高中數(shù)學(xué)解析幾何壓軸題專項(xiàng)拔高訓(xùn)練(一)

高中數(shù)學(xué)解析幾何壓軸題專項(xiàng)拔高訓(xùn)練一．選擇題（共15小題）1．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，P是右支上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PF長(zhǎng)為半徑的圓在右準(zhǔn)線上截得的弦長(zhǎng)恰好等于|PF|，則θ的值為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：由a2=cos2θ，b2=sin2θ，，知a=﹣cosθ，b=sinθ，c=1，e=﹣，再由雙曲線第二定義，知，d=，故e=﹣=，由此能夠?qū)С靓鹊闹担獯穑航猓骸遖2=cos2θ，b2=sin2θ，，∴a=﹣cosθ，b=sinθ，c=1，e=﹣，由雙曲線第二定義，知，d=，∴e=﹣=，∴cosθ=，∵，∴．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．2．已知F1、F2是雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線上的點(diǎn)P滿足∠F1PF2=60°，且|OP|=a（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率是（）A．2B．C．D．考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：假設(shè)|F1P|=x，分別根據(jù)中線定理和余弦定理建立等式求得c2+5a2=14a2﹣2c2，可得a和c的關(guān)系，即可求雙曲線的離心率．解答：解：不妨設(shè)P在左支上，|F1P|=x，則|F2P|=2a+x∵OP為三角形F1F2P的中線，∴根據(jù)三角形中線定理可知x2+（2a+x）2=2（c2+7a2）整理得x（x+2a）=c2+5a2由余弦定理可知x2+（2a+x）2﹣x（2a+x）=4c2整理得x（x+2a）=14a2﹣2c2進(jìn)而可知c2+5a2=14a2﹣2c2∴3a2=c2∴故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．3．如果雙曲線x2﹣my2=1（m＜1）上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的三角形面積為1，則此三角形的形狀為（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；三角形的形狀判斷．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：先根據(jù)雙曲線方程確定幾何量，再利用三角形的面積公式及余弦定理，可建立方程，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，可用m表示cosα，利用m＜1，即可求解．解答：解：雙曲線x2﹣my2=1（m＜1）中，不妨設(shè)|PF2|=x，|PF1|=x+2，∠F1PF2=α則=2x（x+2）﹣∵三角形的面積為1，∴∴∵∴∵cos2α+sin2α=1∴∴∵m＜1∴cosα＜0∴α為鈍角故三角形為鈍角三角形故選C．點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的焦點(diǎn)三角形，合理運(yùn)用雙曲線的定義，正確運(yùn)用余弦定理是解題的關(guān)鍵．4．雙曲線x2﹣y2=2的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)Pn（xn，yn）（n=1，2，3…）在其右支上，且滿足|Pn+1F2|=|PnF1|，P1F2⊥F1F2，則x2008的值是（）A．B．C．4016D．4015考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：根據(jù)雙曲線的定義，雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于2a，可得到Pn+1F1|﹣|Pn+1F2|=2，在根據(jù)|Pn+1F2|=|PnF1|，P1F2⊥F1F2，判斷出數(shù)列{PnF1|}為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為3，求出|P2008F1|，在根據(jù)雙曲線的第二定義，雙曲線上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與到左準(zhǔn)線的距離比等于離心率，求出x2008的值．解答：解：∵Pn+1點(diǎn)在雙曲線x2﹣y2=2右支上，∴|Pn+1F1|﹣|Pn+1F2|=2又∵|Pn+1F2|=|PnF1|，∴|Pn+1F1|﹣|PnF1|=2∴數(shù)列{PnF1|}為等差數(shù)列，公差為2∵P1F2⊥F1F2，∴|P1F2|=，則|P1F1|=3∴|P2008F1|=|P1F1|+2007×2=3+2007×2=4017∵雙曲線x2﹣y2=2的左準(zhǔn)線方程為x=﹣1，離心率為，設(shè)P2008到左準(zhǔn)線距離為d，則=，∴d=4017又∵d=x2008+1，∴x2008=4016故選C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線第一第二定義的應(yīng)用，以及等差數(shù)列的判斷，屬于圓錐曲線與數(shù)列的綜合題．5．如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向2km處，河流的沒(méi)岸PQ（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km．現(xiàn)要在曲線PQ上一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從M到B、M到C修建公路的費(fèi)用分別是a萬(wàn)元/km、2a萬(wàn)元/km，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（）A．（2﹣2）a萬(wàn)元B．5a萬(wàn)元C．（2+1）a萬(wàn)元D．（2+3）a萬(wàn)元考點(diǎn)：雙曲線的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：依題意知曲線PQ是以A、B為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的一支，此雙曲線的離心率為2，以直線AB為x軸、AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則該雙曲線的方程為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，）．求出修建這條公路的總費(fèi)用W，根據(jù)雙曲線的定義有，根據(jù)a+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)的方法求出W的最小值即可．