債券息票效應(yīng)對到期收益率影響的探討

PAGE1-債券息票效應(yīng)對到期收益率影響的探討摘要：待償期相同的兩支債券，如果其票面利率不同，其到期收益率也不會完全相同。票面利率對到期收益率的影響被稱為“息票效應(yīng)”。本文首先從理論上對息票效應(yīng)的一些基本性質(zhì)進(jìn)行了探討，證明了低息票效應(yīng)要大于高息票效應(yīng)。隨后，本文利用中債收益率曲線對息票效應(yīng)進(jìn)行了實際的測算。測算結(jié)果表明，息票效應(yīng)基本位于0-8bp之間，且隨債券期限的變化并不是單調(diào)的，最大息票效應(yīng)和收益率曲線的位置無關(guān)，只和收益率曲線的形狀有關(guān)。期限越長，息票效應(yīng)的非對稱性表現(xiàn)的越為明顯。關(guān)鍵詞：息票效應(yīng)、到期收益率、中債收益率曲線一、引言待償期相同的兩支同類型債券，如果其票面利率不同，則其到期收益率也不會完全相同。票面利率對到期收益率的影響被稱為“息票效應(yīng)”。對于債券投資者而言，對債券定價有兩種方法，一是利用即期收益率曲線（spotrateyieldcurve），即零息票（zeros-coupon）收益率曲線對債券進(jìn)行定價。這是一種精確的定價方法，但是該方法需要用到即期收益率曲線上的很多個點，計算起來不是非常方便。二是利用到期收益率曲線對債券進(jìn)行定價。這是一種粗略的定價方法，其優(yōu)點是簡單實用，但當(dāng)票面利率和到期收益率曲線上對應(yīng)的到期收益率差距較大時，息票效應(yīng)就會導(dǎo)致債券定價的一定偏差。學(xué)術(shù)界對息票問題的關(guān)注由來已久。較早的研究可以追溯到Williams（1938）。Weingartner（1966）證明了在沒有稅收的情形下，除非收益率曲線是一條水平線，否則就存在息票效應(yīng)。Buse（1970）則表明，即便到期收益率曲線是一條水平線，只要利息收入和資本利得的稅率不同，息票效應(yīng)也會出現(xiàn)。Carr,HalpernandMcCallum(1974)證明了對于向上的收益率曲線，債券性質(zhì)和待償期都相同的兩支債券，票面利率較高的，其到期收益率較低。對于向下的到期收益率曲線而言，情況正好相反。國內(nèi)對息票問題的研究較少，僅有姚燕娜和管圣義（2009）以向上傾斜和向下傾斜的直線收益率為例，計算了20年期國債在不同息票情形下其到期收益率的差異。但是，上述研究中，除姚燕娜和管圣義（2009）以外，其他研究只是證明了息票效應(yīng)的存在性，并未回答債券投資人最感興趣的問題：息票效應(yīng)的影響有多大？它和債券期限、到期收益率曲線以及票面利率之間是一種什么樣的關(guān)系？姚燕娜和管圣義（2009）雖然測算了兩個實例，但由于該文假設(shè)收益率曲線為直線，和實際情形出入較大，且兩個實例的結(jié)果代表性不強(qiáng)。本文首先從理論上推導(dǎo)息票效應(yīng)的一些基本性質(zhì)，并采用2009年7月20日的中債收益率曲線對一些無法從理論上直接推導(dǎo)出來，但債券投資者可能感興趣的問題進(jìn)行了實際測算。二、息票效應(yīng)的理論探討對于一個待償期為的債券，若其票面利率和到期收益率曲線對應(yīng)的到期收益率相同，則不存在息票效應(yīng)。此時，采用即期收益率曲線和到期收益率曲線對其定價是等價的。因此，我們有：（1）其中，為到期收益率曲線上待償期所對應(yīng)的到期收益率，為即期收益率曲線上待償期所對應(yīng)的即期收益率，。注意，當(dāng)為整數(shù)時，上式左邊等于100。當(dāng)債券存在息票效應(yīng)時，相應(yīng)到期收益率也會有所差異。