2024高考數(shù)學(xué)教材-空間向量與立體幾何

2024高考數(shù)學(xué)教材一空間向量與立體幾何

目錄

1空間向量及其運(yùn)算............................................................2

1.1空間向量及其線性運(yùn)算.......................................2

1.1.1知識(shí)點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念...............................3

1.1.2知識(shí)點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算...............................4

1.1.3知識(shí)點(diǎn)三共線向量與共面向量...............................5

1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算......................................21

1.2.1知識(shí)點(diǎn)一空間向量的夾角..................................22

1.2.2知識(shí)點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積................................23

1.2.3知識(shí)點(diǎn)三投影向量及直線與平面所成的角...................24

2空間向量基本定理............................................................39

2.1問(wèn)題導(dǎo)入...................................................40

2.2新知識(shí)探討.................................................40

2.2.1知識(shí)點(diǎn)空間向量基本定理..................................40

2.3典型例子...................................................42

3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示.................................................54

3.1問(wèn)題導(dǎo)入...................................................55

3.2新知識(shí)探討.................................................55

3.2.1知識(shí)點(diǎn)一空間直角坐標(biāo)系..................................55

3.2.2知識(shí)點(diǎn)二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算..............................56

4空間向量的應(yīng)用..............................................................73

4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系........................73

4.1.1知識(shí)點(diǎn)一空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示.................74

4.1.2知識(shí)點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系的向量表示...................75

4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題..............................91

4.2.1知識(shí)點(diǎn)一空間距離及向量求法..............................92

4.2.2知識(shí)點(diǎn)二空間角及向量求法................................92

1空間向量及其運(yùn)算

1.1空間向量及其線性運(yùn)算

課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)

1.經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程，了解空間向量的概念.數(shù)學(xué)抽象

2.掌握空間向量的線性運(yùn)算.直觀想象

?忽套酸曲知織虢理

［問(wèn)題導(dǎo)入］

預(yù)習(xí)課本P2?5,思考并完成以下問(wèn)題

1.零向量、單位向量、相反向量、相等向量、共線向量是如何定義的？與

平面向量中的定義相類似嗎？

2.空間向量的線性運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律及分配律嗎？

3.實(shí)數(shù)力與空間向量a的乘積2a的方向如何確定?

4.共線向量（平行向量）、方向向量及共面向量的定義分別是什么？

［新知初探］

1.1.1知識(shí)點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念

1.定義：在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量.

2.長(zhǎng)度：空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模.

〃(1)幾何表示法：空間向量用有向線段表示.

(2)字母表示法：用字母表示，若向量a的起

3.表示法：［點(diǎn)是A,終點(diǎn)是以則向量q記作工了，其模記

、為|旬或|商|.

4.幾個(gè)特殊向量

特殊向量定義表示法

零向量長(zhǎng)度為。的向量0

單位向量模為工的向量|a|=1或|方'|=1

與a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量稱為

相反向量—a

a的相反向量

相等向量方向相同且模相等的向量a=b或AB=CD

共線向量或表示若干空間向量的有向線段所在的

〃或下〃司

平行向量直線互相平行或重合ab

［做一做］

1.判斷正誤(正確的打“，錯(cuò)誤的打“義”)

(1)零向量與任意向量平行.()

(2)向量潮的長(zhǎng)度與向量F1的長(zhǎng)度相等.()

(3)空間向量a用幾何表示法表示時(shí)，表示該向量的有向線段的起點(diǎn)可彳壬意

選取.()

(4)空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.()

答案：⑴J(2)V(3)V(4)X

2.如圖，在長(zhǎng)、寬、高分別為AB=3,AD=2,A4i=l的)_______

長(zhǎng)方體ABCD-ABGDi的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向丫j----------

量中：卜--------

3

(1)單位向量共有多少個(gè)？

(2)試寫出新的相反向量.

解：(1)由于長(zhǎng)方體的高為1,所以長(zhǎng)方體的4條高所對(duì)應(yīng)的向量高，瓦t,

血,瓦苫，CG,C?C,DD\,D^D,共8個(gè)向量都是單位向量，而其他向量的

模均不為1,故單位向量共8個(gè).

(2)向量入。的相反向量有可蕾，瓦瓦GC,DlD,共4個(gè).

