高中數(shù)學(xué)選修2-1模塊復(fù)習(xí)資料

模塊復(fù)習(xí)提升課一常用邏輯用語(yǔ),[學(xué)生用書(shū)P76])1．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題命題表述形式原命題若p，則q逆命題若q，則p否命題若?p，則?q逆否命題若?q，則?p(2)四種命題間的逆否關(guān)系(3)四種命題的真假關(guān)系兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．2．充分條件與必要條件(1)如果p?q，那么稱(chēng)p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)分類(lèi)①充要條件：p?q且q?p，記作p?q；②充分不必要條件：p?q，qeq\o(?,\s\up0(/))p；③必要不充分條件：q?p，peq\o(?,\s\up0(/))q，④既不充分也不必要條件：peq\o(?,\s\up0(/))q，且qeq\o(?,\s\up0(/))p.3．簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)用聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)命題p和命題q，可得p∧q，p∨q，?p.(2)命題p∧q，p∨q，?p的真假判斷．p∧q中p、q有一假為假，p∨q有一真為真，p與?p必定是一真一假．4．全稱(chēng)量詞與存在量詞(1)全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)命題．全稱(chēng)量詞用符號(hào)“?”表示．全稱(chēng)命題用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x)．(2)存在量詞與特稱(chēng)命題．存在量詞用符號(hào)“?”表示．特稱(chēng)命題用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x0∈M，p(x0)．5．含有一個(gè)量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，?p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，?p(x)1．否命題和命題的否定是兩個(gè)不同的概念(1)否命題是將原命題的條件否定作為條件，將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造一個(gè)新的命題；(2)命題的否定只是否定命題的結(jié)論，常用于反證法．若命題為：“若p，則q”，則該命題的否命題是“若?p，則?q”；命題的否定為“若p，則?q”．2．判斷p與q之間的關(guān)系時(shí)，要注意p與q之間關(guān)系的方向性，充分條件與必要條件方向正好相反，不要混淆．如“a＝0”是“a·b＝0”的充分不必要條件，“a·b＝0”是“a＝0”的必要不充分條件．3．注意常見(jiàn)邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定一些常見(jiàn)邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定要記住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一個(gè)”的否定“一個(gè)也沒(méi)有”，“至多有一個(gè)”的否定“至少有兩個(gè)”．四種命題及其關(guān)系[學(xué)生用書(shū)P76]設(shè)命題為“若k＞0，則關(guān)于x的方程x2－x－k＝0有實(shí)數(shù)根”，該命題的否定、逆命題、否命題和逆否命題中假命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．【解析】命題的否定：若k＞0，則關(guān)于x的方程x2－x－k＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．假命題；逆命題：若關(guān)于x的方程x2－x－k＝0有實(shí)數(shù)根，則k＞0.假命題；否命題：若k≤0，則關(guān)于x的方程x2－x－k＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．假命題；逆否命題：若關(guān)于x的方程x2－x－k＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則k≤0.真命題．【答案】3eq\a\vs4\al()四種命題的寫(xiě)法及其真假的判斷方法(1)四種命題的寫(xiě)法①明確條件和結(jié)論：認(rèn)清命題的條件p和結(jié)論q，然后按定義寫(xiě)出命題的逆命題、否命題、逆否命題；②應(yīng)注意：原命題中的前提不能作為命題的條件．(2)簡(jiǎn)單命題真假的判斷方法①直接法：判斷簡(jiǎn)單命題的真假，通常用直接法判斷．用直接法判斷時(shí)，應(yīng)先分清條件和結(jié)論，運(yùn)用命題所涉及的知識(shí)進(jìn)行推理論證；②間接法：當(dāng)命題的真假不易判斷時(shí)，還可以用間接法，轉(zhuǎn)化為等價(jià)命題或舉反例．用轉(zhuǎn)化法判斷時(shí)，需要準(zhǔn)確地寫(xiě)出所給命題的等價(jià)命題．寫(xiě)出命題“若eq\r(x－2)＋(y＋1)2＝0，則x＝2且y＝－1”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．解：逆命題：若x＝2且y＝－1，則eq\r(x－2)＋(y＋1)2＝0，真命題．否命題：若eq\r(x－2)＋(y＋1)2≠0，則x≠2或y≠－1，真命題．逆否命題：若x≠2或y≠－1，則eq\r(x－2)＋(y＋1)2≠0，真命題．充分、必要條件的判斷及應(yīng)用[學(xué)生用書(shū)P77](1)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，則“a≤b”是“sinA≤sinB”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件(2)已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x＜a}，則“a＞5”是“A?B”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】(1)由正弦定理，知a≤b?2RsinA≤2RsinB(R為△ABC外接圓的半徑)?sinA≤sin B．故選A.(2)A＝{x||x|≤4，x∈R}?A＝{x|－4≤x≤4}，所以A?B?a＞4，而a＞5?a＞4，且a＞4eq\o(?,\s\up0(/))a＞5，所以“a＞5”是“A?B”的充分不必要條件．【答案】(1)A(2)Aeq\a\vs4\al()判斷充分、必要條件的方法集合法：即看集合A和B的包含關(guān)系．①若A?B，則A是B的充分條件，B是A的必要條件．②若AB，則A是B的充分不必要條件；③若AB，則A是B的必要不充分條件；④若A＝B，則A，B互為充要條件；⑤若Aeq\o(?,\s\up0(/))B，且Aeq\o(?,\s\up0(/))B，則A是B的既不充分也不必要條件．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分而不必要條件，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：設(shè)A＝{x|x2－8x－20>0}＝{x|x<－2或x>10}，B＝{x|x2－2x＋1－a2>0}＝{x|x<1－a或x>1＋a}，由于p是q的充分而不必要條件，可知AB.從而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－a≥－2，,1＋a<10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－a>－2，,1＋a≤10，))解得0<a≤3.故所求正實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，3]．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題[學(xué)生用書(shū)P77](1)命題p：正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)；命題q：若函數(shù)f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．下列說(shuō)法中正確的是()A．“p或q”是真命題 B．“p或q”是假命題C．?p為假命題 D．?q為假命題(2)設(shè)集合A＝{x|－2－a＜x＜a，a＞0}，命題p：1∈A，命題q：2∈A.若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則a的取值范圍是________．【解析】(1)例如?x0>1，logax0＞0(a>1)，所以命題p是假命題；命題q是假命題，例如f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x＋2，x>0.))綜上可知，“p或q”是假命題，故選B.(2)若p為真命題，則－2－a＜1＜a，解得a＞1.若q為真命題，則－2－a＜2＜a，解得a＞2.依題意得p與q一真一假，若p真q假，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞1，,a≤2，))即1＜a≤2.若p假q真，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a＞2，))a不存在．綜上1＜a≤2.