解答：解：依題意知PMQ曲線是以A、B為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的一支（以B為焦點(diǎn)），此雙曲線的離心率為2，以直線AB為軸、AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則該雙曲線的方程為x2﹣=1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，）．則修建這條公路的總費(fèi)用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[|MB|+|MC|]，設(shè)點(diǎn)M、C在右準(zhǔn)線上射影分別為點(diǎn)M1、C1，根據(jù)雙曲線的定義有|MM1|=|MB|，所以=2a[|MM1|+|MC|]≥2a|CC1|=2a×（3﹣）=5a．當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M在線段CC1上時(shí)取等號(hào)，故ω的最小值是5a．故選B．點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型的能力，以及會(huì)用a+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)的方法來(lái)求函數(shù)的最小值的能力．6．如圖，I表示南北方向的公路，A地在公路的正東2km處，B地在A地北偏東60°方向處，河流沿岸PQ（曲線）上任一點(diǎn)到公路l和到A地距離相等，現(xiàn)要在河岸PQ上選一處M建一座碼頭，向A，B兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物，經(jīng)測(cè)算從M到A，B修建公路的費(fèi)用均為a萬(wàn)元/km，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（單位萬(wàn)元）（）A．B．5aC．D．6a考點(diǎn)：雙曲線的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：依題意知曲線PQ是以A為焦點(diǎn)、l為準(zhǔn)線的拋物線的一支，欲求從M到A，B修建公路的費(fèi)用最低，只須求出B到直線l距離即可．解答：解：依題意知曲線PQ是以A為焦點(diǎn)、l為準(zhǔn)線的拋物線的一支，根據(jù)拋物線的定義知：欲求從M到A，B修建公路的費(fèi)用最低，只須求出B到直線l距離即可．因B地在A地北偏東60°方向處，∴B到點(diǎn)A的水平距離為：3，∴B到直線l距離為：3+2=5，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低為：5a．故選B．點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型的能力，以及會(huì)用拋物線的定義的方法來(lái)求函數(shù)的最小值的能力．7．已知雙曲線與拋物線y2=8x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)F，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|PF|=5，則雙曲線的漸近線方程為（）A．B．C．x±2y=0D．2x±y=0考點(diǎn)：圓錐曲線的共同特征；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：由拋物線y2=8x得出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，由|PF|=5結(jié)合拋物線的定義得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得到雙曲線的關(guān)于a，b的方程，求出a，b的值，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線方程．解答：解：拋物線y2=8x得出其焦點(diǎn)坐標(biāo)（2，0）故雙曲線的c=2，又|PF|=5，設(shè)P（m，n），則|PF|=m+2∴m+2=5，m=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（3，）∴解得：則雙曲線的漸近線方程為故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，拋物線的定義等．解答的關(guān)鍵是學(xué)生對(duì)圓錐曲線基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度．8．已知拋物線y2=2px（p＞0）與橢圓有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：圓錐曲線的共同特征；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x0，y0）依題意可知=，把x0=代入橢圓方程求得關(guān)于y0的等式，根據(jù)拋物線定義可知y0=2c代入等式整理可得關(guān)于離心率e的一元二次方程求得e．解答：解：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x0，y0）依題意可知=，x0=代入橢圓方程得（*）根據(jù)拋物線定義可知y0=p=2=2c∴y20=4c2，代入（*）式整理得a2﹣c2﹣2ac=0兩邊除以a2得e2+2e﹣1=0，解得e=或﹣﹣1（排除）故選D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學(xué)生對(duì)圓錐曲線知識(shí)的綜合把握．9．橢圓C1：的左準(zhǔn)線為l，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，拋物線C2的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F2，C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)為P，線段PF2的中點(diǎn)為G，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為（）A．﹣1B．1C．﹣D．考點(diǎn)：圓錐曲線的共同特征．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：P到橢圓的左準(zhǔn)線的距離設(shè)為d，先利用橢圓的第二定義求得PF1|=ed，利用拋物線的定義可知|PF2|=d，最后根據(jù)橢圓的定義可知|PF2|+|PF1|=2a求得d，則|PF2|可得，最后化簡(jiǎn)即得．解答：解：設(shè)橢圓的離心率為e，P到橢圓的左準(zhǔn)線的距離設(shè)為d，則|PF1|=ed，|PF2|+|PF1|=2a，又|PF2|=d，∴d+ed=2a，∴d=|PF2|=，|PF1|=．又線段PF2的中點(diǎn)為G，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，∴|OG|=|PF1|=，則===．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活利用橢圓和拋物線的定義．