1.1.4 分式與二次根式-2024年初升高數(shù)學無憂銜接

第第頁第1.1章數(shù)與式1.1.4分式與二次根式初中要求1了解分式和最簡分式的概念，能利用分式的基本性質進行約分和通分；能進行簡單的分式加、減、乘、除運算。2了解平方根、算術平方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、算術平方根;3了解乘方與開方互為逆運算，會用平方運算求百以內整數(shù)的平方根，會用計算器求平方根;4了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關的簡單四則運算。高中要求1掌握分式的齊次化變形.2二次根式的簡單四則運算；3理解共軛二次根式；4會求解含二次根式的方程與不等式.1.分式的概念一般地，如果A、B(B不等于零)表示兩個整式，且B中含有字母，那么式子A2.分式的基本性質分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變.用式子表示是AB=A×M3.分式方程分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.解分式方程的思想是將“分式方程”轉化為“整式方程”，其一般解題步驟：①去分母；②求解所得整式方程；③驗根.3.二次根式一般地，形如a(a≥0)二次根式必須滿足：①含有二次根號“”；②被開方數(shù)a必須大于等于0.4.最簡二次根式若二次根式滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式，如5，2x2+15.二次根式的性質性質例子(1)若a≥0,則a32(2)(2?π)2a2(3)2?x?1?(4)a62=3，【題型1】分式的變形情況1齊次化分式形如ax+bycx+dy(a,b,c,d為常數(shù))的分式的分子、分母均為一次齊次式，我們稱之為一次齊次化分式，如形如a1x2+b1xy+對于齊次分式，我們可以怎么處理呢？【典題1】已知正數(shù)x,y滿足x2?2xy?3y2=0解析由已知有xy2?∴x+2y3x?y=變式練習1.已知y≠0，3x+yx?y答案2.解析3x+yx?y=7分子分母同除以2.已知y≠0，3x答案2或7解析3x解方程得t=2或t=73，即xy情況2分子的降次處理解題技巧提煉我們遇到類似afx+bcfx+d這方法稱之為分離常數(shù)法.【典題1】把2x2?3x+4解析方法1令t=x+1，則x=t?1，2x方法2利用多項式除以多項式的豎式x+1x+122x?52?5x+49?5x?5∴2變式練習1.把4x+52x?1化為a+答案2+解析4x+52x?12.把3x2?x+5答案3x+2+解析令t=x?1，則x=t+1，3x【題型2】二次根式的運算【典題1】化簡(1)12+13?解析112(2)?=?3x=?x?3x=x?3x39?4變式練習1.若(5?x)(x?3)2=(x?3)5?x答案3≤x≤5解析依題意得5?x≥0x?3≥0，解得3≤x≤52.化簡(1)(3?x)2(2)1(3)7+4答案(1)7?2x(2)6?1(3)解析(1)∵3?x≥0，∴x≤3∴(3?x(2)1=2(3)7+43.先觀察下列等式，再回答問題①1+1②1+1③1+1(1)根據(jù)上面三個等式，請猜想1+1(2)根據(jù)上面各等式反映的規(guī)律，試寫出含n((3)根據(jù)上述的規(guī)律，解答問題：設m=1+求不超過m的最大整數(shù)[m].答案(1)1120(2)1+1n(n+1)解析(1)觀察可得，1+1(2)1+1(3)m=1+=11=1×2012+1=2012+…+1?=2012+(1?1∴不超過m的最大整數(shù)[m]是2012.【題型2】含根號的方程【典題1】解方程x2解析移項得x2兩邊平方得x2解得x1把x1=0，x2=3故原方程的根是x=3變式練習1.解方程2x+14=x+3答案1解析方程兩邊平方得2x+14=x2+6x+9把x1=1，x2故原方程的根是x=1.2.解方程x+2答案2解析方程等價于x+2兩邊平方得x+2=9?6x?1代回方程檢驗可得x=2是方程的根，故方程的根式x=21.小明的作業(yè)本有以下四題：①16a4=4a2，②5a?10aA.①B.②C.③D.④答案C解析③錯，當a>0時，a1a=a22.把二次根式xyA.xyB.xyC.xy答案C解析xy=xy3.若x+yy=179，則答案8解析x+yy4.若關于x的方程2x+ax?2=?1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是答案a<2且a≠?4解析方程2x+ax?2=?1解得依題意得2?a3>0且2?a3≠2，解得5.已知a<0，(1)ab=(2)a答案(1)?a?bb(2)?bab解析1a(2)a(3)a6.正數(shù)x,y滿足x2?3y2=2xy，則x?y答案1解析x2?y2=2xy，兩邊同除以y2得∴x?yx+y=x7.化簡11+62=答案3+解析11+628.比較大?。??35?4(填“>”，或答案>解析方法1比較2?3與5?2大小，等價于比較4與而5+所以5+3<4方法22?3=1顯然2+3<5+49.已知x+y=72，且0<x<y，那么滿足條件的整數(shù)對答案2解析∵x+y∴設x=m2，y=n2，其中解得n=5m=1或n=4m=2，故所求整數(shù)對為(2,50)，(8，32)10.把2x2?3x+4答案2x解析令t=x+1，則x=t?1，2x11.已知正數(shù)a,c滿足a2?ac?c答案13解析由已知有2ca2∴3c+5a12.若x,y是整數(shù)，則點P(x,y)叫整點