2020年高考數學總復習講練測思想03 數形結合思想（練）（教師版）

2。2。年而后二淪史習游綠MK浙江邁11K思思方去高11（練）

思想03數形結合思想

株布考

【解析】

sinx

由題可以看出y=x+「一是奇函數，

X

einx

所以y=l+x+H關于（0,1）點對稱，

x

當X-0+時/（x）>0，故可排除A、C,

當％="時y=l+?可排除8,

所以選D

2.（2019?全國高考真題（文））已知NACB=9（T,P為平面4BC外一點,PC=2,點尸到/AC8兩邊ACBC

的距離均為百，那么P到平面ABC的距離為.

【答案】V2.

【解析】

作PD,PE分別垂直于AC,BC.PO1平面ABC,連CO,

知C￡>_LPD,CD，PO.P。OD=P,

\。。人平面POO,OOu平面尸。。、

CD1OD

?:PD=PE=g.PC=2.sinNPCE=sinNPCD=—,

2

NPCB=NPCA=60",

：.P。，C。,CO為ZACB平分線,

ZOCD=45cOD=CD^l,OC=0,又PC=2,

3.（2015年浙江理）若實數滿足d+丁41,則|2x+y—2|+|6-x-3y|的最小值是.

【答案】3.

【解析】因為V+y2<1表示圓f+y2=1及其內部，易得直線6-x—3y=0與圓相離,所以

|6-x-3y|=6—x-3y,當2x+y-2Z0時，|2x+y-2H6-=x-2y+4,如圖所示,可行域為

34

小的弓形內部，目標函數z=x-2y+4,則可知當x=時，zmjn=3：當2x+y—2<0時，

|2x+y-2|+|6-x—3y|=8-3x—4y,如圖所示，可行域為大的弓形內部，目標函數z=8—3x—4y,則可

知當x=|,y=［時，2而11=3,綜上所述，|2》+/-2|+|6-％-3乂的最小值是3.

4.(2017.浙江高考真題)如圖，已知四棱錐P-ABCDqPAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC〃

AD,CD_LAD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.

(I)證明：CE〃平面PAB；

(II)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值

【答案】(D見解析；(II)叵.

8

【解析】

因為E,F分別為PD,PA中點，所以政//A。且EF=』AD,

2

又因為8(7//4。.8。=，4。,所以￡///8。REF=BC,

2

即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CEI/BF,

因此CE//平面

(II)分別取BQAD的中點為M,N.連接PN交EF于點Q,連接MQ.

因為EFN分別是的中點，所以Q為EF中點，

在平行四邊形BCEF中,MQ〃C￡

由△以。為等腰直角三角形得PN1AD.

由DCLAD,N是AD的中點得BNLAD.

所以4Z）J_平面PBN,

由BC//AD得BC_L平面PBN,

那么平面PBCJ_平面PBN.

過點Q作PB的垂線，垂足為“，連接MH.

MH是MQ在平面PBC上的射影，所以是直線CE與平面PBC所成的角.

設CD=\.

在APCD中，由PC=2,CD=\,PD=V2得CE=后，

在△尸8N中,由PN=BN=l,PB=陋得QH=1.

在RtZkMQH中,QH=-,MQ=叵,

所以sin/QMH=—,

8

所以直線CE與平面P8C所成角的正弦值是立.

8

5.（2016?江蘇高考真題）現需要設計一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部分的形狀是正四棱錐

P-下部分的形狀是正四棱柱ABCD-&B1cJ）］（如圖所示），并要求正四棱柱的高。?！渴钦睦?/p>

錐的高PO1的4倍.

（1）若4B=6m,PO】=2m,則倉庫的容積是多少？

（2）若正四棱錐的側棱長為6m,則當P。1為多少時，倉庫的容積最大?

【答案】⑴312⑵PO、=2V3

【解析】

⑴由P0i=2知00i=4P01=8.

因為AB=AB=6,

2

所以正四棱錐P-AiB.C.Di的體積匕.AtB,.POX=；x62x2=24(/);

3

正四棱柱ABCD-AiB.CiD,的體積VyAT.00x=6?x8=288(m).