10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為左支一點(diǎn)，P到左準(zhǔn)線的距離為d，若d，|PF1|，|PF2|成等比數(shù)列，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：將等比數(shù)列的概念與雙曲線的第二定義結(jié)合，再利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)得到|PF1|與其離心率e的關(guān)系，通過(guò)不等式|PF1|≥c﹣a即可求得該雙曲線的離心率的取值范圍．解答：解：∵該雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，又P為左支一點(diǎn)，則|PF2|﹣|PF1|=2a，設(shè)雙曲線的離心率為e，依題意，==e，∵=e，∴=e﹣1，即=e﹣1，∴|PF1|=，又|PF1|≥c﹣a，∴≥c﹣a，又c＞a，∴0＜≤，即（e﹣1）≤，∴e﹣1≤，又e=＞1∴1＜e≤1+．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查雙曲線的第二定義及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，突出轉(zhuǎn)化思想與不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．11．已知點(diǎn)P是雙曲線C：﹣=1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．[0，6]B．（2，]C．（，]D．[0，]考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：設(shè)P（x，y）則y2=﹣4，e=，由焦半徑公式能夠得出|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，代入所求的式子并化簡(jiǎn)得到，再由雙曲線中x2≥8，求出范圍即可．解答：解：設(shè)P（x，y）x＞0，由焦半徑公式|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，則=（y2=﹣4，e=），則原式==，又因?yàn)殡p曲線中x2≥8．所以∈（2，]．同理當(dāng)x＜0時(shí)，|PF1|=a﹣ex，|PF2|=﹣ex﹣a，仍可推出=∈（2，]．即推出的取值范圍為（2，]．點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的性質(zhì)，由焦半徑公式得到|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a是解題的關(guān)鍵，要注意分x＞0和x＜0兩種情況作答，屬于中檔題．12．已知點(diǎn)P是雙曲線左支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，雙曲線離心率為e，則=（）A．B．C．D．考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：綜合題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：利用正弦定理與雙曲線的定義及和差化積公式的綜合應(yīng)用即可求得答案．解答：解：依題意，在△PF1F2中，由正弦定理得：==與合比定理得：=，即=，∴e======，∴tan=?tan，∴=．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理與雙曲線的定義及和差化積公式的綜合應(yīng)用，求得是關(guān)鍵，屬于難題．13．設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，雙曲線兩條漸近線分別為l1，l2，過(guò)F作直線l1的垂線，分別交l1，l2于A、B兩點(diǎn)，且向量與同向．若|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，則雙曲線離心率e的大小為（）A．B．C．D．2考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．專題：計(jì)算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由勾股定理得出直角三角形的2個(gè)直角邊的長(zhǎng)度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率．解答：解：不妨設(shè)OA的傾斜角為銳角∵向量與同向，∴漸近線l1的傾斜角為（0，），∴漸近線l1斜率為：k=＜1，∴==e2﹣1＜1，∴1＜e2＜2∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴|AB|=2（|OB|﹣|OA|），∴|OB|﹣|OA|=|AB|，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列∴|OA|+|OB|=2|AB|，∴|OA|=|AB|∴在直角△OAB中，tan∠AOB=，由對(duì)稱性可知：OA的斜率為k=tan（﹣∠AOB），∴=，∴2k2+3k﹣2=0，∴k=（k=﹣2舍去）；∴=，∴==e2﹣1=，∴e2=，∴e=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)，確定|OA|=|AB|，聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的是漸近線的夾角的正切值，是解題的關(guān)鍵．14．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)焦點(diǎn)F2且垂直于x軸的弦為AB，若∠AF1B=90°，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：直接利用雙曲線的通徑與∠AF1B=90°，得到a，b，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率．解答：解：由題意可知，雙曲線的通徑為：，因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)F2且垂直于x軸的弦為AB，若∠AF1B=90°，所以2c=，所以2ca=c2﹣a2，所以e2﹣2e﹣1=0，解得e=1±，因?yàn)閑＞1，所以e=．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，雙曲線的離心率的求法，考查計(jì)算能力．15．設(shè)P為雙曲線的漸近線在第一象限內(nèi)的部分上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，A為雙曲線C的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，e是雙曲線C的離心率，則∠APF的余弦的最小值為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：根據(jù)雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)得：A（，0），F(xiàn)（c，0），P（at，bt）由直線的斜率公式，得KPF=，KPA=，再利用根據(jù)到角公式，得tan∠APF的表達(dá)式，最后利用基本不等式求得tan∠APF的最大值，從而得出∠APF的余弦的最小值．