專題02 圓與方程（解析版）

專題02圓與方程求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.（2023·江蘇南京外國語中學(xué)期末）已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過，兩點，則圓的方程是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，利用圓過兩點的坐標(biāo)求出及半徑，從而得圓標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】由題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為，∵圓過，兩點，∴，解得，則圓半徑為．∴圓方程為．故選：C．【點睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題關(guān)鍵是求出圓心坐標(biāo)和半徑．2.（2023·江蘇宿遷沭陽期末）已知以為圓心的圓與直線相切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線與圓C相切可求得圓C的半徑，進而求解即可.【詳解】由題意，圓C的半徑為，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.3.（2023·江蘇蘇州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，寫出滿足條件“過點且與圓相外切”的一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】設(shè)滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由點在圓上及外切關(guān)系可得方程組，化簡取值即可得其中一個符合的結(jié)果.【詳解】設(shè)滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），則有，即，兩式相減化簡得.不妨取，則，故滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：（答案不唯一）4.（2023·江蘇徐州銅山期末）以點為圓心，與軸相切的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓與軸相切得出半徑，再根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題知，圓心為，因為圓與軸相切，所以圓的半徑，所求圓的方程為.故選：C.5.（2023·江蘇常州第三中學(xué)期末）已知以點為圓心的圓與直線相切，過點的直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，．（1）求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由圓與直線相切結(jié)合點線距離公式可得半徑，即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別討論直線l與x軸垂直與否，設(shè)出直線方程，結(jié)合垂徑定理、點線距離公式列方程即可解得參數(shù).【小問1詳解】設(shè)圓A半徑為R，由圓與直線相切得，∴圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】i.當(dāng)直線l與x軸垂直時，即，此時，符合題意；ii.當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)方程為，即，Q是MN中點，，∴，即，解得，∴直線l為：.∴直線l的方程為或.6．（2023·江蘇淮安期末）已知圓C過兩點，，且圓心在直線上．（1）求圓C的方程；（2）過點作直線l與圓C交于M，N兩點，若，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)弦長及圓的半徑求出弦心距，據(jù)此分直線斜率存在與不存在兩種情況求解即可.【小問1詳解】設(shè)圓C方程為，則，解得，所以圓C的方程為．【小問2詳解】設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，則．當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l：，滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，即，所以，解得，此時，直線l的方程為，即．綜上所述，直線l的方程為或．7.（2023·江蘇南大附中期末）已知圓圓心為原點，且與直線相切，直線l過點．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l被圓所截得的弦長為，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）直接由圓心到直線的距離求出半徑，即可求出圓的方程；（2）先由弦長公式求出，斜率不存在時符合題意，斜率存在時，設(shè)出直線方程，由解出直線斜率，即可求解.【小問1詳解】設(shè)圓的半徑為，則，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】設(shè)圓心到直線到的距離為，則，解得；當(dāng)直線l斜率不存在時，易得，此時圓心到的距離，符合題意；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)，即，則，解得，即，故直線l的方程為或.8.（2023·江蘇南京勵志中學(xué)期末）已知圓C的圓心坐標(biāo)為,且與y軸相切，直線l過與圓C交于M、N兩點．且．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線l的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由圓與y軸相切及圓心坐標(biāo)，得到半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由弦長及垂徑定理得到圓心到過的直線l的距離，分直線斜率不存在和斜率存在兩種情況，結(jié)合點到直線距離公式得到方程，求出斜率，得到直線方程.【小問1詳解】∵圓C的圓心坐標(biāo)為，且與y軸相切，∴圓心到y(tǒng)軸的距離d＝2＝r，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】∵圓C的弦長，又由（1）知半徑r＝2，∴圓心到過的直線l的距離，若過的直線l的斜率不存在，則直線l的方程為，此時直線與圓相切，顯然不滿足題意；∴當(dāng)過的直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，∴，解得k＝－1或－7，∴直線l的方程為或．9.（2023·江蘇南京秦淮中學(xué)期末）已知圓C過兩點，，且圓心在直線上．（1）求圓C的方程；（2）過點作直線l與圓C交于M，N兩點，若，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)弦長及圓的半徑求出弦心距，據(jù)此分直線斜率存在與不存在兩種情況求解即可.【小問1詳解】設(shè)圓C的方程為，則，解得，所以圓C的方程為．【小問2詳解】設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，則．當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l：，滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，即，所以，解得，此時，直線l的方程為，即．