專題04基本不等式（4知識(shí)點(diǎn)6題型）

專題04基本不等式（4知識(shí)點(diǎn)+6題型）基本不等式?？碱}型常見(jiàn)求最值模型基本不等式常考題型常見(jiàn)求最值模型均值定理基本不等式重要不等式題型一：直接法求最值題型二：”1”的代換利用基本不等式求最值題型三：消元法求最值題型四：“一次或二次”型求最值題型五：常見(jiàn)拆、湊、配、分離等方法湊基本不等式求最值題型六：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一：知識(shí)點(diǎn)一：重要不等式重要不等式(1)若任意，則 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立(2)公式變形：.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立知識(shí)點(diǎn)二、知識(shí)點(diǎn)二、基本不等式基本不等式（1）如果，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。其中，叫作正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，作正數(shù)的幾何平均數(shù)。因此基本不等式也可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。（2）變形公式：（3）用基本不等式求最值時(shí)，要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”（4）重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號(hào)成立的條件).知識(shí)點(diǎn)三：知識(shí)點(diǎn)三：均值定理已知.（1）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即“和為定值，積有最大值”.（2）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即積為定值，和有最小值”.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四：常見(jiàn)求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．題型一、直接法求最值解題思路：利用基本不等式直接求最值（1）通過(guò)簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)處理在直接利用基本不等式求最值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；例1．下列不等式正確的有（

）A．若，則函數(shù)的最小值為2B．最小值等于4C．當(dāng)D．函數(shù)最小值為【答案】CD【分析】利用基本不等式的性質(zhì)和對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，令，則，，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞增，，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知：為減函數(shù)，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：CD.例2．已知，若的最小值是6，則．【答案】【分析】分離常數(shù)，再利用基本不等式求出的最小值，再結(jié)合題意即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)榈淖钚≈凳?，所以，解得．故答案為：.例3．已知且，則的最小值為（

）A． B．4 C．6 D．12【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)榍?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.變式訓(xùn)練：4．已知，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】利用均值不等式求解即可.【詳解】由知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為6.故選：A5．若正數(shù)滿足，則的最大值為（

）A．9 B．18C．36 D．81【答案】D【分析】利用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.故選：D.6．下列結(jié)論正確的是（

）A．設(shè)，則的最小值是B．當(dāng)時(shí)，的最小值是2C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，的最小值是5【答案】CD【分析】通過(guò)基本不等式及其適用的條件，判斷選項(xiàng)中的最值是否成立.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椴皇嵌ㄖ担虼说淖钚≈挡皇?，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而當(dāng)時(shí)，不能取到等號(hào)，因此恒成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：CD題型二、”1”的代換利用基本不等式求最值解題思路：利用基本不等式直接求最值（關(guān)鍵就是湊倒數(shù)形式）（1）1的代換就是指湊出1，使不等式通過(guò)變形出來(lái)后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過(guò)程中要特別注意等價(jià)變形．（2）根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法，得到基本不等式的倒數(shù)形式（3）利用基本不等式求最值，注意驗(yàn)證取得條件．例1．兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，若不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】妙用“1”先求得的最小值為4，然后解不等式可得.【詳解】正實(shí)數(shù)，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，不等式有解，，解得或，即．故選：C．例2．已知，且，則的最小值為（