所以倉庫的容積丫川作+丫槎=24+288=312(m:,).

(2)設AB=a(m),PO,=h(m)，則0<h<6,00i=4h.連結OB.

因為在RtaP。1B1中,。工BJ+p。J=pat

所以《今廣+好=36,即a?=2(36-h2).

于是倉庫的容積/=V^+V^=a2-4h+^a2-h=^-a2h=y(36/i-h3)(O<h<6),

從而W=g(36-3h2)=26(12-h2).

令，=0,得h=2掰或h=-2V3(舍).

當o<h<27304,r>0,V是單調增函數；

當2V5<h<6時,V’<0,V是單調減函數.

故h=2丫3時,V取得極大值,也是最大值.

因此當P。：=2V3m時,倉庫的容積最大.

棟方旅

1.(2020?浙江高一期末)函數丫=或詞的圖象大致是()

【解析】

ln-,O<x<l,-,0<x<l

令=<x，則y=d?=e=<X

Inx,x>1X,X>1

當0vxvl時，函數y=,為減函數,且為反比例函數;

x

當尤21時，函數y=x為增函數且為正比例函數；

所以y=J間在（0,1）上為減函數，在［l,y）為增函數.

故選：A.

2.（2020?全國高三專題練習）（2013?重慶）己知圓3：（x-2）,（y-3）邑1,圓C2：（x-3）2+（y

-4）J9,M,N分別是圓3,R上的動點,P為x軸上的動點，則|PM1+|PN|的最小值為（）

A.572-4B.V17-1C.6-25/2D.后

【答案】A

【解析】如圖圓G關于x軸的對稱圓的圓心坐標A（2,-3）,半徑為1,

圓&的圓心坐標（3,4）,半徑為3,PM+|PN|的最小值為圓A與圓C2的圓心距減去兩個圓的半徑和，

即：（3-2）2+（4+3）2-1-3=572-4.

故選A.

3.（2020?北京高三期末）已知正方形ABC。的邊長為2,以B為圓心的圓與直線AC相切.若點P是

圓3上的動點，則的最大值是（）

A.272B.472C.4D.8

【答案】D

【解析】

如圖,建立平面直角坐標系，則3（0,0）,A（0,2）,D（2,2）,

圓B的方程為：x2+/=2,P(夜cos。,衣加9),

/.DB=(-2,-2),AP=(^plcosO^smO-2),

/.DB?AP=-2y[lcos0-lyflsinO+4=4—4si〃[0+—

I4J

，+-j=-lB'f,AP的最大值是8,

4.(2020?江蘇高三專題練習)已知函數/(?=<、'一，若不等式|/(幻但爾一2恒成立,

—x~-3x,x>0

則實數冽的取值范圍為()

A.[3-272,3+272]B.[0,3-20]

C.(3-20,3+20)D.[0,3+272]

【答案】D

【解析】

2x-l,x<Q

函數/(x)=,

—x~-3x,x>0

-2r+l,x<0

x?+3x,x>0

要保證不等式I/(x)1>-2恒成立

只需保證函數I/(x)I的圖像恒不在函數>=如-2圖像的下方

畫出函數If（x）I的圖像，如圖所示,

函數y=WX-2表示過定點（0,—2）的宜線，

結合圖像可知：

當機＜0時，不滿足題意，

當〃2=0時，滿足題意，

當機＞0時,考查如圖所示的臨界條件,即直線與二次函數相切，

y=x2+3x,y'=2x+3,設切點坐標為腦,片+3%）,切線的斜率為％=2,%+3,

則切線方程（片+3%）=（2x0+3）（x-x0）過點（0,-2）,

即：—2—（片+3%）=（2x0+3）（（）-x。），

數形結合可知%＞0,故％=應,此時切線的斜率左=2/+3=2忘+3,

故實數機的取值范圍為[0,3+2J5],

故選：D.

5.（2020?廣東高三（文））設三棱錐P—ABC的每個頂點都在球。的球面上，APA8是面積為3石的

等邊三角形，AC1BC,AC=3C,且平面PA5J?平面ABC.

