小學數(shù)學把握度量本質(zhì) 促進量感發(fā)展

【摘

要】度量在數(shù)學學習和應用中具有重要的意義和價值，既是學生形成量感的起點，又是檢測學生量感水平的標尺，是培育學生量感的重要載體。結(jié)合“認識面積”的教學實例，從度量的內(nèi)涵、度量對象的屬性、度量標準的優(yōu)化、度量活動的設(shè)計以及度量結(jié)果的精確五個方面對度量進行深入闡述，進而把握度量本質(zhì)，促進量感發(fā)展?！娟P(guān)鍵詞】量感；度量；核心素養(yǎng)在我國小學數(shù)學課程中，“數(shù)感”與“量感”的概念長期處于模糊狀態(tài)?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中只有“數(shù)感”概念而無“量感”概念。然而，很多國家（如新加坡、加拿大、美國）的中小學數(shù)學課程中都設(shè)置了以“度量”或“測量”為主線的課程內(nèi)容，以凸顯量感的重要性?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中新增了“量感”這一核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，并指出：“量感主要指對事物的可測量屬性及大小關(guān)系的直觀感知……建立量感有助于學生養(yǎng)成用定量的方法認識和解決問題的習慣，是形成抽象能力和應用意識的經(jīng)驗基礎(chǔ)。”［1］。量感的建立需要經(jīng)歷“工具度量—復合表象—度量經(jīng)驗—合理估測”四個步驟，是一個循環(huán)往復的過程。其中，工具度量是量感建立的基礎(chǔ)，利用工具度量能使學生在實際度量過程感悟刻畫物體某一方面的屬性（如面的大?。┑南嚓P(guān)經(jīng)驗，從而形成相應的度量經(jīng)驗，這些度量經(jīng)驗可以支撐學生對物體進行合理的估測，而估測得準確與否，又要借助工具度量進行檢驗，進而判斷學生的量感水平。由此可見，度量既是學生形成量感的起點，又是檢測學生量感水平的標尺，是培育學生量感的重要載體。本文以人教版教材三年級下冊“認識面積”為例，在探討度量內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，說明度量的核心要素，具體包括度量對象、度量標準、度量活動和度量結(jié)果。一、度量的內(nèi)涵量可以分為兩類：離散的量和連續(xù)的量。離散的量的基本度量方法是“數(shù)數(shù)”，即數(shù)出一堆物體由多少個獨立個體構(gòu)成，以“1”為度量單位，如1把傘、1間房和1個桃。而連續(xù)的量的度量需要規(guī)定統(tǒng)一的“度量單位”，借助度量工具進行測量［2］。對于不方便直接度量的量，如速度、體積等，則可以通過計算得到度量的結(jié)果。相應地，度量也可以分為兩類：第一類是對事物個數(shù)和順序的度量（指自然數(shù)），需要通過抽象得到度量結(jié)果，是人類思維的結(jié)果；第二類是生活中常見量的度量，需要借助工具得到度量結(jié)果，是人類實踐的結(jié)果［3］。本文討論的是第二類度量，即將一個待測多少或大小的量與該屬性的一個標準量或單位量進行比較，從而得到該量的量值的過程［4］。簡單來說，就是度量事物含有“多少個”標準量或單位量。綜上可知，數(shù)是對度量結(jié)果的表達，度量是數(shù)學的本質(zhì)，是人們創(chuàng)造出來的數(shù)學語言，是人們認識、理解和表達現(xiàn)實世界的工具［5］。二、度量對象的一些屬性（一）度量對象具有可測量度量對象聚焦于客觀事物的大小、多少、長短等有關(guān)的計量問題，這說明度量對象具有可測量。因此，在教學中，教師要精心創(chuàng)設(shè)真實情境，組織學生開展豐富的度量活動，讓他們充分經(jīng)歷度量的過程，從而體會度量對象的可測量。