廣東省韶關市重陽中學高三數學文期末試題含解析

廣東省韶關市重陽中學高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.奇函數的定義域為R，若為偶函數，且，則A．-2

B．-1

C．0

D．1

參考答案：D2.定義在[1，+∞）上的函數f（x）滿足：①當2≤x≤4時，f（x）=1﹣|x﹣3|；②f（2x）=cf（x）（c為正常數），若函數的所有極大值點都落在同一直線上，則常數c的值是（）A．1 B．±2 C．或3 D．1或2參考答案：D【考點】抽象函數及其應用．【專題】計算題；函數的性質及應用．【分析】由已知中定義在[1，+∞）上的函數f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數）；②當2≤x≤4時，f（x）=1﹣|x﹣3|．我們可得分段函數f（x）的解析式，進而求出三個函數的極值點坐標，進而根據三點共線，則任取兩點確定的直線斜率相等，可以構造關于c的方程，解方程可得答案．【解答】解：∵當2≤x≤4時，f（x）=1﹣|x﹣3|．當1≤x＜2時，2≤2x＜4，則f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|），此時當x=時，函數取極大值；當2≤x≤4時，f（x）=1﹣|x﹣3|；此時當x=3時，函數取極大值1；當4＜x≤8時，2＜≤4，則f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|），此時當x=6時，函數取極大值c．∵函數的所有極大值點均落在同一條直線上，即點（，），（3，1），（6，c）共線，∴=，解得c=1或2．故選D．【點評】本題考查的知識點是三點共線，函數的極值，其中根據已知分析出分段函數f（x）的解析式，進而求出三個函數的極值點坐標，是解答本題的關鍵．3.如右圖，OA=2（單位：m）,OB=1(單位：m),OA與OB的夾角為，以A為圓心，AB為半徑作圓弧與線段OA延長線交與點C.甲。乙兩質點同時從點O出發(fā)，甲先以速度1（單位:ms）沿線段OB行至點B，再以速度3（單位：ms）沿圓弧行至點C后停止，乙以速率2（單位：m/s）沿線段OA行至A點后停止。設t時刻甲、乙所到的兩點連線與它們經過的路徑所圍成圖形的面積為S（t）（S（0）=0），則函數y=S（t）的圖像大致是

參考答案：A當時，甲經過的路程為乙經過的路程為所以三角形的面積為，為拋物線，排除B,D.當時，甲到B,乙到達A.此時,即圓的半徑為，由圖象可知，當時，面積越來越大，當甲到C處，乙到A處時，甲乙停止，此時面積將不在變化，為常數，排除C，選A.4.已知關于x的方程，則下列說法錯誤的是A.當時，方程的解的個數為1個

B.當時，方程的解的個數為1個C.當時，方程的解的個數為2個

D.當時，方程的解的個數為2個參考答案：D5.若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，則tanα的值等于(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點】同角三角函數間的基本關系；二倍角的余弦．【專題】三角函數的求值．【分析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函數間的基本關系化簡后，得到關于sinα的方程，根據α的度數，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函數值，由α的范圍即可得到α的度數，利用α的度數求出tanα即可．【解答】解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，則sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，則α=，所以tanα=tan=．故選D【點評】此題考查學生靈活運用二倍角的余弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，是一道基礎題．學生做題時應注意角度的范圍．6.如圖已知中,點在線段上,點在線段上且滿足,若,則的值為A．

B．

C.