【答案】(1)B(2)(1，2]eq\a\vs4\al()判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的方法(1)先確定簡(jiǎn)單命題p，q.(2)分別確定簡(jiǎn)單命題p，q的真假．(3)利用真值表判斷所給命題的真假．1.已知命題p：若a>1，則ax>logax恒成立；命題q：在等差數(shù)列{an}中(其中公差d≠0)，“m＋n＝p＋q”是“am＋an＝ap＋aq”的充分不必要條件(m，n，p，q∈N*)，則下面選項(xiàng)中真命題是()A．?p∧?q B．?p∨?qC．?p∨q D．p∧q解析：選B.對(duì)于命題p，如圖所示作出函數(shù)y＝ax(a>1)與y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的圖象，顯然當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝ax的圖象在函數(shù)y＝logax圖象的上方，即a>1時(shí)，ax>logax恒成立，故命題p為真命題．對(duì)于命題q，由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知當(dāng)公差不為0時(shí)，“m＋n＝p＋q”是“am＋an＝ap＋aq”的充要條件，故命題q為假命題．所以?p為假，?q為真，所以p∧q為假，?p∨q為假，?p∧?q為假，?p∨?q為真．2．設(shè)命題p：c2＜c和命題q：?x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q為真，p∧q為假，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________．解析：解不等式c2＜c，得0＜c＜1，即命題p：0＜c＜1，所以命題?p：c≤0或c≥1.又由(4c)2－4＜0，得－eq\f(1,2)＜c＜eq\f(1,2)，即命題q：－eq\f(1,2)＜c＜eq\f(1,2)，所以命題?q：c≤－eq\f(1,2)或c≥eq\f(1,2)，由p∨q為真，知p與q中至少有一個(gè)為真，由p∧q為假，知p與q中至少有一個(gè)為假，所以p與q中一個(gè)為真命題，一個(gè)為假命題．當(dāng)p真q假時(shí)，實(shí)數(shù)c的取值范圍是eq\f(1,2)≤c＜1.當(dāng)p假q真時(shí)，實(shí)數(shù)c的取值范圍是－eq\f(1,2)＜c≤0.綜上所述，實(shí)數(shù)c的取值范圍是－eq\f(1,2)＜c≤0或eq\f(1,2)≤c＜1.答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題[學(xué)生用書(shū)P78](1)命題“?x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．?x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．?x?(0，＋∞)，lnx＝x－1C．?x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．?x0?(0，＋∞)，lnx0＝x0－1(2)若命題“?x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1＜0”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】(1)改變?cè)}中的三個(gè)地方即可得其否定，?改為?，x0改為x，否定結(jié)論，即lnx≠x－1，故選A.(2)因?yàn)?x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1＜0是真命題，所以方程xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，所以Δ＝(a－1)2－4＞0，解得a＞3或a＜－1.【答案】(1)A(2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)eq\a\vs4\al()全稱(chēng)命題、特稱(chēng)命題真假判斷(1)全稱(chēng)命題的真假判定：要判定一個(gè)全稱(chēng)命題為真，必須對(duì)限定集合M中每一個(gè)x驗(yàn)證p(x)成立，一般用代數(shù)推理的方法加以證明；要判定一個(gè)全稱(chēng)命題為假，只需舉出一個(gè)反例即可．(2)特稱(chēng)命題的真假判定：要判定一個(gè)特稱(chēng)命題為真，只要在限定集合M中，能找到一個(gè)x0，使p(x0)成立即可；否則，這一特稱(chēng)命題為假．1.已知命題p：?x>0，總有(x＋1)ex>1，則?p為()A．?x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．?x>0，總有(x＋1)ex≤1D．?x≤0，總有(x＋1)ex≤1解析：選B.全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，所以命題p：?x>0，總有(x＋1)ex>1的否定是?p：?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.2．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若?x1∈[－1，2]，?x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))C．(0，3]D．[3，＋∞)解析：選D.由函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f(x)＝x2－2x的值域?yàn)閇－1，3]，g(x)＝ax＋2的值域是[2－a，2＋2a]．因?yàn)?x1∈[－1，2]，?x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，所以[－1，3]?[2－a，2＋2a]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a≤－1，,2＋2a≥3，))解得a≥3.,[學(xué)生用書(shū)P147(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．命題“若a>0，則a2>0”的逆命題是()A．若a>0，則a2≤0 B．若a2>0，則a>0C．若a≤0，則a2>0 D．若a≤0，則a2≤0解析：選B.交換原命題的條件和結(jié)論即可得其逆命題．2．若命題p：x＝2且y＝3，則?p為()A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝3解析：選A.由于“且”的否定為“或”，所以?p：x≠2或y≠3.故選A.3．下列表述錯(cuò)誤的是()A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβB．命題“若a∈M，則b?M”的等價(jià)命題是“若b∈M，則a?M”C．“x>2”是“x2>4”的充分不必要條件D．對(duì)任意的φ∈R，函數(shù)y＝sin(2x＋φ)都不是偶函數(shù)解析：選D.當(dāng)α＝0，β＝eq\f(π,3)時(shí)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(π,3)))＝tan0＋taneq\f(π,3)成立，故選項(xiàng)A正確．對(duì)于選項(xiàng)B、C，顯然正確．在D中，存在φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝sin(2x＋φ)是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤．4．設(shè)p：log2x<0，q：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－1)>1，則p是q的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B.p：log2x<0?0<x<1；q：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－1)>1?x<1，所以p?q但qeq\o(?,\s\up0(/))p，所以p是q的充分不必要條件，故選B.5．已知命題p：?x0∈R，x0－2>lgx0，命題q：?x∈R，x2>0，則()A．命題p∨q是假命題B．命題p∧q是真命題C．命題p∧(?q)是真命題D．命題p∨(?q)是假命題解析：選C.當(dāng)x＝10時(shí)，x－2＝8，lgx＝lg10＝1，故命題p為真命題，令x＝0，則x2＝0，故命題q為假命題，依據(jù)復(fù)合命題真假性的判斷法則，可知命題p∨q是真命題，命題p∧q是假命題，?q是真命題，進(jìn)而得到命題p∧(?q)是真命題，命題p∨(?q)是真命題．故選C.6．寫(xiě)出命題“若方程ax2－bx＋c＝0的兩根均大于0，則ac＞0”的一個(gè)等價(jià)命題：________________．解析：一個(gè)命題與其逆否命題是等價(jià)命題．答案：若ac≤0，則方程ax2－bx＋c＝0的兩根不均大于07．給出下列三個(gè)命題：①當(dāng)m＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝mx2＋2x是奇函數(shù)；②若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列；③已知x，y是實(shí)數(shù)，若x＋y≠2，則x≠1或y≠1.其中為真命題的是________(填序號(hào))．解析：①中，當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝mx2＋2x＝2x是奇函數(shù)，故①是真命題；②中，取a＝b＝0，c＝1，滿足b2＝ac，但a，b，c不成等比數(shù)列，故②不是真命題；③的逆否命題為“已知x，y是實(shí)數(shù)，若x＝1且y＝1，則x＋y＝2”是真命題，所以原命題也是真命題，即③是真命題．