）A．8 B．16 C．12 D．4【答案】A【分析】換元令，可得，，根據(jù)“1”的靈活應(yīng)用結(jié)合結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】令，則，可得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：A.例3．已知，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為9C．的最小值為 D．的最大值為【答案】BD【分析】選項(xiàng)A，由和為定值，利用基本不等式求積的最大值；選項(xiàng)B，根據(jù)“乘1法”利用基本不等式求最小值；選項(xiàng)C，消元后再利用配方法求最小值；選項(xiàng)D，由和為定值，利用基本不等式求積的最大值．【詳解】已知，且，由基本不等式，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，的最大值為，故A不正確；，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，的最小值為9，故B正確；，當(dāng)時(shí)，取最小值，故C不正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最大值為，故D正確．故選：BD.變式訓(xùn)練：4．若正數(shù)滿足，則的最小值是.【答案】16【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合已知等式進(jìn)行求解即可.【詳解】由已知得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，得，由，得，聯(lián)立方程，解得，時(shí)，不等式的等號(hào)成立.故答案為：165．已知，，且，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：D．6．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【分析】由已知可得，再利用基本不等式求最值可得答案.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào).故選：C.7．已知，則的最小值是．【答案】14【分析】把化為，由，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意知，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是14．故答案為：8．設(shè)函數(shù)，(1)若，求不等式的解集．(2)若時(shí)，，且，，求的最小值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及分類討論即可求解；（2）根據(jù)已知條件及基本不等式即可求解.【詳解】（1）由得，又因?yàn)?，所以不等式化為，即，?dāng)時(shí)，原不等式變形為，解得當(dāng)時(shí)，，原不等式．若，原不等式．此時(shí)原不等式的解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，，不等式或；當(dāng)時(shí)，，不等式或綜上所述，不等式的解集為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或.（2）由已知得，，又則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為.題型三、消元法求最值解題思路：利用消元法和基本不等式求最值（1）消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問(wèn)題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)；（2）再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過(guò)程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！例1．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用表示后，根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由，得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為.故選：D例2．若，，且，則的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16【答案】C【分析】由可得，從而將化為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意，，得，故，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即，故的最小值是13，故選：C例3．已知，，，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)條件消去，再利用“1”的變形技巧，結(jié)合均值不等式求解即可.【詳解】由可得，解得，又，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：變式訓(xùn)練4．已知，，且，則的最小值為.【答案】8【分析】由題意，，所以代入化簡(jiǎn)得，將其化簡(jiǎn)為的形式，利用均值不等式即可求出其最小值．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等．則的最小值為.故答案為：.5．若正數(shù)，滿足，則的最大值為．【答案】【分析】利用消元法，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由，得，則，解得，則，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故答案為：.6．已知，且，則的最小值為.【答案】【分析】利用等式求解，代入計(jì)算，結(jié)合基本不等式，即可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，解得：，則當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，“=”成立故答案為：.題型四、“一次或二次”型求最值解題思路：利用“二元”和基本不等式求最值通過(guò)換元或者分離常數(shù)的方法湊出基本不等式的形式。再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過(guò)程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！例1．函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【分析】由基本不等式求解，【詳解】因?yàn)樗裕?當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立故最小值為，故選：A例2．設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算得出，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、、滿足，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故的最大值為.故選：C.例3．已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【分析】利用基本不等式可求解.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是6.故選：A變式訓(xùn)練4．若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】【分析】令，當(dāng)時(shí)，，利用基本不等式和不等式的性質(zhì)求出的范圍，再代入，最終可求出的值域，再根據(jù)即可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．【詳解】令當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立或即或或或綜合得因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，則.5．函數(shù)的最小值為．【答案】【分析】將函數(shù)化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.【詳解】由，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以原函數(shù)的最小值為.故答案為：6．函數(shù)的值域是．【答案】【分析】分三種情況討論，運(yùn)用基本不等式求值域.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)，.若時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即.若時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即.綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：7．下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】A中x無(wú)法確定正負(fù)，不能求出最值；B是二次函數(shù)，配方求解最值；C看成關(guān)于的二次函數(shù)，配方求最值；D變換構(gòu)造，用基本不等式求最小值﹒【詳解】A中的正負(fù)無(wú)法確定，其函數(shù)值可以為負(fù)數(shù)；B中，最小值為2；C中，當(dāng)時(shí)，其最小值為2；D中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)﹒故選：BCD﹒8．求解下列各題：（1）求的最大值；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）8.【分析】（1）因?yàn)?，所以利用均值不等式即可求解；?）因?yàn)?，所以利用均值不等式即可求?【詳解】解：（1）因?yàn)?，又，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故y的最大值為；（2）由題意，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故y的最小值為8.題型五：常見(jiàn)拆、湊、配、分離等方法湊基本不等式求最值解題思路：常見(jiàn)拆、湊、配、分離等方法湊基本不等式求最值（1）通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)、配等方法湊成和為定值或積為定值的形式．（2）再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過(guò)程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！例1．下列說(shuō)法正確的有（