D．參考答案：A因為，所以。7.已知i是虛數單位，則復數i13（1+i）=

A．l+i

B．l－i

C．-l+I

D．-l－i參考答案：C略8.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，則角B的值為（）A． B． C．或 D．或參考答案：D【考點】余弦定理的應用．【專題】計算題．【分析】通過余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形內，進而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B為或故選D【點評】本題主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人會考慮對于角B的取舍問題，而此題兩種都可以，因為我們的過程是恒等變形．條件中也沒有其它的限制條件，所以有的同學就多慮了．雖然此題沒有涉及到取舍問題，但在平時的練習過程中一定要注意此點9.定義兩個平面向量的一種運算?=||?||sin＜，＞，則關于平面向量上述運算的以下結論中，①?=?，②λ（?）=（λ）?，③若=λ，則?=0，④若=λ，且λ＞0，則（+）?=（?）+（?）．恒成立的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個參考答案：B【考點】平面向量數量積的運算．【分析】①由新定義可得?=|=?，即可判斷出；②由新定義可得=λ，而=，當λ＜0時，λ（?）=（λ）?，不成立；③若=λ，可得，故?=0，即可判斷出；④若=λ，且λ＞0，則，由新定義可得?=，而==．即可判斷出．【解答】解：①∵?=|=?，故，故恒成立；②∵=λ，而=，當λ＜0時，λ（?）=（λ）?，不成立；③若=λ，則，得到?=0，故恒成立；④若=λ，且λ＞0，則+=（1+λ），∴+?=，而+=+=|1+λ|．故（+）?=（?）+（?）恒成立．綜上可知：只有①③④恒成立．故選B．10.從存有號碼為1,2，…,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結果如下：卡片號碼12345678910取到的次數581871313610119則取到號碼為奇數的頻率是(

)

A

0.53，B

0.5，

C

47，

D

0.37。

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面向量的單位向量是

參考答案：12.某多面體的三視圖，如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為

.參考答案：

13.已知為銳角，則___________參考答案：【分析】先求出，再利用兩角和的正弦公式展開，帶值計算即可.【詳解】解：為銳角，則為鈍角，則，，故答案為：.【點睛】本題考查已知角的三角函數值求未知角的三角函數值，關鍵是要找到已知角和未知角之間的關系，將未知角用已知角表示出來，是基礎題.14.定義一種運算，令，且，

則函數的最大值是______.參考答案：令，則

∴由運算定義可知，∴當，即時，該函數取得最大值.由圖象變換可知，

所求函數的最大值與函數在區(qū)間上的最大值相同.15.已知正實數,則的值為__________.

參考答案：略16.執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的的值為0.25，則輸入的n的值為

參考答案：3第一次循環(huán)，，此時不成立。第二次循環(huán)，，此時成立，輸出。17.過點P(,3)的直線，交圓于A、B兩點，Q為圓上任意一點，且Q到AB的最大距離為，則直線l的方程為

