2025屆新高考數(shù)學精準突破復習 極值點偏移問題

2025屆新高考數(shù)學精準突破復習極值點偏移問題極值點偏移問題屬于雙變量問題之一，在歷年的高考試題中頻頻出現(xiàn)，往往為壓軸試題，難度較大.考情分析思維導圖內(nèi)容索引典型例題熱點突破典例1

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；考點一標準極值點偏移問題f(x)的定義域為(0，＋∞)，當a<0時，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2(x1<x2)，且a＝e2，證明：x1＋x2>2e.由(1)知，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增.由題意可得，x1∈(0，e)，x2∈(e，＋∞).由f(2e)＝2－2ln2>0及f(x2)＝0，得x2∈(e,2e)，則2e－x2∈(0，e)，欲證x1＋x2>2e，只要證明x1>2e－x2，注意到f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，且f(x1)＝0，只要證明f(2e－x2)>0即可.則g(t)在(e,2e)上單調(diào)遞增，∴g(t)>g(e)＝0，即f(2e－x2)>0.綜上，x1＋x2>2e.跟蹤訓練1

(2023·宜春模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)lnx－x2＋ax(a∈R).(1)若函數(shù)y＝f′(x)有兩個零點，求a的取值范圍；由f(x)＝(x－1)lnx－x2＋ax得由題意得f′(x)＝0有兩個不相等的實根，當x∈(0,1)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，因此g(x)min＝g(1)＝2，當x→0時，g(x)→＋∞，當x→＋∞時，g(x)→＋∞，作出y＝g(x)的大致圖象，如圖所示.所以若有兩個交點，只需a>2，即a的取值范圍為(2，＋∞).(2)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個極值點，證明：x1＋x2>2.因為x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個極值點，所以f′(x1)＝f′(x2)＝0，由(1)可知g(x1)＝g(x2)＝a，不妨設(shè)0<x1<1<x2，要證明x1＋x2>2，只需證明x2>2－x1，顯然2－x1>1，由(1)可知，當x∈(1，＋∞)時，g(x)單調(diào)遞增，所以只需證明g(x2)>g(2－x1)，而g(x1)＝g(x2)＝a，所以證明g(x1)>g(2－x1)即可，即證明函數(shù)h(x)＝g(x)－g(2－x)>0在x∈(0,1)時恒成立，顯然當x∈(0,1)時，h′(x)<0，因此函數(shù)h(x)＝g(x)－g(2－x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以當0<x<1時，有h(x)>h(1)＝0，所以當0<x1<1時，g(x1)>g(2－x1)恒成立，因此命題得證.典例2

(2021·新高考全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x(1－lnx).(1)討論f(x)的單調(diào)性；考點二非標準極值點偏移問題因為f(x)＝x(1－lnx)，所以f(x)的定義域為(0，＋∞)，當x∈(0,1)時，f′(x)>0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0.所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.由題意知，a，b是兩個不相等的正數(shù)，且blna－alnb＝a－b，兩邊同時除以ab，由(1)知f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，且當0<x<e時，f(x)>0，當x>e時，f(x)<0，不妨設(shè)x1<x2，則0<x1<1<x2<e.先證x1＋x2>2，要證x1＋x2>2，即證x2>2－x1，因為0<x1<1<x2<e，所以x2>2－x1>1，又f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以即證f(x2)<f(2－x1)，又f(x1)＝f(x2)，所以即證f(x1)<f(2－x1)，即證當x∈(0,1)時，f(x)－f(2－x)<0.構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2－x)，則F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝－lnx－ln(2－x)＝－ln[x(2－x)]，當0<x<1時，x(2－x)<1，則－ln[x(2－x)]>0，即當0<x<1時，F(xiàn)′(x)>0，所以F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以當0<x<1時，F(xiàn)(x)<F(1)＝0，所以當0<x<1時，f(x)－f(2－x)<0成立，所以x1＋x2>2成立.再證x1＋x2<e.由(1)知，f(x)的極大值點為x＝1，f(x)的極大值為f(1)＝1，過點(0,0)，(1,1)的直線方程為y＝x，設(shè)f(x1)＝f(x2)＝m，當x∈(0,1)時，f(x)＝x(1－lnx)>x，直線y＝x與直線y＝m的交點坐標為(m，m)，則x1<m.欲證x1＋x2<e，即證x1＋x2<m＋x2＝f(x2)＋x2<e，即證當1<x<e時，f(x)＋x<e.構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)＋x，則h′(x)＝1－lnx，當1<x<e時，h′(x)>0，所以函數(shù)h(x)在(1，e)上單調(diào)遞增，所以當1<x<e時，h(x)<h(e)＝f(e)＋e＝e，即f(x)＋x<e成立，所以x1＋x2<e成立.跟蹤訓練2