解答：解：由題意得：A（，0），F(xiàn)（c，0），P（at，bt）由直線的斜率公式，得KPF=，KPA=根據(jù)到角公式，得tan∠APF=化簡(jiǎn)，得tan∠APF===此時(shí)=則∠APF的余弦的最小值故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．涉及了雙曲線方程中a，b和c的關(guān)系，漸近線問(wèn)題，離心率問(wèn)題等．二．解答題（共15小題）16．實(shí)軸長(zhǎng)為的橢圓的中心在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F1，，F(xiàn)2在x軸上．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為y軸，兩曲線在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)A，且AF1⊥AF2，△AF1F2的面積為3．（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A作直線l分別與拋物線和橢圓交于B，C，若，求直線l的斜率k．考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合．專題：綜合題；壓軸題．分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，AF1=m，AF2=n，由題意知，由此能求出橢圓的方程和拋物線方程．（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，B（x1，y1），C（x2，y2）．由，得，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得，．聯(lián)立直線與橢圓的方程，得．由此能求出直線l的斜率．解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，AF1=m，AF2=n由題意知…（2分）解得c2=9，∴b2=12﹣9=3．∴橢圓的方程為…（4分）∵yA×c=3，∴yA=1，代入橢圓的方程得，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入得拋物線方程為x2=8y．…（6分）（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，B（x1，y1），C（x2，y2）由得，化簡(jiǎn)得…（8分）聯(lián)立直線與拋物線的方程，得∴①…（10分）聯(lián)立直線與橢圓的方程得∴②…（12分）∴整理得：∴，所以直線l的斜率為．…（14分）點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法和求直線l的斜率k．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．17．已知：點(diǎn)F是拋物線：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)作圓：（x+1）2+（y+2）2=5的兩條切線互相垂直．（Ι）求拋物線的方程；（Ⅱ）直線l：y=kx+b（k＞0）交拋物線于A，B兩點(diǎn)．①若拋物線在A，B兩點(diǎn)的切線交于P，求證：k﹣kPF＞1；②若B點(diǎn)縱坐標(biāo)是A點(diǎn)縱坐標(biāo)的4倍，A，B在y軸兩側(cè)，且，求l的方程．考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合．專題：計(jì)算題；作圖題；證明題；壓軸題．分析：（I）由題意可得：圓心、切點(diǎn)與點(diǎn)F形成的四邊形為正方形，因?yàn)榘霃綖?，所以點(diǎn)F到圓心的距離為，即可得，進(jìn)而求出p的數(shù)值．（II）①設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，），（x2，），利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，寫(xiě)出兩條切線的方程，求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出kPF=，所以k﹣kPF=k﹣=k+=，所以由基本不等式可得：k﹣kPF＞≥1．②聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，因?yàn)锽點(diǎn)縱坐標(biāo)是A點(diǎn)縱坐標(biāo)的4倍，可得x2=﹣2x1．進(jìn)而得到b=8k2．因?yàn)?，結(jié)合題意可得，進(jìn)而得到k=，b=．解答：解：（I）由題意可得：過(guò)F點(diǎn)作圓：（x+1）2+（y+2）2=5的兩條切線互相垂直，切點(diǎn)分別為M，N．所以由圓心、切點(diǎn)與點(diǎn)F形成的四邊形為正方形，因?yàn)榘霃綖?，所以點(diǎn)F到圓心的距離為，即可得，解得：p=2或者p=﹣10（舍去），所以拋物線的方程為x2=4y．（II）①設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，），（x2，），因?yàn)閽佄锞€的方程為x2=4y，所以y′=x．所以切線AP為：…①切線BP的方程為：…②，由①②可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．聯(lián)立直線l：y=kx+b與拋物線的方程的方程可得：x2﹣4kx﹣4b=0，所以△=16k2+16b＞0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，所以可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2k，﹣b），所以kPF=，所以k﹣kPF=k﹣=k+=＞，所以由基本不等式可得：k﹣kPF＞≥1．所以k﹣kPF＞1．②設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，），（x2，），由題意可得：聯(lián)立直線l：y=kx+b與拋物線的方程的方程可得：x2﹣4kx﹣4b=0，所以△=16k2+16b＞0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，…①因?yàn)锽點(diǎn)縱坐標(biāo)是A點(diǎn)縱坐標(biāo)的4倍，所以，即x22=4x12．因?yàn)锳，B在y軸兩側(cè)，所以x2=﹣2x1…②由①②可得：b=8k2…③．．又因?yàn)椋越Y(jié)合①整理可得：…④，所以由③④可得：k=，b=．所以l的方程為：．