考點(diǎn)13+三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-2019年浙江新高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過(guò)+含解析

考點(diǎn)13三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

i.理解正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì).

2.理解余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì).

3.理解正切函數(shù)的圖象與性質(zhì).

4.了解三角函數(shù)的周期性.

5.了解函數(shù)尸“而麻+9）的實(shí)際意義.

6.掌握J(rèn)=Hsin（0x+。）的圖象

7.了解參數(shù)A,co,8對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.

一、正弦函數(shù)y=sinx，余弦函數(shù)），=cos匕正切函數(shù)y=tan尤的圖象與性質(zhì)

域

當(dāng)x=(/ceZ)時(shí)，

當(dāng)工=2kTi(k&Z)時(shí)，

最Nmax=1；^max=1；

既無(wú)最大值，也無(wú)最小值

值TT當(dāng)x=2E+n(左eZ)時(shí)，

當(dāng)x=2Kr-2(左eZ)時(shí)，

Win=T-

Xnin=T.

周

期最小正周期為2兀最小正周期為27t最小正周期為兀

性

奇

偶sin(-x)=-sinx,奇函數(shù)cos(-x)=cosx,偶函數(shù)tan(-x)=-tanx,奇函數(shù)

性

jr7T

在［2加一」,2E+g］（keZ）

在［2Kr-幾2標(biāo)］（左eZ）±

單上是增函數(shù)；7T71

是增函數(shù)；在（而一,：加+'）（左cZ）

調(diào)在

在［2機(jī)2JE+n］（左eZ）上

性上是增函數(shù).

［2而+；：2左兀+―］（keZ）

是減函數(shù).

上是減函數(shù).

對(duì)稱(chēng)中心/兀0）（keZ）；對(duì)稱(chēng)中心（婦1+10）（左eZ）；JrTT

對(duì)稱(chēng)中心（W，0）（kcZ）；

對(duì)

對(duì)稱(chēng)軸X=KI+2（&"6Z）,

稱(chēng)對(duì)稱(chēng)軸X=/c7l（左WZi,無(wú)對(duì)稱(chēng)軸，

性既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)是中心對(duì)稱(chēng)圖形但不是軸對(duì)

圖形.圖形.稱(chēng)圖形.

二、函數(shù)N=*sin（0x+0）的圖象與性質(zhì)

1.函數(shù)J'=Xsin（0x+°）的圖象的畫(huà)法

（1）變換作圖法

由函數(shù)y=sinx的圖象通過(guò)變換得到j(luò)=Xsin(<yx+0)(A>0M>0)的圖象，有兩種主要途徑：'‘先平

移后伸縮，，與“先伸縮后平移”.如下圖.

(2)五點(diǎn)作圖法

找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，分別為使y取得最小值、最大值的點(diǎn)和曲線與x軸的交點(diǎn).其步驟為:

①先確定最小正周期7=2］在一個(gè)周期內(nèi)作出圖象；

CO

TT371

②令X=<yx+e,令X分別取0,一，兀，二-,2兀，求出對(duì)應(yīng)的X值，列表如下：

22

7T3-

)

X=<tx+(p0T22IT

7T37r

華〒-37T—牛2T

X

30)CD

0)0)

\二」sin(3x0A0-.40

由此可得五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；

③描點(diǎn)畫(huà)圖，再利用函數(shù)的周期性把所得簡(jiǎn)圖向左右分別擴(kuò)展，從而得到y(tǒng)=4sin(0x+0)的簡(jiǎn)圖.

2.函數(shù)j=Ksin(0x+0)(A>0,w>0)的性質(zhì)

兀

(1)奇偶性：。=左兀時(shí)，函數(shù)y=Xsin(<yx+0)為奇函數(shù)；0=%兀+萬(wàn)時(shí)，函數(shù)丁=Xsin(0x+0)為

偶函數(shù).

2兀

(2)周期性：y=Xsin(?x+0)存在周期性，其最小正周期為六一.

(O

TT7T

（3）單調(diào)性：根據(jù)產(chǎn)sinr和r=&x+e的單調(diào)性來(lái)研究，由一一+2左冗，。n+°&—+2左兀左eZ得單調(diào)

22

增區(qū)間；由;+2左冗40工+。44+2也左wZ得單調(diào)減區(qū)間.

