橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第1課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)課題橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課型新授課一、內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容本節(jié)課學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)，主要包括范圍、長(zhǎng)軸、短軸、對(duì)稱性、離心率，以及性質(zhì)的應(yīng)用.2.內(nèi)容解析本節(jié)課位于人教A版《選擇性必修第二冊(cè)》第三章第一節(jié)，主要內(nèi)容是研究橢圓的幾何性質(zhì).橢圓的對(duì)稱性、長(zhǎng)軸、短軸描述了橢圓的形狀特征，橢圓的范圍描述了橢圓的大小，橢圓的離心率是用數(shù)值刻畫橢圓扁平程度的量.從單元內(nèi)容看，本單元主要包括三種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，以及坐標(biāo)法的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)的過程中要深入理解數(shù)形結(jié)合思想.本節(jié)課是在學(xué)生熟悉了直線和圓的方程、橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，并具有初步運(yùn)用方程研究曲線的方法的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)后，第一次系統(tǒng)地運(yùn)用代數(shù)與幾何相結(jié)合的方法研究曲線的性質(zhì).它為之后研究雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)、運(yùn)用“以數(shù)解形”的方法解決幾何問題等內(nèi)容提供了數(shù)學(xué)模型和方法指導(dǎo).因此，本節(jié)課對(duì)體會(huì)單元核心思想方法具有舉足輕重的地位和作用.本節(jié)課的內(nèi)容蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，突出體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論及類比推理的思想和用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是:利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，理解“以數(shù)解形”的數(shù)形結(jié)合思想.二、目標(biāo)及其解析1.目標(biāo)（1）通過對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的研究，利用代數(shù)方法進(jìn)行運(yùn)算證明，掌握橢圓的范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性、離心率等性質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng)；（2）掌握的幾何意義及相互關(guān)系，以數(shù)解形，提升對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解；（3）體會(huì)研究曲線性質(zhì)的的基本思路與方法，感受通過代數(shù)運(yùn)算研究曲線性質(zhì)具有的程序化、普適性特點(diǎn).2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志：（1）學(xué)生以焦點(diǎn)在軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為出發(fā)點(diǎn)，在觀察橢圓形狀的基礎(chǔ)上，運(yùn)用代數(shù)計(jì)算發(fā)現(xiàn)橢圓的性質(zhì)并進(jìn)行歸納總結(jié)；(2)能準(zhǔn)確說出所表示的橢圓的幾何性質(zhì)，并能在圖形中找到的位置；(3)通過獨(dú)立思考，合作探究等方式經(jīng)歷研究曲線性質(zhì)的全過程，能總結(jié)性的說出根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行研究的一般思路和方法.三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生已經(jīng)熟悉和掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生有動(dòng)手體驗(yàn)和探究的興趣，有一定的觀察、分析和邏輯推理的能力.但是，這是學(xué)生第一次通過方程研究曲線的幾何性質(zhì)，研究思路并不是很清晰.對(duì)于范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)三個(gè)性質(zhì)，通過教師的點(diǎn)撥、引導(dǎo)，學(xué)生比較容易掌握.離心率概念比較抽象，學(xué)生缺乏研究此類問題的經(jīng)驗(yàn).基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：形成用代數(shù)方法研究曲線幾何性質(zhì)的一般思路；對(duì)橢圓離心率的認(rèn)識(shí)與理解.為了解決難點(diǎn)一，將橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率作為具體的研究對(duì)象，分別利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行代數(shù)研究，最后構(gòu)建研究曲線幾何性質(zhì)的體系，體現(xiàn)曲線性質(zhì)的整體性和統(tǒng)一性；為了解決難點(diǎn)二，在具體的研究過程中，引導(dǎo)學(xué)生先用幾何的眼光觀察與思考，充分利用“運(yùn)算”的紐帶作用形成學(xué)習(xí)進(jìn)程，突出代數(shù)法的重要作用.