綜上所述，直線l的方程為或．點與圓的位置關(guān)系1．（2023·江蘇連云港期末）設(shè)為實數(shù)，若直線與圓相切，則點與圓的位置關(guān)系是（）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)題意，由點到直線的距離公式可得，從而得到點在圓上.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，且直線與圓相切，則圓心到直線的距離，即，所以點坐標(biāo)滿足圓的方程，所以點在圓上，故選:A圓的一般方程的辨析1.（2023·江蘇奔牛高級中學(xué)期末）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.，3 B.，3 C.，9 D.，9【答案】A【解析】【分析】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得圓心坐標(biāo)和半徑.【詳解】由方程可得，故圓心坐標(biāo)為，半徑為3．故選：A.2.（2023·江蘇鹽城伍佑高中期末）方程表示一個圓，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】運用配方法，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征進行求解即可.【詳解】由，得，解得.故選：B3.（2023·江蘇鹽城實驗高中期末）若方程表示的曲線為圓，則的取值范圍是（）．A. B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的一般式滿足關(guān)系即可求解.【詳解】若方程表示的曲線為圓，則，即，解得：，故選:C．4.若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則有（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由一次函數(shù)的性質(zhì)判斷詳解】直線即，經(jīng)過第一、二、四象限，則，得，.故選：B5.（2023·江蘇蘇州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于曲線的說法正確的有（）A.若，則曲線表示一個圓B.若，則曲線表示兩條直線C.若，則過點與曲線相切的直線有兩條D.若，則直線被曲線截得弦長等于【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)各選項參數(shù)的值代入依題意驗證即可.【詳解】由曲線，對于A：當(dāng)，則曲線，即，表示圓心為，半徑為的圓，故A正確；對于B：當(dāng)，則曲線，即，表示點，故B錯誤；對于C：當(dāng)，則曲線，即，表示圓心為，半徑為的圓，因為，所以點在圓外，則過點與曲線相切的直線有兩條，故C正確；對于D：圓心到直線的距離，所以直線與圓相交所得弦長，故D錯誤.故選：AC求圓的一般方程1.（2023·江蘇南京大廠高中期末）已知圓過點，，，則圓的方程為___．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓的一般方程，然后將點代入組成方程組解出即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓的方程為，又由圓過點，，，則有，解可得，，，即圓的方程為：，故答案為：.2.（2023·江蘇徐州銅山期末）在以下三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并進行求解：①圓經(jīng)過點；②圓心在直線上；③圓與直線相切；已知圓經(jīng)過點，且__________（1）求圓的方程；（2）已知點，問在圓上是否存在點，使得？若存在，求出點的個數(shù)；若不存在，說明理由．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）答案見解析；（2）存在，符合題意的點的個數(shù)是2個．【解析】【分析】（1）若選①，設(shè)圓的方程為，由條件列方程求可得結(jié)論；若選②，先求直線的垂直平分線方程，與直線聯(lián)立可求圓心坐標(biāo)，再求圓的半徑，由此可得圓的方程；若選③，設(shè)圓的方程為，由條件列方程求可得圓的方程；（2）設(shè)，由條件求點的軌跡方程，再求該方程與圓的交點個數(shù)即可.【小問1詳解】若選①，設(shè)圓的方程為，由已知可得，解得，所以圓的方程為，若選②，由已知的中點為的斜率為，所以的中垂線方程為：，即，又因為圓心在直線上，聯(lián)立，可得，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的方程為：；若選③，設(shè)圓的方程為，因為圓經(jīng)過點，所以，因為圓與直線相切，所以，解得，所以圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)，由已知，，即，點在圓上，圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，又因點在圓上，圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，又，，所以，圓與圓相交，兩圓有兩個公共點，符合題意的點的個數(shù)是2個．求動點的軌跡方程1.（2023·江蘇南京大廠高中期末）當(dāng)點在圓上運動時，連接它與定點，線段的中點的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)中點坐標(biāo)關(guān)系用的坐標(biāo)表示出的坐標(biāo)，結(jié)合在圓上得到的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，即為的軌跡方程.【詳解】設(shè)，因為的中點為，所以，所以，又因為在圓上，所以，所以的軌跡方程即為，故選：C.2.（2023·江蘇南京寧海中學(xué)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，三點A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，動點P滿足PA=PB，則以下結(jié)論正確的是（）A.點P的軌跡方程為(x－3)2+y2=8 B.△PAB面積最大時，PA=2C.∠PAB最大時，PA= D.P到直線AC距離最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)可求得點軌跡方程為，A正確；根據(jù)直線過圓心可知點到直線的距離最大值為，由此可確定面積最大時，由此可確定B不正確；當(dāng)最大時，為圓的切線，利用切線長的求法可知C錯誤；求得方程后，利用圓上點到直線距離最值的求解方法可確定D正確.【詳解】對于A：設(shè)，由得：，即，化簡可得：，即點軌跡方程為，故A正確；對于B：直線過圓的圓心，點到直線的距離的最大值為圓的半徑，即為，，面積最大為，此時，，故B不正確；對于C：當(dāng)最大時，則為圓的切線，，故C正確；對于D：直線的方程為，則圓心到直線的距離為，點到直線距離最小值為，D正確.故選：ACD.3.（2023·江蘇鹽城伍佑高中期末）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.（1）求圓的方程；（2）若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出圓心的坐標(biāo)和圓的半徑，即得解；（2）設(shè)點，，由得，代入圓的方程即得解.【小問1詳解】由題意可知，的中點為，，所以的中垂線方程為，它與軸交點為圓心，又半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，由，得，所以，又點在圓上，故，所以，化簡得的軌跡方程為圓的方程的實際應(yīng)用1.