四川省雅安市雅安中學(xué)等校聯(lián)考高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題

2024屆高三數(shù)學(xué)試題（理科）考生注意：1．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2．請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上.3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，即可由集合的交運(yùn)算求解.【詳解】由，可得，故，故選：A2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可根據(jù)純虛數(shù)的特征求解.【詳解】，故且，故，故選:C3.已知非零向量，滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運(yùn)算律，代入計(jì)算，結(jié)合平面向量的夾角計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以．設(shè)與的夾角為，則．故選：B4.已知是三條不重合的直線，是三個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則且C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面以及面面平行的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷C；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則當(dāng)且時(shí)，才有且，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，當(dāng)時(shí)，推不出，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，設(shè)，在內(nèi)取點(diǎn)P，，作，垂足為，因?yàn)椋瑒t，而，則，又，故，D正確，故選：D5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可得到選項(xiàng).詳解】由函數(shù)，，令，解得，則其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)在定義內(nèi)為偶函數(shù)，排除C，D選項(xiàng)，因?yàn)?，觀察選項(xiàng)可知，選A.故選：A6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為，，，則輸出的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】執(zhí)行程序框圖可知，輸出的值為最小值，故判斷的大小關(guān)系即可得到答案.【詳解】執(zhí)行程序框圖可知，第一次判斷輸出中較小的數(shù)記為a，再進(jìn)行第二次判斷，將a與c進(jìn)行比較，記較小的數(shù)為a，最終輸出.故輸出的值為的最小值.因?yàn)?，，，所以輸出的值為．故選：D7.已知集合，非空集合，且中所有元素之和為奇數(shù)，則滿足條件的集合共有（）A.12個(gè) B.14個(gè) C.16個(gè) D.18個(gè)【答案】C【解析】【分析】分類(lèi)討論即可求解.【詳解】，由于中所有元素之和為奇數(shù)，且非空集合，當(dāng)中只有一個(gè)元素時(shí)，則或或，當(dāng)中有2個(gè)元素時(shí)，則中的元素必為一偶一奇，故有個(gè)滿足條件的，當(dāng)中有3個(gè)元素時(shí)，則中的元素必為2偶一奇或者三個(gè)元素均為奇數(shù)，故有4個(gè)滿足條件的，當(dāng)中有4個(gè)元素時(shí)，則中的元素必為一偶3奇，故有2個(gè)滿足條件的，當(dāng)中有5個(gè)元素時(shí)，則滿足條件，故共有，故選：C8.已知函數(shù)，若存在，使得，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C.在內(nèi)有零點(diǎn) D.若在內(nèi)有零點(diǎn)，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，故C正確；又因?yàn)?，所以，故B正確；又因?yàn)?，則可能大于，故A不正確；若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則，故D正確.故選：A.9.當(dāng)兩個(gè)變量呈非線性相關(guān)時(shí)，有些可以通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換進(jìn)行線性相關(guān)化，比如反比例關(guān)系，可以設(shè)一個(gè)新的變量，這樣與之間就是線性關(guān)系．下列表格中的數(shù)據(jù)可以用非線性方程進(jìn)行擬合，1234562.53.64.45.46.67.5用線性回歸的相關(guān)知識(shí)，可求得的值約為（）A.2.98 B.2.88 C.2.78 D.2.68【答案】B【解析】【分析】設(shè)后，得到與之間的關(guān)系表格，計(jì)算出的值，利用在線性回歸方程上進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，則1491625362.53.64.4546.67.5則，，則．故選：B.10.若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換先化簡(jiǎn)函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】，令，得,由，,得．因?yàn)榍∮袃山?，所以．故選：C11.我們把形如和的兩個(gè)雙曲線叫做共軛雙曲線．設(shè)共軛雙曲線，的離心率分別為，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，由，可設(shè)，結(jié)合三角恒等變換與正弦型函數(shù)的最值即可得答案.【詳解】由題意可知?jiǎng)t．由，可設(shè)，則，其中，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)．故選：A.12.當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到在上恒成立，令，求得，得到在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用求得函數(shù)的單調(diào)性和最大值，得到，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則其表示的封閉區(qū)域的面積為_(kāi)_____．【答案】2【解析】【分析】利用線性規(guī)劃作出約束條件所表示的封閉區(qū)域，從而得解.【詳解】根據(jù)約束條件作出的平面區(qū)域圖如圖所示，易得，，，則，故封閉區(qū)域的面積為2.故答案為：2.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，且，則______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義及焦半徑公式計(jì)算即可.【詳解】由題可知．故答案為：615.一個(gè)封閉的玻璃圓錐容器內(nèi)裝有部分水（如圖1），此時(shí)水面與線段交于點(diǎn)，將其倒置后（如圖2），水面與線段還是交于點(diǎn)，則______．