點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，并且熟練利用利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．18．已知拋物線C1：y2=4x，圓C2：（x﹣1）2+y2=1，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l交C1于A，D兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），直線l交C2于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在x軸上方）．（Ⅰ）求|AB|?|CD|的值；（Ⅱ）設(shè)直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為m、n、p、q，且滿足m+n+p+q=3，并且|AB|，|BC|，|CD|成等差數(shù)列，求出所有滿足條件的直線l的方程．考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）利用拋物線的定義和|AF|=|AB|+1就可得出|AB|=xA，同理可得：|CD|=xD，要分l⊥x軸和l不垂直x軸兩種情況分別求值，當(dāng)l⊥x軸時(shí)易求，當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，將直線的方程代入拋物線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系可求得．（2）首先在第1問(wèn)得基礎(chǔ)上和|AB|，|BC|，|CD|成等差數(shù)的關(guān)系用坐標(biāo)表示，就可得出k的值，然后再把m+n+p+q=用坐標(biāo)表示，再聯(lián)立直線和圓的方程利用根與系數(shù)關(guān)系，把幾個(gè)坐標(biāo)的關(guān)系式聯(lián)合起來(lái)就可確定k的值，從而求出此時(shí)的直線方程．解答：解：（1）∵y2=4x，焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線l0：x=﹣1．由定義得：|AF|=xA+1，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=xA同理：|CD|=xD當(dāng)l⊥x軸時(shí)，則xD=xA=1，∴|AB|×|CD|=1當(dāng)l：y=k（x﹣1）時(shí)，代入拋物線方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴xAxD=1，∴|AB|×|CD|=1綜上所述，|AB|×|CD|=1（2）∵|AB|，|BC|，|CD|成等差，且|AB|=xA，|BC|=2，|CD|=xD，∴xA+xD=4由（1）得：，∴∵l：y=k（x﹣1），∴同理：∴又把y=k（x﹣1）代入（x﹣1）2+y2=1得，（k2+1）x2﹣2（1+k2）x+k2=1，∵k2=2，∴3x2﹣6x+2=0∴，所以所求直線L的方程為點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的定義、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，好在本題還融和了等差數(shù)列，主題思路是轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)關(guān)系式，用方程的思想去解決．19．如圖：過(guò)拋物線y2=4x上的點(diǎn)A（1，2）作切線l交x軸與直線x=﹣4分別于D，B．動(dòng)點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AP上，滿足；點(diǎn)F在線段BP上，滿足，3λ1+2λ2=15且在△ABP中，線段PD與EF交于點(diǎn)Q．（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；（2）若M，N是直線x=﹣3上的兩點(diǎn)，且⊙O1：（x+2）2+y2=1是△QMN的內(nèi)切圓，試求△QMN面積的取值范圍．考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合；向量在幾何中的應(yīng)用；直線與圓的位置關(guān)系．專題：壓軸題．分析：（1）切線AB：y=x+1，D（﹣1，0），B（﹣4，﹣3），=（3，3），=（2，2），=，則=，由此能求出點(diǎn)Q的軌跡方程．（2）設(shè)Q（x0，y0）（），M（﹣3，m），N（﹣3，n），則（）．切線MQ：y﹣m=，由相切可得：（x0+1）m2+2y0m﹣（x0+3）=0，同理（x0+1）n2+2y0n﹣（x0+3）=0．由此能求出△QMN面積的取值范圍．解答：解：（1）切線AB：y=x+1，D（﹣1，0），B（﹣4，﹣3），=（3，3），=（2，2），=，則=，令=，由于E，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以，即，又3λ1+2λ2=15，故，Q分的定比為，設(shè)P（x0，y0），Q（x，y），則，故，得（y）（2）設(shè)Q（x0，y0）（），M（﹣3，m），N（﹣3，n），則（）切線MQ：y﹣m=，由相切可得：（x0+1）m2+2y0m﹣（x0+3）=0，同理（x0+1）n2+2y0n﹣（x0+3）=0．知m，n是方程（x0+1）x2+2y0x﹣（x0+3）=0的兩根故，，=，令t=x0+1，則（t），二次求導(dǎo)可知g′（t）＞0，△QMN面積的取值范圍．點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)Q的軌跡方程的求法和求△QMN面積的取值范圍，具體涉及到拋物線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)和直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．20．平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)P1（﹣2，0），P2（2，0）所成直線的斜率分別為k1、k2，且滿足．（1）求點(diǎn)M的軌跡E的方程，并指出E的曲線類型；（2）設(shè)直線l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，交曲線E于點(diǎn)C、D，且|AC|=|BD|，求k的值及△NCD面積取得最大時(shí)直線l的方程．考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合；軌跡方程．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由k1?k2=﹣，可得，整理可求（2）在，從而可得AB的中點(diǎn)為，聯(lián)立方程結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系及|AC|=|BD|，可得CD中點(diǎn)就是AB中點(diǎn)，從而可求k，由于CD|=，點(diǎn)N到CD的距離d=|m|，代入利用基本不等式可求面積的最大值及K的值，進(jìn)而可求直線方程解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），∵k1?k2=﹣，∴，即=1（y≠0）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E是中心在原點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為2，焦點(diǎn)為（±，0）的橢圓（除去長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)．）