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河南省商丘市長(zhǎng)崗鎮(zhèn)聯(lián)合中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.3.已知a,b∈
R,下列四個(gè)條件中,使a<b成立的必要而不充分的條件是(
)A.|a|<|b|
B.2a<2b
C.a(chǎn)<b﹣1
D.a(chǎn)<b+1參考答案:D試題分析::“a<b”不能推出“|a|<|b|”,“|a|<|b|”也不能推出“a<b”,故選項(xiàng)A是“a<b”的既不充分也不必要條件;“a<b”能推出“2a<2b”,“2a<2b”也能推出“a<b”,故選項(xiàng)B是“a<b”的充要條件;“a<b”不能推出“a<b-1”,“a<b-1”能推出“a<b”,故選項(xiàng)C是“a<b”的充分不必要條件;“a<b”能推出“a<b+1”,“a<b+1”不能推出“a<b”,故選項(xiàng)D是“a<b”的必要不充分條件;故選:D.考點(diǎn):必要條件、充分條件與充要條件的判斷.2.已知為等差數(shù)列,若,則的值為(
) A. B. C. D.參考答案:D略3.若復(fù)數(shù)z滿足z+zi=3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案:D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;數(shù)學(xué)模型法;數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).【分析】由z+zi=3+2i,得,然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),則答案可求.【解答】解:由z+zi=3+2i,得=,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為:(,),位于第四象限.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.4.若(其中,則函數(shù)與的圖象(A)關(guān)于軸對(duì)稱
(B)關(guān)于軸對(duì)稱(C)關(guān)于直線對(duì)稱
(D)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱參考答案:B5.如圖,已知橢圓及兩條直線,其中,且分別交軸與兩點(diǎn)。從上一點(diǎn)發(fā)出一條光線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)被軸反射后與交于點(diǎn)。若,且,則橢圓的離心率等于(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A6.函數(shù)的定義域是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B7.球O的一個(gè)截面面積為,球心到該截面的距離為,則球的表面積是
(
)
A.B.
C.
D.參考答案:A略8.已知函數(shù)與軸的交點(diǎn)為(0,1),且圖象上兩對(duì)稱軸之間的最小距離為,則使成立的的最小值為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A9.下列函數(shù)中滿足在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減的偶函數(shù)是()A. B.y=|log2(﹣x)| C. D.y=sin|x|參考答案:C【考點(diǎn)】49:指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).【分析】根據(jù)基本函數(shù)的性質(zhì)依次判斷即可得答案.【解答】解:對(duì)于A:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),的圖象是y=圖象把y軸的右邊圖象翻折后得左邊圖象,在(﹣∞,0)上單調(diào)遞增函數(shù),∴A不對(duì).對(duì)于B:根據(jù)圖象,y=|log2(﹣x)|,在(﹣∞,﹣1)是減函數(shù),(﹣1,0)是增函數(shù),∴B不對(duì).對(duì)于C:根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知:是偶函數(shù),指數(shù),(0,+∞)是增函數(shù).(﹣∞,0)上單調(diào)遞減.∴C對(duì).對(duì)于D:根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知:y=sin|x|的圖象是由sinx在y軸的右邊圖象翻折后得左邊圖象.故選:C.10.集合A={x,B=,則=(
) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{-1,0,1}參考答案:B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù),其中、為常數(shù),,則=_________參考答案:12.兩個(gè)圓錐有等長(zhǎng)的母線,它們的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)圓,若它們的側(cè)面積之比為1∶2,則它們的體積比是
參考答案:13.設(shè),則使函數(shù)的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有的值為
;參考答案:1和314.甲、乙兩個(gè)總體各抽取一個(gè)樣本,甲的樣本均值為15,乙的樣本均值為17,甲的樣本方差為3,乙的樣本方差為2,____的總體波動(dòng)?。畢⒖即鸢福阂?5.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且點(diǎn)到直線的距離等于1,則直線的方程是
.參考答案:或.16.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且,,則=
;參考答案:2因?yàn)?,所以,所以,所以?7.公比為的等比數(shù)列前項(xiàng)和為15,前項(xiàng)和為
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分15分)已知正方形的邊長(zhǎng)為2,.將正方形沿對(duì)角線折起,使,得到三棱錐,如圖所示.(1)當(dāng)時(shí),求證:;(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí),求二面角的正切值.參考答案:(1)證明:根據(jù)題意,在中,,,所以,所以.因?yàn)槭钦叫蔚膶?duì)角線,所以.因?yàn)?,所以.……………?分(2)解法1:由(1)知,,如圖,以為原點(diǎn),,所在的直線分別為軸,軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則有,,,.設(shè),則,.又設(shè)面的法向量為,則即.
