2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-運(yùn)用“正弦、余弦定理”靈活解題-蘇教版必修5

2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-運(yùn)用“正弦、余弦定理”靈活解題-蘇教版必修5運(yùn)用“正弦、余弦定理”靈活解題正弦、余弦定理是高中數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，那又怎樣才能做到運(yùn)用“正弦、余弦定理”靈活解題呢！下面舉例說(shuō)明：一、將三角形面積公式與正弦、余弦定理聯(lián)合運(yùn)用．例1．中，角所對(duì)的邊分別是，為的面積，則．分析：我們要充分利用三角形面積公式與正弦、余弦定理這幾個(gè)公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，才能真正達(dá)到解決問(wèn)題的目的．解：，∴．又，∴．根據(jù)正弦定理，得．二、靈活運(yùn)用正弦、余弦定理的變形形式．例2．已知中，，求的值．分析：由得，再利用余弦定理很快解決問(wèn)題．解：令角所對(duì)的邊分別是，又∴根據(jù)正弦定理，得．不妨令∴．三、應(yīng)用正弦定理求角時(shí)應(yīng)注意檢驗(yàn)．例3．在中，已知，求邊．解法一：，∴．又∴．∴．當(dāng)；當(dāng)．解法二：∴即，解得．例4．中，角所對(duì)的邊分別是，則=．解：∴．又∴由正弦定理，得．即．說(shuō)明：在中，角所對(duì)的邊分別是，若有，則有．四、邊角互化時(shí)，宜統(tǒng)一化為一種元素（邊或角）．例5．中，角所對(duì)的邊分別是，證明：．證明：要證，由正弦定理，得即證即證即證而從而本題得證．在設(shè)問(wèn)中生成，在解決中創(chuàng)新—淺談高中生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)論文摘要：本文以怎樣設(shè)置有效的問(wèn)題情境，怎樣提出有啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，怎樣調(diào)動(dòng)學(xué)生探索問(wèn)題的主動(dòng)性、積極性和自覺(jué)性，使學(xué)生創(chuàng)造性思維的潛能得到最大程度地挖掘，以起到拋磚引玉的作用。關(guān)鍵字：?jiǎn)栴}、創(chuàng)造性思維恰當(dāng)?shù)膭?chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，通過(guò)問(wèn)題解決對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行意義建構(gòu)的行之有效的方法之一。因此在日常教學(xué)中，我們?nèi)裟馨研枰芯亢妥C明的定理、公式等納入“問(wèn)題”之列，把建立概念的各種特征和揭示概念的本質(zhì)屬性也歸入“問(wèn)題”范疇，把有關(guān)例題、習(xí)題融入“問(wèn)題”系列之中，那么對(duì)其探索發(fā)現(xiàn)和抽象概括過(guò)程就能成為學(xué)生對(duì)某個(gè)問(wèn)題的“再發(fā)現(xiàn)”和“再解決”的創(chuàng)造性思維活動(dòng)過(guò)程。這樣“問(wèn)題解決”活動(dòng)中相關(guān)的數(shù)學(xué)思想、思維方法，不僅能作為學(xué)生掌握知識(shí)與技能的工具，而且也成為學(xué)生學(xué)習(xí)的對(duì)象，從而慢慢學(xué)會(huì)探索新知識(shí)所必須的科學(xué)方法。一、在知識(shí)形成的過(guò)程中，啟迪學(xué)生的創(chuàng)造性思維基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)于人類是已知的，但是對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)事實(shí)上是未知的，屬于開(kāi)放型問(wèn)題。這就要我們把“問(wèn)題”作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，不直接展示結(jié)論，而是提供讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦，參與的機(jī)會(huì)。通過(guò)學(xué)生自己主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)事先不知道的結(jié)果，運(yùn)用創(chuàng)造性思維去參與學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生在問(wèn)題解決中逐漸學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，從而為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維打下更堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。如“正弦定理”的教學(xué)中，分三步引導(dǎo)學(xué)生參與、討論并建立“正弦定理”的公式。ABABCacb問(wèn)題：在中邊和角有什么樣的關(guān)系？對(duì)于問(wèn)題，學(xué)生易知利用初中銳角三角函數(shù)的概念可得到關(guān)系：?jiǎn)栴}：在一般△ABC中邊和角有類似的關(guān)系？對(duì)于問(wèn)題，無(wú)法運(yùn)用銳角三角函數(shù)的概念解決，從而產(chǎn)生認(rèn)識(shí)沖突——如何解決這類問(wèn)題呢？借此激發(fā)學(xué)生的探索欲望。第二步引導(dǎo)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題。當(dāng)是銳角三角形時(shí)，可以通過(guò)做一邊上的高，將三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義得到關(guān)系：第三步，引導(dǎo)學(xué)生利用類似方法探究當(dāng)△ABC是鈍角三角形以上等式是否仍然成立？從而在一步一步的問(wèn)題解決中構(gòu)建起對(duì)新知識(shí)的正確理解。二、鼓勵(lì)想象，培養(yǎng)直覺(jué)思維直覺(jué)思維是指直接快速對(duì)客觀事物的本質(zhì)作出判斷過(guò)程。它不要求有嚴(yán)密的邏輯性，允許“知其然，而不知其所以然”。允許甚至鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用直覺(jué)思維進(jìn)行聯(lián)想，可以幫助學(xué)生打開(kāi)思路，開(kāi)闊視野，由此及彼，得到啟發(fā)。從而使學(xué)生在無(wú)拘無(wú)束中受到發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的美感和樂(lè)趣。例如：在教學(xué)“球的體積”時(shí)，我設(shè)計(jì)這樣一組題。

