2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編 60初等數(shù)論第三講（學(xué)生版+解析版）

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題60初等數(shù)論第三講

1.【2021年上海預(yù)賽】設(shè)素數(shù)p滿足p三l(mod3)，且q=2用，若在+言+…+房方=：，

這里的m,n是互素的正整數(shù)，求證:p整除m.

其中，[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù).

2.【2021年上海預(yù)賽】在正整數(shù)1,2,…,20210418中，有多少個數(shù)的數(shù)碼和是8?

3.【2021年廣西預(yù)賽】已知m,n都是正整數(shù)，其中九是奇數(shù)，求21"+1與2”-1的最大公約數(shù).

4.【2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試】設(shè)整數(shù)nN4,證明：若n整除2"-2,則力二是合數(shù).

n

5.[2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第02試)】設(shè)a,b為不超過12的正整數(shù)，滿足:存在常數(shù)C,使得a"+bn+

9=C(modl3)對任意正整數(shù)n成立.求所有滿足條件的有序數(shù)對(a,b).

6.【2020年廣西預(yù)賽】已知正整數(shù)m、n中有且僅有一個為3的倍數(shù),d為機(jī)2+/+2與7n2rl2+3的最大

公約數(shù).證明:d不為平方數(shù).

7.[2019年全國】設(shè)m為整數(shù)，向巨2.整數(shù)數(shù)列內(nèi),。2,…滿足：如,a2不全為零，且對任意正整數(shù)〃，均有

an+2=an+l—man-

證明：若存在整數(shù)r,s(r>s>2)使得=as=alf貝懺-s>\m\.

8.【2019年江西預(yù)賽】試求所有由與異正奇數(shù)構(gòu)成的三元集｛a,b,c｝,使其滿足:02+^+02=2019.

9.[2019年上海預(yù)賽】證明:不存在無窮多項的素數(shù)列P1，P2,…,Pn，…使得P/c+1=5pk+4(k=1,2,…).

10.【2019年吉林預(yù)賽】求所有的正整數(shù)n,使得方程2+2+“?+吃=等有正整數(shù)解.

Xxx

12n%n+l

11.【2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第02試)】設(shè)團(tuán)為整數(shù)，|加》2.整數(shù)數(shù)列的42,…滿足:不全為零，

且對任意正整數(shù)〃，均有an+2=an+i-

證明:若存在整數(shù)八s(r>侖2)使得=as=alt則丁—s>m.

12.12019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第02試)】求滿足以下條件的所有正整數(shù)〃：

(1)〃至少有4個正因數(shù)；

(2)若必Vd2V…<念是幾的所有正因數(shù)，d2-dlfd3-d2,->叫一念_]構(gòu)成等比數(shù)列.

13.【2018年江蘇預(yù)賽】已知｛七｝是公差為d(d。0)的等差數(shù)列，且%+產(chǎn)=g+/=%+t.

(1)求實數(shù)3d的值；

mr

(2)若正整數(shù)滿足m<p<r,am-2t=ctp-2tp=ar-2t=0,求數(shù)組(m,p,r)和相應(yīng)的通項公式a九。

14.【2018年江蘇預(yù)賽】從1,2,3,…，2050這2050個數(shù)中任取2018個組成集合A,把A中的每個數(shù)染上

紅色或藍(lán)色，求證：總存在一種染色方法，使得有600個紅數(shù)及600個藍(lán)數(shù)滿足下列兩個條件：

①這600個紅數(shù)的和等于600個藍(lán)數(shù)的和；

②這600個紅數(shù)的平方和等于這600個藍(lán)數(shù)的平方和.

15.[2018年重慶預(yù)賽】設(shè)人⑼是正整數(shù)m的各位數(shù)字的乘積，求方程f(m)=m2-10m-36的正整數(shù)解.

16.【2018年江西預(yù)賽】求最小的正整數(shù)n,使得當(dāng)正整數(shù)點kNn時，在前k個正整數(shù)構(gòu)成的集合M=

{1,2,…,k}中，對任意xeM總存在另一個數(shù)y6M且y4％,滿足x+y為平方數(shù).

17.【2018年全國】設(shè)〃，k,是正整數(shù)，滿足Q2,且riWm＜當(dāng)史?1.設(shè)A是{1,2,…，m}的"元子集。證

明：區(qū)間(0,含)中的每個整數(shù)均可表示為優(yōu)，其中a,優(yōu)64

18.【2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第02試)】給定整數(shù)介2.證明:對任意正整數(shù)〃，存在正整數(shù)&，使得連續(xù)〃

個數(shù)a"+l,ak+2,…，ak+n均是合數(shù).

19.12017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第02試)】設(shè)小〃均是大于1的整數(shù)，加出…，即是〃個不超過機(jī)

的互不相同的正整數(shù)，且的,a2,…,即互質(zhì).證明:對任意實數(shù)x,均存在一個使得

嬴扃||x||，這里||y||表示實數(shù)y到與它最近的整數(shù)的距離.

