北京市2022年中考數學試題真題（含答案+解析）

北京市2022年中考數學真題

一、單選題

L（2022?北京市）下面幾何體中，是圓錐的為（）

【答案】B

【知識點】立體圖形的初步認識

【解析】【解答】解：A選項為圓柱，不合題意；

B選項為圓錐，符合題意；

C選項為三棱柱，不合題意；

D選項為球，不合題意；

故答案為：B.

【分析】根據圓錐的定義對每個選項一一判斷即可。

2.（2022?北京市）截至2021年12月31日，長江干流六座梯級水電站全年累計發(fā)電量達2628.83億千

瓦時，相當于減排二氧化碳約2.2億噸.將262883000000用科學記數法表示應為（）

A.26.2883XIO10B.2.62883X1011

C.2.62883x1012D.0.262883X1012

【答案】B

【知識點】科學記數法一表示絕對值較大的數

【解析】【解答】解：將262883000000保留1位整數是2.62883,小數點向左移動了11位,

.*.262883000000=2.62883x1011,

故答案為：B.

【分析】把一個數表示成a與10的n次幕相乘的形式（lS|a|<10,a不為分數形式，n為整數），這

種記數法叫做科學記數法。根據科學記數法的定義求解即可。

3.（2022?北京市）如圖，利用工具測量角，則41的大小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【知識點】角的概念

【解析】【解答】解：量角器測量的度數為30。，

由對頂角相等可得，zl=30°.

故答案為：A.

【分析】先求出量角器測量的度數為30。，再求解即可。

4.（2022?北京市）實數以b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）

ab

?_____?.?i??i?

-3-2-10123

A.a<■—2B.bVIC.a>bD.—a>b

【答案】D

【知識點】實數在數軸上的表示；實數大小的比較

【解析】【解答】解：點a在-2的右邊，故a>-2,故A選項不符合題意；

點b在1的右邊，故b>l,故B選項不符合題意；

b在a的右邊，故b>a,故C選項不符合題意；

由數軸得：-2<a<-1.5,則1.5<-a<2,則一a>b,故D選項符合題意,

故答案為：D.

【分析】根據所給的數軸a和b的大小關系對每個選項一一判斷即可。

5.（2022?北京市）不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個，除顏色外兩個小球無其他差別，從中隨機

摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概

率是（）

A./B.JC.|D.1

【答案】A

【知識點】列表法與樹狀圖法；概率公式

【解析】【解答】解：畫樹狀圖得：

開始

第一次紅C

第二人A

?.?共有4種等可能的結果，第一次摸到紅球，第二次摸到綠球有1種情況,

二第一次摸到紅球，第二次摸到綠球的概率為上,

故答案為：A.

【分析】先畫數軸求出共有4種等可能的結果，第一次摸到紅球，第二次摸到綠球有1種情況，再求

概率即可。

6.（2022?北京市）若關于x的一元二次方程/+x+m=0有兩個相等的實數根,則實數m的值為（）

A.-4B.-1C.1D.4

44

【答案】C

【知識點】一元二次方程根的判別式及應用

【解析】【解答】,?,一元二次方程%2+%+血=0有兩個相等的實數根，

...A=0,

??I2-4171=0?

解得m=J,故C符合題意.

故答案為：C.

【分析】根據題意先求出儼-4m=0,再求解即可。

7.（2022?北京市）圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數為（）

【答案】D

【知識點】軸對稱圖形

【解析】【解答】解：如圖,

一共有5條對稱軸.

故答案為：D

【分析】根據對稱軸的定義，結合圖形求解即可。

8.（2022?北京市）下面的三個問題中都有兩個變量：

①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間X；②將水箱中的水勻速放出，直

至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x；③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一

邊長x,其中，變量y與變量x之間的函數關系可以利用如圖所示的圖象表示的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【知識點】函數的圖象

【解析】【解答】解：①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y隨行駛時間x的增大而減小，

故①可以利用該圖象表示；

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y隨放水時間x的增大而減小，故②可以

利用該圖象表示；

③設繩子的長為L,一邊長x,則另一邊長為—%,

則矩形的面積為：y=（^L—x）-x=—x2+Lx,

故③不可以利用該圖象表示；

故可以利用該圖象表示的有：①②，

故答案為：A.

