解直角三角形應(yīng)用舉例市公開課一等獎(jiǎng)省賽課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)(下冊(cè))第二十八章

§28.2解直角三角形（2）用數(shù)學(xué)視覺觀察世界用數(shù)學(xué)思維思考世界第1頁在直角三角形中,除直角外,由已知兩元素求其余未知元素過程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三邊之間關(guān)系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形依據(jù)(2)兩銳角之間關(guān)系:∠A＋∠

B＝90o；(3)邊角之間關(guān)系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc知識(shí)回顧(必有一邊)第2頁

溫故而知新ABC┌如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A=30°，BC=3，則AC=（2）若∠B=60°，AC=3，則BC=（3）若∠A=α°，AC=3，則BC=（4）若∠A=α°，BC=m，則AC=第3頁例3：6月18日“神舟”九號(hào)載人航天飛船與“天宮一號(hào)”目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接．“神舟”九號(hào)與“天宮一號(hào)”在離地球表面343km圓形軌道上運(yùn)行．如圖，當(dāng)組合體運(yùn)行到地球表面上P點(diǎn)正上方時(shí)，從中能直接看到地球上表面最遠(yuǎn)點(diǎn)在什么位置？最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)距離是多少？（地球半徑約為6400km，π取3.142，結(jié)果取整數(shù)）

分析：從組合體中能直接看到地球上點(diǎn)，應(yīng)是視線與地球相切時(shí)切點(diǎn)．·OQFPα如圖，⊙O表示地球，點(diǎn)F是組合體位置，F(xiàn)Q是⊙O切線，切點(diǎn)Q是從組合體中觀察地球時(shí)最遠(yuǎn)點(diǎn)．長(zhǎng)就是地面上P、Q兩點(diǎn)間距離，為計(jì)算長(zhǎng)需先求出∠POQ（即a）度數(shù).例題第4頁解：在圖中，設(shè)∠POQ=aFQ是⊙O切線，△FOQ是直角三角形．∴弧PQ長(zhǎng)為當(dāng)飛船在P點(diǎn)正上方時(shí)，從飛船觀察地球時(shí)最遠(yuǎn)點(diǎn)距離P點(diǎn)約.6km·OQFPα第5頁仰角和俯角鉛直線水平線視線視線仰角俯角在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線夾角叫做俯角.介紹:第6頁例4:熱氣球探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部仰角為30°，看這棟高樓底部俯角為60°，熱氣球與高樓水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果準(zhǔn)確到0.1m）分析：我們知道，在視線與水平線所成角中視線在水平線上方是仰角，視線在水平線下方是俯角，所以，在圖中，a=30°,β=60°Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形知識(shí)求出BD；類似地能夠求出CD，進(jìn)而求出BC．ABCDαβ仰角水平線俯角仰角與俯角第7頁解：如圖，a=30°,β=60°，AD＝120．答：這棟樓高約為277.1mABCDαβ第8頁1.建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40mD處觀察旗桿頂部A仰角54°，觀察底部B仰角為45°，求旗桿高度（準(zhǔn)確到0.1m）ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=40m在Rt△ACD中所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：棋桿高度為15.2m.練習(xí)第9頁2.如圖，沿AC方向開山修路．為了加緊施工進(jìn)度，要在小山另一邊同時(shí)施工，從AC上一點(diǎn)B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么開挖點(diǎn)E離D多遠(yuǎn)恰好能使A，C，E成一直線（準(zhǔn)確到0.1m）50°140°520mABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：開挖點(diǎn)E離點(diǎn)D332.8m恰好能使A，C，E成一直線.解：要使A、C、E在同一直線上，則∠ABD是△BDE一個(gè)外角第10頁

當(dāng)堂反饋3.如圖3，從地面上C，D兩點(diǎn)測(cè)得樹頂A仰角分別是45°和30°，已知CD=200m，點(diǎn)C在BD上，則樹高AB等于

