滬科版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三訓(xùn)練 專題2.3 勾股定理章末重難點突破訓(xùn)練卷（原卷版+解析）

第18章勾股定理章末重難點突破訓(xùn)練卷【滬科版】考試時間：100分鐘；滿分：100分學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）評卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2020春?太原期中）下列長度的三條線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．6，15，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，252．（3分）（2020春?海淀區(qū)校級期中）如圖，以直角三角形的一條直角邊和斜邊為一邊作正方形M和N，它們的面積分別為9平方厘米和25平方厘米，則直角三角形的面積為（）A．6平方厘米 B．12平方厘米 C．24平方厘米 D．3平方厘米3．（3分）（2020春?臨高縣期末）如圖，在水塔O的東北方向5m處有一抽水站A，在水塔的東南方12m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，則水管的長為（）A．10m B．13m C．14m D．8m4．（3分）（2020春?金寨縣期末）如圖，趙爽弦圖是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形兩條直角邊長分別為a和b．若ab＝8，大正方形的邊長為5，則小正方形的邊長為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（3分）（2023秋?沙河市期末）歷史上對勾股定理的一種證法采用了下列圖形：其中兩個全等的直角三角形邊AE、EB在一條直線上．證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CEB＝S△CDB C．S四邊形CDAE＝S四邊形CDEB D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD6．（3分）（2020春?襄城區(qū)期末）如圖，有一個水池，水面是一邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為（）尺．A．10 B．12 C．13 D．147．（3分）（2023秋?永安市期中）如圖，圓柱的底面直徑為16π，BC＝12，動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點SA．10 B．12 C．14 D．208．（3分）（2020春?郯城縣期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AH＝8，則BC的長是（）A．21 B．15 C．6 D．21或99．（3分）（2020春?靈山縣期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，兩直角邊長及斜邊上的高分別為a，b，h，則下列關(guān)系式成立的是（）A．2a2+2C．h2＝ab D．h2＝a2+b210．（3分）（2020春?思明區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，則CE2+CF2的值為（）A．8 B．16 C．32 D．64

第Ⅱ卷（非選擇題）評卷人得分二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2020春?樺南縣期末）在△ABC中，若其三條邊的長度分別為9、12、15，則這個三角形的面積是．12．（3分）（2020春?重慶期末）如圖，所有陰影四邊形都是正方形，兩個空白三角形均為直角三角形，且A、B、C三個正方形的邊長分別為2、3、4，則正方形D的面積為．13．（3分）（2020春?東湖區(qū)校級期中）探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…請寫出下一數(shù)組：．14．（3分）（2020春?防城港期末）如圖，一根長20cm的吸管置于底面直徑為9cm，高為12cm的圓柱形水杯中，吸管露在杯子外面的長度最短是cm．15．（3分）（2020?揚州）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？答：折斷處離地面尺高．16．（3分）（2020春?齊齊哈爾期末）如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處（三條棱長如圖所示），問最短路線長為．評卷人得分三．解答題（共6小題，滿分52分）17．（8分）（2020春?來賓期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B．（1）求證：CD⊥AB；（2）如果AC＝8，BC＝6，求CD的長．18．（8分）（2020春?涿鹿縣期中）如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地（圖中的四邊形ABCD），經(jīng)測量，在四邊形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．（1）△ACD是直角三角形嗎？為什么？（2）小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問鋪滿這塊空地共需花費多少元？19．（8分）（2020春?塔河縣校級期末）如圖，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于點P，求證：BP2＝AP2+BC2．20．（8分）（2020春?越城區(qū)期中）一艘輪船以20海里/時的速度由西向東航行，在途中接到臺風(fēng)警報，臺風(fēng)中心正以40海里/時的速度由南向北移動，距臺風(fēng)中心20海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬于臺風(fēng)區(qū)域，當(dāng)輪船到A處時測得臺風(fēng)中心移到位于點A正南方的B處，且AB＝100海里．若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中是否會遇到臺風(fēng)？若會，則求出輪船最初遇到臺風(fēng)的時間；若不會，請說明理由．21．（10分）（2020春?岳陽期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，測得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？22．（10分）（2020春?