【分析】根據所給的函數圖象，對每個問題一一判斷即可。

二、填空題

9.（2022?北京市）若Vj』在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是.

【答案】x>8

【知識點】二次根式有意義的條件

【解析】【解答】解：由題意得：

x-8>0,

解得:x>8.

故答案為：x>8.

【分析】根據二次根式有意義的條件求出x-8K),再求解即可。

10.(2022?北京市)分解因式：xy2-x=.

【答案】x(y+1)(y-1)

【知識點】提公因式法與公式法的綜合運用

【解析】【解答】xy2-%

=x(y2—1)

=x(y+l)(y-1)

故答案為：x(y+1)(y-1).

【分析】利用提公因式和平方差公式分解因式即可。

11.(2022?北京市)方程金=工的解為

【答案】x=5

【知識點】解分式方程

【解析】【解答】解：金=工

方程的兩邊同乘x(x+5),得：2x=x+5,

解得：x=5,

經檢驗：把x=5代入x(x+5尸50#0.

故原方程的解為：x=5

故答案為：x=5.

【分析】利用解分式方程的方法解方程即可。

12.(2022?北京市)在平面直角坐標系中，若點4(2,%),B(5,y2)在反比例函數y=[(卜>。)的

圖象上，則y2(填“>”"=”或“<”)

【答案】>

【知識點】反比例函數的性質

【解析】【解答】解：???k>0,

.?.在每個象限內，y隨x的增大而減小,

,-,2<5，

故答案為：>.

【分析】先求出在每個象限內，y隨x的增大而減小，再比較大小即可。

13.（2022?北京市）某商場準備進400雙滑冰鞋，了解了某段時間內銷售的40雙滑冰鞋的鞋號，數據

如下：

鞋號353637383940414243

銷售量/雙2455126321

根據以上數據，估計該商場進鞋號需求最多的滑冰鞋的數量為雙.

【答案】120

【知識點】用樣本估計總體

【解析】【解答】解：根據題意得：39碼的鞋銷售量為12雙，銷售量最高，

該商場進鞋號需求最多的滑冰鞋的數量為400x余=120雙.

故答案為：120

【分析】先求出39碼的鞋銷售量為12雙，銷售量最高，再求解即可。

14.（2022?北京市）如圖，在44BC中，4。平分血C,DEJ.ZB.若4C=2,DE=1,則

【答案】1

【知識點】三角形的面積；角平分線的性質

【解析】【解答】解：如圖，作。F_LAC于點F,

A

=DE

DF

吃

11

-

=2DF=-

CD2

故答案為：i.

【分析】先求出DF=DE=1,再利用三角形的面積公式求解即可。

15.（2022?北京市）如圖，在矩形/BCD中，若AB=3,AC=5,蓋=/則AE的長為

A

B

【答案】1

【知識點】比例的性質

【解析】【解答】解：在矩形ABCD中：AD||BC,^ABC=90°,

.?.蓋=霄=/，BC=y/AC2-AB2=V52-32=4，

.AE_1

??丁=4'

：.AE=1,

故答案為：1.

【分析】先求出需=需=/，BC=4,再求解即可。

16.（2022?北京市）甲工廠將生產的I號、II號兩種產品共打包成5個不同的包裹，編號分別為A,B,

C,D,E,每個包裹的重量及包裹中I號、II號產品的重量如下：

包裹編號I號產品重量/噸II號產品重量/噸包裹的重量/噸

A516

B325

C235

D437

E358

甲工廠準備用一輛載重不超過19.5噸的貨車將部分包裹一次運送到乙工廠.