20.(2017年山西預(yù)賽】證明:有無窮多組正整數(shù)十、y,z,滿足:(x+y+z)2+2。+y+z)=5(xy+yz+zx).

21.【2017年江西預(yù)賽】若小于2017的三個互異正整數(shù)a,b,c使得〃一匕3b3一。3、c?一/均是2017的倍

數(shù).證明:M+力2+c?必是Q+力+C的倍數(shù).

22.[2017年四川預(yù)賽】1993年，美國數(shù)學(xué)家F.Smarandache提出許多數(shù)論問題，引起國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者的關(guān)注,

其中之一便是著名的Smarandache函數(shù).正整數(shù)n的Smarandache函數(shù)定義為S(n)=min{m|mGN+，/i|m!},比

如:S(2)=2,S(3)=3,S(6)=3

⑴求S(I6)和S(2016)的值；

(2)若S(")=7,求正整數(shù)九的最大值；

(3)證明:存在無窮多個合數(shù)幾使得SS)=p,其中p為九的最大質(zhì)因數(shù).

23.[2017年浙江預(yù)賽】設(shè)心,%的；比也也WZ+，證明:存在不全為零的數(shù);11%%€{。，1，2},使得；1必+

A2a2+43a3和"1瓦+42b2+43b3同時被3整除.

24.【2017年江蘇預(yù)賽】求滿足％3一X=y7一y3的所有質(zhì)數(shù)%和y

25.[2017年江蘇預(yù)賽】設(shè)x、y是非負(fù)實數(shù),a=V%+6,b=>Jx+2+百不2若a,b是兩個不相鄰的整數(shù)，求

a、b的值.

26.[2017年江蘇預(yù)賽】設(shè)n為正整數(shù),1+/升…+；=漬，其中％、以為互質(zhì)的正整數(shù).對質(zhì)數(shù)p,令集合

Sp={n|nGN+，p|an}證明:對每一個質(zhì)數(shù)p>5,集合Sp中至少有三個元素.

27.【2016年安徽預(yù)賽】求滿足14小幾的所有正整數(shù)數(shù)對([①n).

28.【2016年上海預(yù)賽】求1,2,…，n的排列的,a2,…的個數(shù),使得除一網(wǎng)4等對正整數(shù)k=l,2,…，

n成立。

29.[2016年上海預(yù)賽】設(shè)p、q、r為素數(shù)，且p|(qr-1),q\(rp-1),r|(pq-1).求pqr的所有可能值.

30.【2016年北京預(yù)賽】若n為自然數(shù),證明：2016|((n24-n)2+(n2-n)2)(n6-1).

31.【2016年北京預(yù)賽】由劭=0]=1,an+2=On+an+i(n=0,l,…)給出的數(shù)列是著名的斐波那契數(shù)列:

1,1,2,3,5813,21,34,55,89,…，其中每一個數(shù)均稱為斐波那契數(shù).證明：存在末尾是三個0的斐波那契數(shù).

32.【2015年全國】求具有下述性質(zhì)的所有正整數(shù)k：對任意正整數(shù)n,等.

33.(2015年上海預(yù)賽】己知p為素數(shù)，n為正整數(shù)，非負(fù)整數(shù)劭,的,…,即均小于P，且滿足

(+。2+…+=13,加亨特

n

+QiP+—Fanp=2015.'P，

34.【2015年江蘇預(yù)賽】設(shè)n為正整數(shù).求滿足以下條件的三元正整數(shù)組(a、b、c)的個數(shù)：

(i)ab=n；

(ii)1<c<b;

(iii)a、b、c的最大公約數(shù)為1.

35.【2015年河南預(yù)賽】證明:任一正整數(shù)N均可表示為pq+“u的形式，其中，u-v=2(p-q),p>q>u、

vGZ.

36.【2015年河南預(yù)賽】由數(shù)字1,2,6構(gòu)成的且含有1,6相鄰的n位數(shù)有多少個？

37.12015高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第02試)】求具有下述性質(zhì)的所有正整數(shù)k：對任意正整數(shù)〃，2(?1)"+1|黑不

成立.

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題60初等數(shù)論第三講

1.【2021年上海預(yù)賽】設(shè)素數(shù)p滿足p三！.(mod3)，且q=2［外，若七+￡?+???+

1_m

年歷■"五'

這里的m,n是互素的正整數(shù)，求證:p整除m.

其中，［x］表示不超過實數(shù)化的最大整數(shù).

【答案】證明見解析

［3k+11

【解析】證明:因為p三1(mod3)，記p=3k+1，則q=2——=2k.

J

J7czi1x2丁3x4丁T(q-l)q

111

=--------1----------F???H-----------------

1x23x4(2k-l)-2k

=(1+渭+-+/)一(鴻+~+￡)

111

=--------1-----------F~\------

fc+lk+22k

_1(P,p________,…,PA

―2\(k+l)-2k十(k+2)(2fc-l)h2fc(k+l)7

故p|2m(k+l)(Zc+2)???2k.

因為p是大于2k的素數(shù)，所以p不整除2(/c+l)(k+2)2九，從而p整除m.