江陰市期中）【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式，2002年8月在北京召開了國際數(shù)學(xué)大會，大會會標(biāo)如圖1所示，它是由四個形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，四個直角三角形的兩條直角邊長均分別為a、b，斜邊長為c．（1）圖中陰影部分小正方形的邊長可表示為；（2）圖中陰影部分小正方形的面積用兩種方法可分別表示為、（3）你能得出的a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系是（等號兩邊需化為最簡形式）；（4）一直角三角形的兩條直角邊長為5和12，則其斜邊長為【知識遷移】通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式．如圖2是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．（5）用不同方法計算這個正方體體積，就可以得到一個等式，這個等式可以為（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的規(guī)律求a3+b3的值．

第18章勾股定理章末重難點突破訓(xùn)練卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2020春?太原期中）下列長度的三條線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．6，15，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，25【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個就是直角三角形．【答案】解：A、∵62+152≠172，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合題意；B、∵72+122≠152，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合題意；C、∵132+152≠202，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合題意；D、∵72+242＝252，∴該三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．2．（3分）（2020春?海淀區(qū)校級期中）如圖，以直角三角形的一條直角邊和斜邊為一邊作正方形M和N，它們的面積分別為9平方厘米和25平方厘米，則直角三角形的面積為（）A．6平方厘米 B．12平方厘米 C．24平方厘米 D．3平方厘米【分析】根據(jù)勾股定理求出另一條直角邊的長，再根據(jù)直角三角形的面積公式求出直角三角形的面積．【答案】解：根據(jù)勾股定理可得直角三角形的另一邊長為：25?9=可得這個直角三角形的面積為：12故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理和直角三角形面積的求法，理解直角三角形的面積等于其兩直角邊長乘積的一半是解題的關(guān)鍵．3．（3分）（2020春?臨高縣期末）如圖，在水塔O的東北方向5m處有一抽水站A，在水塔的東南方12m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，則水管的長為（）A．10m B．13m C．14m D．8m【分析】由題意可知東北方向和東南方向間剛好是一直角，利用勾股定理解圖中直角三角形即可．【答案】解：已知東北方向和東南方向剛好是一直角，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝5m，OB＝12m，∴AB=OA2故選：B．【點睛】本題考查的知識點是勾股定理的應(yīng)用，正確運用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．4．（3分）（2020春?金寨縣期末）如圖，趙爽弦圖是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形兩條直角邊長分別為a和b．若ab＝8，大正方形的邊長為5，則小正方形的邊長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長．【答案】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，∵每一個直角三角形的面積為：12ab=∴4×12ab+（a﹣b）2＝5∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∵正方形的邊長a﹣b＞0，∴a﹣b＝3，故選：C．【點睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．5．（3分）（2023秋?沙河市期末）歷史上對勾股定理的一種證法采用了下列圖形：其中兩個全等的直角三角形邊AE、EB在一條直線上．證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CEB＝S△CDB C．S四邊形CDAE＝S四邊形CDEB D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個圖形的面積，從而證明勾股定理．【答案】解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD．可知12ab+12c2+12ab=12∴c2+2ab＝a2+2ab+b2，整理得a2+b2＝c2，∴證明中用到的面積相等關(guān)系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的證明依據(jù)．此類證明要轉(zhuǎn)化成該圖形面積的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成方程達(dá)到證明的結(jié)果．6．（3分）（2020春?襄城區(qū)期末）如圖，有一個水池，水面是一邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為（）尺．A．10 B．12 C．13 D．14【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【答案】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+（102）2＝（x+1）2解得：x＝12，蘆葦?shù)拈L度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：蘆葦長13尺．故選：C．【點睛】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．7．（3分）（2023秋?永安市期中）如圖，圓柱的底面直徑為16π，BC＝12，動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點SA．10 B．12 C．14 D．