二維隨機(jī)變量及其分布市公開課特等獎(jiǎng)市賽課微課一等獎(jiǎng)?wù)n件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics

主講人：王妍Tel/p>

第1頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章二維隨機(jī)變量及其分布SichuanUniversityJinjiangCollege第2頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章二維隨機(jī)變量及其分布

第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)SichuanUniversityJinjiangCollege第3頁

一、二維隨機(jī)變量

到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來描述.

在打靶時(shí),命中點(diǎn)位置是由一對(duì)r.v(兩個(gè)坐標(biāo))來確定.

飛機(jī)重心在空中位置是由三個(gè)r.v(三個(gè)坐標(biāo))來確定等等.第4頁

從本講起，我們開始第三章學(xué)習(xí).一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布

因?yàn)閺亩S推廣到多維普通無實(shí)質(zhì)性困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.它是第二章內(nèi)容推廣.第5頁

以下重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.請(qǐng)注意與一維情形對(duì)照.定義3.1

設(shè)Ω是隨機(jī)試驗(yàn)E樣本空間，對(duì)Ω中樣本點(diǎn)ω，有n個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱(X1,X2,…,Xn)為定義在Ω上n維隨機(jī)變量.

對(duì)于n維隨機(jī)變量，即使能夠分別討論它各個(gè)分量，但更主要是各個(gè)分量間相互聯(lián)絡(luò)，故需要將它作為一個(gè)整體來研究。第6頁

定義3.2

設(shè)Ω是隨機(jī)試驗(yàn)E樣本空間，對(duì)Ω中每個(gè)樣本點(diǎn)ω，有兩個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱(X,Y)為定義在Ω上二維隨機(jī)變量。圖示第7頁

實(shí)例1

炮彈彈著點(diǎn)位置(X,Y)就是一個(gè)二維隨機(jī)變量.

二維隨機(jī)變量(X,Y)性質(zhì)不但與X

、Y

相關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量相互關(guān)系.實(shí)例2

考查某一地區(qū)學(xué)前兒童發(fā)育情況,則兒童身高H

和體重W就組成二維隨機(jī)變量(H,W).說明

第8頁X分布函數(shù)一維隨機(jī)變量假如對(duì)于任意實(shí)數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量分布函數(shù),或者稱為隨機(jī)變量和聯(lián)合分布函數(shù).定義1設(shè)是二維隨機(jī)變量,二、二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)

第9頁

將二維隨機(jī)變量看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo),

那么,分布函數(shù)在點(diǎn)處函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落在下面左圖所表示,以點(diǎn)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方無窮矩形域內(nèi)概率.分布函數(shù)函數(shù)值幾何解釋

第10頁

隨機(jī)點(diǎn)落在矩形域內(nèi)概率為

第11頁

第12頁

第13頁

二維聯(lián)合分布全方面地反應(yīng)了二維隨機(jī)變量(X,Y)取值及其概率規(guī)律.而單個(gè)隨機(jī)變量X,Y也含有自己概率分布.那么要問:二者之間有什么關(guān)系呢?下面我們就來探求這個(gè)問題.第14頁

二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體,含有分布函數(shù)而和都是隨機(jī)變量,也有各自分布函數(shù),分別記為變量(X,Y)關(guān)于

X和Y邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機(jī)三、邊緣分布函數(shù)第15頁

例1已知二維r.v(X,Y)分布函數(shù)為其中a,b為大于0常數(shù)。第16頁

例2已知二維r.v(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為第17頁

例3已知二維r.v(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為第18頁二維離散型隨機(jī)變量及其分布：分布律、分布函數(shù)二維隨機(jī)變量分類二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布：概率密度、分布函數(shù)第19頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章二維隨機(jī)變量及其分布

第二節(jié)二維離散型隨機(jī)變量SichuanUniversityJinjiangCollege第20頁

k=1,2,…一維離散型隨機(jī)變量X分布律

k=1,2,…定義3.4值是有限對(duì)或無限可列多對(duì),是離散型隨機(jī)變量.則稱設(shè)二維離散型隨機(jī)變量可能取值是記假如二維隨機(jī)變量全部可能取到不相同稱之為二維離散型隨機(jī)變量概率分布（分布律）,或隨機(jī)變量X和Y聯(lián)合分布律.

