畫法幾何及工程制圖 課件 第2章 幾何元素的投影

1第2章幾何元素的投影2.1

點(diǎn)的投影2.2直線的投影2.3平面的投影2.4直線與平面、平面與平面的相對位置2.5投影變換2.6綜合問題解題示例22.1點(diǎn)的投影采用多面投影。

過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。

點(diǎn)在一個投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。點(diǎn)在一個投影面上的投影:解決辦法？AP

PB1B2B332.1.1點(diǎn)在兩投影面體系中的投影兩投影面體系42.1.1點(diǎn)在兩投影面體系中的投影點(diǎn)在兩投影面體系中的投影A點(diǎn)的水平投影——aA點(diǎn)的正面投影——a

Aa′aXzAayAa52.1.1點(diǎn)在兩投影面體系中的投影點(diǎn)在兩投影面體系中的投影規(guī)律a′aX⊥OX軸a′aX=AaaaX=Aa′zAyAAa′aXzAayAa62.1.1點(diǎn)在兩投影面體系中的投影其他分角中點(diǎn)的投影d′cc′CcXb′bBbXdDdXc′ccXb′bbXd′ddX72.1.1點(diǎn)在兩投影面體系中的投影投影面和投影軸上點(diǎn)的投影g′gGg′gkKk′m′mMn′nm′mn′nNl′lLl′lkk′82.1.2點(diǎn)的三面投影三投影面體系和點(diǎn)的三面投影9aa

⊥OXa

a

⊥OZaaX=a

aZ

=YA2.1.2點(diǎn)的三面投影三投影面體系中點(diǎn)的投影規(guī)律102.1.2點(diǎn)的三面投影點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系a

aZ

=aaYH

=xAa

a

X

=a

aYW

=zAaaX

=a

aYW

=yAxAzAyA11WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不動aaZaa

yayaXYYO

●●az●x投影面展開例1：已知點(diǎn)A(20,15,10)、B(30,10,0)、C(15,0,0)，作出點(diǎn)的三面投影。1213解法一:通過作45°線使a

az=aax解法二:用分規(guī)直接量取a

az=aax例2：已知點(diǎn)的兩個投影，求第三投影。14

b′

c

c′

d′

dzXYW

YHo

b

a

a′例3：已知點(diǎn)的兩投影，求其第三投影

b″

d

″

c

″

a″15

兩點(diǎn)的相對位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右關(guān)系。判斷方法：x

坐標(biāo)大的在左

y

坐標(biāo)大的在前z

坐標(biāo)大的在上2.1.3

兩點(diǎn)的相對位置B點(diǎn)在A點(diǎn)的前、右、下。例4：已知點(diǎn)A和B的兩面投影，求第三面投影。

標(biāo)出兩點(diǎn)的相對位置，并畫出它們的直觀圖。17重影點(diǎn)2.1.3

兩點(diǎn)的相對位置

空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。被擋住的投影加()18第2章幾何元素的投影2.1

點(diǎn)的投影2.2直線的投影2.3平面的投影2.4直線與平面、平面與平面的相對位置2.5投影變換2.6綜合問題解題示例192.2直線的投影

兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同面投影用直線連接，就得到直線的兩面投影。WH202.2直線的投影直線的投影仍為直線，特殊情況下積聚為一點(diǎn)21一般位置直線（投影面傾斜線）2.2.1

各種位置直線的投影特性三個投影都與投影軸傾斜且都小于實(shí)長三個投影與投影軸的夾角都不反應(yīng)直線對投影面的夾角

投影面平行線平行于一個投影面而與另外兩個投影面成傾斜正平線水平線側(cè)平線2.2.1

各種位置直線的投影特性YWH投影特性：1．a(chǎn)

b

=AB2．a(chǎn)b

OX;a

b

OZ3．反映a、

角的真實(shí)大小正平線YWH水平線投影特性：1．a(chǎn)b=AB2．a(chǎn)

b

OX;a

b

OYW3．反映

、

角的真實(shí)大小YWH投影特性：1．a(chǎn)

b

=AB2．a(chǎn)b

OYH;a

b

OZ3．反映a、

角的真實(shí)大小側(cè)平線26b

a

aba

b

b

aa

b

ba

在其平行的那個投影面上的投影反映實(shí)長，與該投影軸夾角反映直線與另兩投影面傾角的真實(shí)大小。另兩個投影平行于相應(yīng)的投影軸，小于實(shí)長。水平線側(cè)平線正平線γ與H面的夾角:α