20【分析】先把圓柱的側(cè)面展開，連接AS，利用勾股定理即可得出AS的長．【答案】解：如圖所示，∵在圓柱的截面ABCD中AB=16π，∴AB=12×16π×∴AS=8故選：A．【點睛】本題考查的是平面展開﹣最短路徑問題，根據(jù)題意畫出圓柱的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．8．（3分）（2020春?郯城縣期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AH＝8，則BC的長是（）A．21 B．15 C．6 D．21或9【分析】高線AH可能在三角形的內(nèi)部也可能在三角形的外部，本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．分別依據(jù)勾股定理即可求解．【答案】解：如圖所示，在Rt△ABH中，∵AB＝17，AH＝8，∴BH=1在Rt△ACH中，∵AC＝10，AH＝8，∴CH=1∴當(dāng)AH在三角形的內(nèi)部時，如圖1，BC＝15+6＝21；當(dāng)AH在三角形的外部時，如圖2，BC＝15﹣6＝9．∴BC的長是21或9．故選：D．【點睛】本題考查的是勾股定理，在解答此題時要進(jìn)行分類討論，不要漏解．9．（3分）（2020春?靈山縣期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，兩直角邊長及斜邊上的高分別為a，b，h，則下列關(guān)系式成立的是（）A．2a2+2C．h2＝ab D．h2＝a2+b2【分析】設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理得出c=a【答案】解：設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理得出c=a∵12ab=1∴ab=a2+b2?h，即a2b2＝a2h2+∴a2即1a故選：B．【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．10．（3分）（2020春?思明區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，則CE2+CF2的值為（）A．8 B．16 C．32 D．64【分析】根據(jù)角平分線的定義推出△ECF為直角三角形，然后根據(jù)勾股定理求得CE2+CF2＝EF2，即可得出結(jié)果．【答案】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=1即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）＝90又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，∴CM＝EM＝MF＝4，∴EF＝8，由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2＝64，故選：D．【點睛】本題考查角平分線的定義、勾股定理、直角三角形的判定；熟練掌握勾股定理，證明三角形是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2020春?樺南縣期末）在△ABC中，若其三條邊的長度分別為9、12、15，則這個三角形的面積是54．【分析】利用勾股定理逆定理可判斷出△ABC為直角三角形，然后再求面積即可．【答案】解：∵92+122＝152，∴△ABC為直角三角形，∴這個三角形的面積是：12故答案為：54．【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．12．（3分）（2020春?重慶期末）如圖，所有陰影四邊形都是正方形，兩個空白三角形均為直角三角形，且A、B、C三個正方形的邊長分別為2、3、4，則正方形D的面積為29．【分析】設(shè)正方形D的面積為x，根據(jù)圖形得出方程4+16＝x﹣9，求出即可．【答案】解：設(shè)正方形D的面積為x，∵正方形A、B、C的邊長分別為2、3、4，∴正方形的面積分別為4、9、16，根據(jù)圖形得：4+16＝x﹣9，解得：x＝29，故答案為：29．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出方程，題目比較典型，難度適中．13．（3分）（2020春?東湖區(qū)校級期中）探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…請寫出下一數(shù)組：（11，60，61）．【分析】先找出每組勾股數(shù)與其組數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，再根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答．【答案】解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；（5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；（7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；（9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；∴下一組數(shù)為：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，故答案為：（11，60，61）．【點睛】本題考查的是勾股數(shù)，根據(jù)所給的每組勾股數(shù)找出各數(shù)與組數(shù)的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．14．（3分）（2020春?防城港期末）如圖，一根長20cm的吸管置于底面直徑為9cm，高為12cm的圓柱形水杯中，吸管露在杯子外面的長度最短是5cm．【分析】根據(jù)勾股定理求出h的最短距離，進(jìn)而可得出結(jié)論．【答案】解：如圖，當(dāng)吸管、底面直徑、杯子的高恰好構(gòu)成直角三角形時，h最短，此時AB=92+1故h最短＝20﹣15＝5（cm）；故答案為：5．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．15．（3分）（2020?揚州）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？答：折斷處離地面4.55尺高．【分析】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理得出折斷處離地面的高度即可．【答案】解：設(shè)折斷處離地面x尺，根據(jù)題意可得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55．答：折斷處離地面4.55尺．故答案為：4.55．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．