【答案】##【解析】【分析】由已知可得前后兩次水面的交點(diǎn)相同可得圓錐的體積是圓錐體積的一半，再由圓錐的體積公式計(jì)算可求.【詳解】由題意知，在圖1中，圓錐的體積是圓錐體積的一半，分別設(shè)圓，圓的半徑為，，則．故答案為：16.在中，，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)，使得，若，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得各個(gè)角的表達(dá)，即可利用正弦定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)，則，故，，，由于，所以，由于，所以，故，得，又，，故，故，由正弦定理得，令，均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，故，因此.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，用替換，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由錯(cuò)位相減法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，由，得，則，則，因也符合上式，所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，則，則，兩式相減得，則．18.為了防止注冊(cè)賬號(hào)被他人非法登錄，某系統(tǒng)在賬號(hào)登錄前，要先輸入一個(gè)驗(yàn)證碼.當(dāng)連續(xù)3次輸入錯(cuò)誤驗(yàn)證碼時(shí)，該用戶(hù)賬號(hào)將被凍結(jié)，需本人持有效證件進(jìn)行解凍.已知該系統(tǒng)登入設(shè)置的每個(gè)驗(yàn)證碼由有序數(shù)字串a(chǎn)bcd組成，其中，某人非法登錄一個(gè)賬號(hào)，任選一組驗(yàn)證碼輸入，直到輸入正確的驗(yàn)證碼或賬號(hào)被凍結(jié)．（1）求這個(gè)人第一次輸入的驗(yàn)證碼怡有兩位正確的概率；（2）設(shè)這個(gè)人輸入驗(yàn)證碼的次數(shù)為X，求X的分布列和期望．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）確定每位驗(yàn)證碼輸入正確的概率均為，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的乘法公式，即可求得答案；（2）確定X的可能的取值，求出每個(gè)對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，由期望公式即可求得數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】由題意可知每位驗(yàn)證碼輸入正確的概率均為，則這個(gè)人第一次輸入的驗(yàn)證碼怡有兩位正確的概率為；【小問(wèn)2詳解】由題意知X的可能取值為，則，，，故X的分布列為：X123P故.19.如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方形.（1）證明：.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）要證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為證明平面，利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可證明；（2）利用垂直關(guān)系構(gòu)造二面角的平面角，再根據(jù)三角形的邊長(zhǎng)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】連結(jié)，因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，則，且四邊形和也是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以，且，，平面，所以平面，平面所以，且，且平面，所以平面，平面,所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，平面，且，所以平面，且平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面，且平面平面，因?yàn)?，所以，所以為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，平面所以平面，再取的中點(diǎn)，連結(jié),則，因?yàn)槠矫?，所以，又，且，平面，所以平面，平面，所以，所以為二面角的平面角，，，，所以，所以二面角的余弦值?20.已知橢圓的離心率為，且橢圓的短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)是橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)．記的面積為，的面積為．證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計(jì)算，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出，然后結(jié)合橢圓的方程，代入計(jì)算，即可證明.【小問(wèn)1詳解】由題可知，，解得，故橢圓的方程為．【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)，則直線的方程為，令，得．直線的方程為，令，得．，，．由，得，則．故為定值．21.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程有兩個(gè)不相等的根，且的導(dǎo)函數(shù)為，證明：．【答案】21.詳解見(jiàn)解析；22.證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論含參的函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）由（1）知，，令，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，得，進(jìn)而，結(jié)合基本不等式即可證明.【小問(wèn)1詳解】，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不等的根，且，由（1）知，，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，所以，又，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問(wèn)題的求解策略:形如的恒成立的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進(jìn)而得到不等式恒成立.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．［選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與相交于，兩點(diǎn)．（1）求曲線的普通方程；（2）設(shè)，證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）把平方后相加即可；（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，化簡(jiǎn)后，利用韋達(dá)