1.1.2知識(shí)點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算

名稱代數(shù)形式幾何形式運(yùn)算律

交換律：a+b=b+

a；

加法~0B=~0A+1B=a

+b結(jié)合律：a+(b+c)

。叱=(a+b)+c

~CA^~0A~~0C=a

減法

-b

當(dāng)A>0時(shí)，4a=

結(jié)合律：4(〃a)=

A~OA=~PQ-,(幾〃)a；

數(shù)乘當(dāng)A<0時(shí)，4a=分配律：(幾十〃)a

A~OA^~MN.=%a+〃a,4(a+

°P4b)=Aa+Ab

當(dāng)A=0時(shí)，4a=0

［想一想］

1.向量線性運(yùn)算的結(jié)果還是向量嗎？

提示：是向量.

2.2a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的2倍嗎？

提示：不是，應(yīng)是|4倍.

［做一做］

1.化簡(jiǎn)R而一而十碉所得的結(jié)果是()

A.PMB.~NP

C.0D.MN

答案：C

2.已知空間四邊形ABC。中，Tfi=a,~BC=b,'AD=c,則員等于()

A.a+b—cB.c-a—b

C.c+a—bD.c+a+b

解析：選BTD=~CB+~AD=~~AB~~BC+~AD=~a~b+c=c

-a—b.

3.化簡(jiǎn)：5(3a—2b)+4(2b—3a)=.

答案：3a—2b

1.1.3知識(shí)點(diǎn)三共線向量與共面向量

1.共線向量與共面向量的區(qū)別

共線(平行)向量共面向量

表示若干空間向量的有向線段

定平行于同一個(gè)平面的向量叫做

所在的直線互相平行或重合,這些

義共面向量

向量叫做共線向量或平行向量

若兩個(gè)向量a,b不共線，則向

充對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,

量P與a,b共面的充要條件是存在

要條b(bWO),a〃b的充要條件是存在

唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(尤，y)，使P=xa

件實(shí)數(shù)九使a=2b

+yb

2.直線/的方向向量

如圖在直線/上取非零向量a,設(shè)P為/上的任意一點(diǎn),

貝ijm/GR使得/=2a.

定義：把與a平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

［做一做］

1.判斷正誤(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)若A,B,。三點(diǎn)共線，則海與就共線.()

(2)向量飛方與向量口是共線向量，則點(diǎn)A,8,C,。必在同一條直線上.()

⑶若向量a,b,c共面，則表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線共面.()

答案：(1)J(2)X(3)X

2.若a與b不共線，且m=a+b,n=a—b,p=a,貝ij()

A.m,n,p共線B.m與p共線

C.n與p共線D.m,n,p共面

解析：選D由于(〃+〃)+(〃-Z?)=2a,即m+〃=2〃，即〃=；/〃+；〃，又知

機(jī)與〃不共線，所以tn,n,p共面.

3.非零向量ei,e2不共線，使Zei+e2與ei+A:e2共線的k的值是.

\k=X,

解析：若Zei+e2,ei+Ze2共線，則ke\+e2==A(ei-\-kei),所以，所

1^=1,

以Z=±l.

答案：±1

[名師點(diǎn)津]

1.對(duì)空間向量數(shù)乘運(yùn)算的理解

(1)非零向量。與〃(2W0)的方向要么相同，要么相反.

(2)由于向量m分可平移到同一個(gè)平面內(nèi)，而平面向量滿足數(shù)乘運(yùn)算的分配

律，所以空間向量也滿足數(shù)乘運(yùn)算的分配律.

(3)根據(jù)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算的定義，結(jié)合律顯然也成立.

(4)實(shí)數(shù)與空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如23無(wú)法運(yùn)

算.

2.與空間向量的線性運(yùn)算相關(guān)的結(jié)論

(1)AB=OB--0A.

(2)在平行六面體ABCD-AiBiGDi中，有箱=潮+同十無(wú)了.

(3)若。為空間中任意一點(diǎn)，則

①點(diǎn)尸是線段A8中點(diǎn)的充要條件是市=上市+W);

②若G為△ABC的重心，則破=；(市+用+災(zāi)).