（2023·江蘇蘇州期末）“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形挪動高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）A.1.2m B.1.3m C.1.4m D.1.5m【答案】B【解析】【分析】設(shè)半徑為R，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.【詳解】設(shè)半徑為R，,解得,化簡得.故選：B.2.（2023·江蘇鹽城大豐期末）已知點P在圓上，點，．（1）求點P到直線AB距離的最大值；（2）當(dāng)∠PBA最小時，求線段PB的長．【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)圓上的點到直線的距離最大值為圓心到直線的距離與半徑和求解即可；（2）由題意當(dāng)直線與圓相切時，最小，再根據(jù)勾股定理求解即可.【小問1詳解】直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，故圓與直線相離，點到直線距離的最大值為；【小問2詳解】當(dāng)直線與圓相切時，最小，由勾股定理可得，此時線段的長為3.（2023·江蘇鹽城伍佑高中期末）若直線與圓交于，兩點，當(dāng)最小時，劣弧的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡直線方程化為，得到直線恒過定點，結(jié)合圓的性質(zhì)和圓的弦長公式，即可求解.【詳解】由題意，直線可化為，當(dāng)且，即且時，等式恒成立，所以直線恒過定點，由圓的方程知，圓心為，半徑，當(dāng)直線時，取得最小值，且最小值為，如圖，此時弦長對的圓心角一半的正切值為，故圓心角為，所以劣弧長為.故選：B.直線與圓的位置關(guān)系1.（2023·江蘇響水灌江高中期末）直線和圓的位置關(guān)系是（）A.相離? B.相切或相離 C.相交? D.相切【答案】CD【解析】【分析】直線恒過點（1，1），且點（1，1）在圓上，直線的斜率不存在或存在且不為0，結(jié)合圖形判斷直線和圓的關(guān)系．【詳解】∵圓可化為，∴圓心為（0，1），半徑為1，∵直線恒過點（1，1），且點（1，1）在圓上，當(dāng)時，直線與圓相切，當(dāng)時，直線與圓相交，∴直線和圓的關(guān)系是相交或相切，故選：CD．2．已知直線l：，圓C：，若圓C上恰有三個點到直線l的距離為1，則（）A．1 B．3 C． D．4【答案】B【分析】由數(shù)形結(jié)合結(jié)合點線距離即可求【詳解】由題意得，，則點C到直線l的距離為，圓C上恰有三個點到直線l的距離為1，則如圖所示，直線l交圓于A、B垂直半徑于，.故，故.故選：B3.（2023·江蘇灌云期末）已知直線，圓，則（）A.圓的圓心為 B.直線過定點C.圓心到直線的最大距離為 D.無論取何值，直線與圓相交【答案】BCD【解析】【分析】將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為一般方程可判斷A,求出直線恒過的定點可判斷B,C,D.【詳解】由題可得，所以圓的圓心為，故A錯誤；由的，聯(lián)立解得，所以直線過定點，故B正確；直線過定點為，當(dāng)時，圓心到直線的距離最大為，故C正確；因為，所以直線過定點在圓內(nèi)，所以無論取何值，直線與圓相交，故D正確；故選:BCD.4.（2023·江蘇南大附中期末）若直線與圓交于，兩點，且，關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的值為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】先對圓的方程配方，求出圓心，再根據(jù)兩直線以及圓之間的關(guān)系求解.【詳解】由圓的方程：得：，圓心坐標(biāo)為，直線與圓交于，兩點，且，關(guān)于直線對稱，則直線必定經(jīng)過圓心，，，又根據(jù)垂徑定理：直線與直線垂直，可得，即，所以，故；故選：A.5.（2023·江蘇如皋期末）若直線與圓相切，則實數(shù)取值的集合為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線與圓相切可得，結(jié)合點到直線的距離公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由圓可得，表示圓心為，半徑為的圓，則圓心到直線的距離，因為直線與圓相切，所以，即，解得或，即實數(shù)取值的集合為.故選:B6.（2023·江蘇南京秦淮中學(xué)期末）“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合直線和圓相切的等價條件，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，即，，即，∴“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件，故選：A．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用直線與圓相切的等價條件是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．7.（2023·江蘇南京外國語中學(xué)期末）已知直線過點，且斜率為1，若圓上恰有3個點到的距離為1，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】由于圓上恰有3個點到的距離為1，則圓心到直線的距離等于半徑減去1，列方程即可求解．【詳解】由于直線過點且斜率為1，則直線，圓上恰有3個點到的距離為1，圓心到直線的距離等于半徑減去1，圓心到直線的距離為，解得，因為，所以.故答案為：.8.（2023·江蘇鹽城高中期末）已知直線過點，且斜率為，若圓上有4個點到的距離為1，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由點斜式求出直線方程，再確定圓心，由題意知圓心到直線的距離小于1，即可求出的取值范圍.【詳解】因為圓上有4個點到的距離為1，所以圓心到直線的距離小于1，設(shè)圓的圓心到直線的距離為，又因為過點，且斜率為的直線方程為，即，所以，解得，即.故選：C.9.（2023·江蘇南京燕子磯中學(xué)期末）已知點及圓：.(1)若直線過點且與圓心的距離為，求直線的方程．(2)設(shè)直線與圓交于，兩點，是否存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）或；（2）見解析【解析】【分析】【詳解】試題分析:(1)當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)出直線方程,利用圓心到直線的距離等于建立方程,解出子線的斜率,由此求得直線方程.當(dāng)直線斜率不存在時,直線方程為,經(jīng)驗證可知也符合.(2)將直線方程代入圓的方程,利用判別式大于零求得的取值范圍,利用”圓的弦的垂直平分線經(jīng)過圓心”,求出直線的斜率,進而求得的值,由此判斷不存在.試題解析:(1)設(shè)直線l的斜率為k(k存在)，則方程為y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.又圓C的圓心為(3，－2)，半徑r＝3，由＝1，解得k＝.所以直線方程為，即3x＋4y－6＝0.當(dāng)l的斜率不存在時，l的方程為x＝2，經(jīng)驗證x＝2也滿足條件(2)把直線y＝ax＋1代入圓C的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.由于直線ax－y＋1＝0交圓C于A，B兩點，故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，解得a<0.