立體幾何知識點梳理

立體幾何知識點梳理一、空間幾何體1。多面體：由若干個多邊形圍成的幾何體，叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面,相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱,棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.2。棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。兩個互相平行的面叫做底面,其余各面叫做側(cè)面.3。棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形；頂點在底面上的射影是底面正多邊形的中心。正四面體的高（）正四面體的體積為（）正四面體的中心到底面與頂點的距離之比為（）外接球的半徑為（是正方體的外接球，則半徑）內(nèi)切球的半徑為（是正四面體中心到四個面的距離，則半徑）正四面體：4。棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺。由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺。正棱臺性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；正棱臺的兩底面以及平行于底面的截面是相似的正多邊形5。旋轉(zhuǎn)體：由一個平面圖形繞一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸，6。圓柱、圓錐、圓臺：分別以矩形的一邊、直角三角形的直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺。圓柱、圓錐、圓臺的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓；過軸的截面(軸截面)分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。注：在處理圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖問題時，經(jīng)常用到弧長公式7.球:以半圓的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做球面.球面所圍成的幾何體叫做球體(簡稱球)球的截面性質(zhì):球心和截面圓心的連線垂直于截面；球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r，有下面的關(guān)系：球面距離：例題1：把地球看作半徑為R的球，A、B是北緯30°圈上的兩點，它們的經(jīng)度差為60°，A、B兩點間的球面距離為_____________例題2：三棱錐O-ABC的三條棱OA,OB,OC兩兩垂直，OA=1，OB=OC=2，則內(nèi)切球表面積為______,外接球體積為_____________.例題3：已知球O的半徑為1，A、B、C三點都在球面上，且每兩點間的球面距離均為，則球心O到平面ABC距離為（）A. B. C. D.例題4：已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（）A. B. C.4πD.內(nèi)切球和外接球：例題1：一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（）A．B．C．D．例題2：正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為()A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9例題3：（2012新課標理）已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上,是邊長為的正三角形,為球的直徑,且;則此棱錐的體積為 （）A．B．C．D．例題4：（2012遼寧文）已知點P,A,B,C,D是球O表面上的點,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為2正方形.若PA=2,則△OAB的面積為______________.8。簡單空間圖形的三視圖：一個投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到這個平面內(nèi)的圖形叫做俯視圖。一個投影面放置在正前方，這個投影面叫做直立投影面，投影到這個平面內(nèi)的圖形叫做主視圖(正視圖)。和直立、水平兩個投影面都垂直的投影面叫做側(cè)立投影面，通常把這個平面放在直立投影面的右面，投影到這個平面內(nèi)的圖形叫做左視圖(側(cè)視圖)。三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的正前方、正上方、正左方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形。（1）、三視圖畫法規(guī)則：高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊長對正：主視圖與俯視圖的長應(yīng)對正，寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等（2）、空間幾何體三視圖：正視圖（從前向后的正投影）；側(cè)視圖（從左向右的正投影）；俯視圖（從上向下正投影）．正視圖側(cè)視圖俯視圖111正視圖側(cè)視圖俯視圖1112（3題圖）一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的三視圖如右圖所示，則其體積為．（3）、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法特點：①斜二測坐標系的軸與軸正方向成角；②原來與x軸平行的線段仍然與x平行,長度不變；=3\*GB3③原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半．常用結(jié)論：平面圖形面積與其斜二側(cè)直觀圖面積之比為：1．9、特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）：S=10、柱體、錐體、臺體和球的體積公式：V=例題1:已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S例題2：右圖是底面為正方形的四棱錐，其中棱垂直于底面，它的三視圖正確的是（）二、典型例題：例1.在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、BB1的中點，G為棱A1B1上的一點，且A1G=（0≤≤1），則點G到平面D1EF的距離為（）A. B. C. D.例2.如果圓臺的母線與底面成60°角,那么這個圓臺的側(cè)面積與軸截面面積的比為()A．B．C．D．例4。一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，那么這個球的體積為_____.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：1．將正三棱柱截去三個角（如圖1所示A，B，C分別是△GHI三邊的中點）得到幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖(或稱左視圖)為()2．已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓．若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（）A．1 B． C． D．23.一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（）（A）(B)(C)(D)4．下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（）①①正方形②圓錐③三棱臺④正四棱錐A．①② B．①③ C．①④ D．②④5．已知三棱錐的各頂點都在一個半徑為的球面上，球心在上，底面，，則球的體積與三棱錐體積之比是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6.設(shè)是球心的半徑的中點，分別過作垂直于的平面，截球面得兩個圓，則這兩個圓的面積比值為：()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7.如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角是.四、鞏固練習：1。如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為（）A. B. C. D.2．若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的全面積是（）（A）（B）（C）（D）3、已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A．B．C．D．4.一個圓錐和一個半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，那么，這個圓錐軸截面頂角的余弦值是()A.EQ\f(3,4)B.EQ\f(4,5)C.EQ\f(3,5)D.－EQ\f(3,5)5．設(shè)是球心的半徑上的兩點，且，分別過作垂線于的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）6.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是.7．若一個底面邊長為，棱長為的正六棱柱的所有頂點都在一個球的面上，則此球的體積為二空間直線和平面立體幾何點線面的位置關(guān)系1,、線線平行的判斷：⑴平行于同一直線的兩直線平行。（2）如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。（3）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（4）垂直于同一平面的兩直線平行。2.、線線垂直的判斷： 若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。3、線面平行的判斷：（1）如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。（2）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。D練習1：如圖,在三棱錐S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC，且△SAC是正三角形,DO是AC的中點，D是AB的中點．(Ⅰ)求證：ＯＤ//平面ＳＢＣ；(Ⅱ)求證:SO⊥AB._H_M_N_F_E_D_C_B_A練習2、兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M_H_M_N_F_E_D_C_B_A4、線面垂直的判斷：（1）如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。（2）如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。（3）一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。（4）如果兩個平面垂直，那么在—個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另—個平面。5、面面平行的判斷：（1）一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，這兩個平面平行。（2）垂直于同一條直線的兩個平面平行。6、面面垂直的判斷：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。練習1、已知正方體，是底對角線的交點.求證：（１）C1O∥面；（2）面．2、已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點．