2.【2021年上海預(yù)賽】在正整數(shù)1,2,???,20210418中，有多少個數(shù)的數(shù)碼和是8?

【答案】5100

【解析】在1?1。7中的正整數(shù)可以寫成???。7(這里ai，a2，*一，a7是不全為o的非負(fù)整

數(shù))，滿足。1+。2+?一+。7=8的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為?！?7一1=3003，所以，在

1?1()7中，數(shù)碼和為8的正整數(shù)有3003個.

在10?2x10中的數(shù)可以寫成1萬1萬3?八~7，滿足61+>2+?一+》7=7的非負(fù)整

數(shù)解的組數(shù)為=1716，所以，在1()7?2X10’中，數(shù)碼和為8的正整數(shù)有1716個.

在2X1()7?201X1()5中的數(shù)可以寫成200cle2?八-5，滿足Cl+C2+??^+C5=

6的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為C：+5_i=210，所以，在2xIO,?2oix105中，數(shù)碼和為8

的正整數(shù)有210個.

在201x1()5?202x105中的數(shù)可以寫成202。1上2???d5，滿足d1+d2HF

的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為，所以，在55中，

d5=5C：+5_i=126201x10-202x10

數(shù)碼和為8的正整數(shù)有126個.

在202X1。5?2021X1()4中的數(shù)可以寫成202061626364，滿足61+。2+

的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為，所以，在

e3+e4=4C：+4—i=35202x1°,?2°21x

104中，數(shù)碼和為8的正整數(shù)有35個.

在2021xIO,?20210418中的數(shù)碼和為8的數(shù)可以寫成而2107訪兀，滿足了1+

2

/2+73=3的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為。3+3—1=I。，這樣確定的正整數(shù)20210/1/2/3滿

足

20210000<20210f1f2f3<20210333<20210418,

所以，在2021xIO,?20210418中，數(shù)碼和為8的正整數(shù)有io個.

綜上所述，在12,???,20210418中，數(shù)碼和為8的正整數(shù)有：

3003+1716+210+126+35+10=5100(個).

Z71TL

3.【2021年廣西預(yù)賽】已知m,n都是正整數(shù)，其中ZI是奇數(shù)，求2+1與2—1的最大公約數(shù).

【答案】I

【解析】(2小-l,2mn+l)=(-2,2m+1+1)=1.

又由于2m+112mn+1和2n-112m=n-1.

所以邛+1,2“-1)=1.

4.【2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試】設(shè)整數(shù)九>4,證明：若71整除2—2,則4薩是合數(shù).

【答案】證明見解析

【解析】將整數(shù)中記為N

若n為奇數(shù)，則由2n-2為偶數(shù)知y為偶數(shù).又n24,故個>2,從而y是合數(shù).

以下考慮n為偶數(shù)的情形，設(shè)n=2m（m>1）.

因'=22m2=2mT為整數(shù)，故7n為奇數(shù)，

設(shè)6是2模m的階，則6<m,且6I2m-1(因為m|22m^-1).

設(shè)2nl-1=6r,由6<m<2m—1知r>1.

⑴若m*25-1,因m|2s-1,故m<25-1.

此時丁=竺=1=之二=2J2-

mm2h-lm

因r>1,故這是兩個大于1的整數(shù)之積，為合數(shù).

(2)若m=2S-1,則2。6—1)-1=2m—1=6r.由m>1知6>1.

2$+】一3

故r=>6①

因燈r故是「］的倍數(shù),

26_“2-lf2-1|2*_1,26r_1,6_1,2-1

(25-l)(2r-l)

即I2Sr-l,

(25-1,2r-l)

注意到(26-l,2r-1)=2(")-1,故Q6-l)(2r-1)I(2Sr-1)(2(")-1).

22mT1_25r1_(2打1)(2(")-1)2-

因此y②

m25-l(2f-l)(2r-l)2(5)-l

為兩個整數(shù)之積.

因r>6（見①），故意三2毫>1.又622,

竹（2打一1）（2（6#）_1）>（22丁-1）122J_2「+1]

（25-l）（2r-l）-（2-1）>（2-1）=2r-l>

因此②表明y是兩個大于1的整數(shù)之積，為合數(shù).

綜上，結(jié)論得證.

5.12020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第02試）】設(shè)a力為不超過12的正整數(shù)，滿足:存在常數(shù)C,使得+

b+9=C（modl3）對任意正整數(shù)〃成立.求所有滿足條件的有序數(shù)對（a,b）

【答案】(1,1),(4,4),(10,10),(12,12)

【解析】解法1：由條件知,對任意正整數(shù)〃，有a"+b"+9=an+3+hn+12(modl3)

①

92

注意到13為素數(shù)力均與13互素，由費馬小定理知a"=b=l(modl3)

因此在①中取n=12,化簡得1+h9=a3+l(modl3),故b°=a3(modl3)

代入①，得an+a3bn=an+3+bn+12=an+3+hn(modl3),

g|j(an-—a3)=0(modl3)②

分兩種情況討論.