（1）如果裝運的I號產品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一中滿足條件的裝運方案

（寫出要裝運包裹的編號）；

（2）如果裝運的I號產品不少于9噸，且不多于11噸，同時裝運的H號產品最多，寫出滿足條件

的裝運方案（寫出要裝運包裹的編號）.

【答案】（1）ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）

（2）ABE或BCD

【知識點】有理數大小比較；運用有理數的運算解決簡單問題

【解析】【解答］解：（1）根據題意,

選擇ABC時，裝運的I號產品重量為：5+3+2=10（噸），總重6+5+5=16<19.5（噸），符

合要求;

選擇ABE時，裝運的I號產品重量為：5+3+3=11（噸），總重6+5+8=19<19.5（噸），符

合要求；

選擇AD時;裝運的I號產品重量為：5+4=9（噸），總重6+7=13<19.5（噸），符合要求；

選擇ACD時，裝運的I號產品重量為：5+2+4=11（噸），總重6+5+7=18<19.5（噸），符

合要求；

選擇BCD時^,裝運的I號產品重量為：3+2+4=9（噸），總重5+5+7=17<19.5（噸），符合

要求；

選擇DCE時，裝運的I號產品重量為：4+2+3=9（噸），總重7+5+8=20>19.5（噸），不符

合要求；

選擇BDE時，裝運的I號產品重量為：3+4+3=10（噸），總重5+7+8=20>19.5（噸），不

符合要求；

綜上，滿足條件的裝運方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD.

故答案為：ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）.

（2）選擇ABC時，裝運的II號產品重量為：1+2+3=6（噸）；

選擇ABE時，裝運的U號產品重量為：1+2+5=8（噸）；

選擇AD時，裝運的II號產品重量為：1+3=4（噸）；

選擇ACD時，裝運的II號產品重量為：1+3+3=7（噸）；

選擇BCD時，裝運的H號產品重量為：2+3+3=8（噸）；

故答案為：ABE或BCD.

【分析】（1）根據表格中的數據求解即可；

（2）根據運的I號產品不少于9噸，且不多于11噸，同時裝運的II號產品最多，求解即可。

三、解答題

17.（2022?北京市）計算：（兀一l）°+4sin45°-我+|-3|.

【答案】解：（7T-1）°+4sin45°-V8+|-3|.

1+4X^-2V2+3

=4.

【知識點】實數的運算

【解析】【分析】利用零指數幕，特殊角的銳角三角函數值，二次根式，絕對值求解即可。

2+x>7—4%,

18.（2022?北京市）解不等式組:,4+%

%〈丁.

2+x>7—4%①

【答案】解:

.x<芍^②

解不等式①得%>1，

解不等式②得％<4,

故所給不等式組的解集為：l<x<4.

【知識點】解一元一次不等式組

【解析】【分析】利用不等式的性質求解即可。

19.(2022?北京市)已知%2+2%-2=0,求代數式%(%+2)+(%+的值.

【答案】解：,??/+2%—2=0,

AX2+2%=2,

/.%(%+2)+(%+I)2

=%2+2%4-%2+2%+1

=2x2+4x+1

=2(x2+2x)+1

=2x2+1

二5

【知識點】利用整式的混合運算化簡求值

【解析】【分析】先求出X2+2X=2,再代入代數式求解即可。

20.（2022?北京市）下面是證明三角形內角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證

則=ZC=AEAC.（兩直線平行，內錯角相等）

:點D,A,E在同一條直線上，

Z.DAB+ABAC+ZC=180°.（平角的定義）

;NB+NBAC+NC=180。.

即三角形的內角和為180。.

【知識點】三角形內角和定理；推理與論證

【解析】【分析】利用平行線的性質和平角的定義求解即可。

21.（2022?北京市）如圖，在回48CD中，AC,BD交于點。，點E,F在4c上，AE=CF.

（1）求證：四邊形EBFD是平行四邊形;

（2）若zBAC=^DAC,求證：四邊形EBFD是菱形.