例如，在“認識面積”的教學中，可以根據(jù)長方形的大小來說明面積的可測量。教師可以安排這樣的度量活動：讓學生分別以圓形、正三角形、小正方形、為測量工具，測量長方形的面積。即引導學生完整經(jīng)歷“先借助這些測量工具能否大致比較出長方形的面積的大小，再要準確反映長方形面積的大小，思考用什么測量工具（小正方形）作面積單位合適”的過程（如圖1）。在這一過程中，教師帶領(lǐng)學生充分體會面積的可測量，引導他們感悟：面積單位要密鋪所測圖形，且拼擺方便，正方形恰好具有這樣的特點。（二）度量對象具有唯一性事物的屬性是多元的，如橘子的形狀、大小（直徑、表面積、體積等）、顏色、質(zhì)量、氣味、甜度等都是它的屬性。在這些屬性中，有些可以通過度量、運算等數(shù)學的方式進行刻畫。對事物進行度量時，度量對象的唯一性體現(xiàn)在兩個方面：一是只能在多種屬性中鎖定一種屬性作為對象進行度量，二是度量對象的大小是唯一的。例如，在“認識面積”教學中，度量對象只指向面積這種屬性，且每一個度量對象的面積大小是唯一的。雖然度量工具的不同會影響度量結(jié)果的精確性，但面積大小不會因為度量工具的不同而發(fā)生改變。三、度量標準的優(yōu)化度量標準即度量單位，度量單位的形成會經(jīng)歷從多元到統(tǒng)一，從粗略到精細的發(fā)展過程。度量的基本方法就是將同一度量單位進行不斷累加，同一屬性的多個度量單位組合在一起就形成了度量工具。可見，對度量單位的認識與理解是發(fā)展量感的關(guān)鍵，教師應重視對度量單位形成過程的教學，讓學生經(jīng)歷從“自主選擇單位度量”到“使用統(tǒng)一單位度量”的過程。（一）豐富材料：體驗度量標準的多元學生的度量方法具有多元性，度量單位就是把不同學生的度量方法標準化，從而確保度量結(jié)果的唯一性。教學中，教師要為學生提供豐富的學習材料，鼓勵學生嘗試以不同的度量標準作為度量工具開展度量活動，充分感受度量方法和度量工具的多樣化。例如，在“認識面積”的教學中，除了圓形、正三角形、小正方形、小長方形，等腰直角三角形、橢圓形、梯形等也可以用作度量標準。事實上，只要度量標準的面積比度量對象小，都可以用作度量標準來度量度量對象的面積。以此，可幫助學生積累豐富的度量經(jīng)驗，體會度量標準的多元性，感悟統(tǒng)一單位的必要性，深化對概念的理解與把握。（二）改進策略：經(jīng)歷度量標準的優(yōu)化優(yōu)化是數(shù)學重要的思想方法。教師要設(shè)計具有關(guān)聯(lián)性、進階性的驅(qū)動性任務(wù)，在具體度量活動中引導學生經(jīng)歷觀察、操作，通過分析、比較各種度量標準在度量量的大小時的優(yōu)勢和不足，從建構(gòu)、解構(gòu)到重構(gòu)，不斷改進度量策略，選擇最優(yōu)策略進行度量，找到最優(yōu)標準，完整經(jīng)歷度量標準優(yōu)化的全過程。例如，在“認識面積”教學中測量長方形的面積環(huán)節(jié)，可以設(shè)計“用不同形狀的圖形度量—用不同正方形密鋪度量—用邊長為1的正方形密鋪度量”三個層次的度量活動，促使學生充分經(jīng)歷度量標準的優(yōu)化過程，深化學生對度量單位意義的理解。層次一：學生分別用圓、正三角形、正方形作為工具度量長方形的面積。探究發(fā)現(xiàn)：每個規(guī)則圖形都可以作為度量標準，即長方形面積是由幾個圓的面積組成，長方形面積是由幾個正三角形的面積組成，長方形面積是由幾個正方形的面積組成，其中正方形能鋪滿所測長方形。層次二：學生用不同的正方形作為工具度量長方形的面積。探究發(fā)現(xiàn)：同一長方形可以由幾種不同的正方形的面積組成，從而幫助學生理解統(tǒng)一度量單位的必要性。層次三：學生分別用邊長為1的正方形作為工具度量長方形的面積。探究發(fā)現(xiàn)：同一長方形可以由相同個數(shù)的邊長為1的正方形的面積組成，且四條邊一樣長，在擺放時不用考慮方向和位置，作為面積單位更合適。