(i)若。3=l(modl3),則力3=a3b3三^12三i(modl3),

又a,bG{1,2,???,12},經(jīng)檢驗可知a,be{1,3,9)

此時a,+bn+9=an+b”(modl3).由條件知a+b=a3+b3=2(modl3),

從而只能是a=b=1.

n+9

經(jīng)檢驗，當(dāng)(a,b)=(1,1)時,對任意正整數(shù)n,a71+b模13余2為常數(shù)，滿足條件.

(近)若a3wi(modl3),則由②知,對任意正整數(shù)〃，有a"=hn(modl3)

特別地，a=b(modl3)，故用尻所以a?=b9=a9(modl3),

即。3(。3_i)(03+1)三0(modl3),

故=-1(mod13).通過檢驗Q=±1,±2,…，±6(modl.3),可知a=

4,10,12

經(jīng)檢驗，當(dāng)(a,b)=(4,4),(10,10),(12,12)時，對任意正整數(shù)〃，

有a"+bn+9=an+c1n+9=an(l+(a3)3)=0(modl3),

滿足條件.

綜上，所求的有序數(shù)對(a,b)為(1,1),(4,4),(10,10),(12,12).

解法2：由條件知,對任意正整數(shù)〃，有(a“+bn+9)(an+2+bn+11)=(an+1+

那+io）2（modl3）

化筒得a"b"+ii+an+2bn+9=2an+1+ftn+10(modl3),

即a"b"+9(a—b)2=0(modl3).

由于13為素數(shù)，a,bE{1,2,…，12},故131(a-b)?,進(jìn)而a=b

因此，當(dāng)n變化時，an+b"+9=an(l+。9)模|3的余數(shù)為常數(shù).

當(dāng)1+乃(modl3)時，由上式知，13的余數(shù)為常數(shù)，

特別地，有=a(modl3),故a=i.

當(dāng)1+a。三0(modl3)時，由費馬小定理得Q2=l(modl3),

912

故=Q3.(—a)=-a=-l(modl3)

通過檢驗a=±1,±2,…，±6(modl3),可知a=4,10,12

綜上，所求的有序數(shù)對(a,b)為(1,1),(4,4),(10,10),(12,12).

6.【2020年廣西預(yù)賽】已知正整數(shù)m、n中有且僅有一個為3的倍數(shù),d為1712+n2+2與力1？"？十

3的最大公約數(shù).證明:d不為平方數(shù).

【答案】證明見解析

【解析】不妨設(shè)m為3的倍數(shù),71不為3的倍數(shù).則

m2=0(mod3),

n2=1(mod3),

m2=0(mod9),

m2n2=0(mod9).

于是in?+n2+2=0(mod3),

m2n2+3=3(mod9)

從而.d為3的倍數(shù)，但不為9的倍數(shù).故d不為平方數(shù).

7.【2019年全國】設(shè)機(jī)為整數(shù)，|,牽2.整數(shù)數(shù)列…滿足：。1，。2不全為零，且對任意正整數(shù)〃，

均有a?i+2=a^i+i-

證明：若存在整數(shù)r,s(r>5>2)使得Qr=?s=則丁~S>17nl.

【答案】

【解析】若(。1，。2)>L記(。1，。2)=d

則對任意正整數(shù)〃，d\an,考慮數(shù)列入4=詈，可得同樣結(jié)論。

故不妨設(shè)(。1，。2)=1，由?！?2=%i+i-mammod可知an+2=

an+1(modm|),

即對任意大于2的正整數(shù)〃，an=a2(modm|)

若m，不滿足Qi三。2(mod|m|),則不存在r>s>2使得tlr=ds=

故不妨設(shè)=a2(mod|m|),由互質(zhì)性(a1，=1

設(shè)an=ar+bn'm,n=1,2,....

則與為整數(shù)數(shù)列，bi=0,bn+2=bn+1-ar-bnm

mod|m|可知bn+2=bn+1-at(mod|m|),若存在整數(shù)r>s>2使得=

CLg——a]，則Z?r—bs=0.

而br=bs-(r-s')-at(mod|m|),故m|(r-s)a1,由(。1，皿1)=1知m|r-

St故3沙山

2

8.[2019年江西預(yù)賽】試求所有由與異正奇數(shù)構(gòu)成的三元集｛a,b,c],使其滿足:。2+b+c2-

2019

【答案】答案見解析

【解析】據(jù)對稱性,不妨設(shè)ae<c,由于奇平方數(shù)的末位數(shù)字只具有1,5,9形式，于是。2,力2,。2的末位數(shù)字,

要么是5,5.9形式,要么是,9.9形式；

乂知，如果正整數(shù)n是3的倍數(shù)，那么n2必是9的倍數(shù);如果〃不是3倍數(shù)，那么層被3除余1.

由于2019是3的倍數(shù)，但不是9的倍數(shù)，因此奇數(shù)皆不是3的倍數(shù).

注意c<[V2019]=44.即奇數(shù)j3,而3c2>a2+b2+c2=2019.即/>667,且c

不是3的倍數(shù)，故奇數(shù)c>29.