【答案】(1)證明：?.?四邊形ABCD為平行四邊形,

：.A0=CO,BO=DO,

'：AE=CF,

J.AO-AE=CO-CF,

即E。=FO,

四邊形EBFD是平行四邊形.

(2)證明：?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AB||CD,

：.z.DCA=Z.BAC,

".^BAC=LDAC,

J.Z.DCA="AC,

.".DA=DC,

...四邊形ABCD為菱形，

：.AC1BD,

即EF1BD,

：四邊形EBFD是平行四邊形，

，四邊形EBFO是菱形.

【知識點】平行四邊形的判定；菱形的判定

【解析】【分析】(1)利用平行四邊形的性質判定求解即可；

(2)先求出DA=DC,再求出四邊形ABCD為菱形，最后證明求解即可。

22.(2022?北京市)在平面直角坐標系40y中，函數y=kx+b(k。0)的圖象經過點(4,3),(-2,0)，

且與y軸交于點A.

(1)求該函數的解析式及點4的坐標；

(2)當久＞0時，對于x的每一個值，函數y=x+n的值大于函數y=kx+b(k。0)的值，直接寫

出n的取值范圍.

【答案】(1)解：將(4,3),(-2,0)代入函數解析式得,

｛；=4吐、解得卜=；,

S=-2k+bQ=1

函數的解析式為：y=|x+l,

當％=0時，得y=1,

，點A的坐標為(0,1).

(2)解：由題意得，

1

x+n>2%+l,即％>2—2n,

又由x>0,得2—2nW0,

解得n>1,

...n的取值范圍為”2L

【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數與不等式(組)的綜合應用

【解析】【分析】(1)利用待定系數法求出函數的解析式為：y=|x+l,再求點A的坐標即可；

(2)先求出x>2—2n,再求解即可。

23.(2022?北京市)某校舉辦“歌唱祖國”演唱比賽，十位評委對每位同學的演唱進行現場打分，對參加

比賽的甲、乙、丙三位同學得分的數據進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息.

10,10,10,9,9,8,3,9,8,10

c.甲、乙、丙三位同學得分的平均數:

同學甲乙內

平均數8.68.6m

根據以上信息，回答下列問題：

(1)求表中m的值；

(2)在參加比賽的同學中，如果某同學得分的10個數據的方差越小，則認為評委對該同學演唱的

評價越一致.據此推斷：甲、乙兩位同學中，評委對的評價更一致(填“甲”或"乙”)；

(3)如果每位同學的最后得分為去掉十位評委打分中的一個最高分和一個最低分后的平均分，最

后得分越高，則認為該同學表現越優(yōu)秀.據此推斷：在甲、乙、丙三位同學中，表現最優(yōu)秀的是—

(填“甲”“乙,，或"丙

【答案】(1)解：丙的平均數：10+1°+1°+9+；產3+9+8+10=8.6,

則m=8.6.

(2)甲

(3)乙

【知識點】折線統(tǒng)計圖；平均數及其計算；方差

【解析】【解答］解：(2)S1=白［2x(8.6-8)2+4X(8.6-9)2+2x(8.6-7)2+2X(8.6-10)2］=

1.04,

S；=余［4X(8.6-7)2+4x(8.6-10)2+2x(8.6-9)2］=1.84,

??22

,3C尹<V篤C，

...甲、乙兩位同學中，評委對甲的評價更一致，

故答案為：甲.

(3)由題意得，去掉一個最高分和一個最低分后的平均分為:

田8+8+9+7+9+9+9+10

T：---------g---------=8o.625,

77+7+7+9+9+10+10+10八_

乙：---------g----------=9.75,c

而10+10+9+9+8+9+8+10八(-

IAJ:---------g----------=9.12Q5，

???去掉一個最高分和一個最低分后乙的平均分最高，

因此最優(yōu)秀的是乙，

故答案為：乙.