所以,令,則.所以.因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為,且二面角的大小為,所以,得.因?yàn)?,所以.解得.所以.設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?,則,即令,則.所以.設(shè)二面角的平面角為,所以.所以.
所以二面角的正切值為.……………15分解法2:折疊后在△中,,在△中,.
所以是二面角的平面角,
即.在△中,,所以.如圖,過(guò)點(diǎn)作的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn),因?yàn)?,,且,所以平面.因?yàn)槠矫妫裕?,且,所以平面.過(guò)點(diǎn)作作,垂足為,連接,因?yàn)?,,所以平面.因?yàn)槠矫?,所以.所以為二面角的平面角.在△中,,,則,,所以.在△中,,所以在△中,.所以二面角的正切值為.…………15分19.如圖,五邊形ABSCD中,四邊形ABCD為長(zhǎng)方形,為邊長(zhǎng)為2的正三角形,將沿BC折起,使得點(diǎn)S在平面ABCD上的射影恰好在AD上.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),證明:平面SAB⊥平面SCD;(Ⅱ)若,求平面SCD與平面SBC所成二面角的余弦值的絕對(duì)值.參考答案:(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ).試題分析:(Ⅰ)作,垂足為,依題意得平面,則,平面,,結(jié)合勾股定理可得,則平面,平面平面.(Ⅱ)由幾何關(guān)系,以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可得平面的法向量,平面的法向量.計(jì)算可得平面與平面所成二面角的余弦值的絕對(duì)值為.試題解析:(Ⅰ)作,垂足為,依題意得平面,,又,平面,利用勾股定理得,同理可得在中,平面,又平面,所以平面平面(Ⅱ)連結(jié),,,,又四邊形為長(zhǎng)方形,.取中點(diǎn)為,得∥,連結(jié),其中,,由以上證明可知互相垂直,不妨以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.,,設(shè)是平面的法向量,則有即,令得設(shè)是平面的法向量,則有即令得.則所以平面與平面所成二面角的余弦值的絕對(duì)值為.
20.圓的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為P(如圖),雙曲線過(guò)點(diǎn)P且離心率為.(1)求的方程;(2)橢圓過(guò)點(diǎn)P且與有相同的焦點(diǎn),直線過(guò)的右焦點(diǎn)且與交于A,B兩點(diǎn),若以線段AB為直徑的圓心過(guò)點(diǎn)P,求的方程參考答案:(1)(2)(1)(2).21.△ABC的面積是30,內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,cosA=.(Ⅰ)求?;(Ⅱ)若c﹣b=1,求a的值.參考答案:【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系.【分析】根據(jù)本題所給的條件及所要求的結(jié)論可知,需求bc的值,考慮已知△ABC的面積是30,cosA=,所以先求sinA的值,然后根據(jù)三角形面積公式得bc的值.第二問(wèn)中求a的值,根據(jù)第一問(wèn)中的結(jié)論可知,直接利用余弦定理即可.根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系,由cosA=得sinA的值,再根據(jù)△ABC面積公式得bc=156;直接求數(shù)量積?.由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,代入已知條件c﹣b=1,及bc=156求a的值.【解答】解:由cosA=,得sinA==.又sinA=30,∴bc=156.(Ⅰ)?=bccosA=156×=144.(Ⅱ)a2=b2+c2﹣2bccosA=(c﹣b)2+2bc(1﹣cosA)=1+2?156?(1﹣)=25,∴a=5.22.(本小題滿分14分)已知).(1)若時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;(2)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)令是否存在實(shí)數(shù),當(dāng)是自然對(duì)數(shù)的底)時(shí),函數(shù)的最小值是.若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.參考答案:(1)當(dāng)時(shí),
………1分,函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為…3分(2)函數(shù)在上是減函數(shù)在上恒成立
……………4分令,有得…………………6分………………7分(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)
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