則實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)．設(shè)符合條件的實數(shù)a存在．由于l2垂直平分弦AB，故圓心C(3，－2)必在l2上．所以l2的斜率kPC＝－2.而kAB＝a＝－，所以a＝.由于，故不存在實數(shù)a，使得過點P(2,0)的直線l2垂直平分弦AB【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,考查直線和圓相交時的代數(shù)表示方法.第一問由于題目給出圓心到直線的距離,故可利用點到直線的距離公式,建立方程,求的直線的斜率.由于直線的斜率可能不存在,故必須對直線斜率不存在的情況進行驗證.直線和圓相交,那么直線和圓方程聯(lián)立所得一元二次不等式的判別式要大于零.10.（2023·江蘇響水灌江高中期末）已知以點為圓心的圓與直線相切，過點的直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，．（1）求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線l的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由圓與直線相切結(jié)合點線距離公式可得半徑，即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別討論直線l與x軸垂直與否，設(shè)出直線方程，結(jié)合垂徑定理、點線距離公式列方程即可解得參數(shù).【小問1詳解】設(shè)圓A半徑為R，由圓與直線相切得，∴圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】i.當(dāng)直線l與x軸垂直時，即，此時，符合題意；ii.當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)方程為，即，Q是MN中點，，∴，即，解得，∴直線l為：.∴直線l的方程為或.11.（2023·江蘇鹽城高中期末）已知圓．（1）若一直線被圓C所截得的弦的中點為，求該直線的方程；（2）設(shè)不過圓心的直線與圓C交于A，B兩點，把的面積S表示為m的函數(shù)，并求S的最大值．【答案】（1）；（2），；.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出圓心坐標(biāo)，再利用圓的性質(zhì)求解作答.（2）利用點到直線的距離公式，求出邊AB上的高，再求出弦AB長即可求解作答.【小問1詳解】圓圓心，半徑，顯然點在圓C內(nèi)，由圓的性質(zhì)知，當(dāng)為圓C弦的中點時，該弦所在直線垂直于直線，直線的斜率，則有所求直線斜率為1，方程為：，即，所以該直線的方程為.【小問2詳解】直線與圓相交時，圓心C到直線l的距離，解得，又直線l不過圓心，即，因此且，，的面積，因為且，則，當(dāng)，即或時，，所以，，當(dāng)或時，.直線與曲線的交點問題1.（2023·江蘇常州第一中學(xué)期末）若直線與曲線有兩個公共點，則實數(shù)b的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】畫出直線與圓的圖象，根據(jù)直線與曲線有兩個公共點，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】如圖所示：當(dāng)直線與曲線相切時，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，因為直線與曲線有兩個公共點，所以實數(shù)b的取值范圍為，故答案為：.2.（2023·江蘇南京師范大學(xué)附中期末）直線與曲線恰有兩個交點，則實數(shù)取值范圍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件及直線與圓相切的充要條件，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.【詳解】曲線表示圓在軸的上半部分，當(dāng)直線與圓相切時，，解得，當(dāng)點在直線上時，，可得,所以實數(shù)取值范圍為.故選：B.3.（2023·江蘇南通立發(fā)中學(xué)期末）曲線C：與軸圍成圖形的面積是______.【答案】【解析】【分析】將曲線C方程兩邊平方，化簡為，它的圖像是以為圓心，以2為半徑的上半圓周（包括圓與軸的交點），用圓的面積公式乘以即可得出答案.【詳解】由同時平方可得，即，化簡為：，它的圖像是以為圓心，以2為半徑的上半圓周（包括圓與軸的交點），曲線C：與軸圍成圖形的面積是.故答案為：.求圓的切線方程1.（2023·江蘇灌南高級中學(xué)期末）垂直于直線且與圓相切的直線的方程是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】令所求直線為，根據(jù)與圓的相切關(guān)系求參數(shù)m，即可得方程.【詳解】由題設(shè)，與垂直的直線為，又與圓相切，則，可得，經(jīng)檢驗滿足題設(shè).∴所求直線方程為或.故選：BD.2.（2023·江蘇鹽城大豐期末）過點作圓的切線，則切線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，由切線與MC垂直可得切線斜率，由點斜式即可得切線方程.【詳解】由題可知點在圓上，，則切線的斜率為，所以切線方程為，化簡可得.故選：B3.（2023·江蘇鹽城伍佑高中期末）由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為______.【答案】【解析】【分析】切點與圓心連線垂直切線，利用勾股定理，切線段長轉(zhuǎn)化為直線上點與圓心連線和半徑關(guān)系，求圓心與直線上點距離的最小值，即可求解.【詳解】圓的圓心為，在直線上取一點P，過P向圓引切線，設(shè)切點A．連接．在中，．要使最小，則應(yīng)最?。之?dāng)PC與直線垂直時，最小，其最小值為．故的最小值為．故答案為：.4.（2023·江蘇揚州高中期末）已知圓，點.（1）求過點的圓的切線方程；（2）求的最小值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及點與圓的位置關(guān)系的判斷方法，利用直線的點斜式方程及直線與圓的相切的條件，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解；（2）根據(jù)圓的方程求出范圍，利用代入法和不等式的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由，得，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以,所以點在圓外，當(dāng)切線的斜率不存在時，切線方程為，圓心到切線的距離為，所以，符合題意，當(dāng)切線的斜率為，則切線的方程為，即，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，得，解得，所以，故過點的圓的切線方程為或.【小問2詳解】由（1），得，即，解得，由，得，所以，因為，所以，故的最小值為.5.（2023·江蘇揚中第二高中期末）在平面直角坐標(biāo)系中，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，且，則實數(shù)的值是（）A.3 B.或 C.或2 D.2【答案】B【解析】【分析】實質(zhì)上是一個斜率與另一個斜率的倒數(shù)和，進而得到四點共線，即可求解.【詳解】設(shè)中點為，，圓心，根據(jù)對稱性，則，因為，所以，即，因共線，所以，即，化簡得，解得或.故選B.【點睛】本題考查圓與直線應(yīng)用；本題的關(guān)鍵在于本質(zhì)的識別，再結(jié)合圖形求解.6.