因此奇數(shù)cG{29,31,35,37,41,43}

注意如下事實:如果奇數(shù)+尸為兩個正整數(shù)的平方和，那么偶數(shù)2N必可表為兩個互異正奇數(shù)的平方和，這

是由于,2N=2(x2+y2)=(x-y)2+(x+y)2；

22222

若c=43,方程化為:Q2+h=170=2x85=2(6+7)=2(2+9\

因此：170=l2+132=72+ll2

于是得兩解:{〃力,c}={1,3,43},以及{〃為了}={7,11,43}.

若CE1,方程化為+力2=338=2x132=2(52+122)=7?+172；由此

得:{。,瓦c}={7,17,41).

若c=37,方程化為a2+h2=650=2x13x52=2(22+32)(32+42)=

2(12+182)=2⑹+172)=2(102+152),

222

因此，650=17+19=II+23?=52+252,得到三個解：8,b仃=

{17,19,37],{11,23,37],{5,25,37).

2

若c=35,方程化為:Q2+b=794=2X397,而397是一個4N+1形狀的質(zhì)數(shù)，

它可唯一地表為兩平方和：397=62+192,所以。2+力2=2(62+192)=132+

252.

得到一個解:他也c}={13,25,35}.

22

若c=3i,方程化為:a?+b=1158=2x529=2x23，而23是4N-1形狀的質(zhì)數(shù),它不能

表為兩個正整數(shù)的平方和；

2

若c=29,方程化為:Q2+b=1178=2x19x31,它含有4/v-i形狀的單質(zhì)因子,故不能表為兩

平方和；

綜合以上討論，本題共有七個滿足條件的解{。力,C},即為：

{1,13,43},{7,11,43]{13,25,35],{5,25,37],{11,23,37],{17,19,37},{7,17/

9.[2019年上海預(yù)賽】證明：不存在無窮多項的素數(shù)列d1，〃2「..，口神...使得口九+1=5口九+

4(%=1,2,…).

【答案】證明見解析

【解析】反證法

假設(shè)存在滿足題設(shè)的無窮多項的素數(shù)列P”P2,???Pn，??一

由Pk+i=5Pk+4nPk+i+1=5g+1)

于是，數(shù)列｛2九+1｝是以5為公比的等比數(shù)列.

故Pk+1=5I01+1)=Pk=5仆1(%+1)_1(九=1,2,…)

易知，數(shù)列｛p”)是嚴(yán)格遞增的，不妨設(shè)P1>5(否則用P2作為首項)，則(5,Pl)=1

由費馬小定理得5,1-1=1(modPi)=>Bp[=5P1-1(Pi+1)-1

=5PiTpi+5P1-1—1=0(modpi)

這與Ppi為素數(shù)矛盾?

因此,滿足題設(shè)的素數(shù)列不存在.

10.【2019年吉林預(yù)賽】求所有的正整數(shù)n,使得方程當(dāng)+斗+???+斗=竽!有正整數(shù)解.

1x2xn+l

【答案】答案見解析

【解析】I)當(dāng)九=1時，方程變?yōu)槎?與，得笠=J2,顯然無正整數(shù)解.

^2X1

222

2)當(dāng)n=2時，方程變?yōu)榘?多=多，W(X2X3)+(XiXg)=3(X1X2).

冗1x2x3

先證弓I理:。2+力2=3c2無正整數(shù)解.

假設(shè)有一組正整數(shù)解a,b,C.不妨設(shè)a,b,c的最大公約數(shù)為1,

由a,b為正整數(shù)，知fl'=0或l(mod3),b=0或l(mod3),

又3c2=0(mod3),故a2=。(mod3)且b2=0(mod3),

即a=0(mod3)且b=0(mod3).

從而c=0(mod3).

這與“a,b,c的最大公約數(shù)為1”矛盾.引理得證.

由+b2=3c2無正整數(shù)解，可知此時原方程無正整數(shù)解.

⑶當(dāng)n=3時，方程變?yōu)?―y+~

X1x2x3x4

『32+42=52可得^+^^2=^^7,即親+i?=ib

1

故?+—j_.1

20幺212/2152122

故卷+急+急=建

這說明原方程有正整數(shù)解:尤化3

1=400,*2=300,=180,x4=288

4)當(dāng)n>4時，當(dāng)+/+???+當(dāng)=竽!有正整數(shù)解.

X1x2xnxn+l

=x=x=

Xi=400,x2=300,x3=180,x4=x5=…nn+1288

綜上,n=l或n=2時，原方程無正整數(shù)解，應(yīng)3時,原方程有正整數(shù)解.

即所求的n為｛n6N*|n>3].

11.12019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第02試）】設(shè)機(jī)為整數(shù)，>2.整數(shù)數(shù)列??滿足:。1，。2

不全為零，且對任意正整數(shù)"，均有。門+2=0n+i-

man.

