考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷80(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷80(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．當(dāng)x→0時，下列四個無窮小中，比其他三個高階的無窮小是()A．x2B．1-cosx。C．D．x-tanx。正確答案：D解析：利用等價無窮小代換。由于x→0時，，所以當(dāng)x→0時，B、C與A是同階的無窮小，由排除法知選D。知識模塊：高等數(shù)學(xué)2．設(shè)函數(shù)f(u)可導(dǎo)，y=f(x2)。當(dāng)自變量x在x=-1處取得增量△x=-0．1時，相應(yīng)的函數(shù)增量△y的線性主部為0．1，則f’(1)等于()A．-1。B．0．1。C．1。D．0．5。正確答案：D解析：由微分的定義可知，函數(shù)f(x)在x0點處的增量△y的線性主部即為函數(shù)f(x)在該點處的微分=f’(x0)△x，所以有0．1=y’(-1)△x=-0．1y’(-1)，即y’(-1)=-1。而y’(-1)=[f(x)2]’｜x=-1=f’(x2).2x｜x=-1=-2f’(1)，因此f’(1)=0．5，故選D。知識模塊：高等數(shù)學(xué)3．已知函數(shù)y=f(x)對一切x均滿足xf(x)+3x[f’(x)]2=1-e-x，若f’(x0)=0(x0≠0)，則()A．f(x0)是f(x)的極大值。B．f(x0)是f(x)的極小值。C．(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點。D．f(x0)不是f(x)的極值，(x0，f(x0))也不是曲線y=f(x)的拐點。正確答案：B解析：由f’(x0)=0知，x=x0是y=f(x)的駐點。將x=x0代入方程，得x0f’’(x0)+3x0[f’(x0)]2=(分x0＞0與x0＜0討論)，由極值的第二判定定理可知，f(x)在x0處取得極小值，故選B。知識模塊：高等數(shù)學(xué)4．曲線y=e-xsinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成的平面圖形的面積可表示為()A．B．C．D．正確答案：C解析：當(dāng)0≤x≤π或2π≤x≤3π時，y≥0；當(dāng)π≤x≤2π時，y≤0。所以y=e-xsinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成的平面圖形的面積為知識模塊：高等數(shù)學(xué)5．已知a，b均為非零向量，(a+3b)⊥(7a-5b)，(a-4b)⊥(7a-2b)，則向量a與b的夾角為()A．B．C．D．正確答案：B解析：由題設(shè)知(1)-(2)得(1)×8+(2)×15得從而有｜a｜=｜b｜，cos＜a，b＞=，故選B。知識模塊：高等數(shù)學(xué)6．設(shè)，則f(x，y)在點(0，0)處()A．不連續(xù)。B．連續(xù)但兩個偏導(dǎo)數(shù)不存在。C．兩個偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微。D．可微。正確答案：D解析：由由微分的定義可知f(x，y)在點(0，0)處可微，故選D。知識模塊：高等數(shù)學(xué)7．已知曲線積分+[f(x)-x2]dy與路徑無關(guān)，其中f(x)有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，f(0)=1，則+[f(x)-x2]dy等于()A．3e+1。B．3e+5。C．3e+2。D．3e-5。正確答案：D解析：曲線積分+[f(x)-x2]dy與路徑無關(guān)，則f(x)=f’(x)-2x，即f’(x)-f(x)=2x。f(x)=e∫dx[∫2xe-∫dxdx+C]=ex[∫2xe-xdx+C]=ex[-2e-x-2xe-x+C]，由f(0)=1知，C=3，故f(x)=3ex-2x-2。因此知識模塊：高等數(shù)學(xué)8．如果級數(shù)都發(fā)散，則()A．B．C．D．正確答案：D解析：由于｜an｜發(fā)散，而｜an｜≤｜an｜+｜bn｜，故(｜an｜+｜bn｜)必發(fā)散，故選D。知識模塊：高等數(shù)學(xué)9．設(shè)f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+[sinx-f(x)]dy，則f(x)等于()A．cosx+sinx-1。B．(cosx+sinx-e-x)。C．cosx-sinx+xex。D．cosx-sinx+xe-x。正確答案：B解析：由du(x，y)=f(x)ydx+[sinx-f(x)]d)，知f(x)=cosx-f’(x)，即f’(x)+f(x)=cosx。因此f(x)=e-∫dx(∫cosxe∫dxdx+C)=e-x(∫cosxexdx+C)=(cosxe+sinxex+C)由f(0)=0得C=-1，所以f(x)=(cosx+sinx-e-x)，故選B。知識模塊：高等數(shù)學(xué)填空題10．=_________。正確答案：0解析：因為x→0時，知識模塊：高等數(shù)學(xué)11．已知=__________。正確答案：解析：知識模塊：高等數(shù)學(xué)12．曲線的斜漸近線方程為_______。正確答案：解析：設(shè)所求斜漸近線方程為y=ax+b。因為所以所求斜漸近線方程為知識模塊：高等數(shù)學(xué)13．設(shè)f(x)=max{1，x2}，則=_______。正確答案：解析：由題意可知f(x)=當(dāng)x＜-1時，當(dāng)-1≤x≤1時，當(dāng)x＞1時，所以知識模塊：高等數(shù)學(xué)14．點M1(1，2，3)到直線的距離為_______。正確答案：解析：直線L過點M0(0，4，3)，方向向量l={1，-3，-2}，={1，-2，0}，則點M1到直線L的距離為且有因此點M1到L的距離為知識模塊：高等數(shù)學(xué)15．已知曲線L為曲面z=與x2+y2=1的交線，則x2y2z2ds=________。