葡酸錨真囪精析…

空間向量的概

念辨析

[4501](鏈接教材P91)給出下列命題:

(1)若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；

(2)|a|=|b|是向量a=b的必要不充分條件；

\a\=\h\；

(3)向量a,b相等的充要條件是〃，

a//b；

(4)若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，則常=碇是四邊形ABC。為平行四

邊形的充要條件.其中正確的是.

［解析］當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等；

但當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，不一定起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同，故(1)錯(cuò)誤.

a=h^\a\=\b\,\a\=\b\=^la=b,故(2)正確.

由.〃/?,知a與。的方向相同或相反，故(3)錯(cuò)?誤.

\'^AB=~DC,：.\'AB\=\DC\SLAB//~DC.

又A,B,C,。不共線，，四邊形ABC。是平行四邊形.

反之，在口ABC。中，有潮=衣，故(4)正確.

［答案］⑵(4)

空間向量有關(guān)概念問(wèn)題的解題策略

(1)兩個(gè)向量的模相等，則它們的長(zhǎng)度相等，但方向不確定，即兩個(gè)向量(非

零向量)的模相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件.

(2)熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運(yùn)算法則及向量加法的

運(yùn)算律是解決好這類問(wèn)題的關(guān)鍵.

［跟蹤訓(xùn)練］

(多選)已知正方體ABCD-AiBCQ的中心為0,則下列結(jié)論中正確的有()

A.市+協(xié)與0"+亦是一對(duì)相反向量

B.碗一衣與力筋一。力；是一對(duì)相反向量

C.市+不/+比+萬(wàn)方與蘇+力應(yīng)+亦+0不是一對(duì)相反向量

D.示一市與浣一正是一對(duì)相反向量

解析：選ACD:。為正方體的中心，：.~dA=-0G,~0D=-0Bi,故

OA+0D=~{0B\4-OCi）,同理可得南+萬(wàn)（f=一（。筋+。方b,故。X+加

+沅十方方=一（。就+。試+宓+0萬(wàn)b,，A、C正確；?.,言一比=,，

OA\-OD\=D\A\—?,.,.加一浣與。第一。不是兩個(gè)相等的向量，AB不正

確；?.?百一市=高，~OC-OCi='OC=-A^,：.OAi-~OA=-（OC-

OG）,，D正確.

空間向量的線

11a

性運(yùn)算

［例2］（鏈接教材P5T2、T4）已知平行六面體ABCZX4'B'CD',化簡(jiǎn)下

列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：

+AD+Atz；

(2)~DD'-AB+^BC；

(3)l4B+7D+^(DD'

［解］(l)7fi+AD+A4z=~AB+^BC+~CC'=~AC';

(2)函，~^AB+~BC=^DD'-(AB-AD)=DDz~15B=~BD

------------?1---------------6----6］----予--------?--------?1----?

(3)AB+AD+2(DD1-8C)=AC+2(CC'+CB)=AC+^CB'.

1

-

設(shè)M是線段CB'中點(diǎn)，則AB2

向量AC',8。'，AM如圖所示.

［母題探究］

(變?cè)O(shè)問(wèn))若本例條件不變，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量:

(1)虎+廠方'+苗于；

—>1—a］—>

(2)AV+2AB+2AD-

解：⑴戲+A'D'+^CCr=~DC-1)A+^CC^=衣+；干，

設(shè)P是線段CC'的中點(diǎn)，則

~DC+A'Dr+^CCr=~AP.

(2)AAr>AD=AAI>+1(AB+AD)=AAI>o'c'

+3

?

設(shè)Q是線段A'C的中點(diǎn)，則B

AA^+1AD=A47*+%C?=AA^+A'Q=~AQ,向量衣，

AQ如圖所示.

解決空間向量線性運(yùn)算問(wèn)題的方法

進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上是在正確運(yùn)用向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律的基礎(chǔ)

上進(jìn)行向量求和，即通過(guò)作出向量，運(yùn)用平行四邊形法則或三角形法則求和.運(yùn)

算的關(guān)鍵是將相應(yīng)的向量放到同一個(gè)三角形或平行四邊形中.

［注意］(1)向量減法是加法的逆運(yùn)算，減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相

反向量.

