2024高考數(shù)學解題技巧-教師用書-2

2024高考數(shù)學解題技巧——教師用書-2

目錄

1.集合與常用邏輯用語.........................................................1

2.復數(shù)與平面向量............................................................18

3.不等式及線性規(guī)劃..........................................................39

4.函數(shù)的圖象與性質..........................................................65

5.導數(shù)及其應用..............................................................86

6.導數(shù)的熱點問題...........................................................111

1.集合與常用邏輯用語

「考情研析」1.集合多以給定的集合、不等式解集為載體，以集合語言和

符號語言為表現(xiàn)形式，考查集合的交、并、補運算，常利用韋恩(Venn)圖或數(shù)軸

表示集合的關系及運算.2.常用邏輯用語部分多與其他知識結合，考查含有邏

輯聯(lián)結詞的命題的真假判斷，及充分、必要條件.主要以選擇題或填空題形式出

現(xiàn)，分值一般為5分.

核心知識回顧

1.集合的運算性質及重要結論

⑴AUA=[W1,/1U0=[O2]A.AUB=8UA；

⑵4門4=畫4,AC0=畫巴AQB=BnA-

⑶40([以)=畫巴AU([M)=[^U；

⑷AC8=A0畫心旦AUB=A㈡網8UA.

2.四種命題及其關系

(1)四種命題

若原命題為“若P，則4"，則其逆命題是畫若4,則“否命題是阿若

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㈱〃，則㈱4；逆否命題是畫惹罐幺_則也.

(2)四種命題間的關系

3.命題0八八pVq、㈱p的真假判斷

PqpAqpvq

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

4.充分條件與必要條件

(1)如果，今/則〃是q的畫充分條件,4是〃的畫必要條件.

(2)如果0=＞q,滬p,則〃是〃的畫充要條件.

(3)充分條件與必要條件的三種判定方法

正、反方向推理，若。=4,則P是＜?的充分條件(或q是P的

定

必要條件)；若P=q,且q干P，則，是4的充分不必要條件(或＜7是

義法

P的必要不充分條件)

集利用集合間的包含關系.例如，若則A是8的充分條

合法件(8是A的必要條件)；若A=8,則A是8的充要條件

等

將命題等價轉化為另一個便于判斷真假的命題

價法

熱點考向探究

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考向1集合的概念及運算

例1(l)Q020?河北省衡水中學一模)設集合4={1,2,4},8={小2-以+〃?=

0).若403={1},則8=()

A.{1,-3}B.{1,0}

C.{1,3}D.{1,5}

答案C

解析集合A={1,2,4},8={4?-4x+/”=0},ACB={1},.?.x=l是方程

『-4x+機=0的解，即1-4+m=0,.../??=3,={x*—4x+"z=0}={x*-

4X+3=0}={1,3}.

(2)(2020.湖南省頂級名校高三第七次大聯(lián)考)已知全集U=Z,A={1,2,3,4},

B={x|(x+1)(x-3)>0,xCZ},貝ljAQ([u8)=()

A.{1,2}B.{2,3}

C.{1,2,3}D.[1,2,3,4)

答案C

解析由于{x[(x+l)(x—3)W0,xWZ}={x|-1WXW3,x€Z}={-

1,0,1,2,3},則An([u3)={l,2,3},故選C.

(3)已知集合M=3y=b|-x},N={My=ln(/—x)},則MCN=()

A.RB.{#r>l}

C.{A|A<0}D.或X<0}

答案B

解析-：M={y|y=W-JC}={y\y^0},N={x|y=ln(x2-》)}={x|P-x>0}=

{x|x>l或尤<0},.,.MnN={4r>l},故選B.

(4)(2020.湖南省長郡中學高三第三次適應性考試)已知集合A={A-IA-2-

2xW0},5={x|l<3x<81},C={x\x=2n,H€N},則(4UB)CC=()

A.{0,2,4}B.{2,4}

C.{0,2}D.{2}

答案C

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解析由f—2xW0,得0WxW2,，A={x|0WxW2}.由1<3y81,得0a<4,

：.B=[x\Q<x<4},：.AUB={x\Q^x<4],XC={x\x=2n,n€N},.\(AUB)nC

={0,2}.