（4）對(duì)稱(chēng)性：利用產(chǎn)sinx的對(duì)稱(chēng)中心為（E,0）（左?Z）求解，令①x+（p=k0ceZ、,求得x.

717T

利用產(chǎn)sinx的對(duì)稱(chēng)軸為》=加+不（左eZ）求解，令0x+°=Ki+j（kwZ）,得其對(duì)稱(chēng)軸.

3.函數(shù)y=4sin（0x+0）（A＞0,??0）的物理意義

271

當(dāng)函數(shù)＜y=Xsin（Ox+。）（4＞0,加＞0,工￡［0,+8））表示一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)量時(shí)，則A叫做振幅，T=—叫做

（0

周期，/=!=:叫做頻率,。x+9叫做相位，x=O時(shí)的相位。叫做初相.

T2兀

三、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

（1）函數(shù)1y=4sin（0x+0）,1y=4cos（＜ax+0）的定義域均為R；函數(shù)j=Xtan（0x+0）的定義域

均為{x|XH”一￡+三-左eZ}.

d）0Id）

（2）函數(shù)y=4sin（0x+0）,y=Xcos（＜yx+0）的最大值為|A|,最小值為一|川；函數(shù)

y=Atan（0x+0）的值域?yàn)镽.

2兀

（3）函數(shù)丁=dsin（0x+0）,}=Xcos（0x+0）的最小正周期為［［；函數(shù)}=，tan（0x+0）的最小

畫(huà)

正周期為告.

⑷對(duì)于戶心皿次+⑴，當(dāng)且僅當(dāng)0=砥左eZ）時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)°而+2伏'Z）時(shí)

為偶函數(shù)；對(duì)于J=Xcos（0x+o）,當(dāng)且僅當(dāng)。e+了際之）時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)

°=far（左eZ）時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)于j=Ttan［次+0）,當(dāng)且僅當(dāng)"'5供田時(shí)為奇函數(shù).

（5）函數(shù)J=*sin?x+0（月>°'0>0）的單調(diào)遞增區(qū)間由不等式“2~X2

2fcr+—<ax+<p<2kjt+—（keZI

GZ）來(lái)確定，單調(diào)遞減區(qū)間由不等式22來(lái)確定；函數(shù)

N=Kcos（0x+0）a>O,0>O）的單調(diào)遞增區(qū)間由不等式2版一兀W0X+0W2版化eZ）來(lái)確

定，單調(diào)遞減區(qū)間由不等式2加""+。"2癡+兀（丘Z）來(lái)確定；函數(shù)

j-=Xtan（tyx+0（X>O:口>0）的單調(diào)遞增區(qū)間由不等式也］<公*+。〈版讓Z）來(lái)

確定.

［注］函數(shù)）'=Xsin（0x+0）,y=,4cos（0x+0）,y=Xtan（°x+0）（0有可能為負(fù)數(shù)）的單

調(diào)區(qū)間：先利用誘導(dǎo)公式把力化為正數(shù)后再求解.

（6）函數(shù)y=Asin（a）x+（p）圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=—-—+—（keZ）,對(duì)稱(chēng)中心為

。。2。

（如-￡.0X左wZ）：函數(shù)y=dcos（0x+0）圖象的對(duì)稱(chēng)軸為工=y-￡（左eZ）,對(duì)稱(chēng)中心為

（―--^+—.0）（）1el）：函數(shù)y=,4tan（0x+<p）圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（旦一20）（左eZ）.

oa2a）2a）a

【注】函數(shù)y=Hsin（0x+0）,y=Kcos（<yx+0）的圖象與x軸的交點(diǎn)都為對(duì)稱(chēng)中心，過(guò)最高點(diǎn)

或最低點(diǎn)且垂直于％軸的直線都為對(duì)稱(chēng)軸.函數(shù)y=Xtan（@x+0）的圖象與x軸的交點(diǎn)和漸近線與

x軸的交點(diǎn)都為對(duì)稱(chēng)中心，無(wú)對(duì)稱(chēng)軸.