(2)首尾相連的若干向量構(gòu)成封閉圖形時(shí)，它們的和向量為零向量.

［跟蹤訓(xùn)練］

1.在正方體ABCO-AiBCQi中，下列選項(xiàng)中化簡(jiǎn)后為零向量的是()

A.AB+7D+A4?B.-AC+BB?

C.AB4-ATDI+CIXD.AC+Cfi}+AB

解析：選C在選項(xiàng)C中，7B+A7DI+CI^4I=(AB+AD)+C4=0.

2.如圖，設(shè)。為DABCO所在平面外任意一點(diǎn)，E為0C的中。

1

點(diǎn)，AE=2OD+xOB+yOA,求x,y的值.卜A?\

._..---->---->---->1------------1-------->---->A

解：法一：AE=OE-0A=2-OA=^(OB+BC)-

~0A

=^COB+~OD-~OA)-~OA

3—>1—>1—>

=—20A+/0B+20D,

.13

-X=Ty=~2-

法二：因?yàn)橛諬=3^+7^+①

---->---->---->---->1---->

=OB-OA+OC-OB-50c

—>1—>

=—0A+20C

=-04+1(0D4-DC)

=-+1(OD4-7B)

=-OA+^0D-市)

3—>1—>1—>

=-2OA+2OD+2OB,

*，13

所以x=5，y=~2-

空間向量共

l*日

一線問(wèn)題

［例3］如圖所示，已知四邊形ABC。，ABEF都是平行四c

邊形且不共面，M,N分別是AC,3尸的中點(diǎn)，判斷,與兀而

是否共線.

［解］因?yàn)镸,N分別是AC,BF的中點(diǎn)、,且四邊形ABC。，四邊形ABEb

都是平行四邊形，所以加=必4+淳+FW=1c4+TF+gFB.

又因?yàn)閮?就+錠+/+筋=一義市+宣一女一支麗\

以上兩式相加得P后=2訴，所以銃〃而，

即宣與而共線.

1.要判定空間圖形中的兩向量共線，往往尋找圖形中的三角形或平行四邊

形，并利用向量運(yùn)算法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而使其中一個(gè)向量表示為另一個(gè)向量的倍

數(shù)關(guān)系，即可證得這兩向量共線.

2.證明空間三點(diǎn)P,A,8共線的方法

(1)PA=2PBGGR).

(2)對(duì)空間任一點(diǎn)。，~0P=OA+tAB(/eR).

(3)對(duì)空間任一點(diǎn)0,~0P=xOA+y~0B(x+y=l).

［跟蹤訓(xùn)練］

如圖，正方體ABCD-AiBGDi中，。為AC上一點(diǎn)，且D(

布=看泥，8。與AC交于點(diǎn)M.求證：Ci,0,M三點(diǎn)共線.g

證明：如圖，連接AO,AC\,4cl.夕

—>2—>

???AiO.AiC,

/.AO=AA\+Aid=A4i+^A.\C=AA\+|(T4I/4+T4C)=|A4I+|AC.

'：~AC=2AM,AA^=ACi+ClA\=ACi-~AC=ACi-2AM,

12

?.,1+1=1,/.Ci,O,M三點(diǎn)共線.

空間向量共

一面問(wèn)題

[例4](鏈接教材P5例1)如圖所示，在長(zhǎng)方體

ABCD-AiBiCiDi中，M為DD\的中點(diǎn)，NGAC,且AN：NC

=2,求證：Ai,B,N,M四點(diǎn)共面.

［證明］設(shè)A4；=a,AB=b,AD=c,則了誦=b-a,

?IM為宙的中點(diǎn)，：.MM=c-^a,

―>2―>2,

文,：ANNC=2,AN=2AC=§S+c),

.,.A\N=AN—AA\=|(/?+c)—a

2,2(1A2—>,2—>

=§(/?—'a)c-呼尸QAIB+y］M

：.A^N,A^B,A論為共面向量.

又?.?三向量有相同的起點(diǎn)Ai,

.?.Ai,B,N,M四點(diǎn)共面.

1.解決向量共面的策略

(1)若已知點(diǎn)尸在平面ABC內(nèi)，則有前9+y*或/=》市+》心萬(wàn)

+zOC(x+y+z=l),然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參

數(shù).