（2023·江蘇揚中第二高中期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（2，4），直線l：，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上，圓心也在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點A作圓C的切線，求切線的方程.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）直接求出圓心的坐標(biāo)，寫出圓的方程；（2）分斜率存在和斜率不存在進行分類討論，利用幾何法列方程，即可求解.【小問1詳解】由圓心C在直線l：上可設(shè)：點，又C也在直線上，∴，∴，又圓C的半徑為1，∴圓C方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線垂直于x軸時，與圓C相切，此時直線方程為.當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)過A點的切線方程為，即，則，解得.此時切線方程為，綜上所述，所求切線為或7．（2023·江蘇連云港期末）已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作圓的切線，求該切線的方程.【答案】（1）（2）或.【分析】（1）圓心在線段的垂直平分線上，利用兩線交點求得圓心坐標(biāo)、進而求出半徑，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別討論切線斜率存在與否，其中斜率存在時，由點線距離列式可解得斜率.【小問1詳解】由題意，，圓心在線段的垂直平分線，即上.由，解得，即，從而，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.小問2詳解】i.當(dāng)切線的斜率不存在時，即，滿足題意；ii.當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，即，則，解得，所以切線方程為.綜上所述，該切線方程為或.8.（2023·江蘇秦淮科技高中期末）已知直線，圓.（1）求經(jīng)過圓心且與平行的直線方程；（2）求垂直于直線且與圓相切的直線方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由題知直線過圓心，斜率為，利用點斜式得直線方程；（2）由已知得到所求直線的斜率，結(jié)合直線與圓相切即可求得直線方程.【詳解】（1）所求直線過圓心，斜率為，所以直線方程為，即（2）設(shè)所求直線斜率為，，所以，設(shè)直線方程為，所求直線與圓相切，即圓心到所求直線的距離等于圓的半徑，即，解得或.所求直線方程為或.9.（2023·江蘇南京第1中學(xué)期末）如圖，圓，點為直線上一動點，過點引圓的兩條切線，切點分別為.（1）若，求切線所在直線方程；（2）求的最小值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）假設(shè)切線方程，由圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得斜率，由此可得切線方程；（2）設(shè)，可得，結(jié)合可求得最小值.【小問1詳解】由題意知：切線的斜率存在，可設(shè)切線方程為，即，由圓的方程知：圓心為，半徑，則圓心到切線的距離，解得：或，所求切線方程為：或.【小問2詳解】連接交于點，設(shè)，則，在中，，，，，.圓的弦長問題1.（2023·江蘇灌南高級中學(xué)期末）直線被圓截得的弦長為（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】利用直線和圓相交所得的弦長公式直接計算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為O(0,0)，半徑，則圓心到直線的距離，所以由直線和圓相交所得的弦長公式可得弦長為：.故選：B.【點睛】本題考查了直線和圓相交所得弦長的計算，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.（2023·江蘇蘇州常熟中學(xué)期末）直線x+y﹣1＝0被圓（x+1）2+y2＝3截得的弦長等于（）A. B.2 C.2 D.4【答案】B【解析】【詳解】如圖,圓(x＋1)2＋y2＝3的圓心為M(?1,0)，圓半徑|AM|=，圓心M(?1,0)到直線x+y?1=0的距離：|，∴直線x+y?1=0被圓(x+1)2+y2=3截得的弦長：.故選B.點睛:本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線和圓的位置關(guān)系.判斷直線與圓的位置關(guān)系一般有兩種方法：1．代數(shù)法：將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二元方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，該方程解的情況即對應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，但是計算量較大．2．幾何法：圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系．這種方法的特點是計算量較?。?dāng)直線與圓相交時,可利用垂徑定理得出圓心到直線的距離,弦長和半徑的勾股關(guān)系.3.（2023·江蘇南京寧海中學(xué)期末）直線與圓相交于點，點是坐標(biāo)原點，若是正三角形，則實數(shù)值為A.1 B.-1 C. D.【答案】C【解析】【詳解】由題意得，直線被圓截得的弦長等于半徑．圓的圓心坐標(biāo)，設(shè)圓半徑為，圓心到直線的距離為，則．由條件得，整理得．所以，解得．選C．4.（2023·江蘇南京外國語中學(xué)期末）已知直線和圓，則（）A.直線l恒過定點B.存在k使得直線l與直線垂直C.直線l與圓O相交D.若，直線l被圓O截得的弦長為4【答案】BC【解析】【分析】利用直線系方程求出直線所過定點坐標(biāo)判斷A、C；求出使得直線與直線垂直的值判斷B；根據(jù)弦長公式求出弦長可判斷D.【詳解】對于A、C，由，得，令，解得，所以直線恒過定點，故A錯誤；因為直線恒過定點，而，即在圓內(nèi)，所以直線l與圓O相交，故C正確；對于B，直線的斜率為，則當(dāng)時，滿足直線與直線垂直，故B正確；對于D，時，直線，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓O截得的弦長為，故D錯誤.故選：BC.5.（2023·江蘇宿遷沭陽期末）直線與圓相交于兩點，若，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】依題意，圓心為，半徑為，且圓心到直線的距離，而，即，也即，解得.點睛：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查直線和圓相交所得弦長的弦長公式.直線和圓相交所得弦長公式為，先將圓心和半徑求出來，然后利用圓心到直線的距離公式求出，這個是含有參數(shù)的，將代入題目所給弦長不小于這個不等式，解這個不等式即可求得的取值范圍.6.（2023·江蘇徐州銅山期末）已知過點的直線l被圓所截得的弦長為8，則直線l的方程為______.【答案】或．【解析】【分析】求出圓的圓心、半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，成立；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，求出圓心到直線的距離，由過點的直線被圓所截得的弦長為8，利用勾股定理能求出直線的方程．