2024屆江蘇省無(wú)錫市四校高三下學(xué)期期初學(xué)期調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省無(wú)錫市四校2024屆高三下學(xué)期期初學(xué)期調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故選：B.2.已知是空間的一個(gè)基底，則可以與向量，構(gòu)成基底的向量是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槟芘c，構(gòu)成基底的向量與，不共面.又，，，則，，都分別與，共面，故ABC錯(cuò)誤；假設(shè)與，共面，則存在，使得，則，所以共面，這與為基底矛盾，假設(shè)不成立，所以與，不共面，可構(gòu)成基底，故D正確.故選：D.3.若直線：與直線：互相垂直，則的值為（）A. B. C.或 D.1或〖答案〗D〖解析〗因?yàn)橹本€：與直線：互相垂直，所以，解得或.故選：D4.已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（）．A.30 B.29 C.28 D.27〖答案〗B〖解析〗奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，其和為，∴．偶數(shù)項(xiàng)共有n項(xiàng)，其和為，∴．故選：B．5.如圖，一個(gè)底面邊長(zhǎng)為cm的正四棱柱形狀的容器內(nèi)裝有部分水，現(xiàn)將一個(gè)底面半徑為1cm的鐵制實(shí)心圓錐放入容器，圓錐放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若該容器的厚度忽略不計(jì)，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意可得圓錐的體積，又（其中h為圓錐的高），則cm，則圓錐的母線長(zhǎng)為cm，故圓錐的側(cè)面積為．故選：A．6.某校A?B?C?D?E五名學(xué)生分別上臺(tái)演講，若A須在B前面出場(chǎng)，且都不能在第3號(hào)位置，則不同的出場(chǎng)次序有（）種.A.18 B.36 C.60 D.72〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵诘那懊娉鰣?chǎng)，且，都不在3號(hào)位置，則情況如下：①在1號(hào)位置，又2、4、5三種位置選擇，有種次序；②在2號(hào)位置，有4,5號(hào)兩種選擇，有種次序；③在4號(hào)位置，有5號(hào)一種選擇，有種；故共有種.故選：B.7.雙曲線的右支上一點(diǎn)在第一象限，，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，若內(nèi)切圓的半徑為1，則的面積等于（）A.24 B.12 C. D.〖答案〗C〖解析〗由雙曲線的，，，設(shè)圓與三角形三邊相切于點(diǎn),則，又，所以，因此軸，因此,，,所以,因此,故三角形面積為．故選：C8.已知函數(shù)，若方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋瑒t，，，，令，解得或，又在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象，由圖象觀察可知與有個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為且，則，當(dāng)時(shí)，由，，則存在個(gè)不同實(shí)根，由，，則存在個(gè)不同實(shí)根，由，，則存在個(gè)不同實(shí)根，由，，則存在個(gè)不同實(shí)根，綜上的實(shí)根個(gè)數(shù)為．故選：C二、選擇題9.在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a、b、c，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若，則C.D.若，且，則△為等邊三角形〖答案〗ACD〖解析〗A：由，根據(jù)等比的性質(zhì)有，正確；B：當(dāng)時(shí)，有，錯(cuò)誤；C：，而，即，由正弦定理易得，正確；D：如下圖，是單位向量，則，即、，則且平分，的夾角為，易知△為等邊三角形，正確.故選：ACD10.設(shè)a為常數(shù)，，則（）A.B.成立C.D.滿足條件的不止一個(gè)〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)A：對(duì)原式令，則，即，故A正確；對(duì)B：對(duì)原式令，則，故，對(duì)原式令，則，故非負(fù)；對(duì)原式令，則，解得，又非負(fù)，故可得，故B正確；對(duì)C：由B分析可得：，故C正確；對(duì)D：由B分析可得：滿足條件的只有一個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.如圖，在正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線與直線相交B.當(dāng)為棱上的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)在平面的射影是點(diǎn)C.不存在點(diǎn)，使得直線與直線所成角為D.三棱錐的體積為定值〖答案〗CD〖解析〗A：由題意知，，平面，平面所以平面，又平面，所以與不相交，故A錯(cuò)誤；B：連接，如圖，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，又，所以，若點(diǎn)在平面的射影為，則平面，垂足為，所以，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，在中，，所以，即不成立，故B錯(cuò)誤；C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，連接，則，所以異面直線與所成角為直線與所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，若存在點(diǎn)使得與所成角為，則，所以，所以，又，得，解得，不符合題意，故不存在點(diǎn)使得與所成角為，故C正確；D：如圖，由等體積法可知，又，定值，所以為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：CD.三、填空題12.已知，則的值為___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，?又因?yàn)?，所以所?所以,.故〖答案〗為：.13.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則________．〖答案〗〖解析〗設(shè)直線與曲線和分別相切于因?yàn)?，所以…①，…②，…③由①可得，，代入②③可得：因此，消元整理可得解得或，所以或因?yàn)?，所以故〖答案〗為?4.“曼哈頓距離”是人臉識(shí)別中的一種重要測(cè)距方式，其定義如下：設(shè)，，則，兩點(diǎn)間的曼哈頓距離已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)滿足，則的最大值為_________．