函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題函數(shù)的單調(diào)性TOC\o"13"\h\z\u題型1單調(diào)性概念的理解 6◆類(lèi)型1單調(diào)性概念理解 6◆類(lèi)型2基本初等函數(shù)的單調(diào)性 10◆類(lèi)型3函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)概念 13題型2函數(shù)的單調(diào)性 17◆類(lèi)型1定義法 17◆類(lèi)型2圖像法 23◆類(lèi)型3性質(zhì)法 30題型3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 33題型4抽象函數(shù)的單調(diào)性 39題型5單調(diào)性求參問(wèn)題 45◆類(lèi)型1簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性 46◆類(lèi)型2分段函數(shù)的單調(diào)性 50題型6利用單調(diào)性解不等式 52題型7利用單調(diào)性比較大小 57題型8抽象函數(shù)與不等式 61題型9恒成立問(wèn)題 69題型10存在成立問(wèn)題 73題型11新定義問(wèn)題 80知識(shí)點(diǎn)一.單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的知識(shí)點(diǎn)二.單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．注意：(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問(wèn)題，所以單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域，則該點(diǎn)處區(qū)間可開(kāi)可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開(kāi)．(2)單調(diào)區(qū)間D?定義域I.(3)遵循最簡(jiǎn)原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大．知識(shí)點(diǎn)三.函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)結(jié)論單調(diào)性定義的等價(jià)形式:函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)：?任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有f(x1)f(x2)<0;?任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(x?任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1x2)[f(x1)f(x2)]>0;?任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有x1函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是減函數(shù)：?任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有f(x1)f(x2)>0;?任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(x?任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1x2)[f(x1)f(x2)]<0;?任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有x（3）在區(qū)間D上，兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù)．（4）復(fù)合函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”．（5）對(duì)勾函數(shù)（耐克函數(shù)）形如（，且為常數(shù)）在和上為增函數(shù)，在和上為減函數(shù).對(duì)勾函數(shù)有兩條漸近線：一條是軸（，圖象無(wú)限接近于軸，但不相交），另一條是直線（當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)，趨近于0，趨近于，因?yàn)?，所以?注意：對(duì)于選擇題，填空題可用下面四種方法判斷函數(shù)單調(diào)性1定義法：取值、作差、變形因式分解、配方、有理化、通分、定號(hào)、下結(jié)論.2復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)為增函數(shù)，不同時(shí)為減函數(shù).3圖象法：如果fx是以圖象形式給出的，或者fx的圖象易作出，可由圖象的直觀性判斷函數(shù)單調(diào)性.4導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性.(選修中會(huì)學(xué)到)(5)證明函數(shù)的單調(diào)性有定義法、導(dǎo)數(shù)法.但在高考中，見(jiàn)到有解析式，盡量用導(dǎo)數(shù)法.易錯(cuò)警示：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.②如有多個(gè)單調(diào)增減區(qū)間應(yīng)分別寫(xiě)，不能用“∪”聯(lián)結(jié).知識(shí)點(diǎn)四.函數(shù)最值（1）概念前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為函數(shù)y＝f(x)的最大值M為函數(shù)y＝f(x)的最小值（2）求函數(shù)最值的5種常用方法單調(diào)性法先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性結(jié)合端點(diǎn)值求最值圖象法先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值基本不等式法先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值導(dǎo)數(shù)法先求出導(dǎo)函數(shù)，然后求出給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值換元法對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值知識(shí)點(diǎn)五.常見(jiàn)的基本初等函數(shù)單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減.反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增.二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.知識(shí)點(diǎn)六.單調(diào)性性質(zhì)利用單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可以方便、快捷地確定某些由幾個(gè)基本初等函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù)與在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：（1）與（C為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性.（2）與的單調(diào)性相反.（3）當(dāng)時(shí)，與具有相同的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，與具有相反的單調(diào)性.（4）若≥0，則與具有相同的單調(diào)性.（5）若恒為正值或恒為負(fù)值，則當(dāng)時(shí)，與具有相反的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，與具有相同的單調(diào)性.（6）與的和與差的單調(diào)性（相同區(qū)間上）:增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)不能確定單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)不能確定單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)不能確定單調(diào)性減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)不能確定單調(diào)性（1）↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.題型1單調(diào)性概念的理解◆類(lèi)型1單調(diào)性概念理解【例題11】（多選）（2022秋·江蘇連云港·高一校考期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(3)>f(2)，則函數(shù)B．若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(3)>f(2)，則函數(shù)C．若定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間-∞,0上是增函數(shù)，在區(qū)間0，+∞D(zhuǎn)．若定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間-∞,0上是增函數(shù)，在區(qū)間(0,+∞)上也是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).【答案】BC【分析】對(duì)ABC按函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)于選項(xiàng)D，舉反例fx【詳解】A：若函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),則對(duì)于任意的x1,x2∈R且x1<x2B：函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù),則對(duì)于任意的x1,x2∈R且x1<x2C：若定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間-∞,0上是增函數(shù)，在區(qū)間0，+∞上也是增函數(shù)，則滿足對(duì)于任意的x1,x2D：設(shè)函數(shù)fx=-x+1,x≤0x-1,x>0是定義在R上的函數(shù),且f(x)在區(qū)間-∞,0上是增函數(shù)，在區(qū)間(0,+∞)故選：BC【變式11】1.（2021·高一課前預(yù)習(xí)）函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)，則有（

