2024年甘肅省高中學(xué)業(yè)水平合格考數(shù)學(xué)試卷試題（含答案解析）

甘肅省2024年普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中只有一項是

符合題目要求.

1設(shè)集合A={x|-1W尤W2},3={x|0WxW4},則An3=()

A.{x|0W尤W2}B.{x|lWxW2}C.{x|0W尤W4}D.{x|lWxW4}

2已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2+3i,則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3已知x>—2,則的最小值為()

4I乙

A—：B.-1C.2D.0

4函數(shù)y=-----/~才的定義域為()

'log2(%—2)

A.(—8,2)B.(2,+8)C.(2,3)U(3,+?=)D.(2,4)U(4,+?=)

5.某中學(xué)開展“陽光體育一小時”活動，根據(jù)學(xué)校實際情況，如圖決定開設(shè)“A：踢鍵子，B-.籃

球，C：跳繩，D：乒乓球”四項運動項目(每位同學(xué)必須選擇一項)，為了解學(xué)生最喜歡哪一項運

動項目，隨機抽取了一部分學(xué)生進行調(diào)查，丙將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖的統(tǒng)計圖，則參加調(diào)查的學(xué)

生中最喜歡跳繩運動項目的學(xué)生數(shù)為()

6已知向量”=(2,1),b=(—2,4),則|a一回=()

A.2B.3C.4D.5

7已知a,b,c是兩兩不同的二條直線，下面四個命題中，真命題是()

A.若直線a,6異面，b,c異面，貝1]a,c異面

B.若直線a,Z?相交，b,c相交，則a,c相交

C.若?！?,則a,6與c所成的角相等

D.若。丄0,b-Lc,則a//

8已知扇形的弧長為6,圓心角弧度數(shù)為3,則其面積為（）

A.3B.6C.9D.12

9如果奇函數(shù)人x）在區(qū)間［—3,—1］上單調(diào)遞增且有最大值5,那么函數(shù)?x）在區(qū)間［1,3］±（）

A.單調(diào)遞增且有最小值一5B.單調(diào)遞增且有最大值一5

C.單調(diào)遞減且有最小值一5D.單調(diào)遞減且有最大值一5

10以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績：（單位：分）

78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,

則這15人成績的第80百分位數(shù)是（）

A.90B.90.5C.91D.91.5

11cos50°cos160°—cos40°sin160°=（）

A近B丄D—近

Tv.2-D*2.2-L*?2

12函數(shù)Hx）=lnx——Y的零點的個數(shù)是（）

A.OB.lC.2D.3

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.

13命題“存在xGR,2xW0”的否定是.

14.某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校

四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查，已知該校一年級、二年級、三年級、

四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6,則應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生.

3,

15已知sin（a—;i）=5，則cos2a=.

16一個長方體的頂點都在球面上，且長方體的棱長分別為1,2,3,則球的表面積為.

三、解答題：本大題共3小題，共32分.

17（10分）

在厶厶臺。中，sin2C=V3sinC.

⑴求C；

（2）若6=6,且△ABC的面積為6M求厶厶臺。的周長.

18（11分）

某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其物理成績（均為整數(shù)）分成六段：［40,

50）,［50,60）,…，［90,100］后畫出如下頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：

(1)估計這次考試的眾數(shù)機與中位數(shù)雙結(jié)果保留一位小數(shù))；

(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分.

19(11分)

如圖，在四棱錐尸一A3CD中，P4丄平面A3CD,底面A3CD為菱形，E為CD的中點.

(1)求證：3。丄平面P4C；

(2)若NA3C=60。，求證：平面丄平面PAE.

答案及解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中只有一項是

符合題目要求.

1設(shè)集合A={x|-1W尤W2},B={x|0^x^4},則An3=()

A.{x|OW尤W2}B.{x|lWxW2}C.{x|OW尤W4}D.{x|lWxW4}

解析答案A

在數(shù)軸上表示出集合A與3,如圖所示.則由交集的定義知，AHB={x\0^x^2].

B

-2-101234x

2已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2+3i,則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析答案A

因為復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2+3i,所以z=答曰=玲舄許工^=亭^=|+*,

所以在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于第一象限.

3已知x>~2,則的最小值為()

4I乙

A—3B.-1C.2D.0

解析答案D

因為x>—2,所以x+2>0,所以％+—2=尤+2+-^—2三2—2=0,

x十2x十2

當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時"=”成立.

4函數(shù)----丿~的定義域為()

,log2(%—2)

A.(—8,2)B.(2,+8)C.(2,3)U(3,+?=)D.(2,4)U(4,+?=)

解析答案C

x—2>0,

要使原函數(shù)有意義，則，/c、j解得2<x<3或x>3,

llog2(X-2)WO,

所以原函數(shù)的定義域為(2,3)U(3,+℃),故選C.