）A．已知，則的最小值為B．的最小值為2C．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值為3D．設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值是1【答案】ACD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，配湊后使用基本不等式判斷即可，對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)不成立即可判斷，對(duì)于C項(xiàng)，運(yùn)用“1”的代換及基本不等式即可判斷，對(duì)于D項(xiàng)，運(yùn)用，結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次不等式即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A項(xiàng)成立；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，正數(shù)x，y滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故C項(xiàng)成立；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，①又因?yàn)?，所以②，所以由①②得，即，即，又因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故D項(xiàng)成立．故選：ACD．例2．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則（）A．的最大值是 B．的最小值是9C．的最小值為 D．的最小值為2【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式一一求解最值即可.【詳解】對(duì)于A，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，由A可得，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤；故選：BC.例3．下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論是（

）A．若，則函數(shù)的最大值為B．若，則的最小值為C．若，則的最大值為1D．若，則的最小值為【答案】BC【分析】采用配湊法并利用基本不等式即可判斷A的正誤；將已知化為，進(jìn)而得出并利用基本不等式即可判斷B的正誤；直接運(yùn)用基本不等式即可判斷C的正誤；將化為，并利用基本不等式即可判斷D的正誤．【詳解】對(duì)于A，若，則函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，若，，，則由可得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，若，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．故選：BC．變式訓(xùn)練：4．已知均為正數(shù)，且，則的最小值為（