先觀察橢圓圓扁程度變化過程中哪些量發(fā)生了變化，發(fā)現(xiàn)問題并提出猜想，以對(duì)橢圓的圓扁程度變化的影響為抓手，用坐標(biāo)法解決，通過“運(yùn)算”發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握離心率的符號(hào)意義和幾何意義，深刻理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.四、教學(xué)策略分析根據(jù)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，為了更形象、直觀地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在課堂教學(xué)中讓學(xué)生通過動(dòng)手操作畫橢圓，親歷知識(shí)的生成過程，力求借助信息技術(shù)手段，以GGB軟件為平臺(tái)，通過對(duì)橢圓的核心性質(zhì)離心率的變化的演示，觀察橢圓圓扁程度的變化，讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法建立起高中數(shù)學(xué)的兩條主線—代數(shù)主線和幾何主線之間的密切聯(lián)系.同時(shí)，利用展臺(tái)將學(xué)生的研究成果進(jìn)行實(shí)時(shí)呈現(xiàn)，能夠使本節(jié)課重點(diǎn)研究的橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的四個(gè)方面—橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)及離心率問題及時(shí)得到很好地解決.具體來說包括以下四個(gè)方面.(1)任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)法:利用問題串作為引導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生積極思考并積極探究.(2)演示教學(xué)法:學(xué)生實(shí)物投影展示和教師GGB軟件動(dòng)態(tài)演示相結(jié)合，提高課堂效率的同時(shí)兼顧解答的規(guī)范性.(3)啟發(fā)式教學(xué)法:在研究范圍和離心率時(shí)，教師積極啟發(fā)，并與學(xué)生的自主探究與合作討論相結(jié)合突破難點(diǎn).(4)學(xué)法:以小組合作為基本活動(dòng)模型，采用自主學(xué)習(xí)法，結(jié)合合作探究法、討論法、歸納總結(jié)法和交流展示法.五、學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)教學(xué)流程圖：創(chuàng)設(shè)情境，建構(gòu)概念(1)情境創(chuàng)設(shè).讓學(xué)生觀察建筑中國(guó)國(guó)家大劇院，它與湖中倒影的正視圖呈橢圓形，如圖所示.進(jìn)而引出課題.知識(shí)回顧回顧橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，有;當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，有.教師引導(dǎo)：與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)一樣，我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì).【設(shè)計(jì)意圖】回顧上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，鞏固知識(shí)，并為本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容做鋪墊.利用學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)引入，明確本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容為利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究性質(zhì).（二）獨(dú)思共議，引導(dǎo)探究觀察橢圓的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對(duì)稱性？橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊？探究1:橢圓的范圍.問題1：觀察圖，容易看出橢圓上的點(diǎn)都在一個(gè)特定的矩形內(nèi)，你能利用方程（代數(shù)方法）確定出它的具體邊界嗎？先讓學(xué)生獨(dú)立思考2分鐘，再進(jìn)行小組合作，然后小組展示成果.預(yù)設(shè)1:因?yàn)?，所以，故可得，同理可?預(yù)設(shè)2:由橢圓方程中的實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性，可得，.所以，.教師總結(jié)點(diǎn)評(píng):說明橢圓位于直線圍成的矩形框內(nèi).利用方程中變量的非負(fù)性，判斷其他變量范圍的方法，是解析幾何中利用方程研究曲線范圍的一般方法.問題2：根據(jù)橢圓的定義，你能準(zhǔn)確找出圖形中表示的線段么？【設(shè)計(jì)意圖】通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定橢圓的范圍，使學(xué)生感受利用橢圓方程研究橢圓幾何性質(zhì)的方法，理解橢圓位于直線所圍成的矩形內(nèi)，為描點(diǎn)法作圖提供了參考，體會(huì)利用坐標(biāo)法研究曲線幾何性質(zhì)的優(yōu)越性.探究2:橢圓的對(duì)稱性.問題1:觀察圖，橢圓具有怎樣的對(duì)稱性?師生活動(dòng):學(xué)生可以直觀感受橢圓的對(duì)稱性，教師引導(dǎo)學(xué)生用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)其進(jìn)行研究.