(2)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過(guò)程中要靈

活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來(lái)表示.

2.證明空間四點(diǎn)P,M,A,8共面的等價(jià)結(jié)論

(1)~MP=xMA+yMB；

(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,1JP=7)M+XMA+yMB；

(3)對(duì)空間任一點(diǎn)。，OP=xOA+yOB+zOM(x+y+z=1)；

(4)P防〃常(或前〃磁或的〃A法).

［跟蹤訓(xùn)練］

已知E,F,G,H分別為四面體ABCD的棱AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，求

證：

(1)￡,F,G,〃四點(diǎn)共面；

(2)8。〃平面EFGH.

證明：如圖，連接EG,BG.

(1)因?yàn)槲?Ed+~BG=EB+^(BC+BD)=EB+BF+~EH+

EH,由向量共面的充要條件知：E,F,G,”四點(diǎn)共面.

(2)因?yàn)榍?AH-AE=^AD=1BZ),所以EH//BD.又EHU平面

EFGH,B"平面EFGH,所以8。〃平面EFGH.

［隨堂檢測(cè)］

1.下列說(shuō)法正確的是()

A.若|a|<|b|,則a<b

B.若a,b為相反向量，則a+b=O

C.空間內(nèi)兩平行向量相等

D.四邊形ABCO中，AB~AD=~DB

解析：選D向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小，A錯(cuò)；相反向

量的和為0,不是0,B錯(cuò)；相等向量滿足模相等，方向相同兩個(gè)條件，平行向

量不一定具備，C錯(cuò)；D正確.

2.已知正方體則下列各式運(yùn)算結(jié)果不是記的為()

A.~AB+AD+'AA\B.向+府;+再方1

C.AB4--BC+CGD.Afi+^4C+CG

解析：選D選項(xiàng)A中，~AB+~AD+A4?=~AC+AZ=AG:選項(xiàng)B中，

高+樂5+與笈=罰+(刀后+與方i)=高+再苕=記；選項(xiàng)C中，至+

靖+泊=京+%耳=4西；選項(xiàng)D中，瓦+/+&；=AN+(7C+CG)

=~AB+AGW箱.故選D.

3.已知非零向量e”e2不共線，如果布=ei+e2,AC=2ei+8e2,AD=

3ei—3e2,求證：A,B,C,D四點(diǎn)共面.

證明：令A(yù)E=XAC?+y,則ei+e2=x(2ei+8e2)+y(3ei—3e2)=(2x+3y)ei

+(8x-3y)e2.

"=1

[2x+3y=l,x=5,

?.?ei和e2不共線，.y解得〈，

[8x—3y=l,1

l>-5-

力，.,.A,B,C,。四點(diǎn)共面.

忽奧圖穩(wěn)素養(yǎng)提升

[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]

1.下列命題中正確的是()

A.若a與b共線，b與c共線，則a與c共線

B.向量a,b,c共面，即它們所在的直線共面

C.若兩個(gè)非零空間向量常與黃滿足至+司=0,則演〃游

D.若2〃13,則存在唯一的實(shí)數(shù)九使a=2b

解析：選CA中，若人=0,則a與c不一定共線；B中，共面向量的定義

是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面；C

中，VTB+CD=O,AAB=-CD,二區(qū)與司共線，故?！ㄆ堈_；

D中，若。=0,aWO,則不存在九使。=彷.

2.滿足下列條件，能說(shuō)明空間不重合的A,B,C三點(diǎn)共線的是（）

A.~AB+~BC=~AC

B.AB-BC=AC

C.Tfi=^BC

D.\AB\=\~BC\

解析：選C對(duì)于空間中的任意向量，都有加+就=京，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

AB-BC=7C,則/+方（^=府，而無(wú)？+函=盤，據(jù)此可知力=

言,即8,C兩點(diǎn)重合，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；AB=BC,則A,B,C三點(diǎn)共線，選

項(xiàng)C正確；|/由=|鋌則線段A3的長(zhǎng)度與線段8C的長(zhǎng)度相等，不一定有

A,B,C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

3.設(shè)有四邊形A8CD,。為空間任意一點(diǎn)，且加+”后=萬(wàn)3+碇，則

四邊形ABC。是（）

A.平行四邊形B.空間四邊形

C.等腰梯形D.矩形

解析：選A?而+為存=歷+比，AAB=DC.