證明:若存在整數(shù)八S（，>SN2）使得Qr=as=則r-s>m

【答案】證明見解析

【解析】不妨設(shè)。1，。2互素（否則，若（。1，。2）=d>I,則勺與胃互素，并且用號，號，答，…代

替a〉a2,。3,???條件與結(jié)論均不改變）,

由數(shù)列遞推關(guān)系知。2三。3三。4三???（mod|m|）①

以下證明:對任意整數(shù)論3,有即三02一（01+（71一3）02）”1（1110（1〃12）②

事實上，當(dāng)〃=3時②顯然成立.假設(shè)“4時②成立（其中火為某個大于2的整數(shù)），注意到①，有

2

mafc-i=ma2(modm),結(jié)合歸納假設(shè)知

maaa—

ak+1=dk~k-i=2~(i+(々—3)。2)m-ma2=a2

2

+(fc-2)az)(modm),

即n=k+\時②也成立.因此②對任意整數(shù)n>3均成立.

注意，當(dāng)。1=。2時，②對〃=2也成立.

設(shè)整數(shù)八5(r>5>2),滿足=as=av

若。1=。2，由②對色2均成立，可知

ma

a2—(%+(r—3)a2)=%=g=做—(i+(s-

m2

3)a2)(modm),

即a1+(r—3)a2=at+(s—3)a2(mod|m|),即(r—s)a2=

0(mod|m|)③

若Cl]a2，則W，故廠>,侖3.

此時由于②對論3均成立，故類似可知③仍成立.

我們證明42,機(jī)互素

事實上，假如。2與，〃存在一個公共素因子P，則由①得p為。2，。3，。4，?一的公因子，而。1，。2互

素，故p*a>這與=as=a1矛盾.

因此，由③得r-s=0(mod|m|).又*s,所以r-s>\m\.

12.12019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第02試)】求滿足以下條件的所有正整數(shù)〃：

(1)〃至少有4個正因數(shù)；

(2)若di<d?<???<弓上是〃的所有正因數(shù)，d2-d1,d3-d2,'^4九一4k_1構(gòu)成等比

數(shù)列.

【答案】答案見解析

【解析】由條件可知心4,且=，一與1

42-41dk-l~dk-2

易知di=l,dk=n,dk_1-為，dk_2=巖，

n_n

2

代入上式得等字=9M，化簡得(d3-d2)=(d2-1)2d3

由此可知必是完全平方數(shù).由于必=?是〃的最小素因子，為是平方數(shù)，故只能43=22

從而序列dz—dids—dz/,dk—d"—],p-l,p2-p,p3-p2,,pk~r-

pk~2,即di，d2，d3,…，d"為1,p,p2,???,pkT,而此時相應(yīng)的〃為pkT.

綜上可知，滿足條件的〃為所有形如p。的數(shù)，其中p是素數(shù)，整數(shù)e3.

13.【2018年江蘇預(yù)賽】已知｛4｝是公差為d(dW0)的等差數(shù)列,且即+/=&+/=%+t.

(1)求實數(shù)3d的值；

mr

(2)若正整數(shù)滿足m<p<r,am-2t=ap-2tp=ar-2t=0,求數(shù)組(m,p,r)和相應(yīng)的通項公式a九。

【答案】(1)t=-；，d=(2)(m,p,r)=(1,3,4)，an=[n-]

2888

【解析】

(1)由題，，％：尸尸+d產(chǎn)即戶戶巴

(%+d+/=a1+2Q+，kd=t3—t.

因為dHO,所以t彳0,tkl,所以由2t2-t-i=0得t=—2,d=~.

28

mpr

(2)由Qm—2t=av-2t=ar—2t=0,t=--,d=-.

得(p-m)d=2[(-i)P-(-i)m],及。-t)d=2[(-i/-(-i)P].

即2-m)=2[(-|)P-(-i)TO],及其r-p)=2[(-1y-(-i)P].

也即3(p-=24[(-i)P-(-ir],及3(r—p)=24[(-^-(-i)P].

兩式左邊都是正整數(shù)，故m<p<rS4,且m,p都是奇數(shù).

所以m=l,p=3,r=4,ar=-1.

驗證如下：

?i-2(-i)=-l-2(-l)=0；

。3-2(_｝3=\_5_2(甘尸=0；

4

a4-2(-i)*=^-^-2(-i)=0.

所以(?n,p,r)=(1,3,4),即=-1+?(n-1)=[n-

14.【2018年江蘇預(yù)賽】從1,2,3,…，2050這2050個數(shù)中任取2018個組成集合4把月中的每個數(shù)染上

紅色或藍(lán)色，求證：總存在一種染色方法，使得有600個紅數(shù)及600個藍(lán)數(shù)滿足下列兩個條件：

①這600個紅數(shù)的和等于600個藍(lán)數(shù)的和；

②這600個紅數(shù)的平方和等于這600個藍(lán)數(shù)的平方和.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

證明一：注意到1+4+6+7=2+3+5+8=18.且/+42+62+72=22+32+52+82=102.則

(8k+1)+(8k+4)+(8k+6)(8k+7)=(8k+2)+(8k+3)+(8k+5)+(8k+8),且(8k+I)2+(8/c+

4)2+(8k+6)2+(8k+7)2=(8k+2)2+(8k+3)2+(8/c4-5)2+(8k+8)2

把4中的8k+1,8/c+4,8k+6,8k+7型數(shù)染成紅色，

8k+2,8/c+3,8k+5,8k+8型數(shù)染成藍(lán)色。

因為2050=8x256+2,所以k=0,1,2,…,256.