〖答案〗〖解析〗由題意得，圓，圓心，半徑，設(shè)點(diǎn)，則，故點(diǎn)的軌跡為如下所示的正方形，其中，，則，，則，即的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題15.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知該三角形的面積．（1）求角的大??；（2）若時(shí)，求面積的最大值．解：（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，因此的面積，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值.16.數(shù)列中，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求；（3）設(shè)，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若時(shí)，時(shí)，，故.（3），若對(duì)任意成立，的最小值是，對(duì)任意成立，的最大整數(shù)值是7,即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有17.如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值；（3）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：依題意，以為原點(diǎn)，分別以、、方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得、、、、、、、、.依題意，，，從而，所以；（2）解：依題意，是平面的一個(gè)法向量，，．設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得．，．所以，二面角的正弦值為；（3）解：依題意，．由（2）知為平面的一個(gè)法向量，于是．所以，直線與平面所成角的正弦值為.18.已知M，N為橢圓和雙曲線的公共頂點(diǎn)，，分別為和的離心率．（1）若．（?。┣蟮臐u近線方程；（ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交的右支于A，B兩點(diǎn)，直線MA，MB與直線相交于，兩點(diǎn)，記A，B，，的坐標(biāo)分別為,,，，求證：；（2）從上的動(dòng)點(diǎn)引的兩條切線，經(jīng)過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的直線與的兩條漸近線圍成三角形的面積為S，試判斷S是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）（?。┙猓河深}意得，，所以，又，解得，故雙曲線的漸近線方程為，（ⅱ）證明：設(shè)直線AB的方程為，則消元得，，，且，所以，故，又直線的方程為，所以，同理，所以，故；（2）解：設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)，，由題意知，斜率存在，直線的方程為，聯(lián)立由得，所以，同理直線方程為，由，過(guò)P點(diǎn)可得可得直線的方程為，不妨設(shè)，直線與雙曲線兩漸近線交于兩點(diǎn)，，則圍成三角形的面積，因P在雙曲線上，，則為定值.19.已知是個(gè)正整數(shù)組成的行列的數(shù)表，當(dāng)時(shí)，記．設(shè)，若滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①；②對(duì)任意，存在，使得，則稱為數(shù)表．（1）判斷是否為數(shù)表，并求的值；（2）若數(shù)表滿足，求中各數(shù)之和的最小值；（3）證明：對(duì)任意數(shù)表，存在,使得．（1）解：是數(shù)表，（2）解：由題可知.當(dāng)時(shí)，有，所以.當(dāng)時(shí)，有，所以.所以所以或者，或者，或，或，故各數(shù)之和，當(dāng)時(shí)，各數(shù)之和取得最小值.（3）證明：由于數(shù)表中共個(gè)數(shù)字，必然存在，使得數(shù)表中的個(gè)數(shù)滿足設(shè)第行中的個(gè)數(shù)為當(dāng)時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)用從左向右的有向線段連接，則該行有條有向線段，所以橫向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)設(shè)第列中的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，將縱向相鄰兩個(gè)用從上到下的有向線段連接，則該列有條有向線段，所以縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)所以,因?yàn)?所以.所以必存在某個(gè)既是橫向有向線段的起點(diǎn)，又是縱向有向線段的終點(diǎn)，即存在使得，所以，則命題得證.江蘇省無(wú)錫市四校2024屆高三下學(xué)期期初學(xué)期調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故選：B.2.已知是空間的一個(gè)基底，則可以與向量，構(gòu)成基底的向量是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槟芘c，構(gòu)成基底的向量與，不共面.又，，，則，，都分別與，共面，故ABC錯(cuò)誤；假設(shè)與，共面，則存在，使得，則，所以共面，這與為基底矛盾，假設(shè)不成立，所以與，不共面，可構(gòu)成基底，故D正確.故選：D.3.若直線：與直線：互相垂直，則的值為（）A. B. C.或 D.1或〖答案〗D〖解析〗因?yàn)橹本€：與直線：互相垂直，所以，解得或.故選：D4.已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（）．A.30 B.29 C.28 D.27〖答案〗B〖解析〗奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，其和為，∴．偶數(shù)項(xiàng)共有n項(xiàng)，其和為，∴．故選：B．5.如圖，一個(gè)底面邊長(zhǎng)為cm的正四棱柱形狀的容器內(nèi)裝有部分水，現(xiàn)將一個(gè)底面半徑為1cm的鐵制實(shí)心圓錐放入容器，圓錐放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若該容器的厚度忽略不計(jì)，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意可得圓錐的體積，又（其中h為圓錐的高），則cm，則圓錐的母線長(zhǎng)為cm，故圓錐的側(cè)面積為．故選：A．6.