橢圓與雙曲線12個常考二級結(jié)論與模型（學(xué)生版）

橢圓中點弦問題(點差法)平移+齊次化(手電筒模型)橢圓第三定義(點差法)11122 3y 3y334y=x+m與C交于4A.B.C.-D.-5 4A.B.C.D.6設(shè)A，B為雙曲線x6設(shè)A，B為雙曲線x2-+y247+y24722kABOM=e2-1kAB?kOM=-1?橢圓垂徑定理(中點弦模型)：已知A,B是橢圓+=1a>b>0上任意2點，且弦AB不平行x軸，M為線段AB中點，則有kAB?kOM=-=e2-112kOM=，kAB=--，kAB?kOM=--xy +=xy2 + +=1②2兩式相減得：+=0，整理得=-ABOM=-=e2-112仍有kOM=，kAB=--，kAB?kOM=-- :+=1x-xx-x2 + +=12y1-y22整理得--=-∴kAB?kOM=-=1①-=1② x-=1①-=1②2x-xyx-xy-y整理得=1已知橢圓E：+=1a>b>0的左焦點為F，如圖，過點F作傾斜角為61A.B.C.D.441已知直線l:x-2y-2=0與橢圓C:+=1(a>b>0)相交于A,B兩點.若弦AB被直線m:x+1A.B.C.D. 1已知雙曲線E：-=1a>0,b>0，斜率為-的直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點，AP交E于另一點C，直線BP交E于另一點D.若直線CD的斜率為-，則E111k2k3=-，則橢圓C的離心率為.111k2k3=-8，則雙曲線E的離心率為.1:+=1a>b>0上存在兩點A,B關(guān)于1A.B.C.D.1(多選)已知拋物線E:y2=4x上的兩1)B.x1+x2是定值5566kPAPB=-1kPA?kPB=e2-1?點差法是不是只能解決同時與中點和斜率有關(guān)的問題呢?其實不然．其實點差法的內(nèi)核還是“設(shè)而不求、)的斜率乘積等于常數(shù)e2-1的點的軌跡叫做橢圓或雙曲線(不含兩個頂點)．其中兩定點分別為橢圓或雙曲線的頂點．當(dāng)常數(shù)大于-1小于0時為橢圓，此時e2-1=時e2-1=.【證明】A,B是橢圓+=1a>b>0上的一組對稱點，P為橢圓上任意點，則有kPA?kPB=-=2-1A(x22+=1②+=+=1②2兩式相減得：+=0，整理得=-PAPB=--=-=e2-1kPAPB=kOM?kPB=-=e2-12=1①-=1② x-=1①-=1②a2兩式相減得：-=0，整理得=PAPB=--==e2-12)=1①x-=1①2 - -=1②2x-xyx-xy-y整理得=∴kPA?kPB=kPB?kOM==e2-11已知M為雙曲線 4 4()A.5B.3C.D.2233 3 3A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=11y2x2y2288(與A1過A作垂直于x軸的直線分別交Γ,BC于點M，N.若=3，則雙曲線Γ的離心率是()A.2B.3C.2D.2311已知過坐標(biāo)原點O且異于坐標(biāo)軸的直線交橢圓+=1(a>b>0)于P,M兩點，Q為OP中點，1橢圓離心率為()A.B.C.D.1已知A，B是橢圓+=1(a>b>0)的左右頂點，P是雙曲線-=1在第一象限上的一12已知A、B是橢圓+=1a>b>0與雙曲線-=1a>0,b>0的公共頂點，P是雙曲2線上一點，PA，PB交橢圓于M，N.若MN過橢圓的焦點F，且tan∠AMB=-3，則雙曲線的離心率為()A.2B.3C.2D.99B|=x，P|+2a-|AM|=x+2aP|+2a-|BN|=-x+2a2y-122y-12FBF1F2的內(nèi)切圓半徑r1，r2滿足3r1=4r2，則雙曲線E的離心率取值范圍為()11112FF2A.圓O1和圓O2外切B.圓心O133 2 2A.切點M與右焦點F2重合B.|F1Q|=|F1PC.S△FBI+S△FAI-S△ABI=6D.cos∠AF1B=1F1A.62-8B.62-4C.8-42D.6-42橢圓焦半徑與焦點弦夾角公式F將F?cosθ-4a=4c2-4a2?F1P==,F雙曲線焦半徑與焦點弦夾角公式將FQ=2a-F1P代入化簡得：F雙曲線焦半徑與焦點弦夾角公式則PF+QF=2a?b2已知雙曲線-=1a>b>0，求出2種AF22=AF12+F1F22-2AF1?F1F2cos將AF2=AF1-2a代入得：AF12-4a?AF1+4a2=AF12+4c2-4c?AF1?cosα,4c?cosα-4a=4c2-4a2?AF1==，同理可得：BF1==，則AB=AF1-BF1=.AF22=AF12+F1F22-2AF1?F1F2cosπ將AF2=AF1+2a代入得：AF12+4a?AF1+4a2=AF12+4c2+4c?AF1?cosα,4a-4c?cosα=4c2-4a2?AF1==,同理可得：BF1==,則AB=AF1+BF1=.111F1=223344QF2=.556=λb2=λ=λb2=λ=λ1?1?已知橢圓C：+=1(a>b>0)的右焦點為F，過點F作傾斜角為的直線交橢圓C于A、B即e=1+k2112234PFAB=1PFAB=12y-12y-12D.C.A.B.D.C.A.B.32y-22y-22 A.2B.3C.5D.333A.B.C.D.44A.B.C.D.55，5A.3-1B.4-23C.D.66在在()A.2B.3C.4D.5778:-.>0)在C上.tan∠F1F2P=2+.2y-9=1a>0,b>2y-9=1a>0,b>0的右焦點為F，左、右頂點分別為A1，2A2.1已知雙曲線C:kx2-y2=1的左焦點為F，P3m,-4mm>0為C上一點，且P與F關(guān)于C的一條1 A.B.3C.2D.5 211A.B.C.D.11A.B.C.23D.+y221+y221 22線段AQ的中點．若直線PQ，PF的斜率之積為-，則橢圓的離心率為()A.B.C.D.設(shè)雙曲線的方程為：-=1根據(jù)點到直線的距離公式得：d===b兩條漸近線于P,Q兩點.2=(*)x垂直的直線分別交如圖2.若=λ(0<λ<1)，則e2=1122 =3(2024·江蘇·一模)設(shè)雙曲線C：-=1(a>34已知F1(-c,0),F2(c,0)分別是雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的左，右焦點，過點F2作E的漸近線45(2024·全國·模擬預(yù)測)設(shè)F為雙曲線C:-=1a>0,b>0的右焦點，過F作C的一條漸近線5A.B.C.D.6已知雙曲線E:-=1a>0,b>0與直線y=kx相交于A，B兩點，點P為雙曲線E上的一個6 4 4雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.77() A.PE+PF=B.PE?PF=C.?=-D.S△PEF的最大值為e=.1211A.B.C.D.11直線AF與橢圓的另一個交點為B，若AF⊥FC,AF=3BF，則橢圓M的離心率為()A.B.C.3-1D.1 ,則E的離心率為() ,則E的離心率為()A.B.C.D. ∠BAF1=()A.-B.-C.D.-11F111122