問(wèn)題：圓柱的體積是；圓錐的體積是；問(wèn)題：（討論交流）猜一下，半球的體積是。通過(guò)觀察，比較，討論，交流猜想。學(xué)生的思維得到了碰撞，不但激發(fā)了學(xué)生積極探索知識(shí)的興趣，使學(xué)生的思維處于非?；钴S的狀態(tài)，而且培養(yǎng)了學(xué)生的想象能力，學(xué)生的創(chuàng)新能力也在不知不覺(jué)中得到了提高。三、在知識(shí)的鞏固和運(yùn)用中，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維例題、習(xí)題是“問(wèn)題”系列中的重要組成部分，是聯(lián)系各類知識(shí)的紐帶，是學(xué)生獲取知識(shí)，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題”的主陣地。對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)變式、拓廣、演變，形成一個(gè)發(fā)展性問(wèn)題，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，養(yǎng)成深入研究問(wèn)題的習(xí)慣，讓學(xué)生進(jìn)入較高的思維層次。例：一個(gè)圓錐形零件，底面積是平方厘米，這個(gè)零件的體積是多少？可設(shè)計(jì)如下一串題組：

(1)一個(gè)圓錐形零件，底面半徑厘米，高厘米。這個(gè)零件的體積是多少？

(2)一個(gè)圓錐形零件，底面直徑厘米，高厘米。這個(gè)零件的體積是多少？

(3)一個(gè)圓錐形零件，底面周長(zhǎng)厘米，高厘米。這個(gè)零件的體積是多少？

(4)一個(gè)圓錐形零件，底面半徑厘米，是高的

。這個(gè)零件的體積是多少？

這些題的條件不斷變化，難度逐步增大，最終都落實(shí)到這一解題規(guī)律上，由淺入深，由易到難，學(xué)生靈活應(yīng)變，有利于開(kāi)闊思路，培養(yǎng)思維的靈活性。

例2：用一張長(zhǎng)

分米，寬分米的硬紙，圍成一個(gè)圓柱。這個(gè)圓柱的體積是多少？用這張硬紙圍成圓柱，有兩種不同的圍法，可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考，分以下兩種情況探索解法：

（1）以硬紙的長(zhǎng)分米為圓柱的底面周長(zhǎng)，寬分米為圓柱的高，圍成圓柱的體積是.

（2）以硬紙的寬分米為圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)分米為圓柱的高，圍成圓柱的體積是.