。參考答案：或

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，設AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC=PD．（Ⅰ）求證：l是⊙O的切線；（Ⅱ）若⊙O的半徑OA=5，AC=4，求CD的長．參考答案：【考點】圓的切線的判定定理的證明；與圓有關的比例線段．【專題】選作題；立體幾何．分析；（Ⅰ）連接OP，由AC與BD都與直線l垂直，得到AC與BD平行，由AB與l不相交得到四邊形ABDC為梯形，又O為AB中點，P為CD中點，所以OP為梯形的中位線，根據梯形中位線性質得到OP與BD平行，從而得到OP與l垂直，而P在圓上，故l為圓的切線；（Ⅱ）過點A作AE⊥BD，垂足為E，求出BE，利用勾股定理，即可得出結論．（Ⅰ）證明：連接OP，因為AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD．又OA=OB，PC=PD，所以OP∥BD，從而OP⊥l．因為P在⊙O上，所以l是⊙O的切線．（Ⅱ）解：由上知OP=（AC+BD），所以BD=2OP﹣AC=6，過點A作AE⊥BD，垂足為E，則BE=BD﹣AC=6﹣4=2，在Rt△ABE中，AE==4，∴CD=4．【點評】此題考查了切線的判定，梯形中位線性質及直線與圓的位置關系．證明切線時：有點連接圓心與這點，證明垂直；無點作垂線，證明垂線段等于圓的半徑，是經常連接的輔助線．19.（12分）（2015秋?河南月考）已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，且對任意正數x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且當x＞1時，f（x）＞0，f（3）=1．（Ⅰ）集合A={x|f（x）＞f（x﹣1）+2}，B={x|f（）＞0}，且滿足A∩B=?，求正實數a的取值范圍；（Ⅱ）設a＜b，比較f（）與f（）的大小，并說明理由．參考答案：【考點】抽象函數及其應用．【專題】函數思想；構造法；函數的性質及應用；導數的綜合應用．【分析】（Ⅰ）先證明函數的單調性，在分別求出集合A，B，根據A∩B=?，求正實數a的取值范圍；（Ⅱ）首先判斷﹣的正負情況，利用構造函數得出g（x）=x+2+（x﹣2）ex，根據導函數，判斷函數的單調性，從而得出上述表達式的正負，利用單調性得出函數值的大小．【解答】解：（Ⅰ）設0＜x1＜x2＜+∞，則由條件“對任意正數x，x都有f（xy）=f（x）+f（y）”，可知：f（x2）=f（．x1）=f（）+f（x1），∵＞1∴由已知條件f（）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（）＞0即f（x2）＞f（x1），因此f（x）在（0，+∞）上為增函數；∵f（3）=1，∴f（9）=2，∴f（x）＞f（x﹣1）+2，∴f（x）＞f（9x﹣9），∴x＞9x﹣9，x＞0，x﹣1＞0，∴A=（1，），令x=y=1，得f（1）=0，∵f（）＞0=f（1），∴f（）＞1，∴＞0，∴B=（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），∵A∩B=?，∴≥，∴0＜a≤；（Ⅱ）﹣=，令b﹣a=x，g（x）=x+2+（x﹣2）ex，x＞0，∴g'（x）=1+（x﹣1）ex，令h（x）=g'（x）=1+（x﹣1）ex，∴h'（x）=xex＞0，∴g'（x）在（0，+∞）上遞增，g'（0）=0，∴g'（x）＞g（0）=0，∴g（x）在（0，+∞）上遞增，g（0）=0，∴g（x）＞g（0）=0，∵b﹣a＞0，∴﹣=＞0，∴＞，∴f（）＞f（）．【點評】考查了抽象函數的單調性判斷，利用函數單調性，利用定義法求解實際問題，利用導函數判斷函數的單調性問題．20.已知函數定義域為，若對于任意的，，都有，且>0時，有>0.⑴證明:為奇函數;⑵證明:在上為單調遞增函數;⑶設=1,若<,對所有恒成立,求實數的取值范圍.參考答案：（1）令，令，，為奇函數

(2）在上為單調遞增函數;

(3）在上為單調遞增函數，，使對所有恒成立,只要>1,即>0令21.已知函數.(1)討論極值點的個數；(2)若是的一個極值點，且，證明:.參考答案：(1)當時，無極值點；當時，有1個極值點；當或時，有2個極值點；(2)證明見解析【分析】（1）求導得到；分別在、、和四種情況下根據的符號確定的單調性，根據極值點定義得到每種情況下極值點的個數；（2）由（1）的結論和可求得，從而得到，代入函數解析式可得；令可將化為關于的函數，利用導數可求得的單調性，從而得到，進而得到結論.【詳解】（1）①當時，當時，；當時，在上單調遞減；在上單調遞增為的唯一極小值點，無極大值點，即此時極值點個數為：個②當時，令，解得：，⑴當時，和時，；時，在，上單調遞增；在上單調遞減為的極大值點，為的極小值點，即極值點個數為：個⑵當時，，此時恒成立且不恒為在上單調遞增，無極值點，即極值點個數為：個⑶當時，和時，；時，在，上單調遞增；在上單調遞減為的極大值點，為的極小值點，即極值點個數為：個綜上所述：當時，無極值點；當時，有個極值點；當或時，有個極值點（2）由（1）知，若是的一個極