新區(qū)期末）閱讀并填空：如圖：根據(jù)六年級第二學(xué)期學(xué)過的用直尺、圓規(guī)作線段中點的方法，畫出了線段AB的中點C，請說明這種方法正確的理由．解：連接AE、BE、AF、BF．在△AEF和△BEF中，EF＝EF（公共邊），AE＝BE（畫弧時所取的半徑相等），AF＝BF（畫弧時所取的半徑相等）．所以△AEF≌△BEF（SSS）．所以∠AEF＝∠BEF（全等三角形的對應(yīng)角相等）．又AE＝BE，所以AC＝BC（等腰三角形三線合一）．即點C是線段AB的中點．【分析】根據(jù)SSS證△AEF≌△BEF，推出∠AEF＝∠BEF，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可．【解答】解：在△AEF和△BEF中，，∴△AEF≌△BEF（SSS），∴∠AEF＝∠BEF（全等三角形的對應(yīng)角相等），∵AE＝BE，∴AC＝BC（等腰三角形的三線合一），∴C是線段AB的中點．故答案為：公共邊，AE、BE，AF、BF，S．S．S，全等三角形對應(yīng)角相等，等腰三角形三線合一．【點評】本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能推出∠AEF＝∠BEF是解此題的關(guān)鍵．26．（2019春?浦東新區(qū)期末）閱讀并填空：如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，點D、E在邊BC上，且AD＝AE，試說明BD＝CE的理由．解：因為AB＝AC，所以∠B＝∠C（等邊對等角）．因為AD＝AE，所以∠AED＝∠ADE（等邊對等角）．在△ABE與△ACD中，∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE，AB＝AC所以△ABE≌△ACD（AAS）所以BE＝CD（全等三角形對應(yīng)邊相等），所以BD＝CE（等式性質(zhì)）．即BD＝CE．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、以及全等三角形的判定方法AAS即可解決問題．【解答】解：因為AB＝AC，所以∠B＝∠C（等邊對等角）．因為AD＝AE，所以∠AED＝∠ADE（等邊對等角）．在△ABE與△ACD中，所以△ABE≌△ACD（AAS），所以（全等三角形對應(yīng)邊相等），所以BD＝CE（等式性質(zhì)）．即BD＝CE．故答案為∠B＝∠C，AD＝AE，∠B＝∠C，AAS，BE＝CD．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．27．（2007?牡丹江）已知四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），易證AE+CF＝EF；當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．【分析】根據(jù)已知可以利用SAS證明△ABE≌△CBF，從而得出對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，從而得出∠ABE＝∠CBF＝30°，△BEF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及邊與邊之間的關(guān)系，即可推出AE+CF＝EF．同理圖2可證明是成立的，圖3不成立．【解答】解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，AE＝CF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF；∵∠ABC＝120°，∠MB