G重點(diǎn)考向,

考向一三角函數(shù)的圖象變換

函數(shù)圖象的平移變換解題策略

（1）對(duì)函數(shù)尸sinx,產(chǎn)Asin3x+°）或尸Acos?x+°）的圖象，無(wú)論是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移，

只要平移|研個(gè)單位，都是相應(yīng)的解析式中的X變?yōu)閄±\（p\,而不是CDX變?yōu)镃DX±\（p\.

（2）注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱(chēng)是否一致，若不一致，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)再平移.

典例引領(lǐng)

/(x)=2sin2x+g

典例1將函數(shù)圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再將所得

圖象向左平移五個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象，則在g(x)圖象的所有對(duì)稱(chēng)軸中，離原點(diǎn)最近的對(duì)稱(chēng)軸為

7171

A.x=-----B.x——

244

5兀兀

C.x=—D.X=—

2412

【答案】A

/(x)=2sinj2x4-y

【解析】將函數(shù)的圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，得到

V2sin'4x+—

【3,

的圖象,

再將所得圖象向左平移(個(gè)單位得到函數(shù)小j的圖象,

■[

7T;n'2zr;

即g(x)=2sin4：x+=2sin4xH---,,

—12；I—3Jl3

由4x+^=,得*=工七一三.左?Z,

32424-

則當(dāng)k=0時(shí)，離原點(diǎn)最近的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-=,故選A.

【名師點(diǎn)睛】(1)進(jìn)行三角函數(shù)的圖象變換時(shí)，要注意無(wú)論進(jìn)行什么樣的變換都是變換變量本身；要注意

平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱(chēng)是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù);

(2)在圖象變換過(guò)程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換.變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的,

如果x的系數(shù)不是1,就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度和方向.

變式拓展

71

v=cos'2x+一

”I3

1.為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象

5兀5兀

A.向右平移二個(gè)長(zhǎng)度單位B.向左平移一個(gè)長(zhǎng)度單位

1212

C.向右平移—個(gè)長(zhǎng)度單位D.向左平移一個(gè)長(zhǎng)度單位

66

考向二確定三角函數(shù)的解析式

結(jié)合圖象及性質(zhì)求解析式j(luò)=Asin(ft)x+°)+3(A>0,”>0)的方法

/M-m_+w

B-

(1)求A,B,已知函數(shù)的最大值M和最小值加，則22.

2兀

(2)求”，已知函數(shù)的周期T,則/=

T

(3)求g常用方法有：

①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)，A,”，B已知).

②五點(diǎn)法：確定夕值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)(-2,0)作為突破口，具體如下：

G)

"第一點(diǎn)''(即圖象上升時(shí)與X軸的交點(diǎn)中距原點(diǎn)最近的交點(diǎn))為GX+8=0；"第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為①x+

夕=不“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與X軸的交點(diǎn))為"第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為5+夕=三；"第五

點(diǎn)”為(ox+(p=2n.

典例引領(lǐng)

f(x)=Asin(u>x+<p)(A>0,3>0,即|<一x€R

典例2已知函數(shù)的部分圖象如圖.

(1)求函數(shù)八幻的解析式.

57r

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間0,—上的最值，并求出相應(yīng)的x值.

【解析】(D由圖象可知|』=2,又故H=2.

4\13JT'；43兀

周期T=-X—冗一一=-X--=71>

31123J34

又丁=三=n,,二。=2.

d)

."./(x)=2sin(2x4-(p),/；三,=2sin—+<p)=2,

..iinn

則函數(shù)/(x)的解析式為/(x)=2sin2x-g!?

\6/

2

?o7171,兀/Waax=/；3；=

當(dāng)2x—=_時(shí)，x=一,)\

623

兀—兀

?飛=7時(shí)，x=0,〃xL=/(°)=T.

所以=f\〃力還=〃°)=T.

變式拓展

2.已知函數(shù)/U)=Asin(①x+8)+/z(A>0,①>0,0<9<2)的部分圖象如圖所示.

2

⑴求函數(shù)危)的解析式;

(2)若將函數(shù)4x)的圖象向右平移四個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

3

考向三三角函數(shù)的性質(zhì)

1.三角函數(shù)定義域的求法

求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解.