它的方程是=1（y≠0）．（2）在，AB的中點(diǎn)為設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），由﹣4=0△=32k2﹣8m2+16，x1+x2=﹣，∵|AC|=|BD|，∴CD中點(diǎn)就是AB中點(diǎn)，即﹣，∵k＞0，∴k=（2）|CD|=點(diǎn)N到CD的距離d=|m|，S△NCD=|m|=當(dāng)且僅當(dāng)4﹣m2=m2時(shí)等號(hào)成立，即m2=2，m=±，此時(shí)△＞0，所以直線的方程為l：y=．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用直線的斜率關(guān)系求解點(diǎn)的軌跡方程，要注意（1）中要去掉不符合條件的點(diǎn)，考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用．21．已知橢圓C1+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=．（1）求橢圓C1的方程；（2）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓C1上，對(duì)角線BD所在的直線的斜率為1．①當(dāng)直線BD過(guò)點(diǎn)（0，）時(shí)，求直線AC的方程；②當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合．專題：計(jì)算題；綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想．分析：（1）根據(jù)右焦點(diǎn)F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，且|MF2|=，可求出F2，根據(jù)拋物線的定義可求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，并代入拋物線方程，可求其縱坐標(biāo)；把點(diǎn)M代入橢圓方程，以及焦點(diǎn)坐標(biāo)，解方程即可求得橢圓C1的方程；（2）①直線BD所在的直線的斜率為1，且過(guò)點(diǎn)（0，），可求出BD的方程，∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD，設(shè)直線ACy=﹣x+m，聯(lián)立消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，△＞0，利用韋達(dá)定理即可求得AC的中點(diǎn)，在直線BD上，可求直線AC的方程；②ABCD為菱形，且∠ABC=60°，∴|AB|=|BC|=|CA|，菱形ABCD面積的最大值，轉(zhuǎn)化為求弦AC的最大值，利用韋達(dá)定理求出AC的長(zhǎng)度，并求其最大值即可．解答：解：（1）設(shè)M（x1，y1）∵．由拋物線定義，，∴，∴．∴在c1上，，又b2=a2﹣1∴9a4﹣37a2+4=0∴a2=4或舍去．∴a2=4，b2=3∴橢圓c1的方程為．（2）①直線BD的方程為∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD，設(shè)直線AC為y=﹣x+m，由，得7x2﹣8mx+4m2﹣12=0∵A，C、在橢圓C1上，∴△＞0解得，設(shè)A（x1，y1），c（x2，y2），則，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為．由ABCD為菱形可知，點(diǎn)在直線上，∴．∴直線AC的方程為y=﹣x﹣1即x+y+1=0．②∵ABCD為菱形，且∠ABC=60°，∴|AB|=|BC|=|CA|，∴菱形ABCD的面積=．∴當(dāng)m=0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值．點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查拋物線的定義和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線和橢圓相交中的有關(guān)中點(diǎn)弦的問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，特別是問(wèn)題（2）的設(shè)問(wèn)形式，增加了題目的難度，注意直線與圓錐曲線相交，△＞0．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法．22．F1、F2分別是雙曲線x2﹣y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y=kx+b與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．向量在向量方向的投影是p．（1）根據(jù)條件求出b和k滿足的關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)，求直線l的方程；（3）當(dāng)=m，且滿足2≤m≤4時(shí)，求△AOB面積的取值范圍．考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合．專題：計(jì)算題；綜合題；壓軸題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想．分析：（1）先利用條件求出圓O的方程，再利用圓心到直線的距離等于半徑可得b和k滿足的關(guān)系式；（2）先把直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)與b和k之間的等式，再利用以及（1）的結(jié)論求出b和k進(jìn)而求得直線l的方程；（3）用類似于（2）的方法求出之間的關(guān)系式，求出弦AB的長(zhǎng)，再把△AOB面積整理成關(guān)于m的函數(shù)；利用函數(shù)的單調(diào)性求出△AOB面積的取值范圍即可．解答：解：（1）雙曲線x2﹣y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，從而圓O的方程為x2+y2=2．由于直線y=kx+b與圓O相切，所以有．即b2=2（k2+1），（k≠±1）為所求．（3分）（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）則由并整理得，（k2﹣1）x2+2kbx+（b2+1）=0，其中k2≠1．根據(jù)韋達(dá)定理，得．（5分）從而=．又由（1）知．又由于方向上的投影為p，所以．即2k2+3﹣4k2+2k2﹣2=k2﹣1，（8分）∴所以直線l的方程為．