與V面的角:β

與W面的夾角:γ實(shí)長實(shí)長實(shí)長βγααβba

aa

b

b

投影特性

投影面垂直線垂直于一個投影面即與另外兩個投影面都平行鉛垂線正垂線側(cè)垂線2.2.1

各種位置直線的投影特性YWH投影特性：1．a(chǎn)

b

積聚成一點(diǎn)2．a(chǎn)b

OX;a

b

OZ

3．a(chǎn)b=a

b

=AB正垂線YWH投影特性：1．a(chǎn)b

積聚成一點(diǎn)2．a(chǎn)

b

OX;a

b

OYW

3．a(chǎn)

b

=a

b

=AB鉛垂線YWH投影特性：1．a(chǎn)

b

積聚成一點(diǎn)2．a(chǎn)b

OＹ

H;a

b

OZ

3．a(chǎn)b=a

b

=AB側(cè)垂線31鉛垂線正垂線側(cè)垂線另外兩個投影，反映線段實(shí)長。且垂直于相應(yīng)的投影軸。在其垂直的投影面上，投影有積聚性?！馽

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)投影特性求線段實(shí)長及a實(shí)長實(shí)長實(shí)長直角三角形ABC中：斜邊AB=AB實(shí)長直角邊BC=b

c

=

Z直角邊AC=ab

Za角:ab與實(shí)長AB的夾角

Z

Z

Z直角三角形2.2.2

直線段的實(shí)長和對投影面的傾角實(shí)長直角三角形ABD中：斜邊AB=AB實(shí)長直角邊DA=ad

=

Y直角邊BD=a

b

b角:a

b

與實(shí)長AB的夾角

Y實(shí)長

Y

Y直角三角形求線段實(shí)長及b2.2.2

直線段的實(shí)長和對投影面的傾角直角三角形ABE中：斜邊AB=AB實(shí)長直角邊AE=ae

=

X直角邊BE=a

b

g角:a

b

與實(shí)長AB的夾角實(shí)長

X

X直角三角形求線段實(shí)長及g2.2.2

直線段的實(shí)長和對投影面的傾角以a′b′為直角邊，實(shí)長為斜邊，作直角三角形。直角三角形的另一條直角邊為

YAB。連接ab1、ab2即為所求（兩解）例1：已知線段的實(shí)長AB，求它的水平投影。過a作ab0平行于X軸，過b′作b′b0垂直于X軸，并截取b1b0=b2b0=

YAB。方法一：過b′作線垂直于X軸過a作線aA0平行于X軸截取A0b0=a′b′以A0為圓心，R=AB(L)作圓弧，交b

′B0于b1、b2連接ab1、ab2即為所求（兩解）例1：已知線段的實(shí)長AB，求它的水平投影。方法二：372.2.3直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)的特性：1.從屬性;2.定比性38◆若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)投影必在直線的同名投影上?！羧酎c(diǎn)的投影有一個不在直線的同面投影上，則該點(diǎn)必不在此直線上?！舨⒕€段的同名投影分割成與空間相同的比例。即：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a定比定理點(diǎn)在直線上的判別方法：39點(diǎn)C不在直線AB上點(diǎn)C在直線AB上例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。abca

b

c

c

abca

b

c

abcb

a

b

c

a

點(diǎn)C不在直線AB上40例2:已知側(cè)平線AB的兩面投影和直線上點(diǎn)S的正面投影s

，求水平投影s。解法1：從屬性解法2：定比性41延長a′b′與X軸相交即得水平跡點(diǎn)M的正面投影m′自n引X軸的垂線與a′b′的延長線相交于n′即為水平跡點(diǎn)N的正面投影延長ab與X軸相交即得水平跡點(diǎn)N的水平投影n自m′引X軸的垂線與ab的延長線相交于m,即為水平跡點(diǎn)M的水平投影直線的跡點(diǎn)422.2.4兩直線的相對位置平行相交交叉垂直