答案：①③8．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0.若?p是?q的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：p：－4＜x－a＜4，即a－4＜x＜a＋4；q：(x－2)(3－x)＞0，即2＜x＜3，所以?p：x≤a－4或x≥a＋4，?q：x≤2或x≥3；而?p是?q的充分條件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－4≤2，,a＋4≥3.))解得－1≤a≤6.答案：[－1，6]9．指出下列命題中，p是q的什么條件：(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；(2)p：a與b都是奇數(shù)；q：a＋b是偶數(shù)；(3)p：0<m<eq\f(1,3)；q：方程mx2－2x＋3＝0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根．解：(1)因?yàn)閧x|x>－2或x<3}＝R，{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，所以{x|x>－2或x<3}?{x|－2<x<3}，而{x|－2<x<3}{x|x>－2或x<3}．所以p是q的必要不充分條件．(2)因?yàn)閍、b都是奇數(shù)?a＋b為偶數(shù)，而a＋b為偶數(shù)eq\o(?,\s\up0(/))a、b都是奇數(shù)，所以p是q的充分不必要條件．(3)mx2－2x＋3＝0有兩個(gè)同號(hào)不等實(shí)根?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,\f(3,m)>0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－12m>0，,m>0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,3)，,m>0))?0<m<eq\f(1,3).所以p是q的充要條件．10．設(shè)有兩個(gè)命題：p：關(guān)于x的不等式sinxcosx>m2＋eq\f(m,2)－1的解集是R；q：冪函數(shù)f(x)＝x7－3m在(0，＋∞)上是減函數(shù)．若“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，求m的取值范圍．解：因?yàn)椤皃且q”是假命題，所以p，q中至少有一個(gè)是假命題．因?yàn)椤皃或q”是真命題，所以p，q中至少有一個(gè)是真命題．故p和q兩個(gè)命題一真一假．若p真，則2m2＋m－2<－1，即2m2＋m－1<0，所以－1<m<eq\f(1,2).若q真，則7－3m<0，所以m>eq\f(7,3).p真q假時(shí)，－1<m<eq\f(1,2)；p假q真時(shí)，m>eq\f(7,3).所以m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，＋∞)).[B能力提升]11．設(shè)f(x)＝x2－4x(x∈R)，則f(x)＞0的一個(gè)必要不充分條件是()A．x＜0 B．x＜0或x＞4C．|x－1|＞1 D．|x－2|＞3解析：選C.由x2－4x＞0有x＞4或x＜0，故f(x)＞0的必要不充分條件中x的取值范圍應(yīng)包含集合{x|x＞4或x＜0}，驗(yàn)證可知，只有C選項(xiàng)符合．12．下列選項(xiàng)中敘述錯(cuò)誤的是()A．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為假命題B．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要條件C．若“p∨q”為假命題，則“(?p)∧(?q)”也為假命題D．若命題p：?x∈R，x2＋x＋1≠0，則?p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＝0解析：選C.對(duì)于A，命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”是假命題，因此該命題的逆否命題也是假命題；對(duì)于B，由x＞2可得x2－3x＋2＝(x－1)·(x－2)＞0，反過(guò)來(lái)，由x2－3x＋2＞0不能得知x＞2，因此“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要條件；對(duì)于C，若“p∨q”為假命題，則p，q均為假命題，所以“(?p)∧(?q)”是真命題；對(duì)于D，命題p：?x∈R，x2＋x＋1≠0，則?p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＝0，綜上所述，選C.13．已知a＞0，函數(shù)f(x)＝ax－bx2.(1)當(dāng)b＞0時(shí)，若對(duì)任意x∈R，都有f(x)≤1，證明：a≤2eq\r(b)；(2)當(dāng)b＞1時(shí)，證明：對(duì)任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要條件是b－1≤a≤2eq\r(b).證明：(1)此題等價(jià)于對(duì)所有x∈R有ax－bx2≤1，即bx2－ax＋1≥0，因?yàn)閎＞0，所以Δ＝a2－4b≤0.又因?yàn)閍＞0，所以a≤2eq\r(b).(2)①必要性：設(shè)對(duì)所有x∈[0，1]，有|f(x)|≤1，即－1≤ax－bx2≤1.令x＝1∈[0，1]，則有－1≤a－b≤1，即b－1≤a≤b＋1.因?yàn)閎＞1，所以eq\f(1,2)－eq\f(1,2b)≤eq\f(a,2b)≤eq\f(1,2)＋eq\f(1,2b).這說(shuō)明eq\f(a,2b)∈[0，1]．所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2b)))≤1，即eq\f(a2,2b)－b·eq\f(a2,4b2)≤1.所以a2≤4b，a≤2eq\r(b).綜上所述，有b－1≤a≤2eq\r(b).②充分性：設(shè)b－1≤a≤2eq\r(b).因?yàn)閎＞1，所以eq\f(a,2b)＝eq\f(a,2\r(b))·eq\f(1,\r(b))＜1.所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)f(x)的最大值為f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2b)))＝a·eq\f(a,2b)－b·eq\f(a2,4b2)＝eq\f(a2,4b)＜1.又因?yàn)閒(x)的圖像是開(kāi)口向下的拋物線，所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)的最小值f(x)min＝min{f(0)，f(1)}＝min{0，a－b}≥－1.所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|f(x)|≤1.綜合①②可知，當(dāng)b＞1時(shí)，對(duì)任意x∈[0，1]有|f(x)|≤1的充要條件是b－1≤a≤2eq\r(b).14．(選做題)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同時(shí)滿足條件：①對(duì)任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②存在x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，求m的取值范圍．解：將①轉(zhuǎn)化為g(x)<0的解集的補(bǔ)集是f(x)<0解集的子集求解；②轉(zhuǎn)化為f(x)>0的解集與(－∞，－4)的交集非空．若g(x)＝2x－2<0，則x<1.又因?yàn)閷?duì)任意x∈R，g(x)<0或f(x)<0，所以[1，＋∞)是f(x)<0的解集的子集．又由f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0知，m不可能大于或等于0，因此m<0.當(dāng)m<0時(shí)，f(x)<0，即(x－2m)(x＋m＋3)>0.當(dāng)2m＝－m－3，即m＝－1時(shí)，f(x)<0的解集為{x|x≠－1}，滿足條件．當(dāng)2m>－m－3，即－1<m<0時(shí)，f(x)<0的解集為{x|x>2m或x<－m－3}．依題意2m<1，即m<eq\f(1,2)，所以－1<m<0.當(dāng)2m<－m－3，即m<－1時(shí)，f(x)<0的解集為{x|x<2m或x>－m－3}．依題意－m－3<1，即m>－4，所以－4<m<－1.因此滿足①的m的取值范圍是－4<m<0.②中，因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，－4)時(shí)，g(x)＝2x－2<0，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在x∈(－∞，－4)，f(x)>0，即f(x)>0的解集與(－∞，－4)的交集非空．又m<0，則(x－2m)(x＋m＋3)<0.由①的解法知，當(dāng)－1<m<0時(shí)，2m>－m－3，即－m－3<－4，所以m>1，此時(shí)無(wú)解．當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)＝－(x＋2)2恒小于或等于0，此時(shí)無(wú)解．當(dāng)m<－1時(shí)，2m<－m－3，即2m<－4，所以m<－2.綜合①②可知滿足條件的m的取值范圍是－4<m<－2.二圓錐曲線與方程,1．橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)關(guān)系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2圖形封閉圖形無(wú)限延展，但有漸近線y＝±eq\f(b,a)x或y＝±eq\f(a,b)x無(wú)限延展，沒(méi)有漸近線，有準(zhǔn)線變量范圍|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b|x|≥a或|y|≥ax≥0或x≤0或y≥0或y≤0對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)無(wú)對(duì)稱(chēng)中心兩條對(duì)稱(chēng)軸一條對(duì)稱(chēng)軸頂點(diǎn)四個(gè)兩個(gè)一個(gè)離心率e＝eq\f(c,a)，且0<e<1e＝eq\f(c,a)，且e>1e＝1決定形狀的因素e決定扁平程度e決定開(kāi)口大小2p決定開(kāi)口大小2．橢圓的焦點(diǎn)三角形設(shè)P為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一點(diǎn)(不在x軸上)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)且∠F1PF2＝α，則△PF1F2為焦點(diǎn)三角形(如圖)．(1)焦點(diǎn)三角形的面積S＝b2taneq\f(α,2).(2)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L＝2a＋2c.3．雙曲線及漸近線的設(shè)法技巧(1)由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求其漸近線方程時(shí)，最簡(jiǎn)單實(shí)用的辦法是：把標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0，即可得到兩條漸近線的方程．如雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0(a>0，b>0)，即y＝±eq\f(b,a)x；雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0(a>0，b>0)，即y＝±eq\f(a,b)x.(2)如果雙曲線的漸近線為eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．4．特殊的兩個(gè)雙曲線(1)雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的漸近線．與eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同漸近線的雙曲線系方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝k(k≠0)．(2)雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的焦距．(3)等軸雙曲線方程一般設(shè)為x2－y2＝a2(或y2－x2＝a2)．5．拋物線方程的設(shè)法對(duì)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的拋物線方程，一般可設(shè)為y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．6．拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題拋物線過(guò)焦點(diǎn)F的弦長(zhǎng)|AB|的一個(gè)重要結(jié)論．(1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p.(2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p.(3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p(4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.1．橢圓的定義|PF1|＋|PF2|＝2a中，應(yīng)有2a>|F1F2|，雙曲線定義||PF1|－|PF2||＝2a中，應(yīng)有2a<|F1F2|，拋物線定義中，定點(diǎn)F不在定直線l上．2．求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一定要先區(qū)別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，選取合適的形式．3．由標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)位置時(shí)，橢圓看分母的大小，雙曲線看x2，y2系數(shù)的符號(hào)．4．直線與雙曲線、直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)應(yīng)有兩種情況：一是相切；二是直線與雙曲線的漸近線平行、直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行．軌跡問(wèn)題[學(xué)生用書(shū)P79](1)已知點(diǎn)F(0，1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→)).則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為_(kāi)_______．(2)如圖所示，橢圓C0：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0，a，b為常數(shù))，動(dòng)圓O：x2＋y2＝teq\o\al(2,1)，b<t1<a.點(diǎn)A1、A2分別為C0的左、右頂點(diǎn)，圓O與橢圓C0相交于A，B，C，D四點(diǎn)，求直線AA1與直線A2B的交點(diǎn)M的軌跡方程．【解】(1)設(shè)P(x，y)，則Q(x，－1)．因?yàn)閑q\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))，所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，即x2＝4y，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2＝4y.故填x2＝4y.(2)設(shè)A(x1，y1)，則B(x1，－y1)，又知A1(－a，0)，A2(a，0)，則直線AA1的方程為y＝eq\f(y1,x1＋a)(x＋a)，①直線A2B的方程為y＝eq\f(－y1,x1－a)(x－a)，②由①×②，得y2＝eq\f(－yeq\o\al(2,1),xeq\o\al(2,1)－a2)(x2－a2)，③又點(diǎn)A(x1，y1)在橢圓C0上，故eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，從而yeq\o\al(2,1)＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,1),a2))).④把④代入③，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(x<－a，y<0)，即為點(diǎn)M的軌跡方程．eq\a\vs4\al()求曲線方程的常用方法及特點(diǎn)(1)直接法：動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系，只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x，y的等式就得到曲線的軌跡方程．(2)定義法：動(dòng)點(diǎn)滿足已知曲線的定義，可先設(shè)定方程，再確定其中的基本量．(3)代入法：動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)(稱(chēng)之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)的．如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．(4)待定系數(shù)法：根據(jù)條件能確定曲線的類(lèi)型，可設(shè)出方程形式，再根據(jù)條件確定待定的系數(shù)．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)A(1，0)與到定直線l：x＝3的距離之和等于4，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線？解：設(shè)M(x，y)是軌跡上的任意一點(diǎn)，作MN⊥l于N，由|MA|＋|MN|＝4得eq\r(（x－1）2＋y2)＋|x－3|＝4.當(dāng)x≥3時(shí)，上式化簡(jiǎn)為y2＝－12(x－4)；當(dāng)x<3時(shí)，上式化簡(jiǎn)為y2＝4x.所以點(diǎn)M的軌跡方程為y2＝－12(x－4)(x≥3)和y2＝4x(x<3)，其軌跡是兩條拋物線段．圓錐曲線的定義及應(yīng)用[學(xué)生用書(shū)P80](1)設(shè)P是曲線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為_(kāi)_______．(2)已知雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,25)＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且PF與圓x2＋y2＝16相切于點(diǎn)N，M為線段PF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MN|－|MO|＝________．