（根號(hào)保留）．4.如圖4，將寬為1cm紙條沿BC折疊，使∠CAB=45°，則折疊后重合部分面積為

（根號(hào)保留）．

圖3圖4第11頁

當(dāng)堂反饋6.如圖2，在離鐵塔BE120mA處，用測(cè)角儀測(cè)量塔頂仰角為30°，已知測(cè)角儀高AD=1.5m，則塔高BE=_________（根號(hào)保留）．圖1圖25.如圖1，已知樓房AB高為50m，鐵塔塔基距樓房地基間水平距離BD為100m，塔高CD為m，則下面結(jié)論中正確是（）A．由樓頂望塔頂仰角為60°B．由樓頂望塔基俯角為60°C．由樓頂望塔頂仰角為30°D．由樓頂望塔基俯角為30°C第12頁指南或指北方向線與目標(biāo)方向線組成小于900角,叫做方位角.如圖：點(diǎn)A在O北偏東30°點(diǎn)B在點(diǎn)O南偏西45°（西南方向）30°45°BOA東西北南方位角介紹:第13頁例5如圖，一艘海輪位于燈塔P北偏東65°方向，距離燈塔80海里A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，抵達(dá)位于燈塔P南偏東34°方向上B處，這時(shí)，海輪所在B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°當(dāng)海輪抵達(dá)位于燈塔P南偏東34°方向時(shí)，它距離燈塔P大約130海里．65°34°PBCA第14頁利用解直角三角形知識(shí)處理實(shí)際問題普通過程是:1.將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題;(畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題)2.依據(jù)條件特點(diǎn),適當(dāng)選取銳角三角函數(shù)等去解直角三角形;3.得到數(shù)學(xué)問題答案;4.得到實(shí)際問題答案.第15頁鞏固練習(xí)：海中有一個(gè)小島A，它周圍8海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里抵達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上，假如漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁危險(xiǎn)？BADF60°1230°第16頁BADF解：由點(diǎn)A作BD垂線交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，垂足為F，∠AFD=90°由題意圖示可知∠DAF=30°設(shè)DF=x,AD=2x則在Rt△ADF中，依據(jù)勾股定理在Rt△ABF中，解得x=610.4>8沒有觸礁危險(xiǎn)30°60°第17頁1.如圖所表示，輪船以32海里每小時(shí)速度向正北方向航行，在A處看燈塔Q在輪船北偏東30°處，半小時(shí)航行到B處，發(fā)覺此時(shí)燈塔Q與輪船距離最短，求燈塔Q到B處距離（畫出圖像后再計(jì)算）ABQ30°相信你能行第18頁A2．如圖所表示，一漁船上漁民在A處看見燈塔M在北偏東60°方向，這艘漁船以28海里/時(shí)速度向正東航行，半小時(shí)至B處，在B處看見燈塔M在北偏東15°方向，此時(shí)燈塔M與漁船距離是()海里.海里C.7海里D.14海里D第19頁修路、挖河、開渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都要注明斜坡傾斜程度.坡面鉛垂高度（h）和水平長(zhǎng)度（l）比叫做坡面坡度（或坡比）.記作i,即i=.坡度通常寫成1∶m形式，如i=1∶6.坡面與水平面夾角叫做坡角，記作a，有i＝=tana.

顯然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.第20頁例5.如圖，攔水壩橫斷面為梯形ABCD（圖中i=1:3是指坡面鉛直高度DE與水平寬度CE比），依據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：（1）坡角a和β;（2）斜坡AB長(zhǎng)（準(zhǔn)確到0.1m）BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.5解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°在Rt△CDE中，∠CED=90°第21頁19.4.6

如圖一段路基橫斷面是梯形，高為4.2米，上底寬是12.51米，路基坡面與地面傾角分別是32°和28°．求路基下底寬．（準(zhǔn)確到0.1米）想一想1.認(rèn)清圖形中相關(guān)線段;2.分析輔助線作法;3.坡角在解題中作用;4.探索解題過程.練習(xí)第22頁解作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E、F．由題意可知

DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）.在Rt△ADE中，因?yàn)樗?/p>

在Rt△BCF中，同理可得所以AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．答：路基下底寬約為27.13米．第23頁4如圖,水庫大壩截面是梯形ABCD,壩頂AD=6m,坡長(zhǎng)CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.(1)求坡角∠ABC大小;(2)假如壩長(zhǎng)100m,那么修建這個(gè)大壩共需多少土石方(結(jié)果準(zhǔn)確到0.01m3).咋辦先結(jié)構(gòu)直角三角形!ABCD第24頁2.01:2.51:2BCADEF探究題如圖,沿水庫攔水壩背水坡將壩面加寬兩米,坡度由原來1:2改成1:2.5,已知原背水坡長(zhǎng)BD=13.4米,求:(1)原背水坡坡角和加寬后背水坡坡角;(2)加寬后水壩橫截面面積