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

兩直線平行44abcdc

a

b

d

對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD例1：判斷圖中兩條直線是否平行。cbadd

b

a

對于特殊位置直線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。c

b

d

a

c

45例2：判斷圖中兩條直線是否平行。方法一方法二46

若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。兩直線相交47d

k

kd例：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交?！瘛馽abb

a

c

先作正面投影48★同面投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個點(diǎn)的投影規(guī)律。★“交點(diǎn)”是兩直線上的一對重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。兩直線交叉兩直線交叉50例題判斷兩交叉直線上重影點(diǎn)的可見性51投影面平行線垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于一投影面時，則兩直線在該投影面的投影垂直。兩直線垂直（相交）兩直線垂直（交叉）交叉垂直的兩直線，其中有一條直線平行于一投影面時，則兩直線在該投影面的投影垂直。例1：判斷兩直線是否垂直垂直垂直垂直垂直不垂直不垂直54例2:求作AB、CD兩直線的公垂線55例3:已知菱形ABCD的一條對角線AC為正平線，菱形的一邊位于直線AM上，求該菱形的投影。a′amcXOc′m′b′bd′d56第2章幾何元素的投影2.1

點(diǎn)的投影2.2直線的投影2.3平面的投影2.4直線與平面、平面與平面的相對位置2.5投影變換2.6綜合問題解題示例572.3平面的投影平面的表示法——幾何元素表示法不在同一直線上的三個點(diǎn)直線及線外一點(diǎn)兩平行直線兩相交直線平面圖形abca

b

c

abca

b

c

dd

abca

b

c

abca

b

c

abca

b

c

582.3平面的投影平面的表示法——跡線表示法592.3平面的投影跡線平面與非跡線平面的轉(zhuǎn)換60按照平面對于三投影面的位置空間中的平面可分為三類：投影面垂直面

投影面平行面投影面傾斜面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜

正垂面

側(cè)垂面

鉛垂面一般位置平面正平面?zhèn)绕矫嫠矫?.3.1各類平面的投影特性61投影面垂直面垂直于一個投影面而與另外兩個投影面成傾斜正垂面鉛垂面?zhèn)却姑驺U垂面投影特性：1.水平投影積聚為一條直線2.正面投影和側(cè)面投影為原形的類似形3.水平投影與OX、OY

的夾角反映b、

角的真實(shí)大小跡線表示鉛垂面簡化表示:僅畫出積聚的投影投影特性：

1.正面投影積聚為一條線

2.水平投影和側(cè)面投影為類似形3.正面投影與OX、OZ

的夾角反映α、

角的真實(shí)大小正垂面投影特性：

1.側(cè)面投影積聚為一條線

2.水平投影和正面投影為類似形3.側(cè)面投影與OY、OZ

的夾角反映α、b

角的真實(shí)大小側(cè)垂面66投影面平行面平行于一個投影面，即與另外兩個投影面垂直正平面水平面?zhèn)绕矫嫱队疤匦裕?/p>

1.正面投影反映實(shí)形

2.水平投影、側(cè)面投影積聚為一條直線，分別平行于相應(yīng)的OX、OZ

投影軸yy正平面跡線表示正平面投影特性：

1.水平投影反映平面實(shí)形

2.正面投影、側(cè)面投影積聚為一條直線，且分別平行于相應(yīng)的OX、OY1投影軸水平面投影特性：

1.側(cè)面投影反映平面實(shí)形

2.水平投影、正面投影積聚為一條直線，且分別平行于相應(yīng)的OY、OZ

投影軸側(cè)平面投影特性:1.三個投影均為的類似形2.投影圖不反映

、

、

的真實(shí)角度一般位置面（傾斜面）是什么位置的平面？72abca

c

b

c

b

a

類似性類似性積聚性鉛垂面為什么？γβ73a

b

c

a

b

c

abc積聚性積聚性實(shí)形性水平面是什么位置的平面？為什么？74平行垂直傾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把實(shí)形現(xiàn)★平面垂直投影面-----投影積聚成直線★平面傾斜投影面-----投影類似原平面真實(shí)性類似性積聚性2.3.1各類平面的投影特性75若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。2.3.2平面上的點(diǎn)和直線平面上取直線76若點(diǎn)在平面內(nèi)的任一直線上，則此點(diǎn)一定在該平面上。2.3.2平面上的點(diǎn)和直線平面上取點(diǎn)77例1：已知一平面ABCD及點(diǎn)K的兩面投影，