【分析】(1)根據平均數的定義求解即可;

(2)利用方差的定義求解即可；

(3)根據平均分的定義計算求解即可。

24.(2022?北京市)如圖，AB是。。的直徑，CD是。。的一條弦，AB1CD,連接4C,OD.

(1)求證：乙BOD=2乙4；

(2)連接CB,過點C作CE1DB,交DB的延長線于點E,延長。0,交AC于點F,若F為/C的中點,

求證：直線CE為。。的切線.

【答案】(1)證明：設4B交CD于點H,連接。C,

由題可知，

0C=0D,乙OHC=乙OHD=90°,

???OH=OH,

RtACOH=RtADOH(HL),

Z.COH=乙DOH,

:.因=，

???乙COB=乙BOD,

v乙COB=2z.i4,

:.(BOD=2/-A；

(2)證明：連接AD,

VOA=OD,

AZOAD=ZODA,

同理可得：ZOAC=ZOCA,ZOCD=ZODC,

???點H是CD的中點，點F是AC的中點，

???ZOAD=ZODA=ZOAC=ZOCA=ZOCD=ZODC,

ZOAD+ZODA+ZOAC+ZOCA+ZOCD+ZODC=180°,

???ZOAD=ZODA二ZOAOZOCA=ZOCD=ZODC=30。,

JZCOB=2ZCAO=2x30°=60°,

TAB為。O的直徑，

.\ZADB=90°,

JZABD=90-ZDAO=90°-30°=60°,

AZABD=ZCOB=60°,

AOC//DE,

VCE1BE,

ACE±OC,

J直線CE為。O的切線.

【知識點】切線的判定；圓的綜合題

【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定和性質，再結合圓的性質求解即可；

（2）先求出乙。4。=乙0巴4,乙OCD=L0DC,再求出OC〃DE,最后證明即可。

25.（2022?北京市）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動

員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的

過程中，運動員的豎直高度y（單位：m）與水平距離》（單位：m）近似滿足函數關系y=磯汽—九）2+

k（a<0）.

某運動員進行了兩次訓練.

(1)第一次訓練時，該運動員的水平距離X與豎直高度y的幾組數據如下:

水平距離x/m02581114

豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40

根據上述數據，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數關系、=。。-八)2+

k(a<0)；

(2)第二次訓練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系y=-0.04(x-9)2+

23.24.記該運動員第一次訓練的著陸點的水平距離為di,第二次訓練的著陸點的水平距離為四，則出.

d2(填“>”"=”或

【答案】(1)解：根據表格中的數據可知，拋物線的頂點坐標為：(8,23.20)，

：.h=8,k=23.20,

即該運動員豎直高度的最大值為23.20m,

根據表格中的數據可知，當x=0時，y=20.00,代入y=a(x-8/+23.20得：

20.00=以0-8/+23.20,解得：a=-0.05,

，函數關系關系式為：y=-0.05(x-8)2+23.20.

(2)<

【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的其他應用

【解析】【解答］解：(2)設著陸點的縱坐標為3則第一次訓練時，t=-0.05(%-8)2+23.20,

解得：x=8+/20(23.20—t)或x=8-520(23.20-+),

...根據圖象可知，第一次訓練時著陸點的水平距離心=8+/20(23.20-。,

第二次訓練時，t=-0.04(%-97+23.24,

解得：x=9+,25(23.24-t)或%=9-J25(23.24-t).

...根據圖象可知，第二次訓練時著陸點的水平距離d2=9+725(23.24-t),

720(23.20-t)<25(23.24-t),

.々20(23.20-t)<725(23.24-t),

??d]Vd2?

故答案為：<.

【分析】(1)先求出該運動員豎直高度的最大值為23.20m,再求函數解析式即可；

(2)根據題意求出x=9+J25(23.24-t)或x=9-J25(23.24-t),再比較大小即可。

26.(2022?北京市)在平面直角坐標系xOy中，點(1,m),(3,n)在拋物線y=aM+bx+c(a>0)上,

設拋物線的對稱軸為x=t.