）A．f(3)<f(5) B．f(3)≤f(5) C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)【答案】C【分析】由減函數(shù)定義，觀察自變量的大小可得．【詳解】∵3<5，f(x)是R上的減函數(shù)，∴f(3)>f(5)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的概念．要注意我們所學(xué)的單調(diào)性都是“嚴(yán)格”單調(diào)的，即在單調(diào)區(qū)間內(nèi)對(duì)任意的x1<x2，有【變式11】2.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)fx在區(qū)間1,3和3,5上均為增函數(shù)，則函數(shù)fx在區(qū)間A．一定是增函數(shù) B．沒(méi)有單調(diào)性C．不可能是減函數(shù) D．存在減區(qū)間【答案】C【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性分析即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx在區(qū)間1,3和3,5對(duì)于A，符合條件的圖像如圖所示，函數(shù)fx在區(qū)間1,5上不是增函數(shù)，∵x1對(duì)于B，符合條件的圖像如圖所示，函數(shù)fx在區(qū)間1,3和3,5上連續(xù)，此時(shí)fx在區(qū)間對(duì)于CD，函數(shù)fx在區(qū)間1,3和3,5故選：C【變式11】3.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，在區(qū)間(b，c)上也是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)∪(b，c)上()A．必是增函數(shù) B．必是減函數(shù)C．是增函數(shù)或減函數(shù) D．無(wú)法確定單調(diào)性【答案】D【詳解】試題分析：函數(shù)y=x在(1,2)內(nèi)遞增，在(2,3)遞增，在(1,2)∪(2,3)上遞增，函數(shù)y=-1x在(-1,0)遞增，在(0,1)上遞增，在考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性【變式11】4.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b，若?x1,x2∈a,b，當(dāng)B．函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b，若?x1,x2∈a,b，當(dāng)C．若函數(shù)fx在a,b上是增函數(shù)，在b,c上也是增函數(shù)，則函數(shù)fx在D．若函數(shù)fx在a,b上是增函數(shù)，在b,c上也是增函數(shù)，則函數(shù)fx在【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義知AB正確，舉出反例fx【詳解】由減函數(shù)的定義，知A說(shuō)法正確；對(duì)于B，?x1,x2∈a,b，當(dāng)x對(duì)于C，若fx=x,0≤x≤1x-1,1<x≤2，則對(duì)比C選項(xiàng)，D選項(xiàng)兩區(qū)間有重合部分，正確.故選：C．【變式11】5.（2023春·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則“f(2)<f(3)”是“f(x)是增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件以及必要條件的定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及舉反例的方法，可得答案.【詳解】充分性：當(dāng)fx=x2時(shí)，顯然f2<f3故“f(2)<f(3)”是“f(x)是增函數(shù)”的非充分條件；必要性：由fx是增函數(shù)，且3>2，則f故“f(2)<f(3)”是“f(x)是增函數(shù)”的必要條件；故選：B.【變式11】6.（2020·高一單元測(cè)試）已知下列各命題：①若在定義域內(nèi)存在x1<x2使得fx1<f【答案】②【分析】由函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷①，由一次函數(shù)的單調(diào)性可判斷②，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷③，即可得解.【詳解】對(duì)于①，由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，若在定義域內(nèi)任意的x1<x2，均有對(duì)于②，由一次函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)y=3-x在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，故②正確；對(duì)于③，函數(shù)y=1x的單調(diào)遞減區(qū)間為-∞,0，故答案為：②.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用，考查了常見(jiàn)函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.◆類(lèi)型2基本初等函數(shù)的單調(diào)性【例題12】（多選）（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞A．y=-x2C．y=-1x【答案】AD【分析】利用基本函數(shù)的單調(diào)性依次判定即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，y=-x2+1對(duì)于選項(xiàng)B，y=x在區(qū)間(0,+對(duì)于選項(xiàng)C，y=-1x在對(duì)于選項(xiàng)D，y=-|x|在區(qū)間(0,+∞故選：AD.【變式12】1.（多選）（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)在-∞A．y=x B．y=x C．y=1【答案】BCD【分析】由各選項(xiàng)對(duì)應(yīng)函數(shù)在-∞【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)y=x為在R上遞增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，函數(shù)y=x在-∞,0C選項(xiàng)，函數(shù)y=1x在-∞D(zhuǎn)選項(xiàng)，函數(shù)y=x2-1在-故選：BCD【變式12】2.（多選）（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，在(-∞A．y=x+1C．y=x+xx【答案】BCD【分析】因x<0得x=-x【詳解】在A中，當(dāng)x<0時(shí)，y=x+1=-x+1在在B中，當(dāng)x<0時(shí)，y=-x2x在C中，當(dāng)x<0時(shí)，y=x+xx=x-1在D中，當(dāng)x<0時(shí)，y=xx=-x故選：BCD.【變式12】3.（2021秋·湖南衡陽(yáng)·高一衡陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┫铝泻瘮?shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)的有（

）個(gè)①y=-1x；

②y=2x+1；③yA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，利用初等函數(shù)的性質(zhì)判斷.【詳解】①y=-1②y=2x+1在[0，+∞）上是增函數(shù)，滿足題意；③y=|x+1|④y=-2x故選：B【變式12】4.（2021秋·天津靜?！じ咭混o海一中?？茧A段練習(xí)）在區(qū)間(-∞,0)上為增函數(shù)的函數(shù)是A．y=-x B．y=1x-1 C．y=-【答案】C【解析】根據(jù)簡(jiǎn)單函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行判斷和選擇即可.【詳解】函數(shù)y=-x是R上的減函數(shù)，函數(shù)y=1x-1在區(qū)間函數(shù)y=-(x+1)2在區(qū)間函數(shù)y=-x在區(qū)間(-∞,0)故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬基礎(chǔ)題.◆類(lèi)型3函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)概念【例題13】（2022秋·云南曲靖·高一會(huì)澤縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若對(duì)于區(qū)間I上的函數(shù)fx，滿足對(duì)于任意的x1,x2，f【答案】增函數(shù)【分析】化簡(jiǎn)條件，根據(jù)增函數(shù)的定義可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意的x1,x所以當(dāng)x1-x即對(duì)于任意的x1,x2∈I所以函數(shù)fx在I故答案為：增函數(shù).【變式13】1.（多選）（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)中滿足“對(duì)任意x1、x2∈（0，+∞），都有A．fx=-2C．fx=x【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定正確答案.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意x1，x2∈（0，+∞），都有fx所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，A：根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可知fxB：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，fxC：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知fxD：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，fx故選：ACD【變式13】2.（2017秋·上海浦東新·高一上海市洋涇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)，①若存在x1,x2∈R,x1<x2，使得fx1<fx2成立，則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增。②若存在x1,x2則以上真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)增函數(shù)和減函數(shù)的定義，注意關(guān)鍵的條件“任意”以及對(duì)應(yīng)的自變量和函數(shù)值的關(guān)系即可判斷出正確的答案.【詳解】①應(yīng)改為：任意x1,x則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.故①錯(cuò)誤.對(duì)于②，由減函數(shù)的性質(zhì)知：必須有任意x1,x函數(shù)f(x)在R上才單調(diào)遞減，故②正確.對(duì)于③，由于x2>0，則x1可知函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)，故③錯(cuò)誤.對(duì)于④，等價(jià)于對(duì)于任意的x1,x則函數(shù)在R上單調(diào)遞減.