高等數(shù)學課件：D5-5定積分在幾何中的應(yīng)用

一、面積問題二、體積問題三、曲線的弧長第五節(jié)定積分在幾何學上的應(yīng)用第六章《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期定積分概念的出現(xiàn)和發(fā)展都是由實際問題引起和推動的。因此定積分的應(yīng)用也非常廣泛。本章主要介紹幾何上，物理上實際問題的應(yīng)用，例如：計算平面圖形面積，曲線弧長，旋轉(zhuǎn)體體積引力，做功等?；舅枷耄簩嶋H問題所求量U轉(zhuǎn)化為求U=(積分模型)轉(zhuǎn)化方法：元素法（或微元法），即從局部到整體《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期一、元素法回顧

曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期其面積關(guān)鍵是部分量的近似《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期則積分上限函數(shù)以[a,x]為底的曲邊梯形的面積微分dA(x)=f(x)dx面積A的面積元素點x處以dx為寬的小曲邊梯形的面積A的近似值A(chǔ)(x)《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期定積分的微元法從面積表示為定積分的步驟,可抽象出在應(yīng)用學科中表示為定積分的方法廣泛采用的將所求量U(總量)—微元法(也稱為元素法).(1)由分割寫出微元根據(jù)具體問題,選取一個積分變量,并確定它的變化區(qū)間[a,b],任取[a,b]的一個區(qū)間微元

[x,x+dx],求出相應(yīng)于這個區(qū)間微元上部分量的近似值,即求出所求總量U的微元《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期定積分的微元法從面積表示為定積分的步驟,可抽象出在應(yīng)用學科中表示為定積分的方法廣泛采用的將所求量U(總量)—微元法(也稱為元素法).(1)由分割寫出微元(2)由微元寫出積分根據(jù)寫出表示總量的定積分《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期二、平面圖形的面積Oyab

xy=f

上(x)y=f

下(x)x

x+dxx

=b所圍成的圖形的面積．面積元素為：[f

上(x)-f

下(x)]dx．所求圖形的面積為：A=[f

上(x)-f

下(x)]dx．1.直角坐標的情形求由曲線y

=f

上(x)、y

=f

下(x)及直線x

=a、《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期面積微元aby=f

上(x)O討論：如果下圖形的面積元素是什么？面積公式是什么？yxA1y=f

下(x)Oyxaby=f

上(x)A2y=f

下(x)A1=A2=

[f

上(x)-f

下(x)]dx．《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期右下圖所示圖形面積為《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期例1.計算兩條拋物線解:由得交點1x在第一象限所圍圖形的面積.yy2xyx

20

x

x+dx

1《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期討論：如果下圖形的面積元素是什么？面積公式是什么？xcOydx=f

左(y)x=f

右(y)A33右左A

=

[f

(y)-f

(y)]dy．yy+dy《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期例2.計算拋物線與直線解:由得交點所圍圖形的面積.選取y

作積分變量,則有y

2=2xy=x-4(8,

4(2,

-2)《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期例3.求橢圓所圍圖形的面積.解:利用對稱性,有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當a

=b

時得圓面積公式《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期求由曲線圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間 上任取小區(qū)間則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為2.極坐標情形設(shè)及射線《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期例4.計算阿基米德螺線Ox對應(yīng) 從

0

變到

2 所圍圖形面積.解:2paρ

ad《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期例5.計算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對稱性)Ox2a《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期練習1解《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期練習2解《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期三、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積用切線MT繞x軸旋轉(zhuǎn)所得圓臺的側(cè)面積近似《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)平面光滑曲線求積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.取側(cè)面積元素:位于[x,x+dx]上的圓臺的側(cè)面積《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期例6.計算圓繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積S

.解:對曲線弧應(yīng)用公式得當球臺高h＝2R

時,得球的表面積公式《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期圓柱圓錐圓臺1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期三、體積xyo《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期y《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期y《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期y+dyy即,當考慮連續(xù)曲線段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有當考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期例5.計算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:利用直角坐標方程則(利用對稱性)《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期、求由曲線 所圍成的圖形分例6別繞 軸和軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解作草圖,并求得曲線的交點坐標分別為及及《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),A(x)在[a,b]上連續(xù)則,對應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期2.已知平行截面面積函數(shù)的立體體積例8.

一平面經(jīng)過半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成 角,計算該平面截圓柱體所得立體的體積.解:如圖所示取坐標系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為yxO)aR-Rx

2

y

2

R

2《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期例8.一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓角,計算該平面截圓中心,并與底面交成

柱體所得立體的體積.解:利用對稱性yxO)aR-Rx

2

y

2

R

2《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期解

取坐標系如圖底圓方程為垂直于軸的截面為等腰三角形截面面積立體體積《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積直角坐標方程邊界方程

參數(shù)方程極坐標方程《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期2.已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞x

軸:繞y

軸:《高等數(shù)學》化學131、1322013－2014學年第一學期與直線所圍成練習1

求由拋物線的面積.解由方程組解得它們的交點為選為積分變量,則的變化范圍是 任取其則可得到相應(yīng)面積上的一個區(qū)間微元微元從而所求面積《