方法指導

正確理解集合中元素的含義，確定集合的元素，理清運算順序，尤其是含有

補集的混合運算，應先求補集，有些集合是可以化簡的，應先化簡再研究其關系

并進行運算.

■對點精練

1.設集合A={x*+3x—4W0},B={x|log3xW0},則ACB=()

A.[-4,1]B.[-4,3]

C.(0,1]D.(0,3]

答案C

解析由題意得人=[-4,1],8=(0』],所以AnB=(0,l].故選C.

2.(2020?山東省煙臺市高三適應性訓練汜知集合加={旌兇后6},4={-

2,-1,0,1,2},B={y\y=x1,x￡A},貝北/3=()

A.{2,5,6}B.{2,3,6}

C.{2,3,5,6}D.{0,2,3,5,6}

答案c

解析根據題意，B=(y\y=x2,x€A}={0,1,4},所以={2,3,5,6}.

3.已知集合A^xlF—Zx+lX)},B=f+則AC8=()

A.+°°JB.(1,+8)

C.I，1)D.I，1)U(1,+8)

答案D

解析,/A={XIA2-2X+l>0}=1},B==x2+|'r=,：,AOB

=乃田23且1)U(1,+8).故選D.

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考向2命題及邏輯聯(lián)結詞

例2(1)(2020?山東師范大學附中月考)已知命題p：a3xo€R,e'o-xo-

1W0”，則命題㈱〃為()

A.Vx€R,e1-x-1>0B.Vx$R,ev-x-1>0

C.Vx€R,e'-x-1^0D.3xo€R,e'o-xo-l>0

答案A

解析.??特稱命題的否定是全稱命題，并且改量詞，否結論，二命題P："3

xo€R,e'o-xo—1W0”的否定為“Vx€R,e'-x-l>0"，故選A.

(2)(2020?陜西西安中學3月線上考試)已知命題p：若。>步|,貝命題

q:〃是直線，a為平面，若能//a,〃Ua,則機//〃.下列命題為真命題的是

()

A.p/\qB.pA(㈱/

C.(㈱p)AqD.(㈱p)A(㈱/

答案B

解析對于命題P，由。>以20,可得到標>從，故命題〃為真命題；對于命

題以由直線機//a,〃u*可得直線加，〃可能為異面直線，也可能為平行直

線，故命題q為假命題，所以㈱4為真命題，利用真值表可知"A(㈱4)為真命

題，故選B.

方法指導

⑴看到命題真假的判斷，想到利用反例和命題的等價性.

(2)看到命題形式的改寫，想到各種命題的結構，尤其是特稱命題、全稱命

題的否定，要改變的兩個地方.

(3)看到含邏輯聯(lián)結詞的命題的真假判斷，想到聯(lián)結詞的含義.

(4)已知含邏輯聯(lián)結詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍的步驟：

①求出當命題p,q為真命題時所含參數(shù)的取值范圍；

②根據復合命題的真假判斷命題p,q的真假性；

③根據命題P，4的真假情況，利用集合的交集、并集和補集的運算求解參

數(shù)的取值范圍.

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r對點精練

1.若命題P：mxoWR,使得x8+axo+lWO為真命題，則實數(shù)。的取值范

圍是（）

A.[2,+°°）B.（-00,-2]

C.[-2,2]D.（-oo,-2]U[2,+8）

答案D

解析解法一：（間接法）因為命題P：三迎6R,使得看+ow+1W0為真命

題，所以㈱0：Vx€R,^+ax+1>0為假命題，而“VJCWR,/+儀+1>0”的

充要條件為層-4<0,即-2<”2,所以要使，為真命題，只需aW-2或

故選D.

解法二：（直接法）令7W=x2+tu+1,由于mxoCR,使得向+OW+1W0為

真命題，故只需i=/一420,解得aW-2或。22,故選D.