故④正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了增函數(shù)和減函數(shù)的定義的應(yīng)用，根據(jù)定義內(nèi)容進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.【變式13】3.（多選）（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）（多選）如果函數(shù)fx在a,b上是增函數(shù)，那么對(duì)于任意的x1、A．fB．xC．若x1<D．x【答案】ABD【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于ABD選項(xiàng)，因?yàn)閒x在a,b上是增函數(shù)，對(duì)任意的x1、不妨設(shè)x1<x2，則fxx1對(duì)于C選項(xiàng)，若x1<x2，則故選：ABD.【變式13】4.（多選）（2022秋·湖南郴州·高一安仁縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)f(x)滿足對(duì)?x1，x2∈(1，+∞)，當(dāng)x1≠x2時(shí)，不等式f(x1)-f(x2A．f(x)=4x-1 B．f(x)=C．f(x)=2x2【答案】BC【解析】令g(x)=f(x)-x2，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷g(x)在【詳解】若函數(shù)f(x)滿足對(duì)?x1，x2∈(1,+∞)，當(dāng)則f(x令g(x)=f(x)-x2，則g(x1)-g(x2∴g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)，對(duì)于A,?????f(x)=4x-1，則g(x)=f(x)-x故g(x)在(1,2)遞增，在(2,+∞)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,???f(x)=x故g(x)在(1,+∞)遞增，故B正確；對(duì)于C,??????f(x)=2x2-2x+1故g(x)在(1,+∞)遞增，故C正確；對(duì)于D,?????f(x)=x故g(x)在(1,+∞)遞減，故D錯(cuò)誤；故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的新定義問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵在于f(x1)-f(x2)x12題型2函數(shù)的單調(diào)性【方法總結(jié)】判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法：1定義法：取值、作差、變形因式分解、配方、有理化、通分、定號(hào)、下結(jié)論.2復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)為增函數(shù)，不同時(shí)為減函數(shù).3圖象法：如果fx是以圖象形式給出的，或者fx的圖象易作出，可由圖象的直觀性判斷函數(shù)單調(diào)性.【方法總結(jié)】用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：①取值：設(shè)x1，x2為該區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)值，且x1＜x2②作差變形：做差f（x1）f（x2），并通過(guò)通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差值符號(hào)的方向變形③定號(hào)：確定差值的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以分類(lèi)討論④判斷：根據(jù)定義做出結(jié)論?！纛?lèi)型1定義法【方法總結(jié)】用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：①取值：設(shè)x1，x2為該區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)值，且x1＜x2②作差變形：做差f（x1）f（x2），并通過(guò)通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差值符號(hào)的方向變形③定號(hào)：確定差值的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以分類(lèi)討論④判斷：根據(jù)定義做出結(jié)論。【例題21】（2023秋·山東泰安·高三寧陽(yáng)縣第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)試用單調(diào)性定義判斷fx在1,2(2)求函數(shù)fx在1,2【答案】(1)答案見(jiàn)詳解；(2)最小值為-4，最大值為-1【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷；（2）利用單調(diào)性求最值.【詳解】（1）任取x1,x則f(x2=(x因?yàn)閤1,x2∈[1,2]，且x1<所以1<(x2-3)(所以(x2-所以fx在1,2（2）由（1）知fx在1,2所以fxfx所以函數(shù)fx在1,2上的最小值為-4，最大值為-【變式21】1.（2023秋·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=3x-m(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)判斷fx在區(qū)間-【答案】(1)m=-1；(2)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；【分析】（1）將點(diǎn)1,1代入fx（2）根據(jù)題意，由單調(diào)性的定義法證明即可.【詳解】（1）將點(diǎn)1,1代入函數(shù)fx=3x-m解得m=-1.（2）單調(diào)遞增，證明如下.由（1）可得fx任取x1<=1x2則x1-x2<0，x所以x1-x所以fx在區(qū)間-【變式21】2.（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）探究函數(shù)，fx【答案】答案見(jiàn)解析【分析】利用函數(shù)解析式對(duì)m進(jìn)行分類(lèi)討論，并根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)單調(diào)性，并用定義證明即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式可知，①當(dāng)m=0時(shí)，fx②當(dāng)m<0時(shí)，利用二次函數(shù)性質(zhì)可知fx在0,+∞上單調(diào)遞減，在證明如下：不妨取x1則fx又m<0，x1所以當(dāng)x1,x2∈即fx在0,+當(dāng)x1,x2∈即fx在-③當(dāng)m>0時(shí)，利用二次函數(shù)性質(zhì)可知fx在0,+∞上單調(diào)遞增，在證明如下：不妨取x1則fx又m>0，x1所以當(dāng)x1,x2∈即fx在0,+當(dāng)x1,x2∈即fx在-【變式21】3.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx=23x-1.判斷函數(shù)【答案】函數(shù)fx在1【分析】利用定義法即可證明函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】函數(shù)fx在1取?x1,則fx1-fx2因?yàn)閤1,x所以3x所以fx所以函數(shù)fx在1【變式21】4.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x+bx過(guò)點(diǎn)(1)求f(x)的解析式；(2)判斷f(x)在區(qū)間(1,+∞(3)求函數(shù)f(x)在2,7上的最大值和最小值.【答案】(1)f(x)=x+(2)f(x)在區(qū)間(1,+∞(3)最小值為52，最大值為50【分析】（1）把點(diǎn)(1,2)代入函數(shù)解析式，求出b的值，可得f(x)的解析式；（2）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性；（3）利用函數(shù)單調(diào)性，可函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值.【詳解】（1）由函數(shù)f(x)=x+bx過(guò)點(diǎn)(1,2)，有解得b=1，所以f(x)的解析式為：f(x)=x+1（2）f(x)在區(qū)間(1,+∞證明：?x1,fx由x1,x則x1-x所以f(x)在區(qū)間(1,+∞（3）由f(x)在(1,+∞所以f(x)在區(qū)間2,7上的最小值為f2=5【變式21】5.（2023秋·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(1)求函數(shù)fx(2)證明:函數(shù)fx在區(qū)間0,+(3)若x>0時(shí),fax2+2a>0恒成立，求正數(shù)【答案】(1)x=1或x=-(2)證明見(jiàn)解析(3)1【分析】（1）令f(x)=0解出x即可；（2）根據(jù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性即可；（3）f(ax2+2a)>0恒成立，由（1）得f(ax2【詳解】（1）因?yàn)閒x=2令fx=2解得x=1或x=-1（2）任取x1,x2∈(0,+∞),x1則f因?yàn)?<x1<x2,所以即fx所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增；（3）若x>0時(shí),f(ax2+2a)>0因?yàn)閍>0,所以ax2+2a>0，又函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以“f(ax即a>1即a>(令g(x)=1易知g(x)在x∈(0,+∞)單調(diào)遞減，∴g(x)故a的取值范圍為1◆類(lèi)型2圖像法【例題22】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=fx，x∈-4,4的圖象如圖所示，則A．-4,4 B．-4,-3∪1,4 C．-3,1【答案】C【分析】由圖象即可得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】根據(jù)圖像易得單調(diào)增區(qū)間為[-3,1]，故選：C.【變式22】1.（2023·全國(guó)·高一課堂例題）畫(huà)出下列函數(shù)圖象，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間：(1)y=-x(2)y=1【答案】(1)圖象見(jiàn)解析，單調(diào)遞增區(qū)間為-∞,0(2)圖象見(jiàn)解析，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間為-∞,0【分析】作出二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）函數(shù)圖象如下圖所示：

由圖象可知：y=-x2+2的單調(diào)遞增區(qū)間為-（2）函數(shù)圖象如下圖所示：

由圖象可知：y=1xx≠0的無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間為-【變式22】2.（2022秋·廣東東莞·高一?？计谥校┖瘮?shù)y=xA．-∞,-32 B．-【答案】A【分析】畫(huà)出函數(shù)y=x【詳解】y=x由此畫(huà)出函數(shù)y=x由圖可知，函數(shù)y=x2-3故選：A