【解析】(1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線是x＝－1.由拋物線的定義，知點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離．于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離之和的最小值．顯然，A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，所求的距離之和取得最小值，且AF的長(zhǎng)為所求的最小值，故最小值為eq\r(22＋12)，即為eq\r(5).(2)設(shè)F′是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF′(圖略)．因?yàn)镸，O分別是FP，F(xiàn)F′的中點(diǎn)，所以|MO|＝eq\f(1,2)|PF′|，又|FN|＝eq\r(|OF|2－|ON|2)＝5，且由雙曲線的定義知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－eq\f(1,2)|PF′|＝eq\f(1,2)(|PF|－|PF′|)－|FN|＝eq\f(1,2)×8－5＝－1.【答案】(1)eq\r(5)(2)－1eq\a\vs4\al()圓錐曲線定義的應(yīng)用技巧(1)在求點(diǎn)的軌跡問(wèn)題時(shí)，若所求軌跡符合圓錐曲線的定義，則根據(jù)定義直接寫(xiě)出圓錐曲線的軌跡方程．(2)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，在橢圓和雙曲線中，常涉及曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連接而成的“焦點(diǎn)三角形”，處理時(shí)常結(jié)合圓錐曲線的定義及解三角形的知識(shí)解決．(3)在拋物線中，常利用定義，以達(dá)到“到焦點(diǎn)的距離”和“到準(zhǔn)線的距離”的相互轉(zhuǎn)化．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．以上都不對(duì)解析：選C.把軌跡方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|寫(xiě)成eq\r(x2＋y2)＝eq\f(|3x＋4y－12|,5).所以動(dòng)點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離與它到直線3x＋4y－12＝0的距離相等．所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線3x＋4y－12＝0為準(zhǔn)線的拋物線．圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)[學(xué)生用書(shū)P80](1)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距是c，A，B分別是長(zhǎng)軸、短軸的一個(gè)端點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若△ABO的面積是eq\r(3)c2，則這一橢圓的離心率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),3)(2)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為eq\r(3)，則C的焦距等于()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)【解析】(1)eq\f(1,2)ab＝eq\r(3)c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).(2)雙曲線的一條漸近線方程為eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝0，即bx－ay＝0，焦點(diǎn)(c，0)到該漸近線的距離為eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc,c)＝eq\r(3)，故b＝eq\r(3)，結(jié)合eq\f(c,a)＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，則雙曲線C的焦距為2c＝4.【答案】(1)A(2)Ceq\a\vs4\al()求解離心率的方法(1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上都有關(guān)系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝eq\f(c,a)，已知其中的任意兩個(gè)參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法．(2)方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法．1.過(guò)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為_(kāi)_______．解析：設(shè)直線方程為y＝eq\f(b,a)(x－c)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(b,a)（x－c）))得x＝eq\f(a2＋c2,2c)，由eq\f(a2＋c2,2c)＝2a，e＝eq\f(c,a)，解得e＝2＋eq\r(3)(e＝2－eq\r(3)舍去)．答案：2＋eq\r(3)2．已知拋物線x2＝8y的焦點(diǎn)F到雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的距離為eq\f(4\r(5),5)，點(diǎn)P是拋物線x2＝8y上的一動(dòng)點(diǎn)，P到雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的距離與到直線y＝－2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．解析：拋物線焦點(diǎn)為F(0，2)，準(zhǔn)線為y＝－2，雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，依題意可得eq\f(|－2a|,\r(a2＋b2))＝eq\f(4\r(5),5)，即eq\f(a,c)＝eq\f(2,\r(5))，又P到雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的距離與到直線y＝－2的距離之和的最小值為3，所以|PF|＋|PF2|≥|FF2|＝3，在Rt△FOF2中，|OF2|＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，所以c＝eq\r(5)，所以a＝2，b＝1，所以雙曲線方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.答案：eq\f(x2,4)－y2＝1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系[學(xué)生用書(shū)P81]已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的點(diǎn)P到左右兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為2eq\r(2)，離心率為eq\f(\r(2),2).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若y軸上一點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),7)))滿足|MA|＝|MB|，求直線l的斜率k的值．【解】(1)|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，所以a＝eq\r(2)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以c＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)由第一問(wèn)知F2(1，0)，直線斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為y＝k(x－1)，交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)．聯(lián)立直線與橢圓的方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,\f(x2,2)＋y2＝1，))化簡(jiǎn)得：(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝eq\f(－2k,1＋2k2)，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k2,1＋2k2)，\f(－k,1＋2k2)))，①當(dāng)k≠0時(shí)，AB的中垂線方程為y－eq\f(－k,1＋2k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2k2,1＋2k2)))，因?yàn)閨MA|＝|MB|，所以點(diǎn)M在AB的中垂線上，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程得：eq\f(\r(3),7)＋eq\f(k,1＋2k2)＝eq\f(2k,1＋2k2)，即2eq\r(3)k2－7k＋eq\r(3)＝0，解得k＝eq\r(3)或k＝eq\f(\r(3),6).