2.（2020.湖南長沙明德中學3月月考）下列說法正確的是（）

TT1TTI

A.“若0￡=不則sina=「"的否命題是“若a=不則sina#/"

B.若命題p,㈱q均為真命題，則命題pAq為真命題

C.命題p：u3xo€R,x^i-xo-5>0w的否定為㈱p：“VxWR,x2-x-

5WO”

TT

D.在△ABC中，“C=5”是“sinA=cosB”的充要條件

答案C

TT1TT!

解析“若。=不則sina=y'的否命題是“若a%,則sinf,所以

A不正確；若命題p,㈱q均為真命題，則q是假命題，所以命題〃A<7為假命

題，所以B不正確；命題p:"mxo￡R,需-&-5〉0”的否定為㈱p：

R,f—x—5W0”，所以C正確；在△ABC中，。=尹4+3=*4=]—30

sin/l=cosB,反之，sinA=cosB^A+B=A=^+B,貝Ijc/不一定成立，所

7T

以“C=2”是“siiM=cosB”的充分不必要條件，所以D不正確.故選C.

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考向3充要條件的判斷

例3(1)(2020.山東省聊城市高三聯(lián)考)已知兩個平面a,夕，直線/U%則

“///尸”是％//夕”的()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析由lua”一定得到“///4”，即必要性成立；反之，根據平

面與平面平行的判定定理，可知由“///夕，lUa”不一定得到“a///?”，即充

分性不成立.所以“III。”是“a11/3”的必要不充分條件.

(2)“a=0”是“函數(shù)式x)=sinx-；+a為奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析危)的定義域為{小W0},關于原點對稱，當a=0時，,/W=siiuT，

八一x)=sin(-幻一々=一siiu+；=-(siar-一?r),故兀￥)為奇函數(shù)；反之，

當式x)=sin%--+a為奇函數(shù)時，式-x)+外)=0,又.穴-x)+,*x)=sin(-x)--

人-X

+asinx-~+a=2a,故a=0,所以"a=0"是“函數(shù)/(x)=siax-,+Q為奇函

數(shù)”的充要條件.故選C.

(3)已知條件p：|x-4|W6;條件夕：(*--機2?0(機＞0).若〃是夕的充分

不必要條件，則機的取值范圍是()

A.[21,+8)B.[19,+8)

C.[9,+8)D.(0,+8)

答案C

解析由題意，得P：-24W10,夕：1-.由〃是q的充分不

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］一—2

必要條件，得T』5「加，1+叫所以］+*］。’且等號不可以同時

取得，所以加29,故選C.

方法指導

(1)定義法：分三步進行，第一步，分清條件和結論；第二步，判斷“ng及

q0P的真假；第三步，下結論.

(2)等價法：將命題轉化為另一個等價且容易判斷真假的命題，一般地，這

類問題由幾個充分必要條件混雜在一起，可以畫出關系圖，運用邏輯推理判斷真

假.

(3)集合法：寫出集合A=｛x|p(x)｝及8=｛x0(x)｝,利用集合之間的包含關系

加以判斷.

■對點精練

1.設等比數(shù)列僅〃｝的公比為凡則是“｛&｝是遞減數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案D

nn］

解析an+\-an=a\q-a\q~=a\(f^\q-1),而ai的正負性未定，故無法

判斷數(shù)列｛?！ǎ膯握{性，因此"0<4<1”是“｛0”｝是遞減數(shù)列”的既不充分也不必

要條件.

2.(2020?遼寧省沈陽市三模)設函數(shù)加)=cos2x+bsinx,則“=0”是"於)

的最小正周期為兀”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

-、1+cos2x

解析當〃=0時，函數(shù)於)=cos2x+Asinx=cos2x=，所以函數(shù)的

2兀_1+cos2x

最小正周期為受=兀，7U)=cos2x+bsiru=----2-----+bsinx,當。W0時，函數(shù)的

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最小正周期為無和2兀的最小公倍數(shù)，即為2兀，當函數(shù)的最小正周期為兀時，可

得6=0,故函數(shù)/U）=cos2%+加inx,則?=0"是"段）的最小正周期為?！钡?/p>

充要條件.故選C.