16．（3分）（2020春?齊齊哈爾期末）如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處（三條棱長如圖所示），問最短路線長為5．【分析】分別利用從不同的表面得出其路徑長，進(jìn)而得出答案．【答案】解：如圖1，AC1=6如圖2，AC1=4如圖3，AC1=2故沿長方體的表面爬到對面頂點C處，只有圖2最短，其最短路線長為：5，故答案為：5．【點睛】此題主要考查了平面展開圖最短路徑問題，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．三．解答題（共6小題，滿分52分）17．（8分）（2020春?來賓期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B．（1）求證：CD⊥AB；（2）如果AC＝8，BC＝6，求CD的長．【分析】（1）根據(jù)∠ACB＝90°，得出∠A+∠B＝90°，根據(jù)∠ACD＝∠B，得出∠A+∠ACD＝90°，再根據(jù)兩銳角互余的三角形是直角三角形即可得出答案．（2）根據(jù)勾股定理求得AB的長度，然后利用等面積法求得CD的長度．【答案】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠ACD＝∠B，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB．（2）解：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得AB=A∵12?AB?CD=12?AC∴CD=AC?BC【點睛】本題主要考查了勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠A+∠B＝90°．18．（8分）（2020春?涿鹿縣期中）如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地（圖中的四邊形ABCD），經(jīng)測量，在四邊形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．（1）△ACD是直角三角形嗎？為什么？（2）小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問鋪滿這塊空地共需花費多少元？【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2＝AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°；（2）分別利用三角形的面積公式求出△ABC、△ACD的面積，兩者相加即是四邊形ABCD的面積，再乘以80，即可求總花費．【答案】解：（1）如圖，連接AC，在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2∴AC＝5cm，在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°；（2）∵S△ABC=12×3×4＝6，S△ACD=∴S四邊形ABCD＝6+30＝36，費用＝36×80＝2880（元）．答：鋪滿這塊空地共需花費2880元．【點睛】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用、三角形的面積公式．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．19．（8分）（2020春?塔河縣校級期末）如圖，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于點P，求證：BP2＝AP2+BC2．【分析】在直角三角形中，利用勾股定理得到AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（MC2﹣MP2）①，AM2﹣MP2＝AP2②，MC2+BC2﹣MP2＝BM2﹣MP2＝BP2③．把②③代入①證得結(jié)論．【答案】證明：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，則AB2﹣AC2＝BC2．又∵在直角△AMP中，AP2＝AM2﹣MP2，∴AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（AM2﹣MP2）．又∵AM＝CM，∴AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（MC2﹣MP2），①∵△APM是直角三角形，∴AM2＝AP2+MP2，則AM2﹣MP2＝AP2，②∵△BPM與△BCM都是直角三角形，∴BM2＝BP2+MP2＝MC2+BC2，MC2+BC2﹣MP2＝BM2﹣MP2＝BP2，③把②③代入①，得AB2﹣AC2+AP2＝BP2，即BP2＝AP2+BC2．【點睛】本題考查了勾股定理．正確利用等量代換是解題的難點．20．（8分）（2020春?越城區(qū)期中）一艘輪船以20海里/時的速度由西向東航行，在途中接到臺風(fēng)警報，臺風(fēng)中心正以40海里/時的速度由南向北移動，距臺風(fēng)中心20海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬于臺風(fēng)區(qū)域，當(dāng)輪船到A處時測得臺風(fēng)中心移到位于點A正南方的B處，且AB＝100海里．若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中是否會遇到臺風(fēng)？若會，則求出輪船最初遇到臺風(fēng)的時間；若不會，請說明理由．【分析】假設(shè)途中會遇到臺風(fēng)，且最初遇到的時間為th，此時輪船位于C處，臺風(fēng)中心移到E處，連接CE，由題意得：AC＝20t，AE＝AB﹣BE＝100﹣40t，EC＝20，根據(jù)勾股定理可得（20t）2+（100﹣40t）2＝202，方程無解，進(jìn)而可得不會受影響．【答案】解：不會受影響，假設(shè)途中會遇到臺風(fēng)，且最初遇到的時間為th，此時輪船位于C處，臺風(fēng)中心移到E處，連接CE，則AC＝20t，AE＝AB﹣BE＝100﹣40t，AC2+AE2＝EC2．（20t）2+（100﹣40t）2＝202，整理得：5t2﹣20t+24＝0∵△＝（﹣20）2﹣4×5×24＜0∴方程無實數(shù)根，∴不會受影響．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．21．（10分）（2020春?岳陽期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，測得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．【答案】解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是從村莊C到河邊的最近路；（2）設(shè)AC＝x千米，在Rt