5.某中學(xué)開展“陽光體育一小時”活動，根據(jù)學(xué)校實際情況，如圖決定開設(shè)“A：踢鍵子，B-.籃

球，C：跳繩，D,乒乓球”四項運動項目(每位同學(xué)必須選擇一項)，為了解學(xué)生最喜歡哪一項運

動項目，隨機抽取了一部分學(xué)生進行調(diào)查，丙將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖的統(tǒng)計圖，則參加調(diào)查的學(xué)

生中最喜歡跳繩運動項目的學(xué)生數(shù)為()

解析答案D

調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：80+40%=200(人)，

則參加調(diào)查的學(xué)生中最喜歡跳繩運動項目的學(xué)生人數(shù)是：200—80—30—50=40(人).故選D.

6已知向量a=(2,1),b=(—2,4),則|a—。|=()

A.2B.3C.4D.5

解析答案D

由題意知。一8=(2,1)—(—2,4)=(4,—3),

所以|“一臼=、42+(—3)2=5,故選D.

7已知a,b,c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()

A.若直線a,6異面，b,c異面，貝1]a,c異面

B.若直線a,Z?相交，b,c相交，則a,c相交

C.若。〃6,則a,8與c所成的角相等

D.若。丄0,b-Lc,則a//c

解析答案C

A中，在長方體ABCD—ALBCIDI中，若直線A4記為直線a,直線記為直線0,當(dāng)記31A

為直線。時，。和c相交；當(dāng)記DDi為直線c時，。和c平行；當(dāng)記CLDI為直線。時，a和c異

面，故若直線a,Z?異面，b,c異面，則a,c相交、平行或異面，故A錯誤；

D}

AB

B中，若直線a,。相交，。，c相交，則a,c相交、平行或異面，故B錯誤；

C中，若a〃b,則由異面直線所成的角的定義知a,6與c所成的角相等，故C正確;

D中，若a丄0,b-Lc,則a與c相交、平行或異面，故D錯誤，故選C.

8已知扇形的弧長為6,圓心角弧度數(shù)為3,則其面積為（）

A.3B.6C.9D.12

解析答案B

設(shè)扇形的半徑為R,由題意可得桜=3,則"2,扇形的面積S=》R=Jx6X2=6.

KZZ

9如果奇函數(shù)1x）在區(qū)間［—3,—1］上單調(diào)遞增且有最大值5,那么函數(shù)人x）在區(qū)間［1,3］上（

A.單調(diào)遞增且有最小值一5B.單調(diào)遞增且有最大值一5

C.單調(diào)遞減且有最小值一5D.單調(diào)遞減且有最大值一5

解析答案A

?.?本）為奇函數(shù)，於）在［1,3］上的單調(diào)性與［-3,—1］上一致且＜1）為最小值，

又已知八-1）=5,?\A—1）=一火1）=5,.?優(yōu)1）=-5.

10以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績：（單位：分）

78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,

則這15人成績的第80百分位數(shù)是（）

A.90B.90.5C.91D.91.5

解析答案B

把成績按從小到大的順序排列為：

56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,

90+91

因為15X80%=12,所以這15人成績的第80百分位數(shù)是一二=90.5.

11cos50°cos160°—cos40°sin160°=()

A.坐B.gC.—!D.-坐

解析答案D

原式=cos50°cos160°—sin50°sin160°=cos(50°+160°)=cos210°=—cos30°

故選D.

12函數(shù)/(x)=lnx——Y的零點的個數(shù)是()

XJL

A.OB.lC.2D.3

解析答案C

如圖，畫出y=lnx與7的圖象，

XJL

由圖知y=lnx與y（x>0,且xWl）的圖象有兩個交點.

X1

故函數(shù)y（x）=lnx—的零點有2個.

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.

13命題“存在xGR,2xW0”的否定是.

解析對任意的xGR,2x>0

14.某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校

四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查，已知該校一年級、二年級、三年級、

四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6,則應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生.

4

解析根據(jù)題意，應(yīng)從一年級本科生中抽取的人數(shù)為4+5+5+6X300=60

3,

15已矢口sin（Q—兀）=§,貝!Jcos2a=.

33

解析sin（ot—7i）=-sin。=亍故sina=一亍

所以cos2a=l—2sin2a=1—2X（—圖=25,

16一個長方體的頂點都在球面上，且長方體的棱長分別為1,2,3,則球的表面積為.

解析設(shè)球的半徑為七則2R=產(chǎn)亍百=5，則氏=半，故球的表面積為S=4nR2=

14K.

三、解答題：本大題共3小題，共32分.

17（10分）

在厶厶臺。中，sin2C=V3sinC.

⑴求C；

（2）若6=6,且△ABC的面積為6市，求△ABC的周長.

解（1）因為sin2c=5sinC,

所以2sinCeosC=-\/3sinC.

因為Ce（0,兀），所以sinCWO,

所以cosC二專,C=7.

2o

（2）因為△ABC的面積S=^absinC=^XaX6X^=6y［3,

所以a=4小.

由余弦定理可得c2=a2+/_2"cosC=48+36—72=12,所以c=2小，

所以厶厶臺。的周長為tz+Z?+c=4"\/3+6+2^/3=6（'\/3+1）.

18（11分）

某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其物理成績（均為整數(shù)）分成六段：［40,

50）,［50,60）,…，［90,100］后畫出如下頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：

頻率

組距

().03

0.025

0.01

0.005

O1

'405()607()8090100分