2018江蘇高考數(shù)學(xué)試題與答案-文檔

個人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途個人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途個人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途/個人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途2018年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江蘇卷>本試題卷分為非選擇題(第1題～第20題，共20題>．本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘．參考公式：(1>樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差，其中.(2>直棱柱的側(cè)面積S＝ch，其中c為底面周長，h為高．(3>棱柱的體積V＝Sh，其中S為底面積，h為高．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．1．已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{－1，0，2}，則A∩B＝________.2．函數(shù)f(x>＝log5(2x＋1>的單調(diào)增區(qū)間是________．3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i(z＋1>＝－3＋2i(i為虛數(shù)單位>，則z的實部是________．4．根據(jù)如圖所示的偽代碼，當(dāng)輸入a，b分別為2，3時，最后輸出的m的值為________．5．從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)．則其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率是________．SjkbsIFcn16．某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2＝________.SjkbsIFcn17．已知＝2，則的值為________．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點的一條直線與函數(shù)的圖象交于P，Q兩點，則線段PQ長的最小值是________．SjkbsIFcn19．函數(shù)f(x>＝Asin(ωx＋φ>(A，ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0>的部分圖象如圖所示，則f(0>的值是________．SjkbsIFcn110．已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，則實數(shù)k的值為________．SjkbsIFcn111．已知實數(shù)a≠0，函數(shù)若f(1－a>＝f(1＋a>，則a的值為________．12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P是函數(shù)f(x>＝ex(x＞0>的圖象上的動點，該圖象在點P處的切線l交y軸于點M.過點P作l的垂線交y軸于點N.設(shè)線段MN的中點的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是________．SjkbsIFcn113．設(shè)1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________．SjkbsIFcn114．設(shè)集合A＝{(x，y>|≤(x－2>2＋y2≤m2，x，y∈R}，B＝{(x，y>|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠，則實數(shù)m的取值范圍是________．SjkbsIFcn1二、解答題：本大題共6小題，共計90分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，C．(1>若＝2cosA，求A的值；(2>若，b＝3c，求sinC的值．16．如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分別是AP、AD的中點．SjkbsIFcn1求證：(1>直線EF∥平面PCD；(2>平面BEF⊥平面PAD．17．請你設(shè)計一個包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒．E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點．設(shè)AE＝FB＝x(cm>．SjkbsIFcn1(1>某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2>最大，試問x應(yīng)取何值？(2>某廠商要求包裝盒的容積V(cm3>最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M，N分別是橢圓的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限．過P作x軸的垂線，垂足為C．連結(jié)AC，并延長交橢圓于點B．