2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)到以下幾種類(lèi)型的題目及求解方法

(1)形如尸asinx+bcosx+Z的三角函數(shù)化為y=Asin((wx+9)+k的形式，再求最值(值域)；

(2)形如產(chǎn)asinl+bsiiu+k的三角函數(shù)，可先設(shè)siiu=f,化為關(guān)于f的二次函數(shù)求值域(最值)；

(3)形如y=asiiu'cosj!?+伙sin_r±cosx)+c的三角函數(shù)，可先設(shè)r=siiu-土cosx,化為關(guān)于z的二次函數(shù)求值域

(最值).

3.三角函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略

(1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間.①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)單化原則，將解析式先化簡(jiǎn)，并注

意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；②求形如)=4$訪(sx+夕)或)'=Acos(cox+甲)(其中，&?>0)的單

調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“s+o”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將。

化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò).

(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解.

(3)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域(或最值).形如y=Asin(a>x+(p)+/?或可化為尸Asin(5+9)+

〃的三角函數(shù)的值域(或最值)問(wèn)題常利用三角函數(shù)的單調(diào)性解決.

4.三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性的處理方法

(1)求三角函數(shù)的最小正周期，一般先通過(guò)恒等變形化為y=Asin(3x+°),y=Acos(ox+9),y=Atan(sx

2兀2717t

+p)的形式，再分別應(yīng)用公式―-,T--~~-,T--~求解.

囪\a)\\a)\

(2)對(duì)于函數(shù)產(chǎn)4sin(wc+0)，其對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)一定是

函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線4項(xiàng)或點(diǎn)(X。，0)是否為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn)

f(xo)的值進(jìn)行判斷.

71

(3)右/(X)=Asin(3+9)為偶函數(shù)，則(ZGZ),同時(shí)當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得最大或最小

值.若f(x)=Asin(①x+伊)為奇函數(shù)，則(&WZ),同時(shí)當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0.

典例引領(lǐng)

典例3已知函數(shù)〃x)=26sin(LX)cosx+2cos"+a—l

(1)求“X)的最小正周期；

(2)若/(x)在區(qū)間上的最大值與最小值的和為2,求。的值.

［解析］(1)/(x)=2#sin(7c_x)cosx+2cos2x+a_l=^sin2x+cos2x+a--sin(-x+gj+o

貝|］T=--=71.

2

(2)因?yàn)橐籙sxvN,所以一馬42X+m4生.

63666

當(dāng)2x+「l3Wl,即xJ-U［時(shí)，〃x)單調(diào)遞增；

662661

715幾

21~6

當(dāng)6即xe抬時(shí),單調(diào)遞減,

故2a+l=2,因此。=」.

2

變式拓展

v=sin:x+2cosx(-<x<—)

3.函數(shù),33的最大值與最小值分別為

717

A.最大值為人，最小值為-土B.最大值為一，最小值為-2

444

C.最大值為2,最小值為一，D.最大值為2,最小值為-2

4

4.己知函數(shù)/'(*)=<3srn2x+2cos2x+m,其中mGR.

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

TT

(2)若f(x)在區(qū)間0,-上的最大值為6,求實(shí)數(shù)加的值.

2

典例引領(lǐng)

/(x)=V^simrosr——cos

典例4已知函數(shù)2

(1)求函數(shù)/(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程;

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向右平移:個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x).當(dāng)xe0,^時(shí)，求函數(shù)g(x)

的值域.

兀kit

解得x—+一

32

,/f(X)="y/3sin<yxcos<yx-cos:?yx+—=^-sin2tyx-i(l+cos2tyx)+—=^-sin2(yx

［解析)(1)22222

又的最小正周期為兀，，點(diǎn)=L

\兀、

-,?/(^)=sin；2x--.

0J

令2而+工上2工一工42反+三〉得荷+1?！旯ぁ攴?二砥左eZ)

26236

.二函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為E+:「后r+Jn;LteZ.

L36J

(2),OKxK—,—工2x——W—>.?一一￡sin2x——IKL

26662、6J

故的值域?yàn)?/p>

f(x)=2J3sin21^+x[+2sin[-+x|cos|-+x]

典例6已知函數(shù)[4J^4]14).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在A4BC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且角4滿足/'(④=&+1,若a=3,BC邊上的中

線長(zhǎng)為3,求A4BC的面積S.

【解析】(1)%JU；UJXI12)\\2)

=v^sin2x+cos2x+\3=2sin(2無(wú)+g)+事.