【變式22】3.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于函數(shù)y=1A．在定義域內(nèi)是減函數(shù)B．在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在C．在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在D．在(-∞,1)上單調(diào)遞增，在【答案】C【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的結(jié)論即可判斷.【詳解】函數(shù)y=1x-1的定義域?yàn)楹瘮?shù)y=1x-1是由函數(shù)t=x-1(x≠1)和而函數(shù)t=x-1(x≠1)在(-∞,1)和y=1t(t≠0)在(-由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y=1x-1在(-∞故選：C【變式22】4.（2022秋·福建廈門(mén)·高一廈門(mén)大學(xué)附屬科技中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx

(1)ff(2)記Fx=f(3)若實(shí)數(shù)x0滿足ffx0=x0【答案】(1)f(2)作圖見(jiàn)解析，單調(diào)遞減區(qū)間為0,12(3)函數(shù)fx【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)求值問(wèn)題即可；（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)換再分段作圖即可；（3）由二階不動(dòng)點(diǎn)定義結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)分析可得.【詳解】（1）因?yàn)閒x=2-2x,0≤x<1所以ff（2）Fx函數(shù)Fx

所以函數(shù)Fx的單調(diào)遞減區(qū)間為0,12（3）當(dāng)0≤x≤12時(shí)，所以ff由1-2x2=x，解得x=1或所以函數(shù)fx在0,12當(dāng)12<x<1時(shí)，fx由4x-2=x，解得x=2所以函數(shù)fx在12,1當(dāng)1≤x≤2時(shí)，fx=x-1由-2x2+4x=x，解得x=0所以函數(shù)fx在1,2上有唯一的二階不動(dòng)點(diǎn)3綜上所述，函數(shù)fx【變式22】5.（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高一汽車(chē)區(qū)第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）給定函數(shù)f(x)=x+3,g(x)=(x+1)(1)在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)fx(2)若min{a,b}表示a,b中的較小者，例如min{2,1}=1.記（i）請(qǐng)分別用圖像法和解析法表示函數(shù)mx，并指出函數(shù)m（ii）當(dāng)x∈-52

【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)（i）m(x)=x+3,x<-2x+12,-2≤x≤1x+3,x>1，圖象答案見(jiàn)解析，m(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-∞,-2和-1,+∞【分析】（1）根據(jù)解析式直接畫(huà)一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象即可，（2）（i）結(jié)合（1）作出的圖象求解即可，（ii）結(jié)合圖象求出m-【詳解】（1）函數(shù)f(x)=x+3，g(x)=(x+1)

（2）（i）由(x+1)2=x+3，得x2+x-2=0，解得則由題意可知：m(x)=x+3,x<-2m(x)的圖象如下：由圖象可知：m(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-∞,-2和m(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-2,-1；

（ii）因?yàn)閤∈-52,-1且m-52m-1=-1+1所以m(x)min=0【變式22】6.（2022·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)fx(1)將函數(shù)解析式寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，然后在坐標(biāo)系中畫(huà)出fx(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出fx【答案】(1)fx(2)-∞,-1【分析】（1）首先根據(jù)題意得到fx（2）根據(jù)函數(shù)圖象,即可得到fx【詳解】（1）當(dāng)x≥1時(shí)，f當(dāng)x<1時(shí)，fx所以fx其圖象如下所示：（2）觀察圖象，可得函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間為-∞,-1◆類(lèi)型3性質(zhì)法【例題23】（多選）（2023秋·浙江臺(tái)州·高一統(tǒng)考期末）已知fx，gx都是定義在A．函數(shù)y=fx+gx一定是增函數(shù)C．函數(shù)y=fx?gx一定是增函數(shù)【答案】ABD【分析】根據(jù)單調(diào)性的定義即可判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，設(shè)F(x)=f(x)+g(x)，設(shè)x1F又由f(x),g(x)都是定義在R上的增函數(shù)，則fx1-f所以Fx1-F對(duì)于B，設(shè)f(x)=x,g(x)=2x，此時(shí)y=f(x)-g(x)=-x為減函數(shù)，B正確；對(duì)于C，設(shè)f(x)=x,g(x)=2x，此時(shí)y=f(x)g(x)=2x2，在對(duì)于D，當(dāng)f(x)=ex,g(x)=故選：ABD.【變式23】1.（多選）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx，gx的定義域都為R，且A．gx+fx是增函數(shù)C．fxgx是增函數(shù)【答案】BD【分析】根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A;如gx=故gx對(duì)于B;gx是增函數(shù),則-gx為減函數(shù)，又fx對(duì)于C;如gx=2對(duì)于D;由于gx是增函數(shù),且gx>0,所以1gx>0且故選：BD【變式23】2.（2001·全國(guó)·高考真題）設(shè)f(x)，g(x)都是D上的單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題，正確的是（

）①若f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)-g(x)單調(diào)遞增；②若f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)-g(x)單調(diào)遞增；③若f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)-g(x)單調(diào)遞減；④若f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)-g(x)單調(diào)遞減.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】利用函數(shù)單調(diào)性定義證明②③正確，舉反例說(shuō)明①④錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于命題①，令f(x)=x,g(x)=2x，均為增函數(shù)，而f(x)-g(x)=-x為減函數(shù)，①錯(cuò)誤；對(duì)于命題②，設(shè)x2>x1，則f(x2)>f(x1對(duì)于命題③，設(shè)x2>x1，則∴-g(x2)<-g(x1對(duì)于命題④，令f(x)=-x,g(x)=-2x，均為減函數(shù)，而f(x)-g(x)=x為增函數(shù)，故④錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.【變式23】3.（2020秋·安徽蚌埠·高一安徽省懷遠(yuǎn)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)fxA．若fx≠0，則函數(shù)fxB．若fx>0，則函數(shù)fxC．若fx，gx都是減函數(shù)，則D．若fx，gx都是增函數(shù)，則【答案】C【解析】利用特殊函數(shù)可排除ABD，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知C正確.【詳解】fx=xx>0fx=xx>0fx=xx>0與g(x)=-∵對(duì)于給定區(qū)間I上的減函數(shù)f(x)、g(x)，對(duì)于任意x1，x當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(∴f(x)+g(x)在區(qū)間I上也一定是減函數(shù)，正確，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查了特殊與一般思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.【變式23】4.（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)fx是R上的增函數(shù)，函數(shù)gx是A．fx+gx B．fx【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)fx是R上的增函數(shù)，函數(shù)gx是所以函數(shù)fx-gx函數(shù)gx-fx函數(shù)fx+gx故選：B.題型3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【方法總結(jié)】設(shè)y＝f(t)是t的函數(shù)，t＝g(x)是x的函數(shù)，若t＝g(x)的值域是y＝f(t)定義域的子集，則y通過(guò)中間變量t構(gòu)成x的函數(shù)，稱為x的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(t)＝f[g(x)]．對(duì)于復(fù)合函數(shù)，其單調(diào)性如下表所示，簡(jiǎn)記為“同增異減”:增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)確定復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟:（1）求出復(fù)合函數(shù)的定義域；（2）分解復(fù)合函數(shù)為幾個(gè)基本初等函數(shù)；（3）判斷每一個(gè)分解函數(shù)的單調(diào)性；（4）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的確定方法確定函數(shù)的單調(diào)性.