總之，在教學(xué)中，經(jīng)常引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行一題多變、一題多形、一題多解、一題多編、一題多答的練習(xí)，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和智能的發(fā)展，這是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生良好思維品質(zhì)的有效途徑。

四、在知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的薄弱是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要問(wèn)題，在教學(xué)中，要選擇一些有典型意義的問(wèn)題，把它回歸到生活，生產(chǎn)中的原型，給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)實(shí)際背景，讓他們認(rèn)真觀察，收集數(shù)據(jù)，聯(lián)想學(xué)過(guò)的知識(shí)和技能，來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，從中體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)自實(shí)踐，在解答中有一個(gè)數(shù)化的過(guò)程，，真正起到培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)。如:在學(xué)習(xí)解三角形后，可讓學(xué)生利用皮尺、測(cè)角儀等工具設(shè)計(jì)測(cè)量底部不可到達(dá)的物體高度的方法（如金字塔、廠房上的煙囪、小山上的電視塔距地面的高度等）；或設(shè)計(jì)測(cè)量不可到達(dá)兩點(diǎn)間距離（如在海岸邊如何測(cè)量海上一船離海岸線的距離，如何測(cè)量一條河寬等）。又如，學(xué)習(xí)了不等式、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)初步等知識(shí)后，可要求學(xué)生進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查，了解這些知識(shí)在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的作用，提高他們學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的熱情。通過(guò)對(duì)所學(xué)的知識(shí)聯(lián)系實(shí)際，擴(kuò)展開(kāi)來(lái)，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的無(wú)處不在，而且也培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。也可選擇一些有趣味性問(wèn)題，或環(huán)保，綠化等問(wèn)題；如，把12盒花放在12個(gè)點(diǎn)處，使之形成六行，并且每行盒，應(yīng)如何擺放？通過(guò)思考、討論、試驗(yàn)，學(xué)生很快得出右圖，應(yīng)用正六邊形知識(shí)易產(chǎn)生答案。答案的產(chǎn)生會(huì)給學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，而這種美必然吸引學(xué)生的思維注意力。又如，據(jù)《新華日?qǐng)?bào)》消息，巴西醫(yī)生馬廷恩經(jīng)過(guò)年研究后得出結(jié)論：卷入腐敗行為的人容易得癌癥、心血管病。如果將犯有貪污受賄罪的名官員與名廉潔官員進(jìn)行比較，可發(fā)現(xiàn)，后者的健康人數(shù)比前者的健康人數(shù)多人，兩者患?。òㄖ滤溃┱吖灿腥?。試問(wèn)：犯有貪污、受賄罪的官員的健康人數(shù)占名官員的百分之幾？廉潔官員的健康人數(shù)占名官員的百分之幾？本題是一元一次方程的應(yīng)用，但它從醫(yī)學(xué)研究的角度指出，卷入腐敗行為的人容易的癌癥、心血管?。桓瘮〔粌H腐蝕政府形象，也損害自身健康，極富教育意義。五、在引導(dǎo)學(xué)生探索和提問(wèn)中，挖掘?qū)W生的創(chuàng)造性思維的潛能提出問(wèn)題和解決問(wèn)題相輔相成，不可偏廢，它們都是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的重要組成部分。解決問(wèn)題的過(guò)程就是不斷地提出問(wèn)題，將面臨的問(wèn)題轉(zhuǎn)換、分解、組合、引申、變化為已經(jīng)解決過(guò)的輔助問(wèn)題。愛(ài)因斯坦指出：“提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要。因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題也許是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問(wèn)題，新的可能性，以新的角度去看舊問(wèn)題，卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。”例如，在學(xué)習(xí)了公理之后，可以提出以下問(wèn)題：?jiǎn)栴}：過(guò)直線和直線外一點(diǎn)可以確定平面嗎？