（1）求球。的表面積;

(2)證明：平面POC，平面ABC,且平面POC_L平面P4B.

(3)與側面PAB平行的平面a與棱AC,BC,PC分別交于。，E,尸，求四面體ODEF的體積的最

大值.

4

【答案】(1)16萬(2)證明見解析(3)-

【解析】

(1)解：取A3的中點G,連接PG.

因為AC1BC,所以A4BC的外心為G.

因為PA=PB,所以PG，A3.

又平面PAB±平面ABC,平面PABc平面ABC=AB,所以PG，平面ABC,

所以。在PG上.

因為APA3是等邊三角形,所以。是線段PG上靠近點G的一個三等分點.

由題意得—AB2=3G,解得AB=25

4

所以球。的半徑/?=立xABx2=2,球。的表面積為4萬X/?2=16萬.

23

(2)證明：因為。在PG上,所以PO_L平面ABC,

又POu平面POC,所以平面POC±平面ABC.

連接CG,則CG1AB,乂平面PAB1平面ABC,所以CG，平面PAB,

又CGu平面POC,所以平面POCJ.平面PAB.

(3)解：因為48=2出，所以C到平面PA8的距離”=⑺.

設CD=/IC4(O<；1<1),。到平面DEF的距離為/?.

因為平面PAB平面OE尸，所以AOEFA48P,則△/)石尸的面積為36矛.

又力=國，所以。至U平面DEF的距離為G,

所以四面體OOEF的體積V=%_即=gx3百分*(石一田)=3萬。一小

設f(4)=312(l—a)(0<；l<l),/(A)=32(2-32),

2?

當0<x<§時，/(/l)>0；當一<x<l時，/,(/t)<0

2x_]((<0)

1.(2019?寧夏高三月考(理))已知函數/(x)={一\一1，把方程/(x)-x=O的根按從小

/U-l)+l(x>0)

到大的順序排列成一個數列，則該數列的通項公式為()

A.I)(JIGN*)B.a“=〃(〃—l)("cN*)

C.a“=〃-l(〃eN*)D.=2"-2(〃eN*)

【答案】C

【解析】

作圖y=/(x),y=x可得方程/(x)-x=0的根按從小到大的順序為0,1,2,3,,n-l,，選C.

2.(2019?福建高考模擬(理))如圖，點F是拋物線°尤2=4)，的焦點，點4B分別在拋物線C和圓

產+(),_1尸=4的實線部分上運動，且AB總是平行于軸,貝以斯8周長的取值范圍是()

A-(3,6)B.(46)c-(4,8)D-(6,8)

【答案】B

【解析】

拋物線V=4y的焦點為(0,1),準線方程為y=-1,

圓(y-1)°+/=4的圓心為(0,1),

與拋物線的焦點重合,且半徑「=2,

IFB\=2,|明="1,|AB\=yB-yA,

三角形力距的周長=2+%+l+%-弘=加3,

三角形/罰■'的周長的取值范圍是(4,6).

3.(2020?安徽高三月考(文))已知正方形A8CO的邊長為2,動點P滿足|Pq41,且

AP=xAB+yAD,則2x+y的最大值為()

A.--2B.—+2C.-D.-

2222

【答案】B

【解析】

以A為原點建立如圖所示的直角坐標系:

則A（0,0）,6（2,0）,C（2,2）,D（0,2）,設P（a]）,由，目得，屁了不力，

即動點尸在以（2,0）為圓心,半徑廠=1的圓以及圓內部運動，

又AP=xAB+yAD,則a=2x,/?=2y,令m=2x+y=a+g

將加=a+，，即/?=-2a+2m當作直線，

所以當直線6=一2。+2根與以（2,0）為圓心，半徑r=l的圓以及圓內部相切時，根有最值,

[4-2叫]

此時,圓心到直線j3=-2a+2m的距離d

即（2加一4）2=5,解得機=2士手，所以2x+y的最大值為2+乎.

故選：B.