注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間必須注意定義域；要確定t＝g(x)(常稱內(nèi)層函數(shù))的值域，否則無(wú)法確定f(t)(常稱外層函數(shù))的單調(diào)性．【例題3】（多選）（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┤艉瘮?shù)fxA．fx+gC．fx3【答案】ACD【分析】設(shè)x1>x【詳解】函數(shù)fx，g設(shè)x1>x對(duì)于A，設(shè)x1>x所以fx對(duì)于B，函數(shù)fx=x,gx對(duì)于C，設(shè)x1>因?yàn)閒x1>ffx13對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)fx，g故選：ACD.【變式31】1.（多選）（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，在A．函數(shù)f(f(x))在R上單調(diào)遞增B．函數(shù)f(g(x))在(-∞C．函數(shù)g(-g(x))在(-∞D(zhuǎn)．函數(shù)g(-f(x))在[0,+∞【答案】AB【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(f(x))在R上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，所以f(g(x))在因?yàn)間(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，所以-g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，因?yàn)樗詆(-g(x))在(-∞因?yàn)?f(x)在R上單調(diào)遞減，g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，因-f(x)的值域是否在[0,+∞)上無(wú)法判斷，所以故選：AB.【變式31】2.（多選）（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知fx是R上的增函數(shù)，gx是R上的偶函數(shù)，且在A．fgx在-∞,0上單調(diào)遞增 B．C．fgx在0,+∞上單調(diào)遞增 D．f【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)gx是R上的偶函數(shù)，且在0,+所以在區(qū)間-∞根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的判斷方法，可知，fgx在fgx在故選：AD【變式31】3.（2023秋·江西宜春·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fxA．-∞,14 B．-【答案】C【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可得：2x2-x-3≥0即x≤-1或x≥3根據(jù)二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知，fx=2故選：C.【變式31】4.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)fxA．0,1 B．-∞,12【答案】D【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷法則：“同增異減”即可求解.【詳解】令t=x-x2≥0，解得∵t=-x2+x在0,12上遞增，在1∴函數(shù)fx=故選：D【變式31】5.（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=1A．1,3 B．-∞，1 C．【答案】C【分析】先求解函數(shù)的定義域，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的增減區(qū)間即可；【詳解】由函數(shù)有意義得-x2+2x+3>0∵函數(shù)y=-x2∴y=-x2+2x+3在-1,1∴y=1-x故選：C.【變式31】6.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f(x+2A．(-∞,+∞) B．(-【答案】C【分析】由y=f(x+2【詳解】令hx則hx=x+2在-又函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞減，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減原則得y=f(x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間為故選：C．【變式31】7.（2022秋·浙江溫州·高一溫州中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)fx在定義域-9,9上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=fA．-9,9 B．0,9 C．-3,3 D．0,3【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx在定義域-9,9所以函數(shù)y=fx+fx令t=x2，所以x∈0,3又y=fx在x∈所以函數(shù)y=fx+fx故選：D題型4抽象函數(shù)的單調(diào)性【方法總結(jié)】抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出具體解析式的函數(shù).判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法:（1）湊：湊定義或湊已知，利用定義或已知條件得出結(jié)論；（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.=1\*GB3①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為:或；=2\*GB3②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為:或.【例題4】（2023秋·河北邯鄲·高一?？计谀┮阎x在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意的x,y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②當(dāng)且僅當(dāng)(1)求f(1)；(2)用定義證明f(x)的單調(diào)性；【答案】(1)0；(2)見(jiàn)解析.【分析】（1）利用賦值法結(jié)合條件計(jì)算即可；（2）利用單調(diào)性的定義作差計(jì)算即可.【詳解】（1）令x=y=1，則由題意可得f(1×1)=f(1)+f(1)=f1（2）任取x1、x2∈(0,+由題意可得fx而當(dāng)且僅當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，所以fx2-f所以函數(shù)f(x)在(0,+∞【變式41】1.（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？家荒＃┖瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，對(duì)于?x，y∈(0,+∞)，f(xy)=f(x)+f(y)，且當(dāng)(1)證明：f(x)為減函數(shù)；(2)若f12=2【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1,2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及當(dāng)函數(shù)中x>1時(shí)，f(x)<0的性質(zhì)即可證明；（2）由抽象函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及定義域列出不等式組可得解.【詳解】（1）設(shè)?x1,則x2x1因?yàn)閒(x所以f(x即f(x)為減函數(shù).（2）因?yàn)閒1所以f(x)+f(x-1)+2=f(x)+f(x-1)+f(1令x=y=1，則f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0，所以f(1又因?yàn)閒(x)在(0,+∞所以x>0x-1>00<1所以不等式的解集為(1,2).【變式41】2.（2022秋·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）①fx+y=fx+fy，f2=4.當(dāng)x>0時(shí)，fx>0；②fx+y=fx+fy-2，f1=5問(wèn)題：對(duì)任意x,y∈R，fx(1)判斷fx(2)求不等式f1+4a注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)增函數(shù)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合所選抽象函數(shù)的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)所選，利用抽象函數(shù)性質(zhì)賦值求出8對(duì)應(yīng)的自變量，結(jié)合單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）若選①：設(shè)x1,x則x2-x由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(x+y)-f(x)=f(y)，所以f(x所以f(x所以f(x)在(-∞若選②：設(shè)x1,x則x2-x由f(x+y)=f(x)+f(y)-2得f(x+y)-f(x)=f(y)-2，所以f(x所以f(x所以f(x)在(-∞若選③：設(shè)x1,x則x2-x由f(x+y)=f(x)?f(y)得f(x+y)f(x)f(x又f(x1)>0，所以f(所以函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù).（2）選①，由f(2)=4得f(4)=f(2)+f(2)=8，所以f(1+4a)≤8可化為f(1+4a)≤f(4)，根據(jù)f(x)的單調(diào)性，得1+4a≤4，解得a≤3所以不等式f(1+4a)≤8的解集為-∞若選②，令x=y=1，則f(2)=2f(1)-2=8，所以f(1+4a)≤8可化為f(1+4a)≤f(2)，根據(jù)f(x)的單調(diào)性，得1+4a≤2，解得a≤1所以不等式f(1+4a)≤8的解集為-∞若選③，由f(2)=2得f(4)=f(2)?f(2)=4，f(6)=f(4)?f(2)=8，所以f(1+4a)≤8可化為f(1+4a)≤f(6)，根據(jù)f(x)的單調(diào)性，得1+4a≤6，解得a≤5所以不等式f(1+4a)≤8的解集為-∞【變式41】3.（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）定義在R上的函數(shù)fx對(duì)任意x,y∈R，都有fx+y=fx(1)求f0(2)試判斷fx(3)解不等式fx【答案】(1)f(2)fx(3)x【分析】（1）賦值法求出f0（2）設(shè)x1>x2，則x1-x（3）變形得到fx+1>-2=f0【詳解】（1）令x=y=0，可得f0=2f0（2）fx設(shè)x1>xf=fx因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，fx+2>0，所以則fx1-f故fx（3）fx即fx+1因?yàn)閒x在R上單調(diào)遞增，所以x+1>0，解得x>-1故原不等式的解集為xx>-1【變式41】4.