令一2+2AJT?2X+EK三+2荷，kwZ>得一己+三+fcr,keZ,

26236

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:-g+荷」+HI，kez.

j6

(2)/(X)=2sin;2A+彳；+1,sin產(chǎn)+1)=(,

因?yàn)樾模∣R,所以24eiQ2可，端+如芯早；,

所以2H+C=萼，則T=f,

66J

又BC上的中線長(zhǎng)為3,所以|就+四|=6,

所以+24t?=36,即b?+c2+2bccosA=36,

所以/>2+/+兒=36,①

由余弦定理得。2=/+1-2兒854,所以曠+c2-be=9,②

bc=27

由①②得：c2,

門(mén)r..27志

$A48c=二bcsin/l=———

所以“28

變式拓展

⑴求/（X）圖象的對(duì)稱(chēng)中心;

（2）求/（x）在區(qū)間0,TT1上的最大值和最小值，并求出相應(yīng)x的值.

8.已知函數(shù)〃x）=Bsin2x+2cos%T”R

（1）求函數(shù)/（力的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵在△A8C中，A,B,C的對(duì)邊分別為a也c,已知c=G，/?=1：0心=2詆4,求力

的值.

亨點(diǎn)沖交火

7T

1.下列四個(gè)函數(shù)中，以兀為最小正周期，且在區(qū)間（一，兀）上單調(diào)遞減的函數(shù)是

2

A.y=sin2xB.y=2|cosx|

.y=tan(-x)

Cc.y=cos—XD

2

2.函數(shù)y（x）=cos2x+2siiu的最大值與最小值的和是

A.-2B.0

c.-31

D.--

22

7T

y=logisin(2x+—)

3.函數(shù)”54的單調(diào)減區(qū)間為

JT,JIJT

(k7i--,kTi+-](.keZ)

A.4B.S8

（而一3一兀：斥+73T（左wZ）(而+々71而+f3n](左eZ)

C.88D.88

Sir11IT

4.設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ox+0),XGR,其中力>0，\<P\<TI.若/(9)=2,/(一)=0,且/(X)

oo

的最小正周期大于2兀，則

2兀2117T

A.69=-,(D=—B.co——,cp=----

312312

11lit17兀

C.co——,(p=----D.a)=-,(p=—

324324

/(x)=—cosx-sinix-F—；

5.已知函數(shù)2<3J,則下列結(jié)論中正確的是

JT

A./(x)既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)B./(x)的圖象關(guān)于直線％=在對(duì)稱(chēng)

C./(x)的最大值為1D./(x)在區(qū)間0,7Tq上單調(diào)遞減

6.已知函數(shù)/(x)=*sinltyx+5(*>°3°」/<5)的部分圖象如圖所示，現(xiàn)將函數(shù)”力圖象上的

7T

所有點(diǎn)向右平移了個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的解析式為

Cg(x)=2cos2x

7.已知函數(shù)/(M=sin?+叭°>O」.<2,1的最小正周期為47t，且打ER,有成立,

(3J

則“X)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是

8.已知函數(shù),則〃x)的最小正周期是當(dāng)xe-時(shí)，/(X)的取值

6

范圍是?

It

o（x）=sint—x）

9.已知函數(shù)/O）=sinx,'2,直線x=m與/（*）、9（盼的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|的

最大值是.

冗

10.已知函數(shù)/'（x）=4sin（3x+3）（其中4>0,囪<3）的圖象如圖所示，為了得到9熾）=sE3x的圖象，只

需將/U）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.

TC

11.將函數(shù)/■（刈=255（〃+3）（3<0）的圖象向左平移§個(gè)單位長(zhǎng)度，得到偶函數(shù)9（乃的圖象，則0的最大值

是,

f(x)=sin(u)x+^>)|0<u)<3,即|<

12.已知函數(shù)I3,式*H■（群。,財(cái)⑺=

f(x)=2cosx|cosx+&sinx

13.設(shè)函數(shù)(xeR).

（1）求函數(shù)y=/（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）當(dāng)0,1時(shí)，求函數(shù)/（X）的最大值.

_t217T

f(x)=^3sina)xcosa)x+sinu)x—(0<a)<2)X——

14.已知函數(shù)2,圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為\3.