正確答案：解析：將x2+y2=1代入z=，得z=1。則曲線L的參數(shù)方程為知識模塊：高等數(shù)學(xué)16．冪級數(shù)的收斂半徑R=_____。正確答案：解析：根據(jù)收斂半徑的判斷方法，有由于該冪級數(shù)缺奇數(shù)項，所以R=知識模塊：高等數(shù)學(xué)17．微分方程y’’-4y=e2x的通解為________。正確答案：解析：對應(yīng)齊次微分方程的特征方程為r2-4=0，解得r1=2，r2=-2。故y’’-4y=0的通解為y1=C1e-2x+C2e2x。由于非齊次項f(x)=e2x，α=2為特征方程的單根，所以原方程的特解可設(shè)為y*=Axe2x，代入原方程可求出A=故所求通解為知識模塊：高等數(shù)學(xué)解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18．設(shè)數(shù)列{xn}滿足0＜x1＜π，xn+1=sinn(n=1，2，…)。(Ⅰ)證明存在，并求該極限；(Ⅱ)計算正確答案：(Ⅰ)0＜x1＜π，則0＜x2=sinx1≤1＜π。由數(shù)學(xué)歸納法知0＜xn+1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，即數(shù)列{xn}有界。于是(因當(dāng)x＞0時，sinx＜x)，則有xn+1＜xn，可見數(shù)列{xn}單調(diào)減少，故由單凋減少有下界數(shù)列必有極限知，極限存在。設(shè)，在xn+1=sinxn兩邊令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即=0。(Ⅱ)因，由(Ⅰ)知該極限為1∞型。令t=xn，則n→∞，t→0，而涉及知識點：高等數(shù)學(xué)19．設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，證明存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。正確答案：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)，由題設(shè)有F(a)=F(b)=0。又f(x)，g(x)在(a，b)內(nèi)具有相等的最大值，不妨設(shè)存在x1≤x2，x1，x2∈(a，b)使得若x1=x2，令c=x2，則F(c)=0。若x1＜x2，因F(x1)=f(x1)-g(x1)≥0，F(xiàn)(x2)=f(x2)-g(x2)≤0，從而存在c∈[x1，x2](a，b)，使F(c)=0。在區(qū)間[a，c]，[c，b]上分別利用羅爾定理知，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，再對F’(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上應(yīng)用羅爾定理，知存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使F’’(ξ)=0，即f’’(ξ)=g’’(ξ)。涉及知識點：高等數(shù)學(xué)20．設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，且滿足。證明至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ).tanξ。正確答案：由f(x)在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，知f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，從而F(x)=f(x)cosx在[a，]上連續(xù)，由積分中值定理可知存在一點c∈使得在[c，b]上，由羅爾定理得至少存在一點ξ∈(c，b)(a，b)，使F’(ξ)=f’(ξ)cosξ-f(ξ)sinξ=0，即f’(ξ)=f(ξ)tanξ，ξ∈(a，b)。涉及知識點：高等數(shù)學(xué)21．設(shè)y=y(z)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和r(x，y，z)=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求正確答案：分別在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0的兩端對x求導(dǎo)，得整理后得解得涉及知識點：高等數(shù)學(xué)22．求｜z｜在約束條件下的最大值與最小值。正確答案：｜z｜的最值點與z2的最值點一致，用拉格朗日乘數(shù)法，令F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2-2z2)+μ(x+3y+3z-5)，由當(dāng)x=1，y=時，｜z｜=1最??；當(dāng)x=-5，y=時，｜z｜=5最大。涉及知識點：高等數(shù)學(xué)23．計算二重積分，其中D={(x，y)｜0≤y≤1，正確答案：積分區(qū)域D的圖形如圖1-6-6所示。涉及知識點：高等數(shù)學(xué)24．設(shè)函數(shù)φ(y)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)。(Ⅰ)證明對右半平面x＞0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C，有(Ⅱ)求函數(shù)φ(y)的表達式。正確答案：(Ⅰ)如圖1-6-12所示，將C分解為：C=l1+l2，另作一條曲線l3圍繞原點且與C相接，根據(jù)題設(shè)條件則有(Ⅱ)設(shè)P=，P，Q在單連通區(qū)域x＞0內(nèi)，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。由(Ⅰ)知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當(dāng)x＞0時，總有比較(1)、(2)兩式的右端，得