某校A?B?C?D?E五名學(xué)生分別上臺(tái)演講，若A須在B前面出場(chǎng)，且都不能在第3號(hào)位置，則不同的出場(chǎng)次序有（）種.A.18 B.36 C.60 D.72〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵诘那懊娉鰣?chǎng)，且，都不在3號(hào)位置，則情況如下：①在1號(hào)位置，又2、4、5三種位置選擇，有種次序；②在2號(hào)位置，有4,5號(hào)兩種選擇，有種次序；③在4號(hào)位置，有5號(hào)一種選擇，有種；故共有種.故選：B.7.雙曲線的右支上一點(diǎn)在第一象限，，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，若內(nèi)切圓的半徑為1，則的面積等于（）A.24 B.12 C. D.〖答案〗C〖解析〗由雙曲線的，，，設(shè)圓與三角形三邊相切于點(diǎn),則，又，所以，因此軸，因此,，,所以,因此,故三角形面積為．故選：C8.已知函數(shù)，若方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，則，，，，令，解得或，又在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象，由圖象觀察可知與有個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為且，則，當(dāng)時(shí)，由，，則存在個(gè)不同實(shí)根，由，，則存在個(gè)不同實(shí)根，由，，則存在個(gè)不同實(shí)根，由，，則存在個(gè)不同實(shí)根，綜上的實(shí)根個(gè)數(shù)為．故選：C二、選擇題9.在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a、b、c，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若，則C.D.若，且，則△為等邊三角形〖答案〗ACD〖解析〗A：由，根據(jù)等比的性質(zhì)有，正確；B：當(dāng)時(shí)，有，錯(cuò)誤；C：，而，即，由正弦定理易得，正確；D：如下圖，是單位向量，則，即、，則且平分，的夾角為，易知△為等邊三角形，正確.故選：ACD10.設(shè)a為常數(shù)，，則（）A.B.成立C.D.滿足條件的不止一個(gè)〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)A：對(duì)原式令，則，即，故A正確；對(duì)B：對(duì)原式令，則，故，對(duì)原式令，則，故非負(fù)；對(duì)原式令，則，解得，又非負(fù)，故可得，故B正確；對(duì)C：由B分析可得：，故C正確；對(duì)D：由B分析可得：滿足條件的只有一個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.如圖，在正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線與直線相交B.當(dāng)為棱上的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)在平面的射影是點(diǎn)C.不存在點(diǎn)，使得直線與直線所成角為D.三棱錐的體積為定值〖答案〗CD〖解析〗A：由題意知，，平面，平面所以平面，又平面，所以與不相交，故A錯(cuò)誤；B：連接，如圖，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，又，所以，若點(diǎn)在平面的射影為，則平面，垂足為，所以，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，在中，，所以，即不成立，故B錯(cuò)誤；C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，連接，則，所以異面直線與所成角為直線與所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，若存在點(diǎn)使得與所成角為，則，所以，所以，又，得，解得，不符合題意，故不存在點(diǎn)使得與所成角為，故C正確；D：如圖，由等體積法可知，又，定值，所以為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：CD.三、填空題12.已知，則的值為___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以所?所以,.故〖答案〗為：.13.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則________．〖答案〗〖解析〗設(shè)直線與曲線和分別相切于因?yàn)?，所以…①，…②，…③由①可得，，代入②③可得：因此，消元整理可得解得或，所以或因?yàn)?，所以故〖答案〗為?4.“曼哈頓距離”是人臉識(shí)別中的一種重要測(cè)距方式，其定義如下：設(shè)，，則，兩點(diǎn)間的曼哈頓距離已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)滿足，則的最大值為_________．〖答案〗〖解析〗由題意得，圓，圓心，半徑，設(shè)點(diǎn)，則，故點(diǎn)的軌跡為如下所示的正方形，其中，，則，，則，即的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題15.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知該三角形的面積．（1）求角的大??；（2）若時(shí)，求面積的最大值．解：（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，因此的面積，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值.16.數(shù)列中，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求；（3）設(shè)，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若時(shí)，時(shí)，，故.（3），若對(duì)任意成立，的最小值是，對(duì)任意成立，的最大整數(shù)值是7,即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有17.如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值；（3）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：依題意，以為原點(diǎn)，分別以、、方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得、、、、、、、、.依題意，，，從而，所以；（2）解：依題意，是平面的一個(gè)法向量，，．設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得．，．所以，二面角的正弦值為；（3）解：依題意，．由（2）知為平面的一個(gè)法向量，于是．所以，直線與平面所成角的正弦值為.18.已知M，N為橢圓和雙曲線的公共頂點(diǎn)，，分別為和的離心率．（1）若．（?。┣蟮臐u近線方程；（ⅱ）過(guò)點(diǎn)