構(gòu)造257個抽屜，第k+1個抽屜放置形如“8k+1,8k+28k+3,8k+4,8k+5,8k+6,8k+7,8k+8”的數(shù)，

k=0,1,2,…,255.第257個抽屜放置4中大于2048的數(shù)(最多2個數(shù)).

2050個數(shù)中任取2018個數(shù)按要放入抽屜，至少填滿224個抽屜(放入了8個數(shù))，224個填滿數(shù)的抽屜每

個抽屜都是4個紅數(shù)和4個藍(lán)數(shù)，其和相等且平方和相等。

取224個抽屜中的150人，4X150=600,共600個紅數(shù)與600個藍(lán)數(shù)，也有和相等，且平方和相等.

即存在600個紅數(shù)與600個藍(lán)數(shù)，這600個紅數(shù)與600nl個藍(lán)數(shù)的和相等，且平方和相等。

證明二：注意到4+5=1+24-6=9,且4?+52=I2+22+62=41.

則7k+(7k+4)+(7k+5)=(7k+1)4-(7k+2)+(7k+6),

且(7k)2+(7k+4)2+(7k+5)2=(7k+l)2+(7k+2)2+(7k+6)2

把4中的7k,7k+3,7k+4,7k+5型數(shù)染成紅色。

7fc+l,7k+2,7k+6型數(shù)染成藍(lán)色。

因為2050=7x292+6,所以k=0,1,2,-,292.

構(gòu)造293個抽屜，k=0時，抽屜放置集合A中不超過6的數(shù)，其余的第k+1個抽屜放置形如7k,7k+

1,7k+27k+3,7k+4,7k+5,7k+6型數(shù)，k=1,2,-,292.

2050個數(shù)中的任取2018個數(shù)按要求放入抽屜，至少填滿260個抽屜(放入了7個數(shù))，260個填滿數(shù)的抽

屜中每個抽屜都是4個紅數(shù)和3個藍(lán)數(shù)，取7k,7k+4,7k+5型3個紅數(shù)和3個藍(lán)數(shù)，其和相等且平方利

相等。

取260個抽屜中的200個，3x200=600,共600個紅數(shù)與60()個藍(lán)數(shù)，也有和相等，且平方和相等。

即存在600個紅數(shù)與600個藍(lán)數(shù)，這600個紅數(shù)與600個藍(lán)數(shù)的和相等，且平方和相等。

15.【2018年重慶預(yù)賽】設(shè)犬〃7)是正整數(shù)m的各位數(shù)字的乘積，求方程=m2-10m-36的正整數(shù)解.

【答案】13

【解析】

解：設(shè)〃?是〃位正整數(shù)，若底3,則小210”12100,

9n>/(m)=m2—10m—36=m(m-10)—36>90m—36>9-10n—36>10”矛盾.此時無解.

若〃=1,則/(m)=m=Hi?一io7n-36,此方程無整數(shù)解.

若〃=2,且m>20,則81>/(m)=m2-10m-36>400-200-36=164矛盾

:,mG[10,19],

設(shè)m=lO+k,f(m)=(10+k)2-10(10+fc)-36=fc,解得r3,

綜上，方程的解為m=13.

16.【2018年江西預(yù)賽】求最小的正整數(shù)n,使得當(dāng)正整數(shù)點kNn時，在前k個正整數(shù)構(gòu)成的集合M=

{1,2,…,k}中，對任意xeM總存在另一個數(shù)yeM且y力x,滿足x+y為平方數(shù).

【答案】7

【解析】

易知當(dāng)nW6時，在"={1,2,3,4,5,6}中，數(shù)2與其他任何數(shù)之和皆不是平方數(shù)；

以下證明，n的最小值為7.

如果正整數(shù)x、y(x#y)滿足：X+、=平方數(shù)，就稱{%y}是一個“平方對”，

顯然在M={1,2,…,7}中，{1,3},{2,7},{3,6},{4,5}為平方對.

在M={1,2,…,7,8}中增加了平方對{1,8}；

在M={1,2,…,7,8,9}中平加了平方對{7,9}.

以下采用歸納法，稱滿足題中條件的k為具有性質(zhì)P；筒記為keP.

據(jù)以上知，當(dāng)7S/CW32時，均有ZeeP.

設(shè)已證得，當(dāng)7式上3巾2(?123)時，皆有k€P,今考慮7WkW(m+情況，利用歸納假設(shè)，只需

證，當(dāng)仁二小,+「，其中l(wèi)WrW2m+l時，均有keP.

首先，在r=2m+l,即k=(?n+l)2時，(k,2m+3)構(gòu)成平方對，

這是由于k+(2m+3)=(m+l)2+(2m+3)=(m+2)2,

而由in?—(2m+3)=(m—I/—420,知2m+33m2,即2?n+3Hk.