問(wèn)題：過(guò)兩條相交直線可以確定平面嗎？問(wèn)題：過(guò)兩條平行線可以確定平面嗎？又例：如圖已知垂直平面，垂直，你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？發(fā)現(xiàn)一：；發(fā)現(xiàn)二：；發(fā)現(xiàn)三：；發(fā)現(xiàn)四：。該題運(yùn)用了“你有什么發(fā)現(xiàn)？”這樣富有挑戰(zhàn)性語(yǔ)言進(jìn)行激勵(lì)，學(xué)生則在不受任何約束的前提下，認(rèn)真地觀察，激烈地爭(zhēng)論，大膽地猜想，精力高度集中，思維高度活躍，達(dá)到參與教學(xué)的高潮，從而實(shí)現(xiàn)在思維運(yùn)動(dòng)中達(dá)到創(chuàng)新的目的。贊可夫說(shuō)過(guò)：“凡是沒(méi)有發(fā)自內(nèi)心求知欲和興趣的東西，是很容易從記憶中揮發(fā)掉的”。贊可夫這句話說(shuō)明了發(fā)散思維能力的形成，需要以樂(lè)于求異的心理傾向作為一種重要的內(nèi)驅(qū)力。教師妥善于選擇具體題例，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，精細(xì)地誘導(dǎo)學(xué)生的求異意識(shí)。對(duì)于學(xué)生在思維過(guò)程中時(shí)不時(shí)地出現(xiàn)的求異因素要及時(shí)予以肯定和熱情表?yè)P(yáng)，使學(xué)生真切體驗(yàn)到自己求異成果的價(jià)值。對(duì)于學(xué)生欲尋異解而不能時(shí)，教師則要細(xì)心點(diǎn)撥，潛心誘導(dǎo)，幫助他們獲得成功，使學(xué)生漸漸生成自覺(jué)的求異意識(shí)，并日漸發(fā)展為穩(wěn)定的心理傾向，在面臨具體問(wèn)題時(shí)，就會(huì)能動(dòng)地作出“還有另解嗎？”“試試看，再?gòu)牧硪粋€(gè)角度分析一下！”的求異思考。總之，實(shí)施問(wèn)題解決可以培養(yǎng)學(xué)生的主體性，創(chuàng)造性和解決問(wèn)題的能力，從而促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。因此，在教學(xué)過(guò)程中教師不僅要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容及學(xué)生的具體情況，精心設(shè)計(jì)出可供學(xué)生進(jìn)行探索，又有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)思想方法的好問(wèn)題，是學(xué)生在教師的提問(wèn)中和潛移默化的影響下，學(xué)到質(zhì)疑的方法。還要?jiǎng)?chuàng)設(shè)產(chǎn)生問(wèn)題的意識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽地猜想，大膽地質(zhì)疑，要保護(hù)學(xué)生的積極性，同時(shí)留給學(xué)生提問(wèn)的空間，提出爭(zhēng)辯的機(jī)會(huì)，并對(duì)學(xué)生的問(wèn)題進(jìn)行積極的、合理的評(píng)價(jià)，使課堂形成一種積極思考，勇于探索的熱烈的氣氛。這樣才能調(diào)動(dòng)學(xué)生探索問(wèn)題的主動(dòng)性、積極性和自覺(jué)性，最大程度地挖掘?qū)W生創(chuàng)造性思維的潛能。在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維是時(shí)代的要求。要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，就應(yīng)該有與之相適應(yīng)的，能促進(jìn)創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的教學(xué)方式。當(dāng)前，數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)方式主要有以下幾種形式：1、開(kāi)放式教學(xué)。這種教學(xué)在通常情況下，由教師通過(guò)開(kāi)放題的引進(jìn)，在學(xué)生參與下解決，使學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，品嘗進(jìn)行創(chuàng)造性數(shù)學(xué)活動(dòng)的樂(lè)趣。開(kāi)放式教學(xué)中的開(kāi)放題一般有以下幾個(gè)特點(diǎn)。一是結(jié)果開(kāi)放，一個(gè)問(wèn)題可以有不同的結(jié)果；二是方法開(kāi)放，學(xué)生可以用不同的方法解決這個(gè)問(wèn)題；三是思路開(kāi)放，強(qiáng)調(diào)學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)的不同思路。2、活動(dòng)式教學(xué)。這種教學(xué)模式主要是讓學(xué)生進(jìn)行適合自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)，包括模型制作、游戲、行動(dòng)、調(diào)查研究等，使學(xué)生在活動(dòng)中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、熱愛(ài)數(shù)學(xué)。