3.（2020.河南六市第二次聯(lián)合調研）南北朝時期的偉大科學家祖晅在數(shù)學上

有突出貢獻，他在實踐的基礎上提出祖唯原理：“黑勢既同，則積不容異”，其

含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任意

平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相

等.如圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為％,V2,被平行

于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面面積分別為S,S2,則“S,S2不總相

等”是“4,以不相等”的（）

/臉a/

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析如果“S,S2不總相等”，那么“0,丫2不相等”的等價命題是：如

果“斗，上相等”，那么“Si,S2總相等"，根據祖唯原理，當兩個截面的面積

51,S2總相等時，這兩個幾何體的體積0,%相等，所以逆命題為真，則是必

要條件，當兩個三棱臺，一正一反的放在兩個平行平面之間時，此時體積相等，

但截得截面面積未必相等，故不是充分條件，所以“Si,S2不總相等”是“0,

L不相等”的必要不充分條件.故選B.

真題收押題

『真題檢驗』

1.（2020?新高考卷I）設集合A={x|l?3},5={x[2<x<4},則AU5=（）

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A.{川2<七3}B.{x|2?}

C.{x|K<4}D.{x|l<x<4}

答案c

解析AU8=[1,3]U(2,4)=[1,4),故選C.

2.(2020?全國卷11)已知集合(7="2,-1,0,1,2,3},4={-1,0/},8={1,2},

則[u(AUB)=()

A.{-2,3}B.{-2,2,3)

C.{-2,-1,0,3)D.{-2,-1,0,2,3)

答案A

解析由題意可得AUB={—1,0,1,2},貝比u(AU8)={-2,3}.故選A.

3.(2020?全國卷川)已知集合4={(”,y)\x,y€N*,y^x},B=[(x,y)\x+y

=8},則ACB中元素的個數(shù)為（）

A.2B.3

C.4D.6

答案C

y^x,

解析由題意，ACB中的元素滿足且尤，y6N*,由x+y=

j+y=8,

822x,得為4,所以AA5中的元素有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4個.故選

C.

4.(2020?全國卷I)設集合Au&lf-dWO},8={x|2x+aW0},且ACB=

3-2?},貝lja=()

A.-4B.-2

C.2D.4

答案B

解析,.,A={x*—4W0}={x|—2WxW2},B={x|2x+aWO}

AQB={x\-2^x^l],■1--f=l,解得。=-2.故選B.

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5.（2020.天津高考）設aWR,則是“儲〉的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析求解二次不等式標>凡可得。>1或據此可知，“a>l”是

“/>/'的充分不必要條件.故選A.

6.（202。全國卷II）設有下列四個命題：

p\兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內.

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

“4：若直線/U平面叫直線加1平面a,貝

則下述命題中所有真命題的序號是_______.

①piA“4,（2）/21A/?2,③幺弟p2Vp3,④幺弟p3V㈱P4.

答案①③④

解析對于命題Pl,可設與/2相交，這兩條直線確定的平面為a,設/3與

/I,/2的交點分別為A,8（如圖），貝IjAWa,BWa,所以ABUa,即AUa,命題

pi為真命題；

對于命題P2,若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，命題P2為假命

題；

對于命題P3,空間中兩條直線的位置關系有相交、平行或異面，命題P3為

假命題；

對于命題P4,若直線機1平面%則〃?垂直于平面a內所有直線，因為/U

平面a,所以〃?！/,命題P4為真命題.

綜上可知，pi/\p4為真命題，pi八戶為假命題，

㈱p2Vp3為真命題，㈱p3V㈱P4為真命題.

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『金版押題』

k(x+2),xWO,

7.已知函數(shù)加)="，則Z<1”是"段)單調遞增”的()

(2x+k,x>0.n

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案D

解析若以)單調遞增，則心>0且網0+2)W20+3解得。<代1,因為“k<l”

與“04W1”沒有包含的關系，所以充分性和必要性都不成立.