【詳解】圓的圓心為，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，聯(lián)立，得或，直線被圓所截得的弦長為8，成立；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，圓心到直線的距離，過點的直線被圓所截得的弦長為8，由勾股定理，得，即，解得，直線，整理，得．綜上直線的方程為或．故答案為：或．7.（2023·江蘇鹽城實驗高中期末）已知圓，點，、為圓上兩點且滿足，為中點，且構(gòu)成三角形，記的面積為，則的最大值為________【答案】【解析】【分析】如圖，由已知，為中點可得出，，利用勾股定理得到，等價轉(zhuǎn)化為，設(shè)點并代入上式得到的軌跡方程，當(dāng)?shù)阶畲缶嚯x為圓的半徑時，最大.【詳解】如圖：因為，所以，因為為斜邊中點，所以，根據(jù)垂徑定理可知，，所以，所以，設(shè)，則，，所以，展開整理得，軌跡是以為圓心（中點），半徑為的圓，所以到最大距離為，且，所以，所以的最大值為.故答案為：8.（2023·江蘇宿遷沭陽期末）已知直線l與圓相交于A，B兩點，弦AB的中點為．（1）求實數(shù)a的取值范圍以及直線l的方程；（2）已知，若圓C上存在兩個不同的點P，使，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）先由圓的方程寫出圓心和半徑；再由點M在圓內(nèi)可求出實數(shù)a的取值范圍；最后根據(jù)即可得出直線l的方程.（2）先設(shè)出點P的坐標(biāo)，由得出點P的軌跡方程；再根據(jù)圓C上存在兩個不同的點P可知兩圓相交，列出不等式求解即可.【小問1詳解】由圓可得，則圓心，半徑.因為直線l與圓相交于A，B兩點，弦AB的中點為．所以點在圓內(nèi)，則，即，解得故實數(shù)a的取值范圍為.因為弦AB的中點為，所以由圓的性質(zhì)可得，則，所以直線l的方程為：，即.【小問2詳解】設(shè)點P坐標(biāo)為，由，，可得，即.所以點P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，因為圓C上存在兩個不同的點P，所以兩圓相交，則，解得故實數(shù)a的取值范圍為：.9.（2023·江蘇宿遷期末）已知圓：，直線過點．（1）若直線被圓所截得的弦長為，求直線的方程；（2）若直線與圓交于另一點，與軸交于點，且為的中點，求直線的方程．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離公式以及圓的弦長公式即可求解，（2）根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可根據(jù)點在圓上求解,進而可求直線方程.小問1詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，與圓相切不符合題意，舍去．當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線,即，圓心坐標(biāo)為，由弦長為可知，圓心到直線的距離為，即，所以，則直線方程為或【小問2詳解】設(shè)，因為為中點，則，由在圓上得，即，則．所以直線，即直線．10.（2023·江蘇南京師范大學(xué)附中期末）已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與直線x﹣y+2＝0相切、切點為A（2，4）．（1）求圓C的方程；（2）已知斜率為﹣1的直線l與圓C相交于不同的兩點M、N，若直線l被圓截得的弦MN的長為14，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直得到直線方程，設(shè)圓心為，半徑為，將兩點帶入圓方程解得答案.（2）設(shè)直線方程為，計算圓心到直線的距離為，根據(jù)點到直線的距離公式得到答案.【小問1詳解】直線x﹣y+2＝0斜率為1，故，故直線方程為，設(shè)圓心為，半徑為，則，將原點和帶入原方程得到，解得，故原方程為：.【小問2詳解】設(shè)直線方程為，即，弦長為，故圓心到直線的距離為，即，解得，故直線方程為和.11.（2023·江蘇徐州銅山期末）已知圓與軸交于兩點，點的坐標(biāo)為．圓過三點，當(dāng)實數(shù)變化時，存在一條定直線被圓截得的弦長為定值，則此定直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓為，根據(jù)圓與圓都經(jīng)過兩點，可用表示，又點在圓上，可用表示，進而可得含參數(shù)的圓的方程，再由圓系方程求解即可.【詳解】圓方程為，令，得，設(shè)圓的方程為，令，得，由題意，圓與圓都經(jīng)過兩點，∴方程與等價，∴，，∴圓的方程為，∵點在圓上，∴，∴，∴圓：，整理得，∴圓經(jīng)過直線與圓的交點，∴當(dāng)實數(shù)變化時，存在一條定直線被圓截得的弦長為定值，故選：C.兩圓位置關(guān)系的判斷1．（2023·江蘇連云港期末）圓與圓的位置關(guān)系為（）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【分析】利用配方法，求出圓心和半徑，根據(jù)兩圓心之間的距離與兩半徑的關(guān)系判斷圓與圓的位置關(guān)系．【詳解】由題意可知圓，其圓心，半徑，圓，其圓心，半徑，又，所以圓和圓的位置關(guān)系是相交，故選：C．2.（2023·江蘇灌云期末）方程組的解的個數(shù)是（）A.2 B.1 C.0 D.不確定【答案】A【解析】【分析】記，得即可解決.【詳解】由題得，，記，所以，所以，因為，所以與相交，兩圓有兩個交點，所以方程組的解的個數(shù)是2，故選：A3．（2023·江蘇淮安期末）若圓：與圓：外切，則實數(shù)______．【答案】【分析】根據(jù)兩圓外切列方程，從而求得的值.【詳解】圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為.由于兩圓外切，所以，得.故解得.故答案為：.4.（2023·江蘇南京勵志中學(xué)期末）已知圓和圓相交于，兩點，下列說法正確的是（）A.圓與圓有兩條公切線B.圓與圓關(guān)于直線對稱C.線段的長為D.，分別是圓和圓上的點，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，由圓的方程分析兩圓的圓心和半徑，由此依次分析4個選項，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，圓，其圓心為，半徑，圓，即，其圓心為，半徑，依次分析選項：對于A，由于，，又，所以兩圓相交，故有兩條共切線，A正確，對于B，圓和圓的半徑相等，則線段的垂直平分線為，則圓與圓關(guān)于直線對稱，B正確，對于C，聯(lián)立，化簡可得，即的方程為，到的距離，則，C錯誤；對于D，，則的最大值為，D正確，故選：ABD．5.（2023·江蘇南通海安期末）已知圓，點，，則（）A.點在圓外 B.直線與圓相切C.直線與圓相切 D.圓與圓相離【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)已知寫出圓心、半徑.代入點坐標(biāo)，即可判斷A項；分別求出圓心到直線的距離，比較它們與半徑的關(guān)系，即可判斷B、C項；求出圓心距，根據(jù)與兩圓半徑的關(guān)系即可判斷D項.【詳解】解：由題，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，

對于A項，因為，所以點在圓外，故A正確；

對于B項，圓心到直線的距離為，故直線與圓相切，故B項正確；

對于C項，直線的方程為，整理得，則圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，故C錯誤；

對于D項，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心間的距離為，因為，所以圓與圓相交，故D錯誤.