）A．11 B．13 C．10 D．12【答案】A【分析】利用基本不等式求最值即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.5．不等式對(duì)所有的正實(shí)數(shù),恒成立，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】由題意可得，令，則有，，結(jié)合基本不等式求得，于是有，從而得答案.【詳解】解：因?yàn)?為正數(shù)，所以，所以，則有，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，又，所以，即，所以的最小值為1，所以，即的最大值為1.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，常采用參變分離法，只需求出分離后的函數(shù)(代數(shù)式)的最值即可得解.6．已知，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．10【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得出，，通過(guò)配湊，再根據(jù)基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】∵∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為10．故選：D.7．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為.【答案】4【分析】根據(jù)已知條件變形，結(jié)合基本不等式求得答案.【詳解】∵，∴，又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值4.故答案為：4.8．下列結(jié)論不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，的最小值是C．當(dāng)時(shí)，的最小值是 D．當(dāng)時(shí)，的最小值是【答案】BCD【分析】直接利用基本不等式即可判斷AC；對(duì)于B，先將表示為，再用基本不等式，注意取等條件即可判斷正誤；舉反例可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)方程無(wú)解，所以等號(hào)取不到，所以最小值不是2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，但，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.題型六利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題解題思路：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)設(shè)變量時(shí)，一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)解題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍．(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解，如利用f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的單調(diào)性．例1．現(xiàn)設(shè)計(jì)一個(gè)兩鄰邊的長(zhǎng)度分別為的矩形廣告牌，其面積為，且，則當(dāng)該廣告牌的周長(zhǎng)最小時(shí)，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意求得，得到矩形的周長(zhǎng)為，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意知，且，所以，則該矩形的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得等號(hào)，此時(shí).故選：A.例2．某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個(gè)小矩形加一個(gè)正方形面積共為200平方米．計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為每平方米4200元，在四個(gè)相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設(shè)花崗巖地坪，造價(jià)為每平方米210元，再在四個(gè)角上鋪設(shè)草坪，造價(jià)為每平方米80元．(1)設(shè)AD長(zhǎng)為x米，總造價(jià)為S元，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)問(wèn)：當(dāng)x為何值時(shí)S最小，并求出這個(gè)S最小值.【答案】(1)(2)，118000元【分析】（1）根據(jù)題意，建立函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)題意，由（1）中的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，，且，則，則（2）由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)米時(shí)，元.3．某地為了加快推進(jìn)垃圾分類工作，新建了一個(gè)垃圾處理廠，每月最少要處理300噸垃圾，最多要處理600噸垃圾，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，為使每噸的平均處理成本最低，則該廠每月的處理量應(yīng)為噸．【答案】400【分析】根據(jù)條件得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】設(shè)每噸的平均處理成本為元，由題意可得，其中.由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，每噸的平均處理成本最低．故答案為：400.4．全國(guó)文明城市稱號(hào)是反映中國(guó)大陸城市整體文明水平的最高榮譽(yù)稱號(hào)．全國(guó)文明城市是中國(guó)大陸所有城市品牌中含金量最高、創(chuàng)建難度最大的一個(gè)，是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，是目前國(guó)內(nèi)城市綜合類評(píng)比中的最高榮譽(yù)，也是最具有價(jià)值的城市品牌．吉林省某市一塊空閑地，垃圾成堆并存在違規(guī)菜地現(xiàn)象，為響應(yīng)政府號(hào)召，對(duì)這塊空閑地進(jìn)行改造，計(jì)劃建一面積為4000m2矩形市民休閑廣場(chǎng)．為此社區(qū)黨委開(kāi)會(huì)討論確定方針：既要占地最少，又要美觀實(shí)用．初步?jīng)Q定在休閑廣場(chǎng)四周安排綠化帶，綠化帶東西寬為2m，南北寬為5m．(1)設(shè)總占用空地的面積為S（單位：m2），矩形休閑廣場(chǎng)東西距離為x（單位：m，），試用x表示為S的函數(shù)；(2)當(dāng)x為多少時(shí)，占用空地的面積最少？并求最小值．【答案】(1)(2)休閑廣場(chǎng)東西距離為時(shí)，用地最小值為4840．【分析】（1）由題意，根據(jù)矩形面積公式列式即可；（2）代入第一問(wèn)求出的解析式結(jié)合基本不等式求最值即可即可.【詳解】（1）因?yàn)閺V場(chǎng)面積須為4000，所以矩形廣場(chǎng)的南北距離為m，所以．（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．答：當(dāng)休閑廣場(chǎng)東西距離為時(shí)，用地最小值為4840．5．如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒(méi)有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym．(1)若菜園面積為18m2，則x，y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最?。?2)若使用的籬笆總長(zhǎng)度為15m，求的最小值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由題意得，利用基本不等式求出的最小值及時(shí)等號(hào)成立；（2）根據(jù)題意得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最值.【詳解】（1）由已知可得，而籬笆總長(zhǎng)為．又∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．∴菜園的長(zhǎng)x為12m，寬y為6m時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最?。?）由已知得，又∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，即x＝5，y＝5時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是．一、單選題1．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A．13 B．16 C．9 D．12【答案】B【分析】根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B.2．設(shè)，則函數(shù)，的最小值為（

）A．7 B．8 C．14 D．15【答案】D【分析】利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為15，故選:D．3．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求出的最小值，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為大于的最小值，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)正實(shí)數(shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椴坏仁接薪?，所以大于的最小值，即，解得或，即?shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C4．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】由題可得，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得等號(hào)，故選:C.5．的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得，再利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：D6．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【分析】化簡(jiǎn)已知式可得，因?yàn)?，由基本不等式求解即?【詳解】，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等.故選：C.7．已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)基本不等式求出.然后即可根據(jù)不等式的性質(zhì)得出，列出兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立的條件，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立.所以，.故選：D.8．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)形結(jié)合計(jì)算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得結(jié)論．【詳解】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：D.二、多選題9．設(shè)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為4C．的最大值為2 D．的最小值為4【答案】BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式及其變形，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由，得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A不正確.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確.，即，故C不正確.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：BD.10．設(shè)，，滿足，下列說(shuō)法正確的是（

）A．a(chǎn)b的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為