：,~AB//~DCSL\AB\=\DC\.

，四邊形ABCD為平行四邊形.

4.（多選）如圖，在正方體ABCD-AIBGOI中，下列各式中運(yùn)算

的結(jié)果為向量就的是（）

A.（ATDI-JJA）-^45

B.(BC+BBO-OlCi

C.{AD-AB)+DD\

解析：選ABC對(duì)于選項(xiàng)A,(A?Di-AJA)-AB=AD\~~AB=BD\;對(duì)于

選項(xiàng)B,（同+B豆;）一方河=前十五亦=瓦兀對(duì)于選項(xiàng)C,（AD~^B）+DDi

=血+而=麗；對(duì)于選項(xiàng)D,（瓦方|一/）一而=（瓦瓦一瓦^(guò)）一而=血

+O=BD,故選A、B、C.

5.已知正方體ABCD-AIBCIDI中，/=齒苕，若左=》新+y（益1+

75）,則（）

A.x=l,y=gB.x=；，y=l

C.x=l9y=gD.x=l,y=；

AA.>,>I>>I,>>

解析：選D因?yàn)锳E=AAi+AiE=AAi+W4G=AAI+]（AB+A￡>）,所

以x=l,y=1.

6.如圖所示，在三棱柱ABC-A'B'C中，/與A'C，是向量，

常與產(chǎn)R是向量.（用相等、相反填空）

CC

AAf

解析：由相等向量與相反向量的定義知：就與A7"可是相等向量，至與

B'A’是相反向量.

答案：相等相反

7.設(shè)ei,e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知又m=2ei+Ae2,3=ei+3e2,

CD=2ei-e2,且A,B,。三點(diǎn)共線，則k=.

解析：由已知得B。=CO—CB=（2e]-62）—3+3e2）=ei—4及，VA,B,

。三點(diǎn)共線，■■與8方共線，即存在4WR,使得7君=人協(xié).，2ei+履2="ei

4=2,

—4e2)—Aei—4Ae2.".'ei,e2不共線，)解得人=—8.

LZ:=-4z,

答案：一8

8.在空間四邊形A8C。中，連接AC,BD.若ABCD是正三角形,且E為其

中心，則又方+^BC-^DE~~AD的化簡(jiǎn)結(jié)果為

_Q___

解析：如圖，取8C的中點(diǎn)F,連接DF,則/=^DE.：.^\B+

]>3__>__?__?〉_____?_____>>_____?>

^BC~^DE~AD=AB+BF-DF+DA=AF+FD+DA=0.

答案：0

9.如圖所示，在三棱柱ABC-481cl中，M是BBi

的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量:

---->---->1---->

(2)AC+CB+^AAi；

(3)AAi-AC-ZB.

解：(1),+8第=㈤.

⑵因?yàn)镸是BBi的中點(diǎn),

所以

又=所以而+,+4"；=潮+就=A必.

(3)A4i-AC-CB=CA\~~CB=BA\.

向量CA；,AM,反4；如圖所示.

10.如圖，在四面體A-BCO中，M是A。的中點(diǎn)，P是的

中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段AC上，且AQ=3QC證明：PQ〃平面BCD

證明：法一：過(guò)尸，。分別作PS//AD交BD于點(diǎn)S,QT//

AD交CD于點(diǎn)T,連接ST（圖略），

則同=；而5,^QT=^AD.

因?yàn)槎浴?至亍,

所以四邊形PQTS是平行四邊形，則電=芋\

又P。。平面8C0,STU平面BCD,所以P0〃平面BCD

法二：由圖形易得了。=不于+岳E+友

=^MB+liC+^CA

=^(MA+AB)+^BC+^CA+|AC

1>,_A,_A,1-->,1-A,1-->

=2(AB+BC+CA)+]MA+/BCAC

1-A,-->.1—A

=4(DA+AC)+1BC

1—>,1—>

=WOC+]BC.

根據(jù)空間向量共面的定義，~PQ,~DC,碇共面,

又因?yàn)镻Q6平面BCD,所以PQ〃平面BCD.