故選：AB．6.（2023·江蘇南通立發(fā)中學(xué)期末）若圓與圓相交，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出兩圓的圓心與半徑，根據(jù)即可求解.【詳解】由可得，且圓是以為圓心，為半徑的圓，化為，是以為圓心，為半徑圓.因為兩圓相交，所以，即，恒成立，所以，即，即，解得.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是.故選：D.7.（2023·江蘇宿遷期末）圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷兩圓的位置關(guān)系，進而確定公切線的條數(shù)．【詳解】由圓，可得圓的圓心為，半徑為1，由圓

，可得圓的圓心為，半徑為，∵圓與圓的圓心距，∴圓與圓相離，故有條公切線．故選：D.8.（2023·江蘇鹽城實驗高中期末）已知圓.（1）若直線與圓相切，求實數(shù)的值．（2）若圓與圓外切，求實數(shù)的值；【答案】（1）或3；（2）4.【解析】【分析】（1）求出圓的圓心和半徑，再利用點到直線距離公式，列式求解作答.（2）求出圓的圓心和半徑，再結(jié)合兩圓外切列出方程，求解作答.【小問1詳解】圓，則有，圓心，半徑，因為直線與圓相切，則有，解得或，符合題意，所以實數(shù)的值或3.【小問2詳解】圓的圓心，半徑，因為圓與圓外切，則有，由（1）得，解得，所以實數(shù)的值為4.9.（2023·江蘇徐州期末）已知圓，圓.（1）判斷與的位置關(guān)系；（2）若過點的直線被、截得的弦長之比為，求直線的方程.【答案】（1）外切（2）或【解析】【分析】（1）計算出，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，直線驗證即可；在直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，利用勾股定理結(jié)合點到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.因為，所以圓與圓外切.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，直線與圓相離，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，即，則圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長為，直線被圓截得的弦長為，由題意可得，即，解得或，經(jīng)檢驗，或均符合題意.所以直線的方程為或.由兩圓位置關(guān)系求圓的方程1.（2023·江蘇揚中第二高中期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)；平面內(nèi)到兩個定點A、B的距離之比為定值（且）的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，.點P滿足，設(shè)點P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（）A.C的方程為 B.在C上存在點D，使得D到點（1，1）的距離為10C.在C上存在點M，使得 D.C上的點到直線的最大距離為9【答案】AD【解析】【分析】由題意可設(shè)點，由兩點的距離公式代入化簡可判斷A選項；由兩點的距離公式和圓的圓心得出點（1，1）到圓上的點的最大距離，由此可判斷B選項.設(shè)，由已知得，聯(lián)立方程求解可判斷C選項；由點到直線的距離公式求得C上的點到直線的最大距離，由此可判斷D選項.【詳解】由題意可設(shè)點，由，，，得，化簡得，即，故A正確；點（1，1）到圓上的點的最大距離，故不存在點D符合題意，故B錯誤.設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程消去得，解得無解，故C錯誤；C的圓心（-4，0）到直線的距離為，且曲線C的半徑為4，則C上的點到直線的最大距離，故D正確；故選：AD.2.（2023·江蘇常州第一中學(xué)期末）已知圓及其上一點.（1）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程；（2）設(shè)圓與圓外切于點，且經(jīng)過點，求圓的方程.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由題意可設(shè)直線的方程為，再由根據(jù)弦長結(jié)合點到直線的距離與勾股定理求解即可；（2）由題意可知圓心在直線上也在在的中垂線上，先求出這兩條直線，再聯(lián)立可得圓心坐標(biāo)，進而可得半徑，即可求解【小問1詳解】因為直線，所以直線的斜率為.設(shè)直線的方程為，則圓心到直線的距離.則，又，所以，解得或，即直線的方程為：或.【小問2詳解】因為圓與圓外切于點，所以圓心在直線上由兩點式得直線方程為又因為圓經(jīng)過點和，所以圓心在的中垂線上，中點為所以中垂線方程為，即由解得圓心坐標(biāo)為，半徑所以圓的方程為兩圓的公共弦問題1.（2023·江蘇南京燕子磯中學(xué)期末）已知圓與圓相交于兩點，則兩圓的公共弦A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】兩圓方程相減得所在的直線方程，再求出到直線的距離，從而由的半徑，利用勾股定理及垂徑定理即可求出．【詳解】圓與圓相減得所在的直線方程：.∵圓的圓心，，圓心到直線：的距離，則．故選A【點睛】本題考查了圓與圓公共弦的弦長和直線與圓相交的性質(zhì)，求出公共弦所在的直線方程是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．與圓有關(guān)的綜合問題1.（2023·江蘇泰州中學(xué)期末）已知圓，點，，則（）A.點在圓外 B.直線與圓相切C.直線與圓相切 D.圓與圓相離【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)已知寫出圓心、半徑.代入點坐標(biāo)，即可判斷A項；分別求出圓心到直線的距離，比較它們與半徑的關(guān)系，即可判斷B、C項；求出圓心距，根據(jù)與兩圓半徑的關(guān)系即可判斷D項.【詳解】由題，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，

對于A項，因為，所以點在圓外，故A正確；

對于B項，圓心到直線的距離為，故直線與圓相切，故B項正確；

對于C項，直線的方程為，整理得，則圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，故C錯誤；

對于D項，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心間的距離為，因為，所以圓與圓相交，故D錯誤.