學(xué)生在“直線的方程”和“圓的方程”的學(xué)習(xí)中經(jīng)歷過對(duì)曲線對(duì)稱性的探究過程.預(yù)設(shè):學(xué)生可能會(huì)從圖形和方程的角度得到.問題2：能否從橢圓上點(diǎn)的特征說明該對(duì)稱性？在橢圓上任取一點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，說明橢圓關(guān)于對(duì)稱;關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)也在橢圓上，說明橢圓關(guān)于軸對(duì)稱;關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在橢圓上，說明橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即坐標(biāo)軸軸和軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，稱為橢圓的中心.教師通過GGB軟件演示.此問題對(duì)學(xué)生具有相當(dāng)大的難度，教師指明圖形對(duì)稱的本質(zhì)是點(diǎn)的對(duì)稱，在學(xué)生回答過程中，要強(qiáng)調(diào)在橢圓上“任取一點(diǎn)”.問題3:能否用橢圓的方程說明該對(duì)稱性?小組討論2分鐘，找代表發(fā)言.教師動(dòng)畫展示并利用方程進(jìn)行證明:已知，在橢圓上任取一點(diǎn)（1）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，說明橢圓關(guān)于軸對(duì)稱;（2）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，說明橢圓關(guān)于軸對(duì)稱;（3）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，說明橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;綜上，橢圓關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對(duì)稱，即坐標(biāo)軸軸和軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，稱為橢圓的中心.教師總結(jié)點(diǎn)評(píng):利用曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)仍在曲線上來判斷曲線的對(duì)稱性，也是利用方程研究曲線對(duì)稱性的一般方法.【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生可以直觀感受橢圓的對(duì)稱性，教師要引導(dǎo)學(xué)生用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)其進(jìn)行研究.教師通過信息技術(shù)的引入，讓學(xué)生理解圖形對(duì)稱性的本質(zhì)是構(gòu)成圖形的點(diǎn)的對(duì)稱性，即利用曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)稱性可以實(shí)現(xiàn)曲線的對(duì)稱性，并通過練習(xí)題，讓學(xué)生學(xué)以致用，體會(huì)研究曲線對(duì)稱性的一般方法.探究3:橢圓的頂點(diǎn).問題1:觀察橢圓的圖形，有哪些特殊點(diǎn)?預(yù)設(shè)：和軸和軸的交點(diǎn)問題2:如何才能得到這些點(diǎn)的坐標(biāo)？預(yù)設(shè)：在橢圓的方程中，令，得，因此是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，令，得，因此是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn).師生總結(jié)：分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于和，和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).利用學(xué)生描點(diǎn)畫圖時(shí)的特殊點(diǎn)，引入橢圓的頂點(diǎn)，讓學(xué)生感受圖形中某些特殊點(diǎn)在確定曲線位置時(shí)的作用，從而得到頂點(diǎn)的定義，即橢圓與對(duì)稱軸軸和軸的四個(gè)交點(diǎn)，并指出長(zhǎng)軸、短軸，以及長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)等相關(guān)概念.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生明確頂點(diǎn)等相關(guān)概念，理解頂點(diǎn)與對(duì)稱性的關(guān)系.探究4:橢圓的形狀—認(rèn)識(shí)橢圓的離心率.問題1:用什么量可以刻畫橢圓的扁平程度?學(xué)生活動(dòng):小組合作，利用橢圓的定義畫橢圓.小組合作討論，相互交流，小組展示.預(yù)設(shè)1：評(píng)價(jià)預(yù)設(shè):學(xué)生可能從橢圓的定義出發(fā)，發(fā)現(xiàn)畫橢圓時(shí)的變化對(duì)橢圓形狀的影響.預(yù)設(shè)2：教師辨析：引導(dǎo)學(xué)生了解橢圓的第二定義—平面上到定點(diǎn)的距離與到定直線的的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的集合.后續(xù)在學(xué)習(xí)雙曲線時(shí)是不能直接看出來的，在學(xué)習(xí)拋物線時(shí)沒有所謂的長(zhǎng)軸、短軸，為了把三種圓錐曲線統(tǒng)一起來，就統(tǒng)一使用來表示離心率.問題2：通過剛才的觀察，你是怎樣理解橢圓的圓扁程度的？