學生在教師的引導下，用不同形狀和不同邊長的圖形作為度量標準對長方形面積進行度量，通過層層推進，在比較、辨析中得出結(jié)論：很多圖形都可以用作度量標準進行度量，其中邊長為1的小正方形是最合適、最方便的圖形，度量的結(jié)果也是最準確的，為后面“面積單位”的教學打下基礎(chǔ)。四、度量活動的設(shè)計豐富多彩的度量活動是發(fā)展學生量感的重要基礎(chǔ)。教師可以創(chuàng)設(shè)多維度的度量活動，讓學生循序漸進地形成對量的清晰表象，理解其度量本質(zhì)。（一）度量對象與標準單位的轉(zhuǎn)化度量對象的大小往往不等于一個度量單位的大小，因此，度量就是把度量對象的大小轉(zhuǎn)化為若干個較小的度量單位的累加。度量時，需要選擇最合適、較小的度量單位來測量度量對象的大小，本質(zhì)上就是變大為小、用小量大。例如，在“認識面積”的教學中，以小正方形面積為標準，用若干個小正方形來度量長方形面積的大小，本質(zhì)上就是把度量對象（長方形的面積）轉(zhuǎn)化為同一屬性的較小的度量單位（小正方形的面積），用較小的度量單位的累加刻畫度量對象的大小。（二）具體測量到邏輯演算的漸躍度量的進階性體現(xiàn)在學生的度量活動，通常會經(jīng)歷三個階段：第一階段是用一個一個標準單位測量度量對象的大小，既指向量概念的理解，又指向量大小的度量，需要學生在真實情境中進行操作體驗，在這個階段，直接數(shù)標準單位數(shù)是主要的度量方式；第二階段是用標準單位度量整體量的局部，根據(jù)整體量與局部量之間的關(guān)系，推演出整體量的大小，這個階段需要將數(shù)局部單位數(shù)與演算整體單位數(shù)相結(jié)合；第三階段是不借助具體的單位模型，通過想象、推理、歸納等思維活動，演算特定對象的大小，在這個階段，基于邏輯的演算是主要的度量方式。例如，人教版教材三年級下冊“面積”單元是發(fā)展度量意識的重要內(nèi)容，教學中，要讓學生反復經(jīng)歷“擺—數(shù)”的活動過程，通過度量活動深化學生對面積概念的理解，理解面積的大小就是指度量對象包含了多少個面積單位，進而體會面積與面積單位之間的關(guān)系。在后續(xù)“長方形面積的計算”的教學中，需要借助面積與面積單位之間的關(guān)系，組織學生經(jīng)歷“用單位正方形密鋪—用單位正方形部分鋪—不用單位正方形想象鋪”的逐步進階過程（如圖2），從而建立長方形的面積與長方形的長、寬之間的聯(lián)系，理解“長×寬”代表了這個長方形包含的面積單位的個數(shù)，并歸納出長方形的面積計算公式：長方形的面積=長×寬。五、度量結(jié)果的精確在度量過程中，學生可以選擇不同的度量標準對圖形的面積進行度量，但是對于同一個度量對象，度量的結(jié)果是守恒的。當然，度量中必然存在誤差，在給出度量結(jié)果的同時，也要理解其度量的誤差范圍。所謂度量結(jié)果的精確，也是指在允許誤差范圍內(nèi)的精確。但誤差有大有小，教師要引導學生思考誤差產(chǎn)生的原因以及控制誤差產(chǎn)生的策略，進而調(diào)整度量的結(jié)果，使其更加接近精確［6］。（一）理解誤差誤差是度量值與真實值之間的差異。度量活動的目的是得到精確的度量結(jié)果，需要運用科學的度量方法和精密的度量工具。但現(xiàn)實生活中沒有絕對完美的度量操作，又因為度量工具的限制，再小的度量單位也無法滿足更精細化的度量需求。因此，誤差是絕對存在的。（二）控制誤差雖然誤差是不可避免的，但可以通過使用科學的度量方法和適切的度量工具來控制誤差。例如，在“認識面積”的教學中，一是要使用科學的度量方法，在選用單位小正方形作為度量單位度量長方形的面積時，應盡量減小密鋪的單位小正方形之間的縫隙，盡量不重疊、不超出度量對象的外邊框等。二是要使用適切的度量工具，通過選用不同的圖形（如圓形、正三角形、正方形）進行度量，發(fā)現(xiàn)選擇正方形作為度量標準要比圓形、正三角形好，因為正方形平鋪