設(shè)直線PA的斜率為k.SjkbsIFcn1(1>若直線PA平分線段MN，求k的值；(2>當(dāng)k＝2時，求點P到直線AB的距離d；(3>對任意的k＞0，求證：PA⊥PB．19．已知a，b是實數(shù)，函數(shù)f(x>＝x3＋ax，g(x>＝x2＋bx，f′(x>和g′(x>分別是f(x>和g(x>的導(dǎo)函數(shù)．若f′(x>g′(x>≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f(x>和g(x>在區(qū)間I上單調(diào)性一致．SjkbsIFcn1(1>設(shè)a＞0，若f(x>和g(x>在區(qū)間[－1，＋∞>上單調(diào)性一致，求b的取值范圍；(2>設(shè)a＜0且a≠B．若f(x>和g(x>在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a－b|的最大值．SjkbsIFcn120．設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{an}的首項a1＝1，前n項的和為Sn，已知對任意的整數(shù)k∈M，當(dāng)整數(shù)n＞k時，Sn＋k＋Sn－k＝2(Sn＋Sk>都成立．SjkbsIFcn1(1>設(shè)M＝{1}，a2＝2，求a5的值；(2>設(shè)M＝{3，4}，求數(shù)列{an}的通項公式．21．A．選修4－1：幾何證明選講如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，其半徑分別為r1與r2(r1＞r2>．圓O1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上>．求證：AB∶AC為定值．B．選修4－2：矩陣與變換已知矩陣A＝，向量β＝，求向量α，使得A2α＝β.C．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓(φ為參數(shù)>的右焦點，且與直線(t為參數(shù)>平行的直線的普通方程．SjkbsIFcn1D．選修4－5：不等式選講解不等式x＋|2x－1|＜3.22．如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，點N是BC的中點，點M在CC1上．設(shè)二面角A1—DN—M的大小為θ.SjkbsIFcn1(1>當(dāng)θ＝90°時，求AM的長；(2>當(dāng)cosθ＝時，求CM的長．23．設(shè)整數(shù)n≥4，P(a，b>是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞B．SjkbsIFcn1(1>記An為滿足a－b＝3的點P的個數(shù)，求An；(2>記Bn為滿足是整數(shù)的點P的個數(shù)，求Bn.參考答案1．答案：{－1，2}2．答案：(，＋∞>3．答案：14．答案：35．答案：6．答案：7．答案：8．答案：49．答案：10．答案：.11．答案：12．答案：13．答案：14．答案：[，2＋]15．解：(1>由題設(shè)知＝2cosA．從而sinA＝cosA，cosA≠0，所以tanA＝.因為0＜A＜π，所以A＝.SjkbsIFcn1(2>由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝.所以sinC＝cosA＝.16．證明：(1>在△PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EF∥PD．又因為EF平面PCD，PD?平面PCD．所以直線EF∥平面PCD．(2>連結(jié)BD．因為AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．因為F是AD的中點，所以BF⊥AD．因為平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD．SjkbsIFcn1又因為BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．17．解：設(shè)包裝盒的高為h(cm>，底面邊長為a(cm>．由已知得a＝，，0＜x＜30.(1>S＝4ah＝8x(30－x>＝－8(x－15>2＋1800，所以當(dāng)x＝15時，S取得最大值．(2>V＝a2h＝，V′＝．由V′＝0得x＝0(舍>或x＝20.當(dāng)x∈(0，20>時，V′＞0；當(dāng)x∈(20，30>時，V′＜0.所以當(dāng)x＝20時，V取得極大值，也是最大值．此時.即包裝盒的高與底面邊長的比值為.18.解：(1>由題設(shè)知，a＝2，，故M(－2，0>，N(0，>，所以線段MN中點的坐標(biāo)為(－1，>．由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過坐標(biāo)原點，所以.SjkbsIFcn1(2>直線PA的方程為y＝2x，代入橢圓方程得，解得，因此P(，>，A(，>．于是C(，0>，直線AC的斜率為，故直線AB的方程為.因此，d＝＝.(3>解法一：將直線PA的方程y＝kx代入，解得x＝.記μ＝，則P(μ，μk>，A(－μ，－μk>．于是C(μ，0>．故直線AB的斜率為＝，其方程為y＝代入橢圓方程得(2＋k2>x2－2μk2x－μ2(3k2＋2>＝0，解得x＝或x＝－μ.因此B(，>．SjkbsIFcn1于是直線PB的斜率k1＝＝＝.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB．解法二：設(shè)P(x1，y1>，B(x2，y2>，則x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A(－x1，－y1>，C(x1，0>．設(shè)直線PB，AB的斜率分別為k1，k2.因為C在直線AB上，所以k2＝＝＝.SjkbsIFcn1從而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1＝＋1＝＝＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB．19．解：f′(x>＝3x2＋a，g′(x>＝2x＋B．(1>由題意知f′(x>g′(x>≥0在[－1，＋∞>上恒成立．因為a＞0，故3x2＋a＞0，進(jìn)而2x＋b≥0，即b≥－2x在區(qū)間[－1，＋∞>上恒成立，所以b≥2.因此b的取值范圍是[2，＋∞>．SjkbsIFcn1(2>令f′(x>＝0，解得x＝.若b＞0，由a＜0得0∈(a，b>．又因為f′(0>g′(0>＝ab＜0，所以函數(shù)f(x>和g(x>在(a，b>上單調(diào)性不一致．因此b≤0.SjkbsIFcn1現(xiàn)設(shè)b≤0.當(dāng)x∈(－∞，0>時，g′(x>＜0；當(dāng)x∈(－∞，>時，f′(x>＞0.因此，當(dāng)x∈(－∞，>時，f′(x>g′(x>＜0.故由題設(shè)得a≥且b≥，從而≤a＜0，于是≤b≤0.因此|a－b|≤，且當(dāng)a＝，b＝0時等號成立．SjkbsIFcn1又當(dāng)a＝，b＝0時，f′(x>g′(x>＝6x(x2>，從而當(dāng)x∈(，0>時f′(x>g′(x>＞0，故函數(shù)f(x>和g(x>在(，0>上單調(diào)性一致．因此|a－b|的最大值為.SjkbsIFcn120．解：(1>由題設(shè)知，當(dāng)n≥2時，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1>，即(Sn＋1－Sn>－(Sn－Sn－1>＝2S1.從而an＋1－an＝2a1＝2.又a2＝2.故當(dāng)n≥2時，an＝a2＋2(n－2>＝2n－2.所以a5的值為8.(2>由題設(shè)知，當(dāng)k∈M＝{3，4}且n＞k時，Sn＋k＋Sn－k＝2Sn＋2Sk且Sn＋1＋k＋Sn＋1－k＝2Sn＋1＋2Sk，兩式相減得an＋1＋k＋an＋1－k＝2an＋1，即an＋1＋k－an＋1＝an＋1－an＋1－k.所以當(dāng)n≥8時，an－6，an－3，an，an＋3，an＋6成等差數(shù)列，且an－6，an－2，an＋2，an＋6也成等差數(shù)列．SjkbsIFcn1從而當(dāng)n≥8時，2an＝an＋3＋an－3＝an＋6＋an－6，(*>且an＋6＋an－6＝an＋2＋an－2，所以當(dāng)n≥8時，2an＝an＋2＋an－2，即an＋2－an＝an－an－2，于是當(dāng)n≥9時，an－3，an－1，an＋1，an＋3成等差數(shù)列，從而an＋3＋an－3＝an＋1＋an－1，故由(*>式知2an＝an＋1＋an－1，即an＋1－an＝an－an－1，當(dāng)n≥9時，設(shè)d＝an－an－1.SjkbsIFcn1當(dāng)2≤m≤8時，m＋6≥8，從而由(*>式知2am＋6＝am＋am＋12，故2am＋7＝am＋1＋am＋13.SjkbsIFcn1從而2(am＋7－am＋6>＝am＋1－am＋(am＋13－am＋12>，于是am＋1－am＝2d－d＝D．SjkbsIFcn1因此，an＋1－an＝d對任意n≥2都成立．又由Sn＋k＋Sn－k－2Sn＝2Sk(k∈{3，4}>可知(Sn＋k－Sn>－(Sn－Sn－k>＝2Sk，故9d＝2S3且16d＝2S4.解得，從而，.因此，數(shù)列{an}為等差數(shù)列．由a1＝1知d＝2.SjkbsIFcn1所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1.21．選做題A．選修4—1：幾何證明選講證明：連結(jié)AO1，并延長分別交兩圓于點E和點D．連結(jié)BD，CE.因為圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，所以點O2在AD上．故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑．SjkbsIFcn1從而∠ABD＝∠ACE＝.所以BD∥CE，于是.所以AB∶AC為定值．B．選修4—2：矩陣與變換解：A2＝＝.設(shè)α＝.由A2α＝β，得＝，從而解得x＝－1，y＝2，所以α＝.C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：由題設(shè)知，橢圓的長半軸長a＝5，短半軸長b＝3，從而c＝＝4，所以右焦點為(4，0>．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0.SjkbsIFcn1故所求直線的斜率為，因此其方程為，即x－2y－4＝0.D．選修4—5：不等式選講解：原不等式可化為或解得或.所以原不等式的解集是．22．解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)CM＝t(0≤t≤2>，則各點的坐標(biāo)為A(1，0，0>，A1(1，0，2>，N(，1，0>，M(0，1，t>．所以＝(，1，0>，＝(0，1，t>，＝(1，0，2>．設(shè)平面DMN的法向量為n1