(2023·阜新模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax.(1)若a＝－2，求f(x)的最值；若a＝－2，則f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2，令f′(x)＝0，解得x＝ln2，所以當x∈(－∞，ln2)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(ln2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)在x＝ln2處有唯一極小值，即最小值，為f(ln2)＝2－2ln2，無極大值，即無最大值.因為h(x1)＝g′(x1)＝

－x1＋a＝0，h(x2)＝g′(x2)＝

－x2＋a＝0，則a＝x2－

＝x1－

，因為h′(x)＝ex－1，所以當x∈(－∞，0)時，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當x∈(0，＋∞)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(0)＝1＋a.因為x1，x2為g(x)的兩個極值點，所以h(x1)＝h(x2)＝0，且x1<0<x2.所以在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上，h(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；在(x1，x2)上，h(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，則h(－x2)＝

＋x2＋a＝

－

＋2x2，設(shè)k(x)＝e－x－ex＋2x(x>0)，所以k(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以h(－x2)＝k(x2)<k(0)＝0，所以x1<－x2<0，因為在(x1,0)上，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x1)>g(－x2).所以要證g(x1)＋g(x2)>2，只需證g(－x2)＋g(x2)>2，令m(x)＝e－x＋ex－x2－2(x>0)，m′(x)＝－e－x＋ex－2x，所以n(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，m′(x)＝n(x)>n(0)＝0，所以m(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，m(x)>m(0)＝0，所以g(－x2)＋g(x2)>2，故g(x1)＋g(x2)>2.總結(jié)提升123則f′(x)＝x＋lnx，123123(2)若f′(x0)＝0(f′(x)為f(x)的導函數(shù))，方程f(x)＝m有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，求證：x1＋x2>2x0.因為f′(x)＝x＋lnx，f′(x0)＝0，所以x0＋lnx0＝0.因為f′(x)為增函數(shù)，當0<x<x0時，f′(x)<0，當x>x0時，f′(x)>0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增.由方程f(x)＝m有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，則可設(shè)x1<x0<x2，欲證x1＋x2>2x0，即證x2>2x0－x1>x0，即證f(x2)>f(2x0－x1)，而f(x2)＝f(x1)，即f(x1)－f(2x0－x1)>0，123則g′(x)＝lnx＋ln(2x0－x)＋2x0，設(shè)h(x)＝lnx＋ln(2x0－x)＋2x0(0<x<x0)，123所以函數(shù)g′(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，所以g′(x)<g′(x0)＝2lnx0＋2x0＝0，所以g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，所以g(x)>g(x0)＝0，即f(x2)>f(2x0－x1)，故x1＋x2>2x0.123123得xln(x－1)－k(x－2)≥0.令φ(x)＝xln(x－1)－k(x－2)，x∈[2，＋∞)，123故φ′(x)≥φ′(2)＝2－k.①當k≤2時，φ′(x)≥2－k≥0，所以φ(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，φ(x)≥φ(2)＝0，此時f(x)≥0對?x∈[2，＋∞)恒成立，符合題意；123故存在x0∈(2，＋∞)使得φ′(x0)＝0，當x∈(2，x0)時，φ′(x)<0，則φ(x)單調(diào)遞減，此時φ(x)<φ(2)＝0，不符合題意.綜上，實數(shù)k的取值范圍為(－∞，2].123由(1)中結(jié)論，取k＝2，123令t＝x－1，則t>1，即x1＋x2>6e＋2.1233.(2023·寧波模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；123由題意得，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞).由f(x)＝lnx－ax2，當a≤0時，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；123(2)若x1，x2是方程f(x)＝0的兩個不相等的實根，求證：123因為x1，x2是方程lnx－ax2＝0的兩個不相等的實根，即x1，x2是方程lnx2－2ax2＝0的兩個不相等的實根，123當0<t<e時，g′(t)>0；當t>e時，g′(t)<0，當t→0時，g(t)→－∞；當t→＋∞時，g(t)>0且g(t