4.（2020?廣東高三期末（理））已知球。的半徑為2,A、3是球面上的兩點，且AB=26,若點P是

球面上任意一點，則P4PB的取值范圍是（）

A.[-1,3]B.[-2,6]C.[0,1]D.[0,3]

【答案】B

【解析】

作出圖形,取線段AB的中點M,連接。尸、OA、OB、OM.尸“，可知OMLAB,

由勾股定理可得卜=1,且有MB=_M4，

由向量的加法法則可得PA=PM+MA，PB=PM+MB=PM-MA、

：.PAPB=（PM+MA^PM-A14）=PM?-MA=’時-|M4|?二-3.

PM=PO+OM,由向量的三角不等式可得卜o|—|OM|卜|《卜。|+|竊陷，

.?.lfPM卜3,所以，PA-PB=\PMf-3e[-2,6].

因此，PA.總的取值范圍是[-2,6].

故選:B.

5.（浙江省金華十校2019屆高三上期末）已知向量滿足：伍|=2,＜工方〉=60。,且

2=—+t1（twR）,貝!l|Z|+12-Z|的最小值為（）

A.VHB.4C.25/3D.運

4

【答案】A

<a>b>=60S

則口可表示為可，點8在直線y=VJx上,

設C(-LO),D(3,0),

??c=--a+tb,te.R,

|c|=BC,c—a=—^a+tb,

\c-a|=|BD|,

則|小+1Z-+的最小值可轉化為在直線y=Ox

取一點8使得BD+BC最小,

作點,關于y=的對稱點C',

則BD+BC最小值即可求出DC',

設C(x,y),

則C'D=|6+3)2+(—4-0)2=vn,

故|2|+|c—a|的最小值為VIT

故選：A.

6.（2019?江蘇月考）在平面直角坐標系X。），中，設點A是拋物線y2=2px（〃>0）上的一點，以拋物線

的焦點F為圓心、以FA為半徑的圓交拋物線的準線于B,C兩點,記/BFC=8,若

[28

2sin?8—sin26=3cos8—sin。，且A4BC的面積為一^-,則實數P的值為（）

A.8B.4C.472D.80

【答案】A

【解析】

因為2sii?9—sin2。=3cos8—sin9,且sin2。+cos20=1,

解得sin0cos0=—

22

3

結合圖象可知,△砒'為等邊三角形，

'：\FD\=p,

：.IBC\=\FB\=區(qū)3p,即圓的半徑|陽=3叵A

33

設A（照,外）,

1p1,,12J32J3128

:.S&ABC=~|BC\*|Xo+—I=—IBC\?I/^=—x----px-------p-.......

2222333

解得P=8,

故選：A.

7.(2020?江蘇高三專題練習)在平面直角坐標系xoy中，過圓G：(x-k)2+(y+k-4)21上任一

點P作圓C2：f+y2=1的一條切線,切點為Q,則當線段pQ長最小時,k=.

【答案】2

【解析】

如圖，因為PQ為切線,所以尸。_1。2。,

由勾股定理,得|PQ|=JPC22T，要使|尸。最小,則需PG最小，

顯然當點P為GG與G的交點時，PC?最小,

此時，|PG|=|GG|T，所以當|GG|最小時，PC2就最小，

|C,C2|=西+(_、+4)2=52(1-2了+8>20,

當&=2時，|GG|最小最小,得到|PQ|最小，

故答案是：2.

8.(2020?全國高三專題練習)過動點P作圓：(x—3p+(y-4)2=l的切線PQ,其中。為切點，若

|PQ|=|PO|(。為坐標原點)，則的最小值是—.

【答案】y

【解析】

根據題意,設P的坐標為(m,n),圓(x-3)?+(尸4>=1的圓心為N)則N(3)4)

PQ為圓(x-3)、(y-4)2=l的切線,則有|PN|2=|PQ|2+|NQ「=PQ句,

-1

又由|PQ|=|PO|,

則有|PN|2=|P01+l,

即(m-3)2+(n-4)2=m'+n2+l,

變形可得：6m+8n=24,

即P在直線6x+8y=24上,

則IPQI的最小值即點0到直線6x+8y=24的距離,

|6x0+8x0-24|_12

后+8

即IPQ的最小值是三.