[B級(jí)綜合運(yùn)用]

11.若空間中任意四點(diǎn)。，A,B,P滿足/=〃?加+〃而，其中加+〃=

1，則（）

A.PGABB.HAB

C.點(diǎn)P可能在直線A8上D.以上都不對(duì)

解析：選A因?yàn)椤▃+〃=l,所以/"=1一”，

所以存=（1-n1OA+ITOB,

即一加一一加一就），

即一赤=nAB,所以左與NN共線.

又常，加有公共起點(diǎn)A,

所以P,A,8三點(diǎn)在同一直線上，

即PGAB.

12.在下列條件中，使M與A,B,C一定共面的是（）

A.7）M=,37）A-20B~~OC

B.1)M+^A+^0B+~0C=0

C.~MA+~MB+~MC=0

D.7)M=^OB-~OA+^OC

解析：選CVM44-MB+MC=0,

.?.M與A,B,。必共面.

13.已知空間四邊形ABC。中，Tfi=b,7c=c,AD=d,^~MD=2CM,

且BA/=xb+yc+zdCr,y,zGR),則y=.

解析：如圖所示，

=-匕+于+利

?;BM=xb+yc+zd,

.2

?,>3,

2

答案：f

14.已知A,B,M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面外的任意一點(diǎn)0,判斷在下

列各條件下的點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,M是否共面.

⑴而+而=3/一市；

(2)OP=4~0A~~OB-W.

解：法一：⑴原式可變形為/=/法+(存一百產(chǎn))+(就一/)=加十

PA+~PB.

由共面向量定理的推論知，點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,M共面.

(2)原式可變形為宿'=2市+(市一道>)+(?一而)=2市+/+

~MA.

由共面向量定理的推論，可知點(diǎn)P位于平面A8M內(nèi)的充要條件是市=市

+^BA+yMA.

而商刁X+畝+兩，

.,.點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,M不共面.

法二：⑴原式可變形為加=3/一市一0面

???3+(—1)+(—1)=1,

.,.點(diǎn)8與點(diǎn)P,A,M共面，

即點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,M共面.

(2)由力產(chǎn)=4市一避一而，得

4+(—1)+(—1)=2/1,

...點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,M不共面.

[C級(jí)拓展探究]

15.對(duì)于空間任一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若有一加=》市+）「加

+zOC,貝ij“x+y+z=l”是“P,A,B,。四點(diǎn)共面”的（）

A.必要不充分條件

B.充分不必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：選B若x+y+z=l,則/=（l—y—z）?市+y京+z比，即左

=yAB+zAC,由共面向量定理可知向量/A,盤，就共面，所以P,A,B,

C四點(diǎn)共面；反之，若P,A,B,C四點(diǎn)共面，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)，市=0,

x可取任意值，不一定有x+y+z=l,故“x+y+z=l”是"P,A,B,C四點(diǎn)共

面”的充分不必要條件.

16.有下列命題：①若AN〃濟(jì)，則A,B,C,。四點(diǎn)共線；②若布〃

AC,則A,B,C三點(diǎn)共線；③若ei,e2為不共線的非零向量，a=4ei—|e2,b

=—ei+京e2,則a〃b；④若向量ei,Qi,e3是三個(gè)不共面的向量，且滿足等式

Z:iei+foe2+fee3=0,則依=%2=抬=0.其中是真命題的序號(hào)是（把所有真

命題的序號(hào)都填上）.

解析：根據(jù)共線向量的定義，若潮〃黃，則或A,B,C,D四

點(diǎn)共線，故①錯(cuò)；^AB//~ACSLAB,公有公共點(diǎn)A,所以②正確；由于a=4ei

一■|e2=-4（—ei+，je2）=—46所以a〃Z?,故③正確；易知④正確.

答案：②③④

1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

核心素

課程標(biāo)準(zhǔn)

養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽

1.掌握空間向量的數(shù)量積.

象

2.能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷兩向量的垂直及

數(shù)學(xué)運(yùn)

平行.