（9分）（3）類似于（2）可得，即2k2+3﹣4k2+2k2﹣2=mk2﹣m，∴．（10分）根據(jù)弦長(zhǎng)公式，得==．∵=而2≤m≤4，∴當(dāng)m=2時(shí)，當(dāng)m=4時(shí)，因此△AOB面積的取值范圍是．（14分）點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)函數(shù)，向量，拋物線以及圓的綜合考查，由于知識(shí)點(diǎn)較多，是道難題．23．已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，且，|OP|=1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合．分析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以，由，得．由此能得到橢圓的方程．（Ⅱ）動(dòng)直線l的方程為：，由得．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．則由此能夠證明在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以．?分）∵，∴PF1⊥PF2，∴；又∵|OP|=1，∴c=1，∴．b=1．因此所求橢圓的方程為：．（4分）（Ⅱ）動(dòng)直線l的方程為：，由得．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．則．（8分）假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，則=．（12分）由假設(shè)得對(duì)于任意的恒成立，即解得m=1．因此，在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．（14分）點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．24．已知拋物線y2=4ax（a＞0）的焦點(diǎn)為F，以點(diǎn)A（a+4，0）為圓心，|AF|為半徑的圓在x軸的上方與拋物線交于M、N兩點(diǎn)．（I）求證：點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F的橢圓上；（II）設(shè)點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，是否存在這樣的a，使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng)？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合．專題：證明題；綜合題；壓軸題．分析：（1）由題中易知F的坐標(biāo)為（a，0），故|FA|=4所以，該圓的方程為（x﹣a﹣4）2+y2=16．因此要證明點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)的橢圓上只需證明|AM|+|AN|=定值且|MN|＜|AM|+|AN|即可根據(jù)橢圓的定義得出證明．而要證明以M、N為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)F只需證明|FM|+|FN|=定值且|MN|＜|FM|+|FN|，而|FM|，|FN|是拋物線的兩個(gè)過(guò)焦點(diǎn)的弦因而根據(jù)拋物線的定義可得：|FM|=x1+a，|FN|=x2+a所以|FM|+|FN|=x1+x2+2a所以需要聯(lián)立方程．（2）可假設(shè)存在這樣的a，使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng)則2|FP|=|FM|+|FN|=8即|FP|=4．設(shè)P的坐標(biāo)為，×利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|FP|=4中與x1+x2，x1x2間的關(guān)系代入求解即可，要注意在0＜a＜1的條件下取舍．解答：（本小題滿分13分）解：（I）因?yàn)樵搾佄锞€的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，0），故|FA|=4所以，該圓的方程為（x﹣a﹣4）2+y2=16，它與y2=4ax在x軸的上方交于M（x1，y1），N（x2，y2）（y1＞0，y2＞0，x1＞0，x2＞0）把y2=4ax代入到（x﹣a﹣4）2+y2=16中并化簡(jiǎn)得：由①②③得0＜a＜1又由拋物線定義可得：|FM|=x1+a，|FN|=x2+a所以|FM|+|FN|=x1+x2+2a=8而|MN|＜|FM|+|FN|=8又點(diǎn)F，M，N均在圓上，所以，|AN|=|AM|=|AF|=4所以，|AM|+||AN=8，因?yàn)?，|AM|+|AN|=|FM|+|FN|=8，|MN|＜8所以，點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F的橢圓上，…（8分）（II）若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，則有2|FP|=|FM|+|FN|=8?|FP|=4設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，由（2）（3）得這與0＜a＜1矛盾故不存在這樣的a，使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng)…（13分）點(diǎn)評(píng)：本題第一問(wèn)主要考查了利用橢圓的定義來(lái)證明點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)F的橢圓上關(guān)鍵是|AM|+|AN|=定值且|MN|＜|AM|+|AN|和|FM|+|FN|=定值且|MN|＜|FM|+|FN|的證明這可以利用橢圓和圓的性質(zhì)得到．而對(duì)于第二問(wèn)常用假設(shè)a存在然后再利用題中的條件求出a但要與a的范圍比較，若在此范圍內(nèi)則存在否則不存在．25．已知△ABC的邊AB所在直線的方程為x﹣3y﹣6=0，M（2，0）滿足，點(diǎn)T（﹣1，1）在AC所在直線上且．（1）求△ABC外接圓的方程；（2）一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)N（﹣2，0），且與△ABC的外接圓外切，求此動(dòng)圓圓心的軌跡方程Γ；（3）過(guò)點(diǎn)A斜率為k的直線與曲線Γ交于相異的P，Q兩點(diǎn)，滿足，求k的取值范圍．考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合；平面向量的綜合題；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）由，知AT⊥AB，從而直線AC的斜率為﹣3．所以AC邊所在直線的方程為3x+y+2=0．由得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣2），由此能求出△ABC外接圓的方程．