（2023秋·湖北武漢·高一武漢二中校考階段練習(xí)）在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答此題.①fx+y=fx+fy，f②fx+y=fx+fy-2，③fx+y=fx?fy，f2=2.且?x∈R問(wèn)題;對(duì)任意x,y∈R，fx(1)判斷并證明fx(2)求不等式f1+4a注;如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)增函數(shù)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義法，證明單調(diào)性即可；（2）根據(jù)單調(diào)性，列出相應(yīng)的不等式，解不等式方程可得答案.【詳解】（1）若選①：設(shè)x1,x2∈(-∞,+由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(x+y)-f(x)=f(y)，所以，f(x所以，f(x2)>f(x1若選②：設(shè)x1,x2∈(-∞,+由f(x+y)=f(x)+f(y)-2得f(x+y)-f(x)=f(y)-2，所以f(x2)-f(x1若選③：設(shè)x1,x2∈(-∞,+由f(x+y)=f(x)?f(y)得f(x+y)f(x)=f(y)，又f(x1)>0，所以f(x2)>（2）若選①：由f(2)=4得f(4)=f(2)+f(2)=8，所以，f(1+4a)≤8可化為f(1+4a)≤f(4)，根據(jù)f(x)的單調(diào)性，得1+4a≤4，解得a≤34，所以不等式f(1+4a)≤8的解集為若選②：令x=y=1，則f(2)=2f(1)-2=8，所以f(1+4a)≤8可化為f(1+4a)≤f(2)，根據(jù)f(x)的單調(diào)性，得1+4a≤2，解得a≤14，所以不等式f(1+4a)≤8的解集為若選③：由f(2)=2得f(4)=f(2)?f(2)=4，f(6)=f(4)?f(2)=8，所以f(1+4a)≤8可化為f(1+4a)≤f(6)，根據(jù)f(x)的單調(diào)性，得1+4a≤6，解得a≤54，所以不等式f(1+4a)≤8的解集為題型5單調(diào)性求參問(wèn)題◆類(lèi)型1簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性【例題51】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）“函數(shù)fx=a-2x+3在A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍，根據(jù)充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系.【詳解】由fx=a-2x+3在所以“函數(shù)fx=a-2x+3在故選：B【變式51】1.（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)fx=2x-a+3在區(qū)間A．[1,+∞) B．(1,+∞)【答案】B【分析】根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=2x-a+3在所以當(dāng)函數(shù)fx=2x-a則有1<a，即a>1，故選：B【變式51】2.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若fx=x2-2A．a(chǎn)>6 B．a(chǎn)≥6 C．a(chǎn)<6 D．a(chǎn)=6【答案】B【分析】函數(shù)fx=x2-2【詳解】函數(shù)fx且以x=a-1為對(duì)稱軸，若fx=x所以a-1≥5，解得：a≥6.故選：B.【變式51】3.（2023秋·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）a>2是函數(shù)y=x-a在-A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)y=x-a=-x+a,x<ax-a,x≥a，可得函數(shù)【詳解】y=x-a顯然函數(shù)y=x-a的單調(diào)遞減區(qū)間為-所以a>2時(shí)，函數(shù)y=x-a在-若函數(shù)y=x-a在-∞,2所以a>2是函數(shù)y=x-a在-故選：A.【變式51】4.（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)f(x)=kx+k2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,2，且在R上是減函數(shù)，則【答案】-2【分析】因函數(shù)圖像過(guò)1,2，且在R上是減函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，k<0，【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=kx+k2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，且在所以2=k+k2，且得k=-2或k=1（舍去）．故答案為：-2．【變式51】5.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)fx=4x+ax在區(qū)間【答案】-【分析】利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合定義法求實(shí)數(shù)a的取值范圍，【詳解】函數(shù)fx=4x+ax在區(qū)間3,+∞即fx由3≤x1<x2，有x由4x1x2>36，則a≤36故答案為：-【變式51】6.（2023秋·安徽亳州·高三蒙城第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)f(x)=7+ax-x2在區(qū)間-1,1【答案】-6,-2【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)y=-x2+ax+7因此可知對(duì)稱軸x=a2≤-1解得-6≤a≤-2.故答案為：-6,-2【變式51】7.（2022秋·全國(guó)·高一期中）已知函數(shù)f(1)設(shè)fx在區(qū)間1,2的最小值為ga，求(2)設(shè)hx=fxx【答案】(1)g(2)0<a≤1．【分析】（1）通過(guò)討論a的取值，確定函數(shù)在區(qū)間1,2的最小值為ga（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合恒成立的解法即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）由于a>0，當(dāng)x∈1,2時(shí)，對(duì)稱軸為x=1當(dāng)0<12a<1即a>12時(shí)，f當(dāng)1≤12a≤2即1當(dāng)12a>2即0<a<14綜上可得ga（2）hx=ax+2a-1x-1則hx∵h(yuǎn)x在1,2上為增函數(shù)，∴∴（*）可轉(zhuǎn)化為ax1x2-即ax因?yàn)閍>0，所以x1x2>2a-1a，由所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0<a≤1．◆類(lèi)型2分段函數(shù)的單調(diào)性【例題52】（多選）（2022秋·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校┮阎瘮?shù)fx=-A．-1 B．-2 C．-3 D．1【答案】BC【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)的單調(diào)性即可得-4≤a≤-2，即可得解.【詳解】由題意，函數(shù)y=-x2-ax-7因?yàn)楹瘮?shù)fx=-所以-a2≥1所以實(shí)數(shù)a的取值可以是-2，-3.故選：BC.【變式52】1.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知fx=3-ax-4a(x<1)xA．-∞,3 B．25,3【答案】C【分析】根據(jù)f(x)是R上的增函數(shù)，列出不等式組，解該不等式組即可得答案．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3-ax-4a,x<1x所以3-a>012≥所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是25故選：C.【變式52】2.（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)f(x)=x【答案】-1,0【分析】由分段函數(shù)單調(diào)性列不等式組求解.【詳解】當(dāng)x≤0時(shí)，fx=x則f(x)在(-∞由題意得-(a+1)2≤000-1≥2a，解得-1≤a≤0故答案為：-1,0.【變式52】3.（2023秋·廣東廣州·高三廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=2x2-3,x≥2ax+3,x<2【答案】0<a≤1【分析】利用給定的分段函數(shù)是增函數(shù)列出不等式組，再解不等式組作答.【詳解】由函數(shù)f(x)=2x2-3,x≥2ax+3,x<2在R所以a的取值范圍是0<a≤1.故答案為：0<a≤1【變式52】4.（2022秋·福建福州·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)fx=x+1,x>a【答案】-【分析】由于函數(shù)y=x+1在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合題意可知fx也是增函數(shù)，顯然a=0時(shí)不合題意，當(dāng)a≠0時(shí)，對(duì)二次函數(shù)y=a【詳解】由于函數(shù)y=x+1在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以可得fx當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)fx當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)y=ax2+x+2當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=ax2+x+2當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=ax2+x+2在區(qū)間-則需-12a≥a即實(shí)數(shù)a的取值范圍為-故答案為：-題型6利用單調(diào)性解不等式【方法總結(jié)】若fx在區(qū)間D上遞增且若fx在區(qū)間D上遞減且注意：首先確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)單調(diào)性去符號(hào)“f”；若為增函數(shù)，去掉“f”不變號(hào)；若為減函數(shù)，去掉“f”要變號(hào)?！纠}6】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且對(duì)于任意x1,x2∈RA．-∞,0C．0,23【答案】B【分析】由題意fx2-fx1x2-x1<0【詳解】由題意fx2-fx1x2-x1<0又f1-a>f2a-1解不等式得a>23,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為故選：B.【變式61】1.（2023秋·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知fx是定義在(-∞,0]上的增函數(shù)，且fA．