在lWrW2zn時，(k,2m+1-r)構(gòu)成平方對，

這是由于k+(2m+1—r)=(m2+r)+(2m+1—r)=(m4-1)2,

而1W2m+1—rW2m<Tn2,所以2m+1—rWk.

因此對于滿足7WkW(m+1)2的每個k,皆有

從而對所有滿足7<k<m2（m>3）的正整數(shù)k,皆有keP,

即對一切正整數(shù)kN7,均有k€P.所以n的最小值為7.

2/^—1

17.【2018年全國】設(shè)〃，“是正整數(shù)，滿足后2,且九工設(shè)A是｛，｝的

m<FK.—71.1,2,…m

〃元子集。證明：區(qū)間（0,居）中的每個整數(shù)均可表示為a-a!,其中a,a'eA

【答案】證明見解析

【解析】用反證法.假設(shè)存在整數(shù)尤e（0,言）不可表示為a-a!,a,a!G4.作帶余除法,〃=陽+廠,

其中叱xx.將1,2,…，％1按模x的同余類劃分成x個公差為x的等差數(shù)列，其中r個等差數(shù)列有q+1項,

x-r個等差數(shù)列有q項.由于A中沒有兩數(shù)之差為x,故A不能包含以x為公差的等差數(shù)列的相鄰兩項.從而

(支q+i2\q

n=\A\<r[^]+(x-r)[1]=J，①.

x*~Ir,

22|q

這里表示不小于。的最小整數(shù)。

kk

由條件，我們有（）

n>—2k—-lni=—2k—-l-xq+r②.

又％e（°，公），故九>（fc-l）x③.

q+i

情形一：q是奇數(shù)則由①知，n<x

2

q+i、、fck

結(jié)合②，④可知，x->n>(xq+r)>2A1冗q，從而g<2匕1.

2fc-l

再由g是奇數(shù)可知，g2k3,于是n<X?^<(fc-l)x,

4

與③矛盾.

情形二：q是偶數(shù).則由①知，九〈冤?]+r.⑤

Qk

結(jié)合②，⑤可知，x-^+r>n>――(xq+r),

..-j=xq/fc-1(k-l)x

從“2(2之1)<2J^Tr<2k-l

故4<2(ki),再由“是偶數(shù)可知，g2h4,于是九<x-^+r<(fc-2)x+r<(k-l)x,

4

與③矛盾.

綜上可知，反證法假設(shè)不成立，結(jié)論獲證.

18.12018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第02試）】給定整數(shù)e2.證明:對任意正整數(shù)〃，存在正整數(shù)k,使得連續(xù)〃

個數(shù)+l,ak+2,--,ak+ri均是合數(shù).

【答案】證明見解析

【解析】設(shè)。<12<…<L是1，2,…，"中與a互素的全體整數(shù)，則對一1勺4〃，I莊

HLi?，???，）｝，無論正整數(shù)人如何取值，+i均與a不互素且大于。，故a"+i為合數(shù).

對任意尸1,2,…，『，因Q+i/>1,故a+與有素因子今

我們有（P,a）=1（否則，因Pj是素數(shù)，故p/a,但p/a+ij,從而巧畫，故a,與不互素，與

今的取法矛盾）.

因此，由費馬小定理知，ap>-1=1（modpy）.

現(xiàn)取之=（Pi—1）（^2—1）…（Pr—1）+1.

對任意j=i.2...r,注意到々=1（modPj-1）,故有Q"+iy=a+iy=

0（modPj）.

又好+q>a+ij>p/,故a”+弓為合數(shù).

k

綜上所述，當(dāng)k=（pi-l）（p2-1）…（Pr-1）+1時，心+l,a+2,…，

ak+n均是合數(shù).

19.12017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第02試）】設(shè)小〃均是大于1的整數(shù)，機(jī)沙.。1，。2，一.，。汗是〃個不

超過〃，的互不相同的正整數(shù)，且。1，。2，?“，。?；ベ|(zhì)?證明：對任意實數(shù)方均存在一個i（134〃），使得

||afx||>^11x11，這里||y||表示實數(shù)丫到與它最近的整數(shù)的距離?

【答案】證明見解析

【解析】4首先證明以下兩個結(jié)論

結(jié)論1存在整數(shù)Ci，C2「?1Cn，滿足+C2a2"1----cn?n=1

并且|q|<m,1<i<n

由于（。1，。2，?“，?！?）=1，由裴蜀定理，存在整數(shù)Ci，C2，?“，C"，

滿足+c2a2■1---HCnCLn=1①

下面證明，通過調(diào)整，存在?組Ci，C2，.一，Cn滿足①，且絕對值均不超過八

Ci>0,

記S1(J,丹???，〃)=Zc>mS2(C1，C2,…,Cn)=>0

IJ

如果$>o,那么存在于是CjOi>！.，又因為。1，。2，一.，?！ň鶠檎龜?shù)，故由①