算

廖酸骨知以梳理

［問(wèn)題導(dǎo)入］

1.空間中兩個(gè)非零向量a和b的夾角定義與平面向量夾角定義相同嗎？

2.空間向量的數(shù)量積的定義是什么？

3.空間向量數(shù)量積有哪些運(yùn)算律？與平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律一樣嗎？

預(yù)習(xí)課本P6?8,思考并完成以下問(wèn)題

［新知初探］

1.2.1知識(shí)點(diǎn)一空間向量的夾角

1.如圖，已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)0,作。4=J

a,OB=b,則乙4B8叫做向量a,b的夾角，記作(a,b).

b1

TT

2.向量a,b的夾角〈a,b)的范圍是［0,何，如果〈a,b)=］,那么向量

a,b互相垂直,記作a，b.

［想一想］

1.當(dāng)兩個(gè)非零向量同向時(shí)，它們的夾角為多少度？反向時(shí)，它們的夾角為

多少度？

答案：0。180°

2.(a,b)，〈一a,b〉，(a,—b),〈一a,一b〉，它們有什么關(guān)系?

答案：〈—a,b)=<a,—b)=n—(a,b),(—a,—b)=(a,b>.

［做一做］

如圖，在正方體ABCD-A'B'CO'中，求下列各對(duì)向量的夾角：

(1)CAB,)；

(2)CAB,)；

(3)CAB,A'Df>.

解：⑴:A，=~AC,CAB,A'cf>={AB,7c>.

又NC4B=45。，；.CAB,A'C?>=45°.

(2)CAB,>=180°-<AB,A'cr>=180°-45°=135°.

(3)CAB,TN>=(AB,AD)=90°.

1.2.2知識(shí)點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積

1.數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a||b|cos(a,b)叫做a,b的數(shù)量積,記作a.b.

B|Ja-b=|a||b|cos(a,b〉,

2.數(shù)量積的性質(zhì)

(1)若a,b為非零向量，則a_Lb㈡a?b=0；

(2)a-a=|a||a|cos〈a,a)=|a|2=|a2|；

(3)a-e=|a|cos<a,e)(其中e為單位向量)；

n-h

(4)若a,b為非零向量，則cos<a,b)=j^而.

3.數(shù)量積的運(yùn)算律

(l)(2a)-b=A(a-b)；

(2)交換律:a-b=b-a；

(3)分配律:a-(b+c)=a-b+a-c.

［做一做］

1.判斷正誤(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

⑴零向量與任意向量的數(shù)量積為0.()

(2)對(duì)于任意向量a,b,c,都有(a.b)c=a(b.c).()

(3)若a,b=b,c,且bWO,則a=c.()

答案：(1)V(2)X(3)X

2.已知空間向量a,b,|a|=2,\b\=y[2,a-b=—2,則〈a,b)=.

解析：cos〈a,b〉=j^[=―乎，〈a，b〉=竽.

答案：T

3.已知正方體ABCO-AIBCIQI的棱長(zhǎng)為a,則常?再苕=,A^B-^C

解析：如圖，加.癡苕=彳商仄7苕=瓦存H.苕I,cos〈彳商，

AiCi〉=a?巾acos45°=〃.

AlBB7C=A^BA[D=|ATB|-|A7D|-COS<JTB,ATD>=y/2aX啦

aXcos60°=層.

答案：a2a2

1.2.3知識(shí)點(diǎn)三投影向量及直線與平面所成的角

1.投影向量

(1)向量a在向量b上的投影

先將向量a與向量b平移到同一平面a內(nèi)，如圖①向量c

稱為向量a在向量b上的投影向量.

(2)向量a在直線/上的投影

如圖②向量c稱為向量a在直線I上的投影.

(3)向量a在平面夕上的投影

如圖③分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面夕的垂線，

垂足分別為A',B',

則向量A'B,(a')稱為向量a在平面用上的投影向量.

2.直線與平面所成的角

如圖③向量a與向量a'的夾角就是向量a所在直線與平面尸所成的角.

［做一做］

1.判斷正誤(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

b

(1)向量a在向量b上的投影向量c=|a|cos<a,b〉.而.()

(2)向量a在直線/上的投影是一個(gè)數(shù)量.()

(3)向量a在平面夕上的投影是一個(gè)向量.()

答案：⑴J(2)X(3)V

2.如圖所示，直線/，平面a,若機(jī)，〃Ua且向量i,j,［:

k分別是直線