圓扁解釋：當(dāng)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)逐漸分開，左側(cè)焦點(diǎn)向左頂點(diǎn)靠近，右側(cè)焦點(diǎn)向右頂點(diǎn)靠近時(shí)，橢圓逐漸變扁；當(dāng)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)逐漸靠攏，向原點(diǎn)靠近時(shí)，橢圓逐漸變圓.師生活動(dòng):學(xué)生觀察當(dāng)保持不變時(shí)，隨著的改變，橢圓的扁平程度的變化，發(fā)現(xiàn)橢圓隨著大而變扁，隨著的減小而變圓.教師利用GGB軟件動(dòng)態(tài)展示，給出離心率的概念，并引導(dǎo)學(xué)生求出橢圓離心率的范圍.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生從具體問題中抽象出離心率的定義.信息技術(shù)的引入可以使學(xué)生體會(huì)到定義的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性，讓學(xué)生深刻地理解定義，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。問題3：離心率能否用表示呢？預(yù)設(shè)：?jiǎn)栴}4:離心率的大小如何影響橢圓的扁平程度?預(yù)設(shè)：越接近于0，則越接近于0，即越接近于，橢圓越接近于圓;越接近于1，則越接近于，即越接近于0，橢圓越扁.讓學(xué)生用逼近的思想想象:當(dāng)時(shí)，橢圓接近于圓;當(dāng)時(shí)，橢圓接近于一條線段.【設(shè)計(jì)意圖】利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想刻畫橢圓的扁平程度，加深學(xué)生對(duì)橢圓的核心性質(zhì)—離心率的認(rèn)識(shí)與理解.（三）類比聯(lián)想，知識(shí)遷移類比焦點(diǎn)在軸上的橢圓的幾何性質(zhì)，得到焦點(diǎn)在軸上的橢圓的幾何性質(zhì)，填寫下表.讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)研究中的類比推理的過程與方法.標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)焦距的關(guān)系離心率【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)橢圓的焦點(diǎn)位置的變化對(duì)其性質(zhì)的影響，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，并為后續(xù)雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).（四）鞏固新知，提升能力例題分析.例1已知橢圓的方程為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，短軸長(zhǎng)是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，焦距是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，離心率是.例2如圖，在橢圓共中，已知為等腰直角三角形，求橢圓的離心率.【設(shè)計(jì)意圖】通過例題分析，鞏固橢圓的幾何性質(zhì)，例2旨在引導(dǎo)學(xué)生深刻理解橢圓離心率的幾何意義，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的又一次飛躍.（五）回顧反思，歸納總結(jié)學(xué)生和教師共同回顧、梳理、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法.(1)橢圓的幾何性質(zhì).(2)用坐標(biāo)法研究曲線性質(zhì)的過程與方法.(3)所用的數(shù)學(xué)思想方法:數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、類比推理.師生活動(dòng):先由學(xué)生總結(jié)所學(xué)內(nèi)容，教師補(bǔ)充說明，特別是通過本節(jié)課所經(jīng)歷的知識(shí)的探究過程，體會(huì)類比與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.【設(shè)計(jì)意圖】通過總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力，養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的良好習(xí)慣，并將所學(xué)知識(shí)納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).目標(biāo)側(cè)試，當(dāng)堂反饋(1)已知橢圓的方程為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，短軸長(zhǎng)是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，焦距是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，離心率是(2)橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【設(shè)計(jì)意圖】通過目標(biāo)檢測(cè)，教師可以了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握情況，為教學(xué)評(píng)價(jià)提供依據(jù).其中，第(2)小題旨在讓學(xué)生體會(huì)分類討論思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.師生活動(dòng):展示圖片，使學(xué)生了解橢圓的性質(zhì)在建筑和天文學(xué)上都有著重要的應(yīng)用，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是有用的，同時(shí)提升了學(xué)生的人文素養(yǎng)，并布置相關(guān)實(shí)踐作業(yè).（七）布置作業(yè)，鞏固所學(xué)實(shí)踐