8.已知函數(shù)/U)=e\g(x)=x+1.則關于_/U),g(x)的語句為假命題的是()

A.Vx€R,於)〉g(x)

B.3x1,x?€R,/(xi)<g(x2)

C.3xo6R,7(xo)=g(xo)

D.mxoWR,使得VxWR,犬xo)-g(xo)W?x)-g(x)

答案A

解析依題意，記F(x)=於)-g(x),則尸(尤)=.[(x)-g'(x)=1.當x<0

時，F(xiàn)'?<0,Rx)在(-8,0)上單調遞減；當x>0時，F(xiàn)(x)>0,尸(x)在(0,+

8)上單調遞增，F(xiàn)a)=/U)-g(x)有最小值&0)=0,即?r)2g(x),當且僅當％=

0時取等號，因此A是假命題，D是真命題；注意到/(())=l<g(l)=2,因此B是

真命題；注意到的)=1=觀0),因此C是真命題.綜上所述，選A.

專題作業(yè)

一、選擇題

1.(2020?全國卷II)已知集合A={x||x|<3,x€Z},8={x[R>l,x€Z},則

AAB=()

A.0B.{-3,-2,2,3}

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

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答案D

解析因為A={刈衛(wèi)<3,x€Z}={-2,-1,0,1,2},B={x\\x\>\,x￡Z}=

{x|x>l或xv—l,xWZ},所以AnB=[2,-2}.故選D.

2.命題“存在實數(shù)xo,使lnxo<x8-1”的否定是()

A.對任意的實數(shù)x,都有l(wèi)nx<x2_i

B.對任意的實數(shù)x,都有l(wèi)nx2f-l

C.不存在實數(shù)次,使lnxo21

D.存在實數(shù)xo,使lnx()2看-1

答案B

解析存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，將存在量詞改為全稱量詞后

還要對結論否定，故選B.

3.已知集合4={2a,3}和8={a,b},若AC8={2},貝ljAUB=()

A.{1}B.{1,2}

C.{1,2,3}D.{1,2,3,4)

答案C

解析由A={2a,3}及AA8={2},得2a=2,解得。=1；由8={1,切及

4nB={2},得b=2,所以AUB={1,2,3},故選C.

4.已知集合A={衛(wèi)/-3x+2=0,x€R},B={x|0<x<5,x€N},貝滿足

條件的集合C的個數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

答案D

解析因為A={1,2},B={1,2,3,4},AGCCfi,則集合C可以為{1,2},

(1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4),共4個.

5.已知全集。=11,集合4={1卜=1082(-r+2%)},B={y\y=1+^},那

么AA([M)=()

A.{x[0<x<l}B.{X|A<0}

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C.{x\x>2}D.{x|l<x<2}

答案A

解析由-f+2x>0得0<x<2,所以集合A={鄧）<x<2},因為集合8為函

數(shù)y=l+"的值域，所以B={x|x21},貝{小<1},所以An（[uB）=

{^|0<Y<1},故選A.

6.（2020.廣東華附、省實、深中、廣雅四校聯(lián)考）原命題為“若zi,Z2互為

共輾復數(shù)，則|Z1|=|Z2|"，其逆命題，否命題，逆否命題的真假性依次為（）

A.真，假，真B.真，真，假

C.假，假，真D.假，假，假

答案C

解析原命題：“若Zl,Z2互為共輛復數(shù)，則回|=0|"是真命題，因此其

逆否命題為真命題，而其逆命題：“若|zi|=[Z2|,則ZI與Z2互為共柜復數(shù)”不是

真命題，如Zi=2+i,Z2=l-2i,盡管|Z1|=|Z2|=小，但Z1與Z2不互為共拆復數(shù)，

因此逆命題為假命題，從而原命題的否命題也為假命題，故選C.

7.對于直線相，〃和平面a,B，"2_La成立的一個充分條件是（）

A.777±n,nIIaB.m///?,J_a

C.m邛，n邛,n]_aD.mX_n,夕J_a

答案C

解析對于c,因為加14，〃1色所以m"〃,又〃la,所以〃zla,故選

C.