9.（2019?江蘇常熟中學高三月考）已知4:"優(yōu)一卜一3加+1=0與/2：%+股—3加-1=0相交于點尸,

線段A3是圓C:（x++（y+1）?=4的一條動弦,且卜273,則|Q4+型的最小值是_____.

【答案】472-2

【解析】

7i：RX-y-3研1=0與A：x+my-3z?-1=0,

過定點（3,1）,占過定點（1,3）,

，點戶的軌跡方程為圓（x-2）z+（y-2）2,

作垂直線段CDLAB,CD=打-（殘＞=],

所以點〃的軌跡為（x+l）2+（y+l『=l,

貝ij+PB\=\PC+CA+PC+CB\=2\PC+CD\=2\PD\,

因為圓。和圓〃的圓心距為J（2+iy+（2+1）2=3上＞1+72,

所以兩圓外離，

所以I勿最小值為30-1-0=2&-1，

所以IA4+P8]的最小值為4j]-2.

故答案為：45/2-2.

10.（2018?上海華師大二附中高二期末）已知2%+匕一治=0（。＞0力＞0）,當出?取得最小值時，曲線

WW—2dV=1上的點到直線y=&X的距離的取值范圍是.

ab

【答案】（0,

【解析】

,/2x+Z?-aZ?=0（a>0,b>0）,

/.ab=2a+b>2-j2ah,化為—2夜）20,

.?.而22及，解得

當且僅當b=2"=4時取等號.

當xNO,yNO時，曲線化為三_￡=i；

24

當X2O,yKO時，曲線化為工+$=1：

22

當x40,yNO時，曲線化為—乙一匕=1,此時無圖像，應舍去;

24

92

當x<0,y<0時，曲線化為一七+匕=1；

24

畫出圖形：

2222

由圖形可知：直線y=0%分別是曲線工-匕=1,曲線一二+匕=1的漸近線.

2424

因此點到直線y=&的距離"〉0.

22

設直線y=與曲線：+5=l（x>0,y<0）,相切，

y=y/lx+m,lc

c,,,,化為4￡+2及mx+/"2-4=o，

）2x2+/=4

令△=862-16（加2-4）=0,解得根=_2/，

二切線為y=0x-2j5.

兩平行線y=缶—20,y=的距離d==巫,

，33

，曲線《一鱉I

上的點到直線y=

（0,孚］.

故答案為:

n.(2018屆江蘇省宿遷市高三第一次模擬)已知函數f(x)函數

g(x)=/(x)+f(-x),則不等式g(x)<2的解集為.

【答案】［一2,2］

【解析】因為g(x)=/(x)+/(-X),g(—x)=/(x)+“—x),故g(x)是偶函數，

\2+3X+4,X5-1

故。（犬）=/（燈+/（-￥）=|2,-1<x<1可畫出g（x）的圖

2

kx—3r+4,x>1

令產-3x+4=2=>x=l或x=2

故解集為

故答案為：［-2,2〉

—x+4xW3

12.(2018屆北京市昌平區(qū)高三上期末)若函數/(x)={'-］(。>0且4H1),函數

log“x,x>3

g(x)=.f(x)—匕

①若a=g,函數g(x)無零點,則實數出的取值范圍是一

②若/(X)有最小值,則實數a的取值范圍是.

【答案】［-1,1)(1,3］

若函數g(X)無零點，則y=k和y=f(x)無交點，

結合圖象，-lWk<l；

②若0<a<l,顯然f(x)無最小值，故a>l,

結合1。取3=1,解得：a=3,

故aG(1,3］；

故答案為：［T,l),(1,3］.

13.(2020屆浙江省名校新高考研究聯(lián)盟(Z20聯(lián)盟)高三上學期第一次聯(lián)考)已知非零平面向量a力不

31

共線,且滿足a功=/=4,記c=，當b,c的夾角取得最大值時，|。一61的值為.