-∞,C．-∞,3【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閒-2=3，所以由因?yàn)閒x是定義在(-所以有2x-3≤02x-3<-2故選：A【變式61】2.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0,-1)，B(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，則-1<f(x)<1的解集是（）A．(-3,0) B．(0,3)C．(-∞,-1]∪[3,+【答案】B【分析】利用函數(shù)單調(diào)性可解.【詳解】由已知，得f(0)=-1,f(3)=1，則-1<f(x)<1?f(0)<f(x)<f(3)，∵f(x)在R上單調(diào)遞增，∴0<x<3.故選：B.【變式61】3.（2023秋·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)fx=-x2A．a(chǎn)>12C．a(chǎn)<12【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)得到函數(shù)fx在R上單調(diào)遞減，從而得到a-1<-a【詳解】由題意得：當(dāng)x≥0時(shí)，fx則函數(shù)fx在0,+∞當(dāng)x<0時(shí)，fx=x2，則函數(shù)且fx所以函數(shù)fx在R又fa-1所以a-1<-a，解得：a<1實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞故選：C.【變式61】4.（2023秋·北京·高三北京市第六十六中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）函數(shù)fx=x【答案】1,4【分析】根據(jù)題意，做出函數(shù)fx【詳解】

根據(jù)題意，做出函數(shù)fx由函數(shù)fx的圖像可知，函數(shù)fx在所以fx2<f5x-4等價(jià)于所以不等式的解集為1,4.故答案為：1,4【變式61】5.（2022秋·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知定義在R上的函數(shù)fx，對(duì)任意的x1，x2，若x1<x2，都有f【答案】x>3【分析】構(gòu)造函數(shù)gx=fx-x，根據(jù)fx【詳解】由fx2-f又x1設(shè)函數(shù)gx則gx在R又fx-2>x-1，即所以gx-2即x-2>1，解得x>3，故答案為：x>3.【變式61】6.（2023秋·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，判斷函數(shù)(2)若不等式f1+2【答案】(1)fx在1,+(2)-【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可；（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化即可得解集.【詳解】（1）fx在1,+任取x1，x2∈f=x因?yàn)?≤x1<x2，所以x所以x1-x22所以fx在1,+（2）因?yàn)?+2x2≥1由（1）得fx在1,+因?yàn)閒1+2x2即x2+2x-3>0，解得：x<-3或所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是-∞題型7利用單調(diào)性比較大小【例題7】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知函數(shù)fx在R上是減函數(shù)，a,b∈R，且a+b<0．請(qǐng)確定fa【答案】fa【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到fa>f-b【詳解】fa因?yàn)閍+b<0，所以a<-b，因?yàn)閒x在R上是減函數(shù)，所以f同理可得b<-a，故fb兩式相加得f【變式71】1.（2023秋·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）定義在R上函數(shù)y=fx滿足以下條件：①函數(shù)y=fx圖象關(guān)于x=1軸對(duì)稱，②對(duì)任意x1,x2∈(-∞,1]，當(dāng)xA．f32C．f32【答案】B【分析】根據(jù)已知條件判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小．【詳解】∵函數(shù)y=fx圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，且對(duì)任意x當(dāng)x1≠x∴y=fx在-∞,1f0∵3>2>32>1，∴f3故選：B．【變式71】2.（2022秋·北京·高一北理工附中?？计谥校┮阎猰<-2，點(diǎn)m-1,y1,A．y1<y2<y3【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=-x【詳解】二次函數(shù)y=-x2-2x的對(duì)稱軸為x=-1由于m<-2，則m-1<-3,m<-2,m+1<-1，又m-1<m<m+1，所以y1故選：A.【變式71】3.（2022秋·北京西城·高一北京鐵路二中校考期中）設(shè)函數(shù)fx＝xA．f-2<c<fC．f32【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向判斷fx【詳解】∵f0∴fx的對(duì)稱軸為∵fx∴fx在-∞∴f-2故選:B.【變式71】4.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)f(x)=(m-1)x+b在R上是減函數(shù)，則f(m)與f1A．f(?mC．f(?m【答案】B【分析】由f(x)為減函數(shù)可得m<1，再利用函數(shù)為減函數(shù)可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(m-1)x+b在R上是減函數(shù)，所以m-1<0，得m<1，因?yàn)閒(x)在R上是減函數(shù)，所以f(?故選：B【變式71】5.（2021秋·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fxA．f2<fC．f0<f【答案】AC【分析】求出函數(shù)的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，得到函數(shù)單調(diào)性，從而判斷出正誤.【詳解】fx因?yàn)閍>0，所以fx開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=1故fx在-∞,1故f2f0故選：AC【變式71】6.（2023·全國(guó)·高一課堂例題）試畫(huà)出二次函數(shù)f(x)=x(1)比較f(-2)，f(1)，f(3)的大??；(2)若0<x1<x2【答案】(1)圖象答案見(jiàn)解析，f(1)<f(-2)<f(3)(2)f【分析】（1）作出函數(shù)圖象，即可得出f(-2)，f(1)，f(3)的大小關(guān)系；（2）根據(jù)圖象即可得出當(dāng)0<x1<x2【詳解】（1）由題意，在f(x)=x

∴f(-2)=f(2)，f(1)<f(2)<f(3)，∴f(1)<f(-2)<f(3).（2）由題意及圖得，當(dāng)0<x1<題型8抽象函數(shù)與不等式【例題8】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)且f(2)=2，對(duì)于任意正數(shù)x1,x2都有f(【答案】0,4【分析】首先根據(jù)題意求出f(1)，f(12)，f(4)，得出x=12是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，令F(x)=f(x)-1，則x=1是函數(shù)F(x)的零點(diǎn)，由當(dāng)x>12時(shí)，f(x)>0【詳解】因?yàn)閒(2)=2，f(2)=2，對(duì)于任意正數(shù)x1所以f(1×2)=f(1)+f(2)-1，即f(1)=1，f(12×2)=f(f(2×2)=f(2)+f(2)-1，即f(4)=3，所以x=12是函數(shù)令F(x)=f(x)-1，則F(1)=f(1)-1=0，即x=1是函數(shù)F(x)的零點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)x>12時(shí)，所以x>1時(shí)，F(xiàn)(x)>0，且F(x任取x1<xF(x即F(x因?yàn)閤1<x所以x2所以F(x所以F(x)在(0,+∞所以f(x)在(0,+∞因?yàn)閒(x)≤3=f(4)，所以0<x≤4，故答案為：(0,4]．【變式81】1.（2024秋·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足如下條件：①fxy=xfyA．f1=0C．fx在1,+∞上單調(diào)遞增 D．不等式xf【答案】ACD【分析】利用賦值法令x=y=1，可判斷A項(xiàng)；特殊值法可判斷B項(xiàng)；函數(shù)單調(diào)性定義可判斷C項(xiàng)；結(jié)合單調(diào)性解不等式可判斷D項(xiàng).【詳解】令x=y=1，得f1=f因?yàn)閷?duì)于?x∈R，f當(dāng)x≠0時(shí)，令y=x，則有fxy假設(shè)fxy=fx∴2xfx因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)，fx>0，所以所以fx=2x，這與設(shè)x1,x∴fx2=∵∴fx2-f所以fx在1,+∵xfx-32≥3∴fxx-32≥0∴xx-∴x≥2，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【變式81】2.（多選）（2022秋·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？计谥校┮阎瘮?shù)fx的定義域是0,+∞，對(duì)?x,y>0，都有fx?y=fx+fy，且當(dāng)A．fB．函數(shù)fx在0,+C．fD．滿足不等式fx-fx-2≥2【答案】ABD【分析】令x=y=1求出f1的值可判斷A；令y=1x可得f1x=-f(x)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明fx單調(diào)性可判斷B；由f(x?y)=f(x)+f(y)以及f(1)=0【詳解】對(duì)于A：令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)，所以f(1)=0，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：令y=1x，得fx?任取x1，x2∈(0,+∞)因?yàn)閤2x1>1，所以fx2x對(duì)于C：f=f2×對(duì)于D：因?yàn)閒13=-1，由f1x所以不等式fx-fx-2≥2等價(jià)于因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以xx-2所以原不等式的解集為2,9故選：ABD．【點(diǎn)睛】利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：（1）在已知區(qū)間上任取x2>x1；（2）作差fx2-fx1；（3）判斷f【變式81】3.（2023秋·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中校考階段練習(xí)）已知定義在0,+∞上的函數(shù)fx，對(duì)?x，y>0滿足fx+y=fx+fy-2，A．