（1）判斷點(diǎn)K是否在平面上？

（2）已知平面上一點(diǎn)E的正面投影e

，作出其水平投影。k不在CF上，故K不在平面上。78例2：已知在平行四邊形ABCD開一燕尾槽，根據(jù)其正面投影作出水平投影。1234565′6′79例3：已知一正垂面的兩面投影，求第三面投影。80例4：完成六邊形的水平投影。81平面上的特殊直線——平行線82n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？例1：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。a

b

c

bac83m

n

nm例2

已知平面

ABC，試過點(diǎn)C作屬于該平面的正平線，過點(diǎn)A作屬于該平面的水平線。平面對投影面的最大斜度線平面對投影面的最大斜度線必定垂直于平面上對該投影面的平行線最大斜度線在該投影面上的投影必定垂直于平面上對該投影面平行線的同面投影。85例：求做平面△ABC與水平面的夾角。a′b′c′cbaXOΔzΔzα86第2章幾何元素的投影2.1點(diǎn)的投影2.2直線的投影2.3平面的投影2.4直線與平面、平面與平面的相對位置2.5投影變換2.6綜合問題解題示例872.4幾何元素間的相對位置2.4.1平行問題若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。直線與平面平行例：過已知點(diǎn)K，作一水平線KM平行已知平面△ABCd′dm′m例：過點(diǎn)K作正平線平行于P面例：過點(diǎn)K作鉛垂面P平行于直線ABm′mPHPVPX90fg

f

gb

a

abc

e

d

edc不平行例:試判斷直線AB是否平行于平面△CDE

912.4幾何元素間的相對位置2.4.1平行問題若一平面上的相交兩直線，對應(yīng)地平行于另一平面上的相交兩直線，則這兩個平面相互平行。兩平面平行PHPVPXQHQVQX例：判斷兩平面是否平行例：過點(diǎn)K作面Q平行于面P兩平面平行93f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

兩平面平行例：試判斷兩平面是否平行94em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

k例:過點(diǎn)K作一平面平行于由AB、CD兩直線確定平面。95直線與平面相交平面與平面相交交點(diǎn)是線與面的共有點(diǎn)

注意：線與面、面與面會產(chǎn)生遮擋關(guān)系，須判斷被遮擋部分，即判別可見性。2.4.2相交問題交線是面與面的共有線求交點(diǎn)求交線求交點(diǎn)判別可見性例:求正垂線AB與傾斜面CDE的交點(diǎn)K。例:求直線AB與鉛垂面EFGH的交點(diǎn)K。2k′1′(2′)1求交點(diǎn)判別可見性k例:求直線AB與面P的交點(diǎn)K。k′k例:求正垂面EFGH與傾斜面ABC的交線MN。m′(2)求交線判別可見性mn′1′n12′例:求鉛垂面P與傾斜面ABC的交線KL。k′求交線判別可見性kl′l過已知直線作與一投影面垂直的平面作出該輔助平面與已知平面的交線作出該交線與已知直線的交點(diǎn)利用重影點(diǎn)判斷可見性輔助平面法作交點(diǎn)101例：求直線MN與△ABC的交點(diǎn)K。過已知直線作與一投影面垂直的平面作出該輔助平面與已知平面的交線作出該交線與已知直線的交點(diǎn)利用重影點(diǎn)判斷可見性2d′1′(2′)1dPHee′k′k(4)33′4′例：已知三條直線CD、EF、GH，要求作一直線AB平行CD，且與EF、GH相交。過E作CD平行線，該線與EF成一面輔助平面法求該面與GH的交點(diǎn)A過A作CD平行線交EF于點(diǎn)B連接AB，即得所求21′2′bab′k′k1a′PV全交兩平面相交的兩種情況互交輔助平面法求AC與DEFG的交點(diǎn)K輔助平面法求BC與DEFG的交點(diǎn)L連接KL，即得交線利用重影點(diǎn)判斷可見性輔助平面法作交線k′k1′(4′)(2)12′343′PVQVll′作輔助平面P與兩已知面相交，分別求交線，得到交線的交點(diǎn)K連接KL，即得交線三面共點(diǎn)法作交線k′k1′4′12′343′PVQH作輔助平面Q與兩已知面相交，分別求交線，得到交線的交點(diǎn)Ll′l2兩跡線平面相交兩跡線平面相交1082.4.3垂直問題

直線與平面垂直，直線垂直于平面上任意直線。反之，直線垂直平面上任意兩條相交直線，則直線垂直該平面。直線與平面垂直直線與平面垂直一直線垂直一平面，則該直線的正面投影垂直于該平面上正平線的正面投影；直線的水平投影垂直于該平面上水平線的水平投影。反之，直線的正面投影和水平投影分別垂直于平面上正平線的正面投影和水平線的水平投影，則直線垂直該平面。例：求點(diǎn)到直線AB的距離。c′k′1′12′k2距離k′1112.4.3垂直問題