一、二維離散型隨機(jī)變量第21頁

二維離散型隨機(jī)變量分布律含有性質(zhì)第22頁二維隨機(jī)變量(X,Y)

分布律也可表示為也可用表格來表示隨機(jī)變量X和Y聯(lián)合分布律.第23頁二維離散型隨機(jī)變量邊緣分布關(guān)于X邊緣分布關(guān)于Y邊緣分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…第24頁二維離散型隨機(jī)變量邊緣分布關(guān)于X邊緣分布關(guān)于Y邊緣分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…第25頁

例1

把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差絕對(duì)值,求(X,Y)分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=3}=3/8=3/8第26頁

(X,Y)所取可能值是解抽取兩支都是綠筆抽取一支綠筆,一支紅筆例2

從一個(gè)裝有3支藍(lán)色、2支紅色、3支綠色圓珠筆盒子里,隨機(jī)抽取兩支,若X、Y分別表示抽出藍(lán)筆數(shù)和紅筆數(shù),求(X,Y)分布律.第27頁

第28頁

故所求分布律為第29頁

例3

一個(gè)袋中有三個(gè)球,依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2,從中任取一個(gè),不放回袋中,再任取一個(gè),設(shè)每次取球時(shí),各球被取到可能性相等,以X,Y分別記第一次和第二次取到球上標(biāo)有數(shù)字,求(X,Y)分布律與分布函數(shù).

(X,Y)可能取值為解第30頁

故(X,Y)分布律為下面求分布函數(shù)第31頁第32頁第33頁所以(X,Y)

分布為第34頁說明離散型隨機(jī)變量(X,Y)

分布函數(shù)歸納為第35頁

二維離散型r.v.(X,Y)分布函數(shù)為第36頁

例4：設(shè)r.v

X在1,2,3,4中等可能地取值，另一r.vY在1~X

中等可能地取值。試求X,Y聯(lián)合分布及邊緣分布律。解：易知X邊緣分布律為P{X=i}=1/4,i=1,2,3,4.又由乘法公式，有于是，(X,Y)聯(lián)合分布律及邊緣分布律為第37頁

第38頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章二維隨機(jī)變量及其分布

第三節(jié)二維連續(xù)型隨機(jī)變量SichuanUniversityJinjiangCollege第39頁

連續(xù)型一維隨機(jī)變量XX概率密度函數(shù)定義3.5對(duì)于二維隨機(jī)變量分布函數(shù)則稱是連續(xù)型二維隨機(jī)變量,函數(shù)稱為二維（X,Y)概率密度,隨機(jī)變量一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量存在非負(fù)函數(shù)假如任意有使對(duì)于

稱為隨機(jī)變量X和Y聯(lián)合概率密度.或第40頁

二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y）概率密度性質(zhì):在f(x,y)連續(xù)點(diǎn),第41頁

表示介于f(x,y)和xoy平面之間空間區(qū)域全部體積等于1.說明第42頁

對(duì)連續(xù)型

r.v(X,Y)，X和Y聯(lián)合概率密度為則

(X,Y)關(guān)于X邊緣概率密度為實(shí)際上,二、連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣概率密度第43頁

(X,Y)關(guān)于Y邊緣概率密度為第44頁

例1（3）邊緣概率密度.第45頁

解第46頁

(2)將(X,Y)看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo),即有第47頁例：設(shè)二維隨機(jī)變量概率密度求（1）常數(shù)C

（2）邊緣概率密度.第48頁

1.二維均勻分布定義設(shè)

G是平面上有界區(qū)域,其面積為

S,若二維隨機(jī)變量

(X,Y)含有概率密度則稱(X,Y)在G上服從二維均勻分布.記(X,Y)

～U(G)四、兩個(gè)慣用分布第49頁例2

甲乙約定8:00

9:00在某地見面。設(shè)兩人都隨機(jī)地在這期間任一時(shí)刻抵達(dá)，先到者最多等候15分鐘過時(shí)不候。求兩人能見面概率。第50頁

2.二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量

(X,Y)含有概率密度第51頁

二維正態(tài)分布圖形第52頁

定理3.1若二維連續(xù)型隨機(jī)變量則

定理說明，二維正態(tài)分布邊緣分布均為一維正態(tài)分布，且都與參數(shù)ρ無關(guān).這一事實(shí)再次表明由聯(lián)合分布能夠確定邊緣分布，反過來，由邊緣分布普通不能確定聯(lián)合分布。第53頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章二維隨機(jī)變量及其分布