8.已知集合4={。。）斤+產或3,%€2~￡2},則4中元素的個數(shù)為（）

A.9B.8

C.5D.4

答案A

解析由f+y2W3知，一小WxW仍，一小WyW下.又xWZ,yWZ,

所以X€{-1Q1},y€{-1,01},所以A中元素的個數(shù)為C3C3=9,故選A.

9.（多選）（2020.衡陽一中模擬）下列命題中，真命題是（)

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A.Vx€R,ev>0

B.Bx€

c.。+匕=0的充要條件是￡=一1

D.%>1,b>l”是“">1”的充分條件

答案ABD

解析因為y=e、>0,x€R恒成立，所以A正確；因為當x=-5時，2-

5<(-5)2,所以B正確；“*=-1”是“。+人=0”的充分不必要條件，C不正

確；當。>1,。>1時，顯然必>1,D正確.故選ABD.

10.(2020?吉林長春質量監(jiān)測二)命題p：存在實數(shù)次，對任意實數(shù)》,使得

Q+X

sin(x+尤o)=-sint恒成立；q:Vtz>0,f(x)=\n-—；為奇函數(shù)，則下列命題是

U-A

真命題的是()

A.p/\qB.(㈱p)V(㈱/

C.pA(㈱q)D.避明f\q

答案A

解析對于命題P，由于sin(x+7i)=-sinx,所以命題〃為真命題.對于命

a+xa-x(a+x\,

題q,由于a>0,由>0,解得-。4<凡且x)=ln—■—=In；-=-

CI'-XCl-rXI。-X)

In-Ax),所以./W是奇函數(shù)，故g為真命題?所以”/\q為真命題，(㈱

CI-X

P)V(^q),pA(㈱辦(㈱p)Aq都是假命題.故選A.

11.(2020?北京市門頭溝區(qū)高三3月綜合練習)向量0,?滿足⑷=。=1,且

7T

其夾角為仇則“手一例=1”是“。=丁的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析由M—m=1得|。-b\2=l,得⑷2+步F—2ab=1,即1+1—2ab=1,

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1

得2a力=1,即。仍=1],貝Icose=j(L^hj=n^2Y=21，即。=]成立.反之，當。=]

時，“功=g,貝"|a—勿2=聞2+步|2-2。仍=1+1-2*；=1+1—1=1,即|a—例=1

成立.

7T

綜上，"=1”是“，=1'的充分必要條件，故選C.

12.已知S”是等差數(shù)列｛a〃｝的前n項和，貝「5<〃a”對心2恒成立”是

“數(shù)列｛。，｝為遞增數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

〃(〃-1)

解析Sn<nan對〃22恒成立，.'.na\+2'd<n[a\+(?-1)</],化為〃(〃

-l)J>0,??.4>0.二數(shù)列｛呢｝為遞增數(shù)列，反之也成立.二"S<〃a”對〃22恒

成立”是“數(shù)列｛⑧｝為遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選C.

二、填空題

13.(2020?“皖江名?！备呷?lián)考)已知命題p：Vx€(0,目，x-sinxNO,

則㈱p為.

答案三》6(0,W)，x-sinx<0

解析根據全稱量詞命題否定的特點，可知㈱p為mx€(O,Sx-sinx<0.

14.已知於)是R上的奇函數(shù)，則”xi+X2=0"是“/?)+?功=0”的

條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充

分也不必要”)

答案充分不必要

解析,函數(shù)?x)是奇函數(shù)，二若Xl+X2=0,則Xl=-X2,則兀V1)=_A-X2)

=-/(X2),即加1)+/2)=0成立，即充分性成立；若/U)=0,滿足/W是奇函

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數(shù)，當X1=X2=2時，滿足人尤1)=/(X2)=0,此時滿足y(Xl)+7(X2)=0,但Xl+X2=

4W0,即必要性不成立.故“用+股=0”是飲n)+兀⑵=0”的充分不必要條件.