（2）設(shè)動(dòng)圓圓心為P，因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)N，且與△ABC外接圓M外切，所以，即．故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為，半焦距c=2的雙曲線的左支．由此能求出動(dòng)圓圓心的軌跡方程．（3）PQ直線方程為：y=kx﹣2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（1﹣k2）x2+4kx﹣6=0（x＜0），由此能夠得到k的取值范圍．解答：解：（1）∵∴AT⊥AB，從而直線AC的斜率為﹣3．所以AC邊所在直線的方程為y﹣1=﹣3（x+1）．即3x+y+2=0．由得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣2），又．所以△ABC外接圓的方程為：（x﹣2）2+y2=8．（2）設(shè)動(dòng)圓圓心為P，因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)N，且與△ABC外接圓M外切，所以，即．故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為，半焦距c=2的雙曲線的左支．從而動(dòng)圓圓心的軌跡方程Γ為．（3）PQ直線方程為：y=kx﹣2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）由得（1﹣k2）x2+4kx﹣6=0（x＜0）∴解得：故k的取值范圍為點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．26．在直角坐標(biāo)系xoy中，已知三點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣1，）；以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，（1）求橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線l，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，使（+）?=0？若存在．求出直線l斜率的取值范圍；（3）對(duì)于y軸上的點(diǎn)P（0，n）（n≠0），存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使（+）?=0，試求實(shí)數(shù)n的取值范圍．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的定義．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）設(shè)橢圓方程為，由焦點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0）及橢圓過(guò)C（﹣1，可得到橢圓方程．（2）由，知，設(shè)直線方程y=kx+m，（k≠0），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點(diǎn)Q（x0，y0）．由題知可得（3+4k2）x2+8kmx+4k2﹣12=0，，由△＞0可得4k2+3＞m2，由可得4k2＜﹣2矛盾．所以符合條件的直線不存在．（3）由，可推出，要使k存在解得n的取值范圍是．解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為，由焦點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0）及橢圓過(guò)C（﹣1，可得，，解得，即橢圓方程是．（2）∵，∴，由題知直線的斜率存在．可設(shè)直線方程為y=kx+m，（k≠0），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點(diǎn)Q（x0，y0）．由題知，得（3+4k2）x2+8kmx+4k2﹣12=0，得，由△＞0，得4k2+3＞m2，由，得，即m=﹣3﹣4k2，又由4k2+3＞m2，可得4k2＜﹣2矛盾．所以符合條件的直線不存在．（3）由（2）知，推出，要使k存在只需，解得n的取值范圍是．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和判斷直線方程是否存在，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．27．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓上一點(diǎn)到橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為，橢圓E的離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）若b為橢圓E的半短軸長(zhǎng)，記C（0，b），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且斜率為2，與直線l平行的直線AB過(guò)點(diǎn)（1，0）且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求△ABC的面積S的值．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：（1）由題設(shè)條件，先求出a，b，c的值，然后再求橢圓E的方程．（2）由題設(shè)知點(diǎn)C（0，1），直線L的方程為：y=2x+1，直線AB的方程為：y=2x﹣2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將y=2x﹣2代入橢圓E的方程，整理可得：13x2﹣24x+9=0，再由根與系數(shù)的關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式能夠求出△ABC的面積S的值．解答：解：（1）由題意，得（2分）∴（4分）∴橢圓E的方程為（5分）（2）由（1）可知點(diǎn)C（0，1），易知直線L的方程為：y=2x+1（6分）直線AB的方程為：y=2x﹣2（7分）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將y=2x﹣2代入橢圓E的方程整理可得：13x2﹣24x+9=0，（8分）則，可得（10分）故（11分）設(shè)點(diǎn)C（0，1）到直線AB的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式可得：（13分）∴△ABC的面積．（14分）點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘條件，合理地運(yùn)用韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行解題．28．已知點(diǎn)M（0，﹣1），直線l：y=mx+1與曲線C：ax2+y2=2（m，a∈R）交于A、B兩點(diǎn)．（1）當(dāng)m=0時(shí)，有，求曲線C的方程；（2）當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，對(duì)任意m∈R，