（1）求/'（X）;

nfn\I

——sina—=一

（2）將函數(shù)f（x）的圖象上所有的點(diǎn)向左平移6個(gè)單位得到函數(shù)9（乃的圖象，若I6）3,求g（a）的

值.

/（X）=sin—cos—+?y3cos;—

15.已知函數(shù)333.

（1）求函數(shù)/（%）圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；

（2）如果△ABC的三邊a,A,c滿足。2=且邊b所對(duì)的角為8,求/（8）的取值范圍.

16.設(shè)函數(shù)f（X）=sin%X-C0s23X+21Sin3XC0S3X+2的圖象關(guān)于直線x=7T對(duì)稱(chēng)，其中3,4為常數(shù)，且

（1）求函數(shù)/（x）的最小正周期;

(2)若y=/(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(：,())求函數(shù)/(x)在區(qū)間0,y上的取值范圍.

17.已知函數(shù)/'(*)=sinx(cosx+#sinx).

(1)求/'(")的最小正周期；

(2)若關(guān)于x的方程/(x)=，在區(qū)間0,5內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

18.已知向量m=(、/3sino?r,l),n=(cosa)x,cos2a)x+1),設(shè)函數(shù)f(x)=+b.

n

x——

(1)若函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線6對(duì)稱(chēng)，且36[0,3]時(shí)，求函數(shù)/'(X)的單調(diào)增區(qū)間;

XG[0—1“、,

(2)在(1)的條件下，當(dāng)12」時(shí)，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

19.已知函數(shù)/'⑶=2sinx(sinx+cosx)-a的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(尹卜'R

(1)求。的值，并求函數(shù)/1(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

'7T'

XG0,—

(2)若當(dāng)2J時(shí)，不等式/(%)2加恒成立，求實(shí)數(shù)瓶的取值范圍.

直通高考

/(x)=—sin(x+—)+cos(x——)

(2017新課標(biāo)全國(guó)Hl文科)函數(shù)536的最大值為

2.(2018新課標(biāo)全國(guó)HI文科)函數(shù)1+tanx的最小正周期為

D.2兀

3.(2018新課標(biāo)全國(guó)I文科)已知函數(shù)=2cos,x-siiTx+2,則

A./(x)的最小正周期為兀，最大值為3

B./(力的最小正周期為兀，最大值為4

C./(x)的最小正周期為2兀，最大值為3

D./(x)的最小正周期為2兀，最大值為4

y=sin(2x+^)兀

-77F

4.(2018天津理科)將函數(shù)5的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)

10

A.在區(qū)間［彳［上單調(diào)遞增B.在區(qū)間［不汨上單調(diào)遞減

C.在區(qū)間［丁,=］上單調(diào)遞增D.在區(qū)間［彳,2汨上單調(diào)遞臧

42

5(2017新課標(biāo)全國(guó)］理科)已知曲線G：產(chǎn)cosx,G：y=sin(2x+—),則下面結(jié)論正確的是

A.把C|上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，得

到曲線C2

B.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移三TT個(gè)單位長(zhǎng)度，得

到曲線C2

1兀

C.把C|上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移各個(gè)單位長(zhǎng)度，得

到曲線C2

1jr

D.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移△個(gè)單位長(zhǎng)度，

212

得到曲線C2

fix}=COS（X-f--）

6.（2017新課標(biāo)全國(guó)1H理科）設(shè)函數(shù)3,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A.7（x）的一個(gè)周期為-2兀

B.y=/（x）的圖象關(guān)于直線》=與對(duì)稱(chēng)

C./（x+兀）的一個(gè)零點(diǎn)為》=殳

6

D./（x）在（］,兀）單調(diào)遞減

7.（2018北京理科）設(shè)函數(shù)/（x）=8S（0X-*（0>O）,若/（x）4/（；）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則”的最

小值為?

/（x）=cosi3x+—；

8.（2018新課標(biāo)全國(guó)HI理科）函數(shù)6.’在10,可的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

,3

/（x）=sin"x+>/3cosx--r-

9.（2017新課標(biāo)全國(guó)II理科）函數(shù)4（X€0,-）的最大值是.

