湖南省衡陽市蒸北中學高三數(shù)學理測試題含解析

湖南省衡陽市蒸北中學高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知全集，集合，，那么集合（）

A．

B．

C．

D．參考答案：A2.若等邊的邊長為，平面內(nèi)一點滿足，則(

)A.

B.

C．

D．參考答案：C3.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是

（

）A．

B.

C．

D．參考答案：A【知識點】函數(shù)的單調(diào)性解析：令，所以當a＞0時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若函數(shù)在所給區(qū)間上單調(diào)遞增，則，得0＜a≤1，當a=0時顯然滿足題意，當a＜0時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有，得-1≤a＜0，綜上可知實數(shù)a的范圍是.【思路點撥】含絕對值的函數(shù)的單調(diào)性，可考慮先分段討論去絕對值再判斷單調(diào)性，也可直接判斷絕對值內(nèi)部對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性進行解答.4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A5.若且，則()．參考答案：B6.已知，則（

）A.B.C.D.-參考答案：C=,7.在復平面內(nèi)，復數(shù)（是虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A8.將函數(shù)的圖象向左平移個單位（），是所得函數(shù)的圖象的一個對稱中心，則的最小值為(

).A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.已知函數(shù)

,若則實數(shù)的取值范圍是（

）A

B

C

D參考答案：10.設(shè)，則

A．

B．

C．

D．參考答案：C,,所以，所以，選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（3分）（2008?天津）若一個球的體積為，則它的表面積為．參考答案：12π考點：球的體積和表面積．專題：計算題．分析：有球的體積，就可以利用公式得到半徑，再求解其面積即可．解答：由得，所以S=4πR2=12π．點評：本題考查學生對公式的利用，是基礎(chǔ)題．12.設(shè)集合，如果滿足：對任意，都存在，使得，那么稱為集合A的一個聚點，則在下列集合中：

（1）（2）（3）（4）

以0為聚點的集合有

（寫出所有你認為正確結(jié)論的序號）參考答案：（2），（3）13.函數(shù)y=f(x)=x3＋ax2＋bx＋a2，在x=1時，有極值10，則a=

,b=

。參考答案：

a=4

b=－1114.設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則參考答案：略15.如左下圖所示，是某校高三年級文科60名同學參加謀科考試所得成績（分數(shù)均為整數(shù)）整理后得出的頻率分布直方圖，根據(jù)該圖這次考試文科60分以上的同學的人數(shù)為____________.參考答案：45略16.已知函數(shù)f（x）=x3對應(yīng)的曲線在點（ak，f（ak））（k∈N*）處的切線與x軸的交點為（ak+1，0），若a1=1，則=

．參考答案：3考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：計算題；導數(shù)的概念及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，由點斜式方程可得切線方程，再令y=0，結(jié)合等比數(shù)列的定義可得，數(shù)列{an}是首項a1=1，公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的求和公式計算即可得到所求值．解答： 解：由f'（x）=3x2得曲線的切線的斜率，故切線方程為，令y=0得，故數(shù)列{an}是首項a1=1，公比的等比數(shù)列，又=，所以．故答案為：3．點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，主要考查導數(shù)的幾何意義，同時考查等比數(shù)列的定義和求和公式，運用點斜式方程求得切線方程是解題的關(guān)鍵．17.如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點．直線A1E與GF所成角等于__________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）設(shè)P表示冪函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)的c的集合；Q表示不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1對任意x∈R恒成立的c的集合．（1）求P∩Q；（2）試寫出一個解集為P∩Q的不等式．參考答案：【考點】交集及其運算；并集及其運算；冪函數(shù)的性質(zhì)；不等式的基本性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到冪函數(shù)為增函數(shù)時，指數(shù)大于0，求出解集即可得到P；因為不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1對任意x∈R恒成立，即只需找到不等式|x﹣1|+|x﹣2c|的最小值即可求出c的范圍得到Q，然后求出P∩Q；（2）根據(jù)（1）求出的P∩Q，可以舉例為解集為P∩Q的一個不等式即可．【解答】解：（1）∵冪函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴c2﹣5c+6＞0，即P=（﹣∞，2）∪（3，+∞），又不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1對任意x∈R恒成立，∴|2c﹣1|＞1，即Q=（﹣∞，0）∪（1，+∞），∴P∩Q=（﹣∞，0）∪（1，2）∪（3，+∞）．（2）一個解集為P∩Q的不等式可以是x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0．【點評】考查學生掌握冪函數(shù)的增減性，理解函數(shù)恒成立時所取的條件，以及會求集合并集的運算．本題第二問是開放性題目，答案不唯一，考查學生發(fā)散思維的能力．19.（本小題滿分12分）已知銳角△ABC面積為S，∠A,∠B,∠C所對邊分別是a,b,c，∠A,∠C平分線相交于點O,且，求：（1）∠B的大??；（2）△AOC周長的最大值.

參考答案：解：（1）

故：.

..............4分（2）設(shè)周長為，，則，.............6分由正弦定理得，

=

…………10分

當時，周長的最大值為.

…………12分

20.已知函數(shù)，.（1）當a=1時，求函數(shù)的極值；（2）若存在與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切的直線，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）函數(shù)的定義域為．當時，，所以，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得極小值為，無極大值．（2）設(shè)函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同，則，故，所以，代入，得設(shè)，則，不妨設(shè)則當時，，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，代入可得：，設(shè)，則對恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以當時，即當時,又當時，，14分因此當時，函數(shù)必有零點；即當時，必存在使得成立；即存在使得函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同．又由得：，所以單調(diào)遞減，因此，所以實數(shù)的取值范圍是．

21.已知函數(shù)，（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明：在(1,+∞)上單調(diào)遞增；（2）設(shè)函數(shù)，求在[1,2]上的最大值．參考答案：（1）略（2）當時，；當時，.22.（本小題滿分13分）如圖5，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，點V是圓O所在平面外一點，是AC的中點，已知，.（1）求證：OD//平面VBC；（2）求證：AC⊥平面VOD；（3）求棱錐的體積.參考答案：(1)證明過程詳見解析;(2)證明過程詳見解析;(3)試題分析：(1)要證明面VBC,只需要在面內(nèi)找到一條線段與平行即可,根據(jù)題目條件分析可得平行于面VBC內(nèi)的線段BC,在三角形ABC中根據(jù)D,O是線段AC,AB的中點,即可得到OD為三角形BC邊的中位線,