平面與平面垂直直線與平面垂直，過這條直線的所有平面都垂直于平面。反之，兩平面垂直，從第一平面內(nèi)任意一點(diǎn)向另一平面所作的垂線，必定在第一平面內(nèi)。112例：已知正垂面△ABC和點(diǎn)K，過K點(diǎn)作平面垂直△ABC。l′m′lm113第2章幾何元素的投影2.1

點(diǎn)的投影2.2直線的投影2.3平面的投影2.4直線與平面、平面與平面的相對位置2.5投影變換2.6綜合問題解題示例114當(dāng)直線或平面相對于投影面處于特殊位置（平行或垂直）時，其投影具有反映實(shí)形或重影等特性。比較容易解決定位問題和度量問題。幾何元素處于有利于解題位置2.5投影變換2.5.1投影變換的方法換面法旋轉(zhuǎn)法選擇新投影面的原則：平行實(shí)形平行X1軸//abc2.5.2變換投影面法新投影面必須處于有利于解題位置;新投影面必須垂直于原來投影面體系中的一個投影面。點(diǎn)的一次變換點(diǎn)在V1/H

體系中的投影不變投影新投影舊投影.新投影面不變投影面舊投影面投影規(guī)律：新投影與不變投影的連線垂直于新投影軸；新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。點(diǎn)在V/H1體系中的投影舊投影不變投影新投影..點(diǎn)的一次變換..點(diǎn)的二次變換把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€更換正立投影面更換水平投影面一次變換將投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€..垂直把一般位置線變?yōu)橥队懊娲怪本€.把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵嬲骄€垂直ABC實(shí)形.把投影面垂直面變?yōu)槠叫忻姘岩话阄恢闷矫孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻?27例：求點(diǎn)C到直線AB的距離，并求垂足K。解題步驟：2.由c1

k1與X2軸平行得到k1

，作投影連線求出k′、k。1.將線AB變換為投影面垂直線。將點(diǎn)C隨之變換，a2′c2′就是點(diǎn)到線的距離。128例：求側(cè)平線MN與三角形ABC的交點(diǎn)K。a1c1k′m1b1n1k1e1kee′解題步驟：3.由k1得到k′，利用yk求出k。并判別可見性。2.將直線MN隨之變換，得到交點(diǎn)K在H1面的投影。1.將面ABC變換為投影面垂直面。例：試過定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。解題步驟：3.過a1′作e1′

f1′的垂線,得k1′2.點(diǎn)A

隨之變換4.將k1′a1′返回原體系1.將直線EF變換為新投影面的平行線例：求兩交叉直線AB和CD的距離，并定出它們的公垂線的位置。解題步驟：3.將s2t2返回原體系2.在投影面H2

中作公垂線ST

的投影s2t2。1.將兩已知直線之一CD

變換為投影面垂直線,直線AB

隨之變換。距離實(shí)長例：求△ABC與△ABD之間的夾角解題步驟：2.兩平面隨之變換1.將交線AB

變換為新投影面的垂直線3.角即為所求1322.5.3繞垂直于投影面的軸旋轉(zhuǎn)實(shí)形點(diǎn)繞正垂軸旋轉(zhuǎn)點(diǎn)繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)“三同”原則:繞同一根軸、向同一方向、旋轉(zhuǎn)同一角度直線與平面的旋轉(zhuǎn)規(guī)律旋轉(zhuǎn)不變性：幾何元素在軸所垂直的投影面上的投影，旋轉(zhuǎn)前后的形狀和大小不變直線與平面的旋轉(zhuǎn)規(guī)律不指明軸旋轉(zhuǎn)法直線與平面的旋轉(zhuǎn)規(guī)律把一般位置直線旋轉(zhuǎn)到投影面平行線位置直線繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)直線繞正垂軸旋轉(zhuǎn)把一般位置直線旋轉(zhuǎn)到投影面平行線位置把一般位置直線旋轉(zhuǎn)到投影面垂直線位置把一般位置平面旋轉(zhuǎn)到投影面垂直面位置把一般位置平面旋轉(zhuǎn)到投影面平行面位置例：過已知點(diǎn)作直線與已知直線垂直。例：試將點(diǎn)D

繞所設(shè)OO

軸旋轉(zhuǎn)到已知平面ABC

上。145例：

繞鉛垂軸把直線AB旋轉(zhuǎn)到已知平面CDEF

上。146第2章幾何元素的投影2.1

點(diǎn)的投影2.2直線的投影2.3平面的投影2.4直線與平面、