15.設集合A={0,-4},B={x\jr+2(a+l)x+a2-1=0,xWR}.若AC8

=B,則實數(shù)a的取值范圍是_______.

答案(一8,-1]U{1}

解析因為AC8=B,所以因為A={0,-4},

所以8包A分以下三種情況：

①當3=A時，B={0,-4},由此可知，0和—4是方程/+2(a+l)x+/

-1=0的兩個根，由根與系數(shù)的關系，

p=4(?+l)2-4(a2-1)>0,

得《-2(。+1)=-4,解得。=1；

、層_1=0,

②當8W。且8A時，8={0}或8={-4},并且/=4(a+-4(/-1)=

0,解得。=-1,此時B={0}滿足題意；

③當8=0時，J=4(a+1)2-4(?2-1)<0,解得a<—l.

綜上所述，所求實數(shù)。的取值范圍是(-8,-1]U{1}.

16.設全集U={123,4,5,6},且U的子集可表示由0』組成的6位字符串，

如：[2,4}表示的是自左向右的第2個字符為1,第4個字符為1,其余字符均為

0的6位字符串010100,并規(guī)定空集表示的字符串為000000.

(1)若加={2,3,6},則[uM表示的6位字符串為；

(2)已知A={1,3},BNU,若集合AUB表示的字符串為101001,則滿足條

件的集合B的個數(shù)是_______.

答案(1)100110(2)4

解析(1)由已知得，CuM={1,4,5},則CuM表示的6位字符串為100110.

(2)由題意可知AU8={1,3,6},而A={1,3},3=U,貝1J8可能為{6},{1,6},

{3,6},{1,3,6},故滿足條件的集合8的個數(shù)是4.

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2.復數(shù)與平面向量

「考情研析」1.復數(shù)是高考必考內容,主要考查復數(shù)的概念與四則運算.多

為選擇題、填空題，難度為中低檔.

2.高考對平面向量的考查主要有三個方面：①考查平面向量的基本定理及

基本運算，多以考生熟知的平面圖形為背景進行考查，多為選擇題、填空題，難

度為中低檔；②考查平面向量的數(shù)量積，以選擇題、填空題為主，難度為低檔；

③向量作為工具，還可能與三角函數(shù)、解三角形、不等式等知識結合考查.

核心知識回顧

1.復數(shù)

(1)復數(shù)的有關概念

虛數(shù):場］辰0日純虛數(shù):國"=0./*0I

z^=a+b\

模:3=跑返亞

⑵運算法則

加減法：(a+歷)±(c+di)=(〃士c)+(b土d)i.

乘法：(Q+Z?i)(c+泊)=I。71(4。-bd)+(ad+、c)i.

人、Q+bi(a+bi)(c-di)?——?+bd)+(be-〃，/)i

除法：—d+&—=幽-

2.平面向量的數(shù)量積

⑴若。，分為非零向量，夾角為氏則4力=回⑷依-COS。.

(2)設a=(xi,yi),b=(X2,yi),則a-b=位］xix2+yiy2.

3.兩個非零向量平行、垂直的充要條件

若a=(xi,yi),b=(%2,”)，貝

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⑴a//(0畫a=W>WO)臺畫%iy2一七yi=Q

⑵aJ_03|a7>=0t>|04|xix2+yiV2=0.

4.利用數(shù)量積求長度

(1)若a=(x,y),則聞=回~|\/^=畫'/f+M

⑵若A(XI,>'l),5(X2,J2),則|麗=

-X1)2+(V2-VI)2.

5.利用數(shù)量積求夾角

若a=(xi,yi),b=(X2,?),。為a與8的夾角，

則cos。=畫瑞=畫、談

6.三角形“四心”向量形式的充要條件

設。為AABC所在平面上一點，角A,B,。所對的邊分別為a,h,c,則

(1)0為aABC的外心臺畫畫三函三J函三云徐.

⑵。為△ABC的重心臺南改+浜+走=0.

⑶。為△A3C的重心、臺廚秋?第三曲?靈京靈?,.