-∞,1-C．1-5,1+【答案】D【分析】確定函數(shù)單調(diào)遞減，計(jì)算f1=83，題目變換為【詳解】取0<x1<x2故fx在0,+f3解得f1從而fa2-2a-3≥8解得1-所以原不等式的解集是1-5故選：D.【變式81】4.（2022秋·江西·高三寧岡中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)f(x)的定義域是(0,+∞)，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，且對(duì)任意正數(shù)x，y，都有f(x?y)=f(x)+f(y)，①f1=0；②函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；③f2+f1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】令x=y=1，即可判斷①；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可證明出函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，即可判斷②；由題意可得f(x)+f1x=0，即可判斷③；由題意可得f(16)=-2【詳解】因?yàn)閷?duì)任意正數(shù)x，y，都有f(x?y)=f(x)+f(y)，令x=y=1，所以f1=f1令0<x1<x2所以f(x所以f(x所以函數(shù)f(x)在(0,+∞因?yàn)閒1=0，令所以fx所以f=f因?yàn)閒4=-1，所以所以f(x-2)-f(x)≥-2?f(x-2)-f(x)≥f(16)?f(x-2)≥f(x)+f(16)?f(x-2)≥f(16x)，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞所以x>0x-2>0x-2≤16x，解得即滿足不等式f(x-2)-f(x)≥-2的x的取值范圍為2,+∞所以說(shuō)法正確的有①③，共2個(gè)．故選：B．【變式81】5.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，對(duì)?m,n>0滿足fm+n=fm+fn-3，f3A．-2,3 B．-3,2C．1-212【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出f(1)的值，再利用單調(diào)性脫去法則“f”求解作答.【詳解】對(duì)?m,n>0滿足fm+n=fm+fn?x1,x2∈0,+于是f(x2)=f[(x2又f(3)=f(1)+f(2)-3=f(1)+f(1)+f(1)-3-3=3f(1)-6=6，解得f(1)=4，從而f(a2-a-5)<4?f(a2-a-5)<f(1)，則所以原不等式的解集是(-2,1-故選：D【變式81】6.（2023秋·福建三明·高一三明一中校考階段練習(xí)）已知定義在0,+∞上的函數(shù)fx，滿足fxy=fx+fy(1)求f1(2)若f2x-f2-x【答案】(1)0(2)0,1【分析】（1）根據(jù)條件，令x=y=1，即可得到f1（2）由條件結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義得到函數(shù)fx在0,+∞上單調(diào)遞減，再由fxy=fx+fy【詳解】（1）令x=y=1，得f1=f1所以f1（2）因?yàn)閷?duì)任意0<α<β，都有fα所以函數(shù)fx在0,+又x>0時(shí)，fxy=fx則由f2x-f2-x即fx所以x>02-x>0x≤2-x，解得：故實(shí)數(shù)x的取值范圍為0,1.題型9恒成立問(wèn)題【例題9】（多選）（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中校考階段練習(xí)）當(dāng)x∈1,2時(shí)，使得不等式xA．-13<m<-9 B．-9<m<-5C．-5<m<-1 D．-1<m<3【答案】AB【分析】采用分離變量法可求得不等式恒成立的充要條件為m≤-5，根據(jù)充分不必要條件定義和推出關(guān)系依次驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】當(dāng)x∈1,2時(shí)，若不等式x2+mx+4<0∵y=-x+4x在1,2∴m≤-5，即當(dāng)x∈1,2時(shí)，不等式x2+mx+4<0對(duì)于A，∵-13<m<-9?m≤-5，m≤-5?-13<m<-9，∴-13<m<-9是m≤-5的一個(gè)充分不必要條件，A正確；對(duì)于B，∵-9<m<-5?m≤-5，m≤-5?-9<m<-5，∴-9<m<-5是m≤-5的一個(gè)充分不必要條件，B正確；對(duì)于C，∵-5<m<-1?m≤-5，m≤-5?-5<m<-1，∴-5<m<-1是m≤-5的一個(gè)既不充分也不必要條件，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵-1<m<3?m≤-5，m≤-5?-1<m<3，∴-1<m<3是m≤-5的一個(gè)既不充分也不必要條件，D錯(cuò)誤.故選：AB.【變式91】1.（多選）（2023秋·河北張家口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)y=2x2A．－3 B．75 C．4【答案】BCD【分析】利用分離常數(shù)的方法得到函數(shù)y=2x2-1x2+1【詳解】函數(shù)y=2因?yàn)?2≤x<0，所以x2∈0,4因?yàn)閥-m≤0恒成立，即m≥ymax，也就是故選：BCD．【變式91】2.（2022秋·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)fx=x2+2ax-3a2【答案】-【分析】結(jié)合二次函數(shù)的圖象，列出不等式組，解之即可求解.【詳解】由題意知，當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)f(x)≤0恒成立，如圖，則有f(-1)≤0f(1)≤0，即1-2a-3解得a≤-1或a≥1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞故答案為：(-∞【變式91】3.（2023秋·陜西西安·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2x-1(1)求不等式f(x)≥8的解集；(2)若f(x)>m【答案】(1){x|x≤-3或x≥(2)-1<m<4【分析】（1）分x≤-3，-3<x≤1，x>1三種情況，去掉絕對(duì)值求解即可得出答案；（2）先根據(jù)（1），得出函數(shù)解析式，分x≤-3，-3<x≤1，x>1m2【詳解】（1）當(dāng)x≤-3時(shí)，f(x)=21-x由f(x)≥8可得，-3x-1≥8，解得x≤-3.又x≤-3，所以解為x≤-3；當(dāng)-3<x≤1時(shí)，f(x)=21-x由f(x)≥8可得，-x+5≥8，解得x≤-3.又-3<x≤1，所以無(wú)解；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=2x-1由f(x)≥8可得，3x+1≥8，解得x≥7又x>1，所以解為x≥7綜上所述，不等式f(x)≥8的解集{x|x≤-3或x≥7（2）由（1）可知，f(x)=-3x-1,x≤-3當(dāng)x≤-3時(shí)，f(x)=-3x-1單調(diào)遞減，此時(shí)有f(x)≥f-3當(dāng)-3<x≤1時(shí)，f(x)=-x+5單調(diào)遞減，此時(shí)有f(x)≥f1當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=3x+1單調(diào)遞增，此時(shí)有f(x)>f1綜上所述，fx在x=1處有最小值為4由已知f(x)>m只需f(x)min>即有m2-3m-4<0，所以【變式91】4.（2023春·河南開(kāi)封·高三通許縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求不等式fx(2)若不等式fx≤x+3a2-2a【答案】(1)x|x≤-23(2)a≤-13【分析】（1）分情況討論解不等式即可.（2）分情況討論分參處理恒成立問(wèn)題即可.【詳解】（1）f當(dāng)x≥12時(shí)解得x≥4，又x≥12，可得當(dāng)-1<x<12時(shí)解得x≤-23，又-1<x<1當(dāng)x≤-1時(shí)fx解得x≤0，又x≤-1，可得x≤-1，綜上：x≤-23或解集為x|x≤-23或（2）因?yàn)椴坏仁絝x≤x+3af當(dāng)x≥12時(shí)3a2-2a≥2-2x3a2-2a≥解得a≤-13或當(dāng)-1<x<12時(shí)3a2-2a≥2x又-2<2x<1可得3a2-2a≥1，解得a≤-當(dāng)x≤-1時(shí)fx3a2-2a≥-23a2-2a+2≥0綜上可得a的取值范圍為a≤-13或題型10存在成立問(wèn)題【例題10】（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）條件p:?x∈1,3，x2-ax+3>0A．a(chǎn)<5 B．a(chǎn)>5 C．a(chǎn)<4 D．a(chǎn)>4【答案】A【分析】對(duì)于命題p，由參變量分離法可得a<x+3xmax，求出函數(shù)fx【詳解】若?x∈1,3，使得x2-ax+3>0，則ax<x2因?yàn)楹瘮?shù)fx=x+3x在且f1故當(dāng)x∈1,3時(shí)，fxmax所以，p的一個(gè)必要不充分條件是a<5.故選：A.【變式101】1.（2023秋·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？茧A段練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+3y=1，且存在k∈R，使不等式2xy【答案】k【分析】設(shè)t=26y【詳解】依題意可得，存在k∈R，使不等式2設(shè)t=26y當(dāng)12xy=3y所以t=2所以-k2+k<116實(shí)數(shù)k的取值范圍為kk≠故答案為：kk≠【變式101】2.（2022秋·四川南充·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=4x+1x-2．若存在x∈2,+【答案】-【分析】由題意可得fxmin≤a2-a，利用基本不等式求出【詳解】因?yàn)閤∈2,+∞，所以所以fx=4x+1當(dāng)且僅當(dāng)4(x-2)=1x-2，即所以f(x)因?yàn)榇嬖趚∈2,+∞，使得所以只要fxmin≤a2-a，即所以a的取值范圍為-∞【變式101】3.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=x+1x，x∈12,3，若?x∈【答案】-【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得f(x)的最小值，由題意可得a2【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+1x，而函數(shù)f(x)在12,1為減函數(shù)，在1,3為增函數(shù)，所以即函數(shù)的最小值為2,又?x∈12,3，使得a即a2-a≥2，解得：a≥2或即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥2或a≤-1，故答案為：-【變式101】4.（2024秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=2x2x+1，gx【答案】5【分析】首先利用基本不等式和一次函數(shù)的單調(diào)性求出fx、gx