3、探索式教學(xué)。采用“發(fā)現(xiàn)式”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，探索知識(shí)的形成、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、問(wèn)題的解決等過(guò)程。要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力，應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分有效地結(jié)合上述三種形式（但不限于這三種形式），通過(guò)逐步培養(yǎng)學(xué)生的以下各種能力來(lái)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)：一、培養(yǎng)學(xué)生的觀察力。敏銳的觀察力是創(chuàng)造思維的起步器。那么，在課堂中，怎樣培養(yǎng)學(xué)生的觀察力呢？第一，在觀察之前，要給學(xué)生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求。第二，要在觀察中及時(shí)指導(dǎo)。比如要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)觀察的對(duì)象有順序地進(jìn)行觀察，要指導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)挠^察方法，要指導(dǎo)學(xué)生及時(shí)地對(duì)觀察的結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)等。第三，要科學(xué)地運(yùn)用直觀教具及現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)，以支持學(xué)生對(duì)研究的問(wèn)題做仔細(xì)、深入地觀察。第四，要努力培養(yǎng)學(xué)生濃厚的觀察興趣。二、培養(yǎng)領(lǐng)悟力。數(shù)學(xué)領(lǐng)悟力是可以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中逐步成長(zhǎng)起來(lái)的。在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該善于啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解所學(xué)的知識(shí)，并能熟練的掌握數(shù)學(xué)的基本方法和基本技能，通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的領(lǐng)悟能力，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，讓學(xué)生達(dá)到“真懂”的地步。例如：上圓錐曲線復(fù)習(xí)課時(shí)，當(dāng)復(fù)習(xí)完橢圓、雙曲線、拋物線的各自定義及統(tǒng)一定義后，突然有一學(xué)生提問(wèn)：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，、F2的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？這一意料外的問(wèn)題使思路豁然開(kāi)朗，我們也可以順勢(shì)提出以下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生探索：?jiǎn)栴}1平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，、F2的距離的積、商等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？問(wèn)題2平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離與到定直線L的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？若聯(lián)想到課本第61頁(yè)第6題（兩個(gè)定點(diǎn)的距離為6，點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為26，求點(diǎn)的軌跡方程），還可以提出下列問(wèn)題：?jiǎn)栴}3平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，、F2的距離的平方積、商分別等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？問(wèn)題4平面內(nèi)到定點(diǎn)F距離的平方與到定直線L的距離的平方和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？三、培養(yǎng)想象力。想象是思維探索的翅膀。數(shù)學(xué)想象一般有以下幾個(gè)基本要素。第一，要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和豐富的經(jīng)驗(yàn)支持。第二，要有能迅速擺脫表象干擾的敏銳的洞察力和豐富的想象力。第三，要有執(zhí)著追求的情感。因此，培養(yǎng)學(xué)生的想象力，首先要使學(xué)生學(xué)好有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)。