(4)0為4ABC的內心臺畫“豆+1麻+c旄=0.

熱點考向探究

考向1復數(shù)的概念及運算

例1(1)(2020.山東省淄博市高三一模)復數(shù)(a-i).(2-i)的實部與虛部相等,

其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)。=()

A.3B.-g

C.—2D.—1

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答案B

解析因為(a-i)(2-i)=2a-l-(a+2)i,若此復數(shù)的實部與虛部相等，則

2a—1=—(6?+2),解得a=-

a+2i

(2)(2020.遼寧省渤大附中、育明高中五模)若復數(shù)yySWR)為純虛數(shù)，則

|3-出|二()

A.gB.13

C.10D.V10

答案A

a+21(a+2i)(l-i)a+22-aa+2i

解析由復數(shù)的運算法則，有777(i+i)(i-i)=F+，復數(shù)i+i

a+2=0,----------

(〃WR)為純虛數(shù)，則2一e0,即。=-2,13-.1=后心仃.故選A.

71

⑶已知復數(shù)zi,Z2在復平面內對應的點關于虛軸對稱，若Zl=l-2i,則1

=()

34.B3+4

A.B-+

551-551

34.D.|+1i

C.

答案D

解析由題意可得，zi=l-2i,Z2=-1-2i,

1-2i(1-2i)(-1+2i)34

則菅-1-2i=(-1-2i)(-1+2i)=5+m?故選D-

(4)若復數(shù)z滿足2z-5=3+12i,其中i為虛數(shù)單位，5是z的共柜復數(shù),

則復數(shù)|z|=()

A.3小B.2小

C.4D.5

答案D

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解析設復數(shù)z=a+歷，a,6R/.02z-z=3+12i,

2。一a=3,

??.2（〃+歷）一（〃一6）=3+12）即J

[2b+b=12,

解得。=3,b=4,「.z=3+4i,.\\z\=^32+42=D.

方法指導

(1)復數(shù)運算的重點是除法運算，其關鍵是進行分母實數(shù)化，即分子、分母

、1+i1-i

同乘分母的共也復數(shù).對一些常見的運算，如(1土i)2=±2i,—=i,T—=-i等

1—11+1

要熟記.

(2)與復數(shù)z的模團和共柜復數(shù)有關的問題，一般都要先設出復數(shù)z的代數(shù)形

式2=。+砥凡人CR),再代入條件，用待定系數(shù)法解決.

■對點精練

2

1.若復數(shù)z=7u，其中i為虛數(shù)單位，則下列結論正確的是()

A.z的虛部為—iB.|z|=2

C.z2為純虛數(shù)D.z的共柜復數(shù)為-l-i

答案c

22(1-i)

解析由題意得2=丁%=/一.由z=l-i得復數(shù)z的虛部為

-1,所以A不正確.3=|1-0=6，所以B不正確.由于z2=(l-i)2=-2i,

所以z2為純虛數(shù)，所以C正確.z=l-i的共柜復數(shù)為5=l+i,所以D不正

確.故選C.

1+Z

2.設復數(shù)z滿足一=i,則|z|=()

A.1B.也

C.小D.2

答案A

i-1(i-I)2

解析由題意知1+Z=i-zi,所以z==n=i,所以|z|=i,故

1-r1(1十］八1-i)

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選A.

3.在復平面上，設點O,A,B對應的復數(shù)分別為0,-l+2i,-2-i,若

過點。，A,8作平行四邊形0AC3,則點。對應的復數(shù)是()

A.-4+2iB.1-2i

C.-3-iD.-3+i

答案D

解析由題意，得次=(-1,2),於=(-2,-1),則應=/+防=(-3,1),

即。(-3,1),對應復數(shù)為-3+i,故選D.

考向2平面向量的概念及運算

例2(1)(2020.黑龍江省哈爾濱模擬)向量a,b,c在正方形網格中的位置如

圖所示.若向量助+)與c共線，則實數(shù)2=()

A.-2B.-1

C.1D.2

答案D

解析根據圖形可看出2a+5=c,滿足2a+8