_2_

10.（2017浙江）已知函數(shù)/（x）=sin、-8sA-2/sinxcos^xeR）.

（1）求/（?2兀）的值?

（2）求/（X）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

11.(2018北京文科)已知函數(shù)f(x)=sin，x+JJsinxcosx.

(I)求/(x)的最小正周期；

兀3

(II)若/(X)在區(qū)間［-彳，相］上的最大值為Q，求機(jī)的最小值.

12.(2017江蘇)已知向量a=(8sx,sin力,6=(3,75),兀］

(1)若“〃5,求》的值；

(2)記/(x)=a-b,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

棄參考答案.

變式拓展

------

1.【答案】B

【解析】T=COS；2x+—J=cos；—+2x--'=-sin2x——'

“I3J126JI6「

《7T

由圖象平移的規(guī)則可知只需將函數(shù)J=sin2x的圖象向左平移百個(gè)長(zhǎng)度單位，就可以得到函數(shù)

\冗)

y=cosi2x+一

【3J的圖象故選B.

2.【解析】⑴由函數(shù)的圖象可知，佇+h=2解得下=1

(-A+h=0U=1

設(shè)函數(shù)”)的最小正周期為T(mén),則由題意得二=三-二,所以TF,

21212

2兀

所以一=九,解得①=2.

3

兀71

因?yàn)楹瘮?shù)外)的圖象過(guò)點(diǎn)(五,2),且0<”彳，

所以2=sin(2x春+夕)+1,解得(p=y.

所以函數(shù)/U)的解析式為,/(x)=sin(2x+1-)+l.

心兀

⑵由(1)知J(x)=sin(2v+y)+1,

因?yàn)閷⒑瘮?shù)Ar)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象,

兀兀7U

所以^(x)=sin[2(x-y)+y]+1=sin(2x-y)+1.

,兀兀兀

由2E--W2x-—W2E+—波￡Z,

2'3-2

/口兀3兀

得^7：--<r<^7i+—,/c^Z.

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為版色,依+律次GZ

3.【答案】B

【解析】由題意，知J'=sin：x+2cosx=-cos：x+2cosx+l=-(cosxTy+2

兀/,4兀

V—<x<—-1<cosx<—

337

17

???當(dāng)C0SX=5時(shí)，ymax=~，當(dāng)COSX=-1時(shí)，Vmin=_2.故選B.

/(x)^sin2x2-1+COs2x

=++也=^/3sin2x+cos2x+l4-w=2sin+m

2

4?【解析】(1)

由2for-2?2x+2?2血+2WeZ,

262'

得far——4xMku—./r6Z.

36

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為IE—+優(yōu)wZ)

,367

(2)因?yàn)閤e05-，所以2x+^w

_2J6_66

所以sin；2x+Z；e一?」I，

I67_2J

故2sin2x+-；+1+we[wrw+3]：

6J

所以f(x)的最大值為3+次,

由題意得3+冽=6,解得MJ=3.

所以實(shí)數(shù)物的值為3.

5.【答案】C

2兀11K

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期T=—=4兀，所以①二二，所以f(x)=sin(-x+-).

co226

因?yàn)?sin(—x—+—)=sin-=^1-,所以A,B錯(cuò)誤.

23632

將函數(shù)/(X)的圖象向右平移三個(gè)單位后得到g(X)=sin日(x-6+*=sin|?的圖象，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以C正確.

兀]兀兀4兀2it1兀

由---\-21at<—x~\<—F2E(AwZ),得------\-4kn<x<-F4E(kwZ),所以/(x)=sin(—xd—)

22623326

47r27r

的單調(diào)遞增區(qū)間為[-<+4匕T,三+4左司，kez,所以D錯(cuò)誤.

故選C.

6.【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/&)的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為。所以函數(shù)/(X)的周期為三則3=^=4,

從而f(x)=Sin(4x+<p),

將函數(shù)f3的圖象向左平移合個(gè)單位后，得到函數(shù)J=sin[4(.r+g)+時(shí)的圖象，

由題意知該圖象關(guān)于)軸對(duì)稱(chēng)，貝收x9+9=kn+三keZ,即

又⑼<2,所以平=則/'&)=sin(4x-y),

令4x-^=kn.k&Z,解得x=y-芍，keZ,

當(dāng)