②當(dāng)k＝0時(shí)，AB的中垂線方程為x＝0，滿足題意．所以斜率k的取值為0，eq\r(3)，eq\f(\r(3),6).eq\a\vs4\al()直線與圓錐曲線關(guān)系問(wèn)題的求解方法(1)將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有如下三種：①相交：Δ>0?直線與橢圓相交；Δ>0?直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有Δ>0，如當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故“Δ>0”是“直線與雙曲線相交”的充分不必要條件；Δ>0?直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有Δ>0，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故Δ>0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，而不是必要條件．②相切：Δ＝0?直線與橢圓相切；Δ＝0?直線與雙曲線相切；Δ＝0?直線與拋物線相切．③相離：Δ<0?直線與橢圓相離；Δ<0?直線與雙曲線相離；Δ<0?直線與拋物線相離．(2)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等許多方面的知識(shí)，形成了求軌跡、最值、對(duì)稱(chēng)、取值范圍、線段的長(zhǎng)度等多種問(wèn)題．解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，以形輔數(shù)的方法；還要多結(jié)合圓錐曲線的定義，根與系數(shù)的關(guān)系以及“點(diǎn)差法”等．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為(eq\r(2)，0)，離心率為eq\f(\r(6),3).(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，求證：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；(3)在(2)的條件下，求△OAB面積的最大值．解：(1)因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為(eq\r(2)，0)，離心率為eq\f(\r(6),3)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝\r(2)，,e＝\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，))所以a＝eq\r(3)，b＝1.所以橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB斜率存在時(shí)，直線AB的方程為y＝kx＋m，代入橢圓方程，消元可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(6km,1＋3k2)，x1x2＝eq\f(3m2－3,1＋3k2)，因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.所以x1x2＋y1y2＝0，所以(1＋k2)eq\f(3m2－3,1＋3k2)－km×eq\f(6km,1＋3k2)＋m2＝0，所以4m2＝3(k2＋1)．所以原點(diǎn)O到直線的距離為d＝eq\f(|m|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(3),2)，當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知x1＝x2，y1＝－y2，因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，所以xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1)＝0，因?yàn)閤eq\o\al(2,1)＋3yeq\o\al(2,1)＝3，所以|x1|＝|y1|＝eq\f(\r(3),2)，所以原點(diǎn)O到直線的距離為d＝|x1|＝eq\f(\r(3),2)，綜上，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．(3)當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，由弦長(zhǎng)公式可得|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(\f(（1＋k2）（36k2－12m2＋12）,（1＋3k2）2))＝eq\r(3＋\f(12,9k2＋\f(1,k2)＋6))≤eq\r(3＋\f(12,6＋2\r(9k2·\f(1,k2))))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)k＝±eq\f(\r(3),3)時(shí)，等號(hào)成立，所以|AB|≤2，當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，|AB|＝|y1－y2|＝eq\r(3)<2，所以△OAB面積＝eq\f(1,2)|AB|d≤eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以△OAB面積的最大值為eq\f(\r(3),2).,[學(xué)生用書(shū)P149(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知拋物線的方程為y＝2ax2，且過(guò)點(diǎn)(1，4)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(1，0) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))) D．(0，1)解析：選C.因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)(1，4)，所以4＝2a，所以a＝2，所以拋物線方程為x2＝eq\f(1,4)y，焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))).故選C.2．設(shè)k<3，k≠0，則下列關(guān)于二次曲線eq\f(x2,3－k)－eq\f(y2,k)＝1與eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,2)＝1的說(shuō)法正確的是()A．它們表示的曲線一條為雙曲線，另一條為橢圓B．有相同的頂點(diǎn)C．有相同的焦點(diǎn)D．有相同的離心率解析：選C.當(dāng)0<k<3時(shí)，則0<3－k<3，所以eq\f(x2,3－k)－eq\f(y2,k)＝1表示實(shí)軸在x軸上的雙曲線，a2＋b2＝3＝c2.所以?xún)汕€有相同焦點(diǎn)；當(dāng)k<0時(shí)，－k>0且3－k>－k，所以eq\f(x2,3－k)＋eq\f(y2,－k)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．a(chǎn)2＝3－k，b2＝－k.所以a2－b2＝3＝c2，與已知橢圓有相同焦點(diǎn)．3．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與圓x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且|PF1|＝eq\r(3)|PF2|，則此雙曲線的離心率為()A．eq\r(5) B．eq\f(\r(10),2)C．eq\r(3)＋1 D．3解析：選C.由題知PF1⊥PF2，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2a，,|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，,|PF1|＝\r(3)|PF2|，))得eq\f(c,a)＝eq\r(3)＋1.故選C.4．已知點(diǎn)P是橢圓16x2＋25y2＝400上一點(diǎn)，且在x軸上方，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF2的斜率為－4eq\r(3)，則△PF1F2的面積是()A．24eq\r(3) B．12eq\r(3)C．6eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：選C.橢圓16x2＋25y2＝400的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,52)＋eq\f(y2,42)＝1，F(xiàn)1(－3，0)、F2(3，0)．直線PF2的方程為y＝－4eq\r(3)(x－3)．由點(diǎn)P在x軸上方和方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16x2＋25y2＝400，,y＝－4\r(3)（x－3）))可得P點(diǎn)的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，2\r(3))).所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(3)＝6eq\r(3).5．設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過(guò)F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為()A．±eq\f(1,2) B．±eq\f(\r(2),2)C．±1 D．±eq\r(2)解析：選C.由題設(shè)，得A1(－a，0)，A2(a，0)，F(xiàn)(c，0)．