其次，根據(jù)教材潛在的因素，創(chuàng)設(shè)想象情境，提供想象材料，誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性想象。另外，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握一些想象的方法，像類比、歸納等。例如在一節(jié)高三復(fù)習(xí)課上，我準(zhǔn)備用一題多解的開(kāi)放視角引導(dǎo)學(xué)生探索如下的問(wèn)題：，在教師的點(diǎn)評(píng)幫助下，學(xué)生給出了四種不同的證法：作差比較法、綜合法、分析法、三角換元法。教師對(duì)此感到滿意，也潛意識(shí)認(rèn)為沒(méi)有其他證法了。但此時(shí)學(xué)生的思維大門已經(jīng)開(kāi)啟，有的學(xué)生還想躍躍欲試，學(xué)生1展示了他的新探究：用無(wú)窮等比數(shù)列的和的公式來(lái)證明不等式本身就是一種創(chuàng)新，應(yīng)該說(shuō)思維非常巧妙。學(xué)生2同樣展示了他的新探究：用向量來(lái)證明不等式，也是方法上的創(chuàng)新，這兩種證法都體現(xiàn)了學(xué)生的大膽想象力、探究精神和解題機(jī)智。一個(gè)懂得如何學(xué)習(xí)的學(xué)生在課堂上的想象力是非常豐富的，一個(gè)好的教師也應(yīng)該懂得怎樣來(lái)培養(yǎng)和保護(hù)學(xué)生的想象力。有時(shí)候，學(xué)生的想象力可能是“天馬行空”，甚至是荒唐的，這時(shí)候教師還要注意引導(dǎo)：解題是否浪費(fèi)了重要的信息？能否開(kāi)辟新的解題通道？解題多走了哪些思維回路？思維、運(yùn)算能否變得簡(jiǎn)潔？是否有方法的創(chuàng)新？能否對(duì)問(wèn)題蘊(yùn)涵的知識(shí)進(jìn)行縱向深入地探究，梳理知識(shí)的系統(tǒng)性？能否加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系，把問(wèn)題所蘊(yùn)涵孤立的知識(shí)“點(diǎn)”擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)“面”？為什么有這樣的問(wèn)題，它和哪些問(wèn)題有聯(lián)系？能否受這個(gè)問(wèn)題的啟發(fā)，得到一些重要的結(jié)果，有規(guī)律性的發(fā)現(xiàn)？能否形成獨(dú)到的新見(jiàn)解，有自己的小發(fā)明？等等。通過(guò)不斷地想象，讓學(xué)生的思維能夠持續(xù)飛翔，從而不斷培養(yǎng)學(xué)生豐富的想象力。四、培養(yǎng)發(fā)散思維。在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力一般可以從以下幾個(gè)方面入手。比如訓(xùn)練學(xué)生對(duì)同一條件，聯(lián)想多種結(jié)論；改變思維角度，進(jìn)行變式訓(xùn)練；培養(yǎng)學(xué)生個(gè)性，鼓勵(lì)創(chuàng)優(yōu)創(chuàng)新；加強(qiáng)一題多解、一題多變、一題多思等。特別是近年來(lái)，隨著開(kāi)放性問(wèn)題的出現(xiàn)，不僅彌補(bǔ)了以往習(xí)題發(fā)散訓(xùn)練的不足，同時(shí)也為發(fā)散思維注入了新的活力。下面是我在教學(xué)實(shí)踐中遇到的一個(gè)例子，事情緣起于一本教輔讀物的一個(gè)練習(xí)題：求f(x),使f(x)滿足f[f(x)]=x+2………(1)，書后的答案是f(x)=x+1。該題本意是在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本概念之后，通過(guò)一次函數(shù)復(fù)合的具體例子，讓學(xué)生體會(huì)復(fù)合函數(shù)的概念。這樣的設(shè)計(jì)思想是不錯(cuò)的，但是題目中沒(méi)有明確給出“f(x)是一次函數(shù)”的條件，給學(xué)生造成了困惑。不少學(xué)生要求解釋這道題。當(dāng)被告之應(yīng)加上“f(x)是一次函數(shù)”的條件后，許多學(xué)生認(rèn)為“f(x)是一次函數(shù)”的條件可由（1）推出，有些學(xué)生則認(rèn)為根據(jù)不充分。在這樣的情況下，求出函數(shù)方程（1）的一個(gè)非線性解的興趣被喚起，我不愿放過(guò)這樣一個(gè)能讓學(xué)生開(kāi)闊數(shù)學(xué)眼界，提升思維深度的大好機(jī)會(huì)。于是，我開(kāi)始探究能否構(gòu)造一個(gè)滿足（1）的非線性函數(shù)的例子。在具體進(jìn)行構(gòu)造之前，有必要了解f(x)的一些基本性質(zhì)，以便構(gòu)造時(shí)有正確的方向。由（1）知，f(x)定義域和值域都是一切實(shí)數(shù)；如果有x1,x2使f(x1)=f(x2)，則f(f(x1))=f(f(x2))；函數(shù)的復(fù)合滿足結(jié)合律，即(f。f)。f(x)=f。(f。f)(x)，由此得到f(x+2)=f(x)+2……（2）因此，我們只要對(duì)滿足0<2的實(shí)數(shù)x定義f(x)，然后按照（2）將f(x)的定義延拓到整個(gè)實(shí)數(shù)軸上即可。令為任意一個(gè)定義域和值域都為開(kāi)區(qū)間（0，1）的有反函數(shù)的函數(shù)，它的反函數(shù)記為