債券票面利率同的差異和該債券到期收益率同的差異之間滿足如下關(guān)系：（2）根據(jù)（1）和（2）式，我們可以將寫成息票效應(yīng)、待償期和，的函數(shù)：（3）綜合(1)和（2），可以得到如下性質(zhì)。性質(zhì)1：僅為、和的函數(shù)。證明：根據(jù)（1）式和（2）式可得（4）整理得到（5）由（5）式可以看出，僅為、和的函數(shù)，性質(zhì)1得證。性質(zhì)1意味著，即便兩條收益率曲線的形狀不同，只要它們在時刻的到期收益率相同，且由這兩條收益率曲線推導(dǎo)出來的即期收益率曲線在時刻的即期收益率也相同，則在時刻它們具有相同的息票效應(yīng)。同時，我們也不難證明，如果兩條到期收益率曲線在任意時刻，息票效應(yīng)都相同，這兩條收益率曲線必定重合。性質(zhì)2：當(dāng)時，若，則；反之若，則有。證明：和Carr,HalpernandMcCallum(1974)的證明類似。令，，則（2）式可改寫為：（6）將（6）式兩邊對求導(dǎo)得：（7）將（2）式代入得：（8）顯然，當(dāng)時，，從而有。而時，。因此，必有。性質(zhì)2得證。性質(zhì)3：息票效應(yīng)具有非對稱性，低息票效應(yīng)要大于高息票效應(yīng)。證明：假設(shè)有兩支債券，一支具有的高息票，一支具有的低息票，則有：（9）（10）要證明性質(zhì)3，只需證明。為此，對（9）式和（10）分別在和處一階泰勒級數(shù)展開并相加，再將（1）式代入可得：（11）顯然，，，，故有。性質(zhì)3得證。盡管我們對息票效應(yīng)進(jìn)行了一些理論方面的探討，但一些債券投資者感興趣的問題，如是否債券期限越長，息票效應(yīng)越明顯，還是無法從（5）式直接推斷出來。這是因為當(dāng)債券期限發(fā)生變化時，和都會相應(yīng)發(fā)生變化。為此，我們采用中債收益率曲線對息票效應(yīng)問題進(jìn)行實際測算。三、息票效應(yīng)的實際測算一、數(shù)據(jù)來源本文采用中債收益率曲線的到期收益率曲線對息票效應(yīng)進(jìn)行實際測算，數(shù)據(jù)來源為中債信息網(wǎng)（）。中債收益率曲線由中央國債登記結(jié)算有限責(zé)任公司編制，是市場上認(rèn)可度最高的收益率曲線，也是中國人民銀行、財政部、證監(jiān)會、銀監(jiān)會、保監(jiān)會等主管部門對債券市場進(jìn)行監(jiān)管時參照的收益率曲線。我們隨機(jī)地采用2009年7月20日的中債到期收益率曲線，并采用bootstrap的方法剝離出即期收益率曲線來對息票效應(yīng)進(jìn)行實際測算。二、測算結(jié)果我們分別采用中債-銀行間固定利率國債收益率曲線、中債-銀行間固定利率政策性金融債收益率曲線和中債-銀行間固定利率企業(yè)債（AAA）來進(jìn)行測算。圖1給出了三條收益率曲線的基本形狀。圖1：中債銀行間固定利率國債、政策性金融債和企業(yè)債（AAA）收益率曲線（2009.7.20）我們從待償期為1年到30年，以0.1年為步長分別考察債券具有-150bp—400bp高息票（以10bp為步長）時數(shù)值為負(fù)的高息票實際就是低息票。其到期收益率和到期收益率曲線的偏離程度。圖2至圖4給出了我們的測算結(jié)果，從圖中可以看出，息票效應(yīng)不是很大，基本位于0-8bp之間，且數(shù)值為負(fù)的高息票實際就是低息票。圖2：實際測算一圖3：實際測算二圖4：實際測算三（國債）（政策性金融債）（企業(yè)債AAA）為了進(jìn)一步說明這一點，我們在圖4分別給出圖1在具有100bp的低息票和高息票時待償期維度的截面圖形。從圖4可以看出，對于同一條曲線而言，高息票和低息票效應(yīng)在形狀上是相似的，但從數(shù)值上看兩者是不對稱的，低息票效應(yīng)要大于高息票效應(yīng)。