課題學(xué)習(xí)最短路徑問題（原卷版）

八年級數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清一十三章軸對稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題。體會(huì)圖形的變化在解訣最值問題中的作用。2.感悟轉(zhuǎn)化思想。重點(diǎn)：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題。難點(diǎn)：路徑最短的證明。老師對你說：老師對你說：垂直線段最短問題動(dòng)點(diǎn)所在的直線已知型方法技巧：一動(dòng)點(diǎn)與一定點(diǎn)連成的線段中，若動(dòng)點(diǎn)在定直線上，則垂線段最短。將軍飲馬問題方法技巧：定點(diǎn)關(guān)于定直線對稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短求最值．①兩定一動(dòng)②一定兩動(dòng)③兩定兩動(dòng)造橋選址問題A方法技巧：將分散的線段平移集中，再求最值．AMMNNBB基礎(chǔ)提升教材核心知識點(diǎn)精練知識點(diǎn)1垂直線段最短問題【例11】如圖，在銳角三角形中，，，的平分線交于點(diǎn)D，點(diǎn)M、N分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．5【例12】如圖，在中，，是的兩條中線，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長度等于最小值的是（）A． B． C． D．知識點(diǎn)2將軍飲馬問題【例21】如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為（

）A．7 B．9 C．10 D．14【例22】如圖，是內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上運(yùn)動(dòng)，若，，則的周長的最小值為.【例23】如圖，點(diǎn)P是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，，則周長的最小值是．知識點(diǎn)3造橋選址問題【例31】如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊A． B．C． D．【例32】如圖，平行河岸兩側(cè)各有一城鎮(zhèn)P，Q，根據(jù)發(fā)展規(guī)劃，要修建一條橋梁連接P，Q兩鎮(zhèn)，已知相同長度造橋總價(jià)遠(yuǎn)大于陸上公路造價(jià)，為了盡量減少總造價(jià)，應(yīng)該選擇方案（

）A．B．C．D．.【例33】在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點(diǎn)重合），PQ＝2（1）如圖①，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)Q移動(dòng)到BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP＝QE；（2）如圖②，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，在PQ的移動(dòng)過程中，若四邊形APQE的周長最小時(shí)，求BP的長；（3）如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M、N均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時(shí)，求此時(shí)四邊形PQNM的面積．能力強(qiáng)化提升訓(xùn)練1.如圖，在五邊形中，，，，，在、上分別找到一點(diǎn)M、N，使得的周長最小，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2.如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則α與β的數(shù)量關(guān)系為．．3.如圖，在等腰中，，，作于點(diǎn)D，，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．堂堂清選擇題（每小題4分，共32分）1．如圖，在中，是的垂直平分線，P是直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．62.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，則A．154 B．245 C．5 3.如圖，直線a是一條輸氣管道，M，N是管道同側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)計(jì)劃在直線a上修建一個(gè)供氣站O，向M，N兩村莊供應(yīng)天然氣．在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（

）B．C．D．4.如圖，OA,OB分別是線段MC,MD的垂直平分線，MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm，一只小螞蟻從點(diǎn)M出發(fā)爬到OA邊上任意一點(diǎn)E，再爬到OB邊上任意一點(diǎn)FA．12cm B．10cm C．7cm D．5cm5.如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別是AD和CD邊上的點(diǎn)，則四邊形BEFG周長的最小值為______．6.如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊A． B．C． D．7.如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC、AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，若D為BC邊的中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，若三角形CDM的周長的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（

）A．78 B．39 C．42 D．308.如圖，河道l的同側(cè)有M、N兩地，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道，從P地把河水引向M、N兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（

）A． B．C． D．．填空題（每小題4分，共20分）9.如圖，在銳角中，，，平分，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．10.小華的作業(yè)中有一道題：“如圖，AC，BD在AB的同側(cè)，，，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．若，求CD的最大值．”哥哥看見了，提示他將和分別沿CE、DE翻折得到和，連接．最后小華求解正確，得到CD的最大值是．11.如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為度．12.如圖，是內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上運(yùn)動(dòng)，若，，則的周長的最小值為.13.如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時(shí)，∠AFB＝_______°．三、解答題（共6小題，48分）14.（9分）如圖，平面上有五個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，E．按下列要求畫出圖形．（1）連接BD；（2）畫直線AC交線段BD于點(diǎn)M；（3）請?jiān)谥本€AC上確定一點(diǎn)N，使B，E兩點(diǎn)到點(diǎn)N的距離之和最?。?5.（6分）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）請畫出ΔABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的ΔA（2）在x軸上求作一點(diǎn)P，使ΔPAB的周長最小，請畫出ΔPAB，并直接寫出P的坐標(biāo)．16.（9分）如圖，在中，，的垂直平分線交于，交于．（1）若，則的度數(shù)是；（2）連接，若，的周長是．①求的長；②在直線上是否存在點(diǎn)，使的值最小，若存在，標(biāo)出點(diǎn)的位置并直接寫出的最小值；若不存在，說明理由．17.（8分）如圖1、圖2和圖3，A、B兩點(diǎn)在直線l同側(cè)，且點(diǎn)A、B所在直線與l不平行，在直線l上畫出符合要求的點(diǎn)P（不寫做法與理由，保留作圖痕跡）．（1）為最大值，在圖1中的直線l上畫出點(diǎn)的位置；（2），在圖2中的直線l上畫出點(diǎn)的位置；（3）為最小值，在圖3中的直線l畫出點(diǎn)的位置．18.（8分）如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D與B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若AB=2，當(dāng)四邊形ADCE的周長取最小值時(shí)，求BD的長．19.（8分）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB．（1）若∠ABC=70°，則∠MBC的度數(shù)是度；（2）若AB=8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長度；②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請你直接寫出△PBC周長的最小值．拓展培優(yōu)*沖刺滿分1.如圖①，△ABC，△CDE都是等邊三角形．發(fā)（1）寫出AE與BD的大小關(guān)系.（2）若把△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，上述（1）的結(jié)論仍成立嗎？請說明理由．（3）△ABC的邊長為5，△CDE的邊長為2，把△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周后回到圖①位置，求出線段AE長的最大值和最小值．2.