(1)求證：EF∥平面PAD；(2)求證：EF⊥CD；

3．如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中點。求證：（1）PA∥平面BDE（2）平面PAC平面BDE線線、線面和面面的成角問題1、兩異面直線及所成的角：不在同一個平面的兩條直線,叫做異面直線,已知異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O作直線∥,∥,我們把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角).如果兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條直線互相垂直.2、直線和平面所成的角：一條直線PA和一個平面α相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足。過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影。平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的攝影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。一條直線垂直于平面，我們就說它們所成的角是直角。一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是.3、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。在二面角的棱上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角。二面角的大小可以可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。常見角的取值范圍：①異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角的取值范圍依次②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是③反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是．例題1：如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角的直二面角．是的中點．（=1\*ROMANI）求證：平面平面； （=2\*ROMANII）求異面直線與所成角的大?。}2：四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面．已知，，，．（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求直線與平面所成角的大?。c到平面距離：求點到平面的距離就是求點到平面的垂線段的長度，其關(guān)鍵在于確定點在平面內(nèi)的垂足，當然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.ABCD例1如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點．（Ⅰ）求證：平面；ABCD（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）求點到平面的距離．二、典型例題：例1．如圖，在正四棱柱中，E、F分別是的中點，則以下結(jié)論中不成立的是()A．B.C.D.例2.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，，E、F分別為AA1、C1B1的中點，沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路徑的長度為.例3.）如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=8，AD=4，側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60°.（Ⅰ）求四棱錐P—ABCD的體積；（Ⅱ）證明PA⊥BD.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：1．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A． B． C． D．2.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，點A∈α，Al，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四位置關(guān)系中，不一定成立的是（）A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥βαβABA′B′3.已知P為平面a外一點，直線la,點Q∈l,記點P到平面a的距離為a,點P到直線l的距離為b，點P、Q之間的距離為αβABA′B′(A)(B)c(C)(D)4．如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為EQ\f(π,4)和EQ\f(π,6)，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，則AB∶A′B′＝（）（A）2∶1（B）3∶1（C）3∶2（D）4∶35．已知平面α和平面β交于直線，P是空間一點，PA⊥α，垂足為A，PB⊥β，垂足為B，且PA=1，PB=2，若點A在β內(nèi)的射影與點B在α內(nèi)的射影重合，則點P到的距離為。6．已知平面和直線，給出條件：①；②；③；④；⑤.（i）當滿足條件時，有；（ii）當滿足條件時，有.（填所選條件的序號）7．三棱錐P—ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.PCAB(1)求證AB⊥BC；(2)如果AB=BC=，求側(cè)面PBC與側(cè)面PACPCAB8．如圖，已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且=。（I）證明：⊥BD；（II）當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使平面？請給出證明。四、鞏固練習：1．設(shè)直線與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是（）A．在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線垂直B．過直線有且只有一個平面與平面垂直C．與直線垂直的直線不可能與平面平行D．與直線平行的平面不可能與平面垂直2.設(shè)為兩條直線,為兩個平面,下列四個命題中，正確的命題是()A．若與所成的角相等，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則3．給出下列四個命題:=1\*GB3①垂直于同一直線的兩條直線互相平行.=2\*GB3②垂直于同一平面的兩個平面互相平行.=3\*GB3③若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.=4\*GB3④若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個數(shù)是（）(A)1(B)2(C)3(D)44．設(shè)為平面，為直線，則的一個充分條件是()(A) (B)(C) (D)5．設(shè)P是的二面角內(nèi)一點，垂足，則AB的長為：（）A.B.C.D.6．在四面體ABCD中，CB=CD,AD⊥BD，且E,F分別是AB,BD的中點，求證：（Ⅰ）直線EF∥面ACD；（Ⅱ）面EFC⊥面BCD．ABCMPD7.如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，．ABCMPD（Ⅰ）設(shè)是上的一點，證明：平面平面；（Ⅱ）求四棱錐的體積．三、空間向量與立體幾何基礎(chǔ)知識歸納：1.向量的數(shù)量積：已知非零向量，則叫做的數(shù)量積。2.兩向量夾角的求法：，立體幾何中有關(guān)夾角的問題，一般用此式解決。3.⊥4.已知