復(fù)變函數(shù)第四版(第三章)

Home}目錄§3.2柯西-古薩基本定理§3.3柯西積分公式§3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)§3.1復(fù)積分的概念第3章復(fù)變函數(shù)的積分

2021/5/91§3.1復(fù)積分的概念1復(fù)變函數(shù)的積分定義

定義：設(shè)函數(shù)w=f(z)

定義在區(qū)域D內(nèi)，C為區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線，把曲線C任意分成n個(gè)弧段，設(shè)分點(diǎn)為:2021/5/922021/5/932復(fù)積分存在的一個(gè)充分條件：2021/5/94復(fù)積分的計(jì)算方法：一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)二型線積分2021/5/951線性性：

3復(fù)積分的性質(zhì)：2021/5/96例題1

（2）C：左半平面以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針方向的單位半圓周。解（1）

2021/5/97（2）參數(shù)方程為可見積分與路徑有關(guān)。2021/5/98例題2

解：

例如2021/5/99例題3

解：可見，積分僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),而與路徑無關(guān)。2021/5/910例題4

證明：

2021/5/911定理1（Cauchy-Goursat）

如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,則它在D內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零:

注1：定理中的曲線C可以不是簡單曲線.

此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域D。§3.2柯西-古薩基本定理2021/5/912

注2：如果曲線C是D的邊界,函數(shù)f(z)在D內(nèi)與C上解析,即在閉區(qū)域D+C上解析,甚至f(z)在D內(nèi)解析,在閉區(qū)域D+C上連續(xù),則f(z)在邊界上的積分仍然有推論：與路徑無關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,C屬于D，2021/5/913柯西-古薩基本定理還可推廣到多連通域:

假設(shè)C及C1為任意兩條簡單閉曲線,C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù)f(z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析,在邊界上連續(xù)，則定理2(復(fù)合閉路定理)2021/5/914證明：取

這說明解析函數(shù)沿簡單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。------閉路變形原理2021/5/915推論（復(fù)合閉路定理）：(互不包含且互不相交)，

所圍成的多連通區(qū)域，

2021/5/916例題1C如圖所示：解：

存在f(z)的解析單連通域D包含曲線C，故積分與路徑無關(guān)，僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)?；颥F(xiàn)設(shè)z=it，t從-3變化到1，2021/5/917例題2求C為包含0與1的任何正向簡單閉曲線。解：

現(xiàn)分別以z=0,1為圓心,在C內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2.2021/5/9182021/5/919練習(xí)：計(jì)算積分解：現(xiàn)分別以z=1,2為圓心,在C內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2.由復(fù)合閉路定理知：2021/5/920§3.3柯西積分公式若

f(z)在D內(nèi)解析，則分析：在上節(jié)的基礎(chǔ)上,我們來進(jìn)一步探討如下積分:2021/5/921

定理(柯西積分公式)

如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)的任一點(diǎn),則---解析函數(shù)可用復(fù)積分表示。2021/5/922

[證]由于f(z)在z0連續(xù),任給e>0,存在d(e)>0,當(dāng)

|z-z0|<d

時(shí),|f(z)-f(z0)|<e.設(shè)以z0為中心,R為半徑的圓周K:|z-z0|=R全部在C的內(nèi)部,且R<d.DCKzz0R2021/5/923從而有:2021/5/924例題1計(jì)算解：

因?yàn)閒(z)=cosz在復(fù)平面上解析,又-i在內(nèi),所以

2021/5/925例題2計(jì)算解：方法1

因?yàn)閒(z)=sinz在復(fù)平面上解析,又-1,1均在內(nèi),所以

2021/5/926解：方法2

利用復(fù)合閉路定理,分別以-1,1為圓心,作兩個(gè)互不相交互不包含的圓周C1，C22021/5/927練習(xí)計(jì)算解：

因?yàn)楸环e函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn),所以

2021/5/928例題3

解：

2021/5/9292021/5/930

一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù),它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示.這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同.一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo),它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說它有高階導(dǎo)數(shù)存在了.§3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)2021/5/931定理

解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導(dǎo)數(shù)為:

其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單曲線,而且它的內(nèi)部全含于D.2021/5/932[證]設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn),先證n=1的情形,即

因此就是要證2021/5/933按柯西積分公式有2021/5/934因此現(xiàn)要證當(dāng)Dz0時(shí)I0,而2021/5/935f(z)在C上連續(xù),則有界,設(shè)界為M,則在C上有|f(z)|

M.d為z0到C上各點(diǎn)的最短距離,則取|Dz|適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M足|Dz|<d/2,因此Dz0dCL是C的長度2021/5/936這就證得了當(dāng)Dz0時(shí),I0.即:再利用同樣的方法去求極限:依此類推,用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:2021/5/937高階導(dǎo)數(shù)公式的作用,不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.2021/5/938例1求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=r>1.[解]1)函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析,但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的.2021/5/9392021/5/940練習(xí):求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=2.解：

因?yàn)閦=1在

|z|=2包圍的區(qū)域D內(nèi)，又f（z）=5z2-3z+2在復(fù)平面上解析.2021/5/941練習(xí):求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=3/2.解：由于在

|z|=3/2內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)z=0,z=-1，分別分別以