將x＝c代入雙曲線方程，解得y＝±eq\f(b2,a).不妨設(shè)B(c，eq\f(b2,a))，C(c，－eq\f(b2,a))，則kA1B＝eq\f(\f(b2,a),c＋a)，kA2C＝eq\f(－\f(b2,a),c－a)，根據(jù)題意，有eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，整理得eq\f(b,a)＝1，所以該雙曲線的漸近線的斜率為±1.故選C.6．已知直線l：x＝my＋1(m≠0)恒過(guò)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，橢圓C的上頂點(diǎn)為拋物線x2＝4eq\r(3)y的焦點(diǎn)，則橢圓C的方程為_(kāi)_______．解析：根據(jù)題意，直線l：x＝my＋1(m≠0)恒過(guò)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F，所以F(1，0)，所以c＝1.又因?yàn)闄E圓C的上頂點(diǎn)為拋物線x2＝4eq\r(3)y的焦點(diǎn)，所以b＝eq\r(3)，b2＝3，所以a2＝b2＋c2＝4，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝17．已知點(diǎn)A(4，0)，M是拋物線y2＝6x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A距離最小時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：設(shè)M(eq\f(yeq\o\al(2,1),6)，y1)，則|MA|2＝(eq\f(yeq\o\al(2,1),6)－4)2＋yeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,36)yeq\o\al(4,1)－eq\f(1,3)yeq\o\al(2,1)＋16＝eq\f(1,36)(yeq\o\al(2,1)－6)2＋15≥15，當(dāng)且僅當(dāng)yeq\o\al(2,1)＝6，即y1＝±eq\r(6)，x1＝eq\f(yeq\o\al(2,1),6)＝1時(shí)，|MA|取最小值eq\r(15)，此時(shí)M(1，±eq\r(6))．答案：(1，±eq\r(6))8．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F的距離為6，若點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)))(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝________．解析：設(shè)F1為右焦點(diǎn)，因?yàn)閨eq\o(PF,\s\up6(→))|＝6，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝10－6＝4，又eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)))，所以M為PF的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△FPF1的中位線，所以|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝2.答案：29．已知拋物線y2＝2px(p>0)有一內(nèi)接△OAB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，直線OA的方程為y＝2x，且|AB|＝4eq\r(13)，求拋物線方程．解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y2＝2px，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，又eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，所以O(shè)A⊥OB，故直線OB的方程為y＝－eq\f(1,2)x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,y2＝2px，))聯(lián)立得B(8p，－4p)．因?yàn)閨AB|＝4eq\r(13)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－8p))eq\s\up12(2)＋(p＋4p)2＝16×13，所以p＝eq\f(8,5)，所以拋物線方程為y2＝eq\f(16,5)x.10．設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，離心率為eq\f(\r(2),2)，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝2.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\up6(→))，其中M，N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為－eq\f(1,2)，求證：xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)為定值．解：(1)由e2＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，得a2＝2b2，因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，所以由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，知該直線過(guò)點(diǎn)(c，1)或(－c，1)，且點(diǎn)(±c，1)在橢圓上，即eq\f(c2,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，即eq\f(a2－b2,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得a2＝4，b2＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)證明：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則kOM·kON＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝－eq\f(1,2)，化簡(jiǎn)得x1x2＋2y1y2＝0.因?yàn)镸，N是橢圓上的點(diǎn)，所以eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),2)＝1，即有xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2)＝4，由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝x1＋2x2,y0＝y(tǒng)1＋2y2))，所以xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)＝(x1＋2x2)2＋2(y1＋2y2)2＝(xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1))＋4(xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2))＋4(x1x2＋2y1y2)＝4＋4×4＋0＝20.即xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)為定值．[B能力提升]11．邊長(zhǎng)為1的等邊三角形AOB，O為原點(diǎn)，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過(guò)A，B的拋物線方程是()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),6)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)x解析：選C.因?yàn)椤鰽OB為邊長(zhǎng)等于1的正三角形，所以O(shè)到AB的距離為eq\f(\r(3),2)，A或B到x軸的距離為eq\f(1,2).當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)．因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝2p·eq\f(\r(3),2)，所以2p＝eq\f(\r(3),6).所以拋物線的方程為y2＝eq\f(\r(3),6)x.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為y2＝－2px(p>0)．因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝－2p·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))，所以2p＝eq\f(\r(3),6).所以拋物線的方程為y2＝－eq\f(\r(3),6)x.12．點(diǎn)F是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F向C的一條漸近線作垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B.若2eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，則雙曲線C的離心率是________．