第四節(jié)隨機(jī)變量獨(dú)立性SichuanUniversityJinjiangCollege第54頁一、隨機(jī)變量相互獨(dú)立性1.定義

第55頁2.說明

(1)若離散型隨機(jī)變量(

X,Y

)聯(lián)合分布律為

第56頁

第57頁解例1

第58頁(1)由分布律性質(zhì)知

第59頁尤其有又(2)因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以有

第60頁例2：二維隨機(jī)變量（X,Y）有二維密度函數(shù)（1）求A（2）求邊緣概率密度（3）

X

與Y是否獨(dú)立。第61頁解因?yàn)閄

與Y

相互獨(dú)立,例3

第62頁

第63頁練習(xí)：

設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，試求：（1）（2）第64頁解練習(xí)第65頁第66頁

二、小結(jié)1.若離散型隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合分布律為第67頁

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章二維隨機(jī)變量及其分布

第五節(jié)二維隨機(jī)變量函數(shù)分布SichuanUniversityJinjiangCollege第68頁

在第二章中我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)

分布，對(duì)于二維隨機(jī)變量函數(shù)Z=g(X,Y)分布，若X，Y都是離散型隨機(jī)變量，則Z

分布不難求出；若X，Y

都是連續(xù)型隨機(jī)變量，則求Z

分布往往比較困難，沒有普通性方法，這里討論比較簡(jiǎn)單特殊情況。第69頁

一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布例1第70頁

概率解等價(jià)于第71頁

概率第72頁

第73頁

結(jié)論第74頁

例2

設(shè)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量X與Y分布律為求隨機(jī)變量Z=X+Y分布律.得因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以解第75頁

可得所以第76頁

例3

設(shè)相互獨(dú)立兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y含有同一分布律,且X分布律為于是解第77頁

……第78頁

說明

有限個(gè)相互獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量線性組合依然服從正態(tài)分布.第79頁

三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量

(X,Y)概率密度為

f(x,y)，若(X,Y)函數(shù)

Z=g(x,y)仍是連續(xù)型隨機(jī)變量，則其分布函數(shù)為第80頁

例3設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從N(0,1)，求概率密度。解：由已知得，X與Y聯(lián)合概率密度為當(dāng)z>0時(shí)，第81頁

當(dāng)z≤0時(shí)，綜合得，Z概率密度為第82頁

例4設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，其概率密度分別為求Z=X+Y

概率密度。解：X與Y聯(lián)合概率密度為第83頁

當(dāng)z≤0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0;當(dāng)0<z<1時(shí)，當(dāng)z≥1時(shí)，第84頁

綜合得Z分布函數(shù)為于是，Z密度函數(shù)第85頁

Z=X+Y分布卷積公式第86頁

由此可得概率密度函數(shù)為因?yàn)閄與Y對(duì)稱,

當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí),第87頁

由公式解例4

設(shè)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量X與Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求Z=X+Y概率密度.第88頁

得第89頁

說明

有限個(gè)相互獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量線性組合依然服從正態(tài)分布.第90頁

求二維隨機(jī)變量函數(shù)分布1、普通方法(分布函數(shù)法)若（X,Y）~f(x,y),

-<x,y<+,Z=f(X,Y)為隨機(jī)變量X函數(shù)，則求Z密度函數(shù)普通方法為：(1)確定Z取值范圍z∈R(Z)；（2）求Z分布函數(shù)，任取z∈R(Z)，F(xiàn)Z(z)

＝P{Zz}

＝P{f(X,Y)z}＝P{(X,Y)∈G(z)}

（3）對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)，(4)最終總結(jié)，第91頁小結(jié)第92頁第三章例題講解例1解樣本空間S及X,Y取值情況為:第93頁第94頁例2解第95頁第96頁第97頁第98頁第99頁第100頁第101頁例3解第102頁第103頁第104頁第105頁第106頁第107頁例4第108頁解第109頁第110頁第111頁第112頁第113