故選：AB．2.（2023·江蘇如皋期末）若直角三角形三條邊長組成公差為2的等差數(shù)列，則該直角三角形外接圓的半徑是（）A. B.3 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)中間的邊為，由等差數(shù)列的定義，結(jié)合勾股定理即可得到的值，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意設(shè)中間的邊為，則三邊依次為，由勾股定理可得，解得或（舍）即斜邊為，所以外接圓的半徑為，故選:C3.（2023·江蘇蘇州常熟中學(xué)期末）圓C為過點的圓中最小的圓，則圓C上的任意一點M到原點O距離的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】要使圓最小則圓心為P、Q的中點，求出圓心坐標(biāo)及其半徑，由圓心到原點的距離結(jié)合圓的性質(zhì)即可確定圓C上的任意一點M到原點O距離的范圍.【詳解】以PQ為直徑的圓最小，則圓心為，半徑為，圓心到原點的距離為5，∴M到原點O距離的最小值為.故選：D．4.（2023·江蘇秦淮科技高中期末）已知圓O：和圓C：.現(xiàn)給出如下結(jié)論，其中正確的是A.圓O與圓C有四條公切線B.過C且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為或C.過C且與圓O相切的直線方程為D.P?Q分別為圓O和圓C上的動點，則的最大值為，最小值為【答案】AD【解析】【分析】對于A，先由已知判斷兩圓的位置關(guān)系，從而可判斷兩圓的公切線的條數(shù)；對于B，截距相等可以過原點或斜率只能為，從而可得直線方程；對于C，由于點C在圓O外，所以過點C與圓O相切的直線有兩條；對于D，的最大值為圓心距與兩圓半徑的和，最小值為圓心距與兩圓半徑的差，【詳解】解：由題意可得，圓O：的圓心為，半徑，圓C：的圓心，半徑,因為兩圓圓心距，所以兩圓相離，有四條公切線，A正確；截距相等可以過原點或斜率只能為，B不正確；過圓外一點與圓相切的直線有兩條，C不正確；的最大值等于，最小值為，D正確.故選：AD【點睛】此題考查兩圓的位置關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題5．（2023·江蘇連云港期末）設(shè)為實數(shù)，若方程表示圓，則（）A．B．該圓必過定點C．若直線被該圓截得的弦長為2，則或D．當(dāng)時，該圓上的點到直線的距離的最小值為【答案】BCD【分析】對A，方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)式，令等式右側(cè)部分大于0，求解即可判斷；對B，點代入方程即可判斷；對C，結(jié)合點線距離公式，由幾何法根據(jù)弦長列方程即可求解；對D，結(jié)合點線距離公式，由幾何法可得圓上的點到直線距離的最小值.【詳解】對A，，由方程表示圓，則有，A錯；對B，將代入方程，符合，B對；對C，圓心為，則圓心到直線的距離為，故直線被該圓截得的弦長為或，C對；對D，，則圓半徑為1，圓心到直線的距離為，故該圓上的點到直線的距離的最小值為，D對.故選：BCD.6.（2023·江蘇常州第三中學(xué)期末）點在圓上，點，點，則下列結(jié)論正確的是（）A.過點可以作出圓的兩條切線B.點到直線距離的最大值為C.圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為D.當(dāng)最大時，【答案】ABD【解析】【分析】對于A，判斷得點在圓外即可；對于B，利用圓上動點到直線的最大距離為即可判斷；對于C，求得圓心關(guān)于直線對稱的點即可得解；對于D，判斷得最大時直線與圓相切，再利用兩點距離公式與勾股定理即可得解.【詳解】對于A，因為，所以點在圓外，則過點可以作出圓的兩條切線，故A正確；對于B，由題意可得，直線方程為，即，因為圓，所以，半徑為，所以圓心到直線的距離為，所以點到直線距離的最大值為，故B正確；對于C，設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，所以圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為，故C錯誤；對于D，當(dāng)最大時，易得直線與圓相切，如圖，在中，，，所以，故D正確.故選：ABD.

7.（2023·江蘇南京燕子磯中學(xué)期末）以下四個命題為真命題的是（）A.過點且在軸上的截距是在軸上截距的倍的直線的方程為B.直線的傾斜角的范圍是C.