解析：由題意得雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(c，0)，記一條漸近線OA的方程為y＝eq\f(b,a)x，則另一條漸近線OB的方程為y＝－eq\f(b,a)x，設(shè)A(m，eq\f(bm,a))，B(n，－eq\f(bn,a))，因?yàn)?eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，所以2(c－m，－eq\f(bm,a))＝(n－c，－eq\f(bn,a))，所以2(c－m)＝n－c，－eq\f(2bm,a)＝－eq\f(bn,a)，解得m＝eq\f(3c,4)，n＝eq\f(3c,2)，所以A(eq\f(3c,4)，eq\f(3bc,4a))．由FA⊥OA可得eq\f(\f(3bc,4a)－0,\f(3c,4)－c)·eq\f(b,a)＝－1.所以a2＝3b2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)13．設(shè)橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,1－a2)＝1的焦點(diǎn)在x軸上．(1)若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線上．解：(1)因?yàn)閍2>1－a2，2c＝1，a2＝1－a2＋c2，則a2＝eq\f(5,8)，1－a2＝eq\f(3,8)，所以橢圓E的方程為eq\f(8x2,5)＋eq\f(8y2,3)＝1.(2)證明：設(shè)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，P(x，y)，Q(0，m)，則eq\o(F2P,\s\up6(→))＝(x－c，y)，eq\o(QF2,\s\up6(→))＝(c，－m)，eq\o(F1P,\s\up6(→))＝(x＋c，y)，eq\o(F1Q,\s\up6(→))＝(c，m)．由eq\o(F2P,\s\up6(→))∥eq\o(QF2,\s\up6(→))，eq\o(F1P,\s\up6(→))⊥eq\o(F1Q,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m（c－x）＝y(tǒng)c，,c（x＋c）＋my＝0，))所以(x－c)(x＋c)＝y(tǒng)2，即x2－y2＝c2.由橢圓E的方程可知，c2＝a2－(1－a2)＝2a2－1，所以x2－y2＝2a2－1，即y2＝x2－2a2＋1.將上式代入橢圓E的方程，得eq\f(x2,a2)＋eq\f(x2－2a2＋1,1－a2)＝1，解得x2＝a4.因?yàn)辄c(diǎn)P是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，所以x＝a2，y＝1－a2.故點(diǎn)P在定直線x＋y＝1上．14．(選做題)已知圓M：(x＋eq\r(5))2＋y2＝36，定點(diǎn)N(eq\r(5)，0)，點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足eq\o(NP,\s\up6(→))＝2eq\o(NQ,\s\up6(→))，eq\o(GQ,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝0.(1)求點(diǎn)G的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)(2，0)作斜率為k的直線l，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在這樣的直線l，使得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≤－1？若存在，求出直線l的斜率k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(NP,\s\up6(→))＝2\o(NQ,\s\up6(→))，,\o(GQ,\s\up6(→))·\o(NP,\s\up6(→))＝0，))知Q為線段PN的中點(diǎn)，且GQ⊥PN，則GQ為線段PN的中垂線，故|eq\o(PG,\s\up6(→))|＝|eq\o(GN,\s\up6(→))|，所以|eq\o(GN,\s\up6(→))|＋|eq\o(GM,\s\up6(→))|＝|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝6.故點(diǎn)G的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，且其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a＝3，半焦距c＝eq\r(5)，所以短半軸長(zhǎng)b＝2.所以點(diǎn)G的軌跡C的方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)l的方程為y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－2），,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1))?(9k2＋4)x2－36k2x＋36(k2－1)＝0，所以x1＋x2＝eq\f(36k2,9k2＋4)，x1x2＝eq\f(36（k2－1）,9k2＋4)，y1y2＝[k(x1－2)][k(x2－2)]＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－eq\f(20k2,9k2＋4)，則x1x2＋y1y2＝eq\f(36（k2－1）,9k2＋4)－eq\f(20k2,9k2＋4)＝eq\f(16k2－36,9k2＋4).由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2≤－1，得eq\f(16k2－36,9k2＋4)≤－1，解得k2≤eq\f(32,25)，故－eq\f(4\r(2),5)≤k≤eq\f(4\r(2),5).故存在這樣的直線l，使得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≤－1，且直線l的斜率k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4\r(2),5)，\f(4\r(2),5))).三空間向量與立體幾何,1．空間向量的有關(guān)定理和推論(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共線向量定理的推論：若eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，則P，A，B三點(diǎn)共線的充要條件是eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得p＝xa＋yb.(4)共面向量定理的推論：已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，則P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)．(5)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．2．空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)重要結(jié)論a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.3．模、夾角和距離公式(1)設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①|(zhì)a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))；②cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))).(2)設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則dAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（a2－a1）2＋（b2－b1）2＋（c2－c1）2).4．空間向量的運(yùn)算與線面位置關(guān)系的判定(1)設(shè)直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，則l∥α?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0，l⊥α?u∥v?u＝kv?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)．(2)設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R；l⊥m?a⊥b?a·b＝0；l∥α?a⊥u?a·u＝0；l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R；α∥β?u∥v?u＝kv，k∈R；α⊥β?u⊥v?u·v＝0.5．空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角θ滿足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sinθ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大?。?ⅰ)如圖①，AB，CD是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α，β內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．(ⅱ)如圖②③，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．1．關(guān)注零向量(1)由于零向量與任意向量平行，所以由a∥b，b∥c無(wú)法推出a∥c.(2)0a＝0，而0·a＝0.2．正確理解數(shù)量積的概念和運(yùn)算性質(zhì)(1)a·b＝a·c(a≠0