本文的實際測算中，息票效應(yīng)最明顯的出現(xiàn)在收益率曲線的中部，而且最大值對應(yīng)的待償期要取決于收益率曲線的形狀。表1列出了圖4中不同情形下最大息票效應(yīng)對應(yīng)的待償期。圖5：具有100bp低息票和高息票時待償期維度的截面圖形表1：最大息票效應(yīng)對應(yīng)的待償期收益率150bp100bp50bp50bp100bp150bp200bp300bp400bp曲線低息票低息票低息票高息票高息票高息票高息票高息票高息票國債14.314.314.214.314.314.314.314.314.2政策性金融債16.416.416.416.216.316.316.316.216.2企業(yè)債（AAA）15.515.515.515.415.415.415.415.415.4雖然從收益率曲線的關(guān)系來看，一般情形下，企業(yè)債（AAA）收益率曲線要高于政策性金融債收益率曲線，而后者又高于國債收益率曲線。但圖4表明，金融債的最大息票效應(yīng)要高于企業(yè)債（AAA）和國債，可見息票效應(yīng)和收益率曲線的位置無關(guān)，只和收益率曲線的形狀有關(guān)。下面，我們進(jìn)一步從息票維度探討不同程度的高息票或低息票情形下，息票效應(yīng)的變化趨勢。為此，我們固定待償期為3年、5年、7年、10年、20年和30年這幾個數(shù)值。圖6至圖8給出了測算的結(jié)果。雖然息票效應(yīng)具有不對稱性，但可以看出，息票效應(yīng)和票面利率之間還是存在一種近似的線性關(guān)系。此外，期限越長，息票效應(yīng)的非對稱性表現(xiàn)的越為明顯。待償期為30年時，息票效應(yīng)和票面利率之間的關(guān)系已經(jīng)有點接近拋物線的形狀了。圖6：息票效應(yīng)變化趨勢圖7：息票效應(yīng)變化趨勢圖8：息票效應(yīng)變化趨勢（國債）（政策性金融債）（企業(yè)債AAA）四、結(jié)論本文從理論和實證上對息票效應(yīng)進(jìn)行了研究。首先從理論上推導(dǎo)了息票效應(yīng)的一些基本性質(zhì)，證明了息票效應(yīng)具有非對稱性，低息票效應(yīng)要大于高息票效應(yīng)。隨后，利用中債收益率曲線對息票效應(yīng)進(jìn)行了實際測算，測算結(jié)果表明，息票效應(yīng)并不是很大，基本位于0-8bp之間，且隨債券期限的變化并不是單調(diào)的。最大息票效應(yīng)和收益率曲線的位置無關(guān)，只和收益率曲線的形狀有關(guān)。期限越長，息票效應(yīng)的非對稱性表現(xiàn)的越為明顯。息票效應(yīng)對于債券定價有著重要的影響，雖然本文的測算表明它并不是太大，但這是在沒有考慮稅收效應(yīng)的情況下得到的結(jié)論。對于國債而言，由于利息收入免稅，而資本利得的稅率可能高達(dá)25%以上，因此在考慮稅收效應(yīng)后，息票效應(yīng)會大大高于本文的測算結(jié)果。筆者將另文對包含稅收效應(yīng)的息票效應(yīng)進(jìn)行討論。本文的測算結(jié)果也在一定程度上說明，盡管精確的債券定價應(yīng)采用即期收益率曲線，但市場上大部分金融機(jī)構(gòu)還是可以接受采用到期收益率曲線來對債券進(jìn)行定價。參考文獻(xiàn)：Buse."Expectations,Prices,CouponsandYields,"TheJournalofFinance,Vol.XXV(September1970),pp.809-818.CarrJ.L.,HalpernP.J.andJ.S.McCallum."CorrectingtheYieldCurve:ARe-Interpretatio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