北京第一三〇中學(xué)高三數(shù)學(xué)理知識(shí)點(diǎn)試題含解析

北京第一三〇中學(xué)高三數(shù)學(xué)理知識(shí)點(diǎn)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知地鐵列車(chē)每10min一班，在車(chē)站停1min.則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車(chē)的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.函數(shù)y=f（x）的圖象是圓心在原點(diǎn)的單位圓的兩段?。ㄈ鐖D），則不等式f（x）＜f（﹣x）+2x的解集為（） A． B． C． D． 參考答案：考點(diǎn)： 其他不等式的解法．專(zhuān)題： 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想．分析： 根據(jù)圖象得知是奇函數(shù)，據(jù)此將“不等式f（x）＜f（﹣x）+2x”轉(zhuǎn)化為“f（x）＜x”，再令y=f（x），y=x，利用圖象求解．解答： 解：如圖所示：函數(shù)是奇函數(shù)∴不等式f（x）＜f（﹣x）+2x可轉(zhuǎn)化為：f（x）＜x，令y=f（x），y=x如圖所示：故選A．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查利用函數(shù)圖象的相對(duì)位置關(guān)系來(lái)解不等式，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為特定的基本函數(shù)，能畫(huà)其圖象．3.設(shè)非空集合P，Q滿(mǎn)足P∩Q=P，則（）A．?x∈Q，有x∈P B．?x?Q，有x?PC．?x0?Q，使得x0∈P D．?x0∈P，使得x0?P參考答案：B【考點(diǎn)】2I：特稱(chēng)命題．【分析】根據(jù)交集運(yùn)算結(jié)果判定集合關(guān)系，再結(jié)合Venn圖判斷元素與集合的關(guān)系即可．【解答】解：∵P∩Q=P，∴P?Q∴A錯(cuò)誤；B正確；C錯(cuò)誤；D錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查子集的關(guān)系．4.設(shè)集合，，則MN=（

）

A．{}

B．{}

C．{}

D．{}參考答案：A略5.的展開(kāi)式中不含項(xiàng)的系數(shù)的和為（

）A.33 B.32 C.31 D.－1參考答案：A令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，又由通項(xiàng)公式，其中可取.，，，，，令，得，所以不含項(xiàng)的系數(shù)的和為.試題立意：本小題考查二項(xiàng)式定理及其求展開(kāi)式系數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力.6.已知集合，則（

）

B.

參考答案：A略7.如下圖，將半徑為l的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi)（陰影部分）．現(xiàn)在往圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：A8.設(shè)，，則“”是“”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略9.已知全集，則集合{1，6}=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.如圖，與圓相切于點(diǎn)，直線(xiàn)交圓于兩點(diǎn)，弦垂直

于．則下面結(jié)論中，錯(cuò)誤的結(jié)論是（

）A．∽

B．

C． D．參考答案：略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若曲線(xiàn)f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y軸的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：a＞0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】由曲線(xiàn)f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y軸的切線(xiàn)，故f′（x）=0有實(shí)數(shù)解，運(yùn)用參數(shù)分離，根據(jù)函數(shù)的定義域即可解出a的取值范圍．【解答】解：∵曲線(xiàn)f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y軸的切線(xiàn)，（x＞0）∴f′（x）=2ax﹣=0有解，即得a=有解，∵x＞0，∴＞0，即a＞0．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞0．故答案為：a＞0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，函數(shù)零點(diǎn)等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．12.已知直線(xiàn)與圓相交于A，B兩點(diǎn)（C為圓心），且△ABC為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.參考答案：【分析】根據(jù)三角形為等腰直角三角形可知圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑的，由此列方程，解方程求得的值.【詳解】由于三角形為等腰直角三角形，所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑的.直線(xiàn)的一般方程為，圓的方程為，圓心為，半徑為.故，解得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，屬于中檔題.13.已知函數(shù)若有則的取值范圍為

．參考答案：略14.設(shè)常數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)為，則

。參考答案：0.5略15.已知等差數(shù)列{},滿(mǎn)足,則此數(shù)列的前項(xiàng)的和

.參考答案：3516.在四邊形ABCD中，已知M是AB邊上的點(diǎn)，且，，若點(diǎn)N在線(xiàn)段CD上，則的取值范圍是______.參考答案：17.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則

．參考答案：1由x2=4y得，y=，則，∴在點(diǎn)P（m，n）處的切線(xiàn)斜率k=，∵曲線(xiàn)x2=4y在點(diǎn)P（m，n）處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x+y﹣1=0垂直，∴×（﹣2）=﹣1，解得m=1，故答案為：1．【考查方向】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在切點(diǎn)處的斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，以及直線(xiàn)垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．【易錯(cuò)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線(xiàn)垂直關(guān)系的條件?！窘忸}思路】由x2=4y得y=，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意和導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程求出m的值．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)，且時(shí)，恒成立.參考答案：（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析分析：(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減，再令，證明，即可得到所要證明的結(jié)論.詳解：（1），當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間，無(wú)減區(qū)間當(dāng)時(shí)，增區(qū)間，減區(qū)間（2）當(dāng)由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減，再令在上，，遞增，所以所以恒成立，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，原不等式恒成立.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．19.（12分）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于OA的直線(xiàn)，使得直線(xiàn)與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線(xiàn)OA與的距離等于4？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案：（1）設(shè)橢圓方程為，則依題意有，，得到：，所以橢圓方程為?！?分（2）依題意，設(shè)直線(xiàn)的方程為，它與OA相距4,可以得到。[………………8分科.另一方面，聯(lián)立，若直線(xiàn)與橢圓有交點(diǎn)，則，得到：，因?yàn)?，所以不存在這樣的直線(xiàn)滿(mǎn)足題目要求?！?2分略20.已知函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期和值域；（2）若x=x0為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，求sin2x0的值．參考答案：解：（1）易得===，所以f（x）周期π，值域?yàn)?；?）由，得，又由得，所以，故，此時(shí)，===略21.某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C（x），當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C（x）=（萬(wàn)元）．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，C（x）=51x+（萬(wàn)元）．每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元．通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．（Ⅰ）寫(xiě)出年利潤(rùn)L（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)最值的應(yīng)用．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）分兩種情況進(jìn)行研究，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，投入成本為C（x）=（萬(wàn)元），根據(jù)年利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x≥80時(shí)，投入成本為C（x）=51x+，根據(jù)年利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；（Ⅱ）根據(jù)年利潤(rùn)的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，利用二次函數(shù)求最值，當(dāng)x≥80時(shí)，利用基本不等式求最值，最后比較兩個(gè)最值，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元，∴x千件商品銷(xiāo)售額為0.05×1000x萬(wàn)元，①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；②當(dāng)x≥80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．綜合①②可得，L（x）=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，L（x）=+40x﹣250=﹣，∴當(dāng)x=60時(shí)，L（x）取得最大值L（60）=950萬(wàn)元；②當(dāng)x≥80時(shí)，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=10