【答案】4

【解析】

由北零平面向量a,b不共線，艮滿足口心=02=4,建立如圖所示的平面直角坐標系:

則A(2,0),B(2,b),b>0,則a=(2,0),。=(2/)，由c=，則C(2,1),

則直線OB,OC的斜率分別為2,夕，

28

由兩直線的夾角公式可得:

b_b

tanZBOC=28=<33

、bb8b

l+-x--+—2"4

28027b2

Qb

當且僅當丁=不，即b=4時取等號,此時3(2,4),則a-b=(0,-4),

b2

所以|a—們=4,故填：4.

14.(2020屆浙江湖州、衢州、麗水三地市高三上期中)已知函數/(》)=/+Jx—a"伏a/eR),

若x?-1,1]時，J/(x)歸1,則ga+匕的最大值是.

【答案】二

2

【解析】

由|〃x)歸1得，-1<x2+^\x-a\+b<1,BP-l-x2<-^|x-tz|+/?<l-x2.即當X￡[T,1]

時，y=的圖像夾在y=—f與y=i-￡之間.雙變量問題先固定?個變量值或者范圍，也

1,1]中移動>=；,一4+〃的圖像,可知可取〃=—1,變化。，移動》=；卜—4+〃的圖像，由圖可知

—所以一。+匕<—時+匕4—1=—,即一〃的最大值為一5.移動y=—上一+〃的圖

2222222

像，。涉有無數種情況,但是最大值始終為1a+匕=-1.

22

故答案為：——.

2

15.(2019?南京市漂水區(qū)第二高級中學高三月考(理))已知函數f(x)=x3—3x?+l,g(x)=

，5

■X—XH---X>0n

4'，若方程g[f(x)]—a=0(a>0)有6個實數根(互不相同)，則實數a的取值范圍是

—%2—6x—8,x40

【答案】(1,一)

4

【解析】

分析：利用換元法設t=f(x),則g(t)=a分別作出兩個函數的圖象,根據a的取值確定t的取值范圍,

利用數形結合進行求解判斷即可.

詳解：作出函數f(x)和g(x)的圖象如圖:

(a>0)由y=g(t)的

圖象知，①當0<aVl時，方程g(t)=a有兩個根-4<t?-3,或-4<t2<-2,由t=f(x)的圖象知，當-4〈匕

<-3時,t=f(x)有0個根，當-4Vt2<-2時,t=f(x)有0個根，此時方程g[f(x)]-a=0(a>0)有0個

根,②當a=l時,方程g(t)=a有兩個根ti=-3,或tz=!，由t=f(x)的圖象知，當3=-3時,t=f(x)有0個

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根,當時,t=f(X)有3個根，此時方程g[f(x)]-a=0(a>0)有3個根，③當lVa<?時，方程g(t)

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=2有兩個根0vtic1，或1<卜<1,由t=f(x)的圖象知，當0<ti<L時,t=f(x)有3個根，當

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<1時,t=f(x)有3個根,此時方程g[f(x)]-a=0(a>0)有3+3=6個根,當a=-由圖可得同理只有5解,

4

綜合的故若方程g[f(x)]—a=0(a>0)有6個實數根(互不相同)，則實數a的取值范圍是(1,自)

4

16.(2018屆甘肅省蘭州市高三一診)己知函數八乃二:"+以]-^^^^?.

(1)若y=〃x)圖象上(1,一￡)處的切線的斜率為—4,求y=f(x)的極大值;

(2)y=f(x)在區(qū)間[一1,2]上是單調遞減函數,求a+b的最小值.

【答案】⑴見解析.(2)

【解析】

(1)V/-(x)=+ax2-bx,=x2+2ax-b,

由題意得r(1)=-4且/'(1)=

(1+2Q—b=-4

即，上c.□，解之得a=-Lb=3.

(la-+a-d=---3

...f(X)=-X2-3x,r(x)=a+l)(x-3),

令r(x)=0得％=-1,x2=3,

列表可得

X(-00,-1)-1(T3)3(3,+oo)

f'(x)+0-0+