(1)當c=2,m=n時，求拋物線與y軸交點的坐標及t的值；

(2)點(配，m)(xo。1)在拋物線上，若m<n<c,求t的取值范圍及配的取值范圍.

【答案】(1)解：當c=2時，y=ax2+bx+2,

工當x=0時,y=2,

.?.拋物線與y軸交點的坐標為(0,2)；

".*in=n,

.,?點(1,m),(3,n)關于對稱軸為x=t對稱,

.,1+3_

..t=-=2；

(2)解：當x=0時，y=c,

.?.拋物線與y軸交點坐標為(0,c),

.?.拋物線與y軸交點關于對稱軸x=t的對稱點坐標為(2t,c),

'：a>0,

...當xWt時，y隨x的增大而減小，當久〉t時，y隨x的增大而增大，

當點(1,m)，點(3,n)，(2t,c)均在對稱軸的右側時，t<1,

Vm<n<c,1<3,

/.2t>3,即t>|(不合題意，舍去)，

當點(1,m)在對稱軸的左側，點(3,n),(2t,c)均在對稱軸的右側時，點(和，m)在對稱軸的右側,

1<t<3,

此時點(3,71)到對稱軸X=t的距離大于點(1,巾)到對稱軸久=「的距離，

At-l<3-t,解得：t<2,

'-'m<n<c,1<3,

/.2t>3,即t>|,

J*tV2,

(x0,m),(1,m)>對稱軸為x=t,

、一和+1

???|<駕工<2，解得：2<%o<3,

的取值范圍為|<t<2,配的取值范圍為2<%。<3.

【知識點】二次函數y=axA2+bx+c的圖象；二次函數y=axA2+bx+c的性質；二次函數的其他應用

【解析】【分析】(1)先求出拋物線與y軸交點的坐標為(0,2),再求出點(1,m),(3,n)關于對

稱軸為％=t對稱，最后求解即可；

(2)根據題意先求出拋物線與y軸交點坐標為(0,c),再求出2</<3,最后求解即可。

27.(2022?北京市)在44BC中，^ACB=90°,D為/ABC內一點，連接BO,DC延長DC到點E,使得

CE=DC.

圖1圖2

(1)如圖1,延長BC到點F,使得CF=BC,連接4F,EF若AF1EF,求證：BDLAF-,

(2)連接4E,交BD的延長線于點H,連接CH,依題意補全圖2,^AB2=AE2+BD2,用等式表

示線段CD與C〃的數量關系，并證明.

【答案】(1)證明：在AFCE和4BC。中，

CE=CD

乙FCE=乙BCD,

CF=CB

：.AFCE=ABCD(SAS),

：.Z-CFE=乙CBD,

：.EF||BD,

,：AF1EF,

：.BDLAF.

（2）解：補全后的圖形如圖所示，CD=CH,證明如下:

延長BC到點M,使CM=CB,連接EM,AM,

,：z.ACB=90°,CM=CB,

垂直平分BM,

：.AB=AM,

在/MEC和4BDC中，

CM=CB

/.MCE=乙BCD,

CE=CD

：.AMEC=ABDC（iSAS^

：.ME=BD,乙CME=（CBD,

9222

：AB=AE+BDf

：.AM2=AE2+ME2,

?"AEM=90°,

■:乙CME=（CBD,

：.BH||EM,

：.^BHE=Z.AEM=90°,即4DHE=90。，

?:CE=CD/DE,

I

?.CH

：.CD=CH.

【知識點】三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定與性質求解即可;

(2)先求出AB=AM,再求出AMEC2ABDC(SAS),最后求解即可。

28.(2022?北京市)在平面直角坐標系xOy中，已知點M(a,b),N.對于點P給出如下定義：將點P向右

(a>0)或向左(a<0)平移|a|個單位長度，再向上(b