2024年千錘百煉高考數(shù)學100個熱點問題第8煉 函數(shù)方程問題的分析含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學100個熱點問題第8煉函數(shù)方程問題的分析含答案第8煉函數(shù)方程問題的分析一、基礎(chǔ)知識：1、函數(shù)方程：含有未知函數(shù)的等式叫做函數(shù)方程，例如：都可稱為函數(shù)方程。在高中階段，涉及到函數(shù)方程有以下幾個類型：（1）表示函數(shù)的某種性質(zhì)：例如體現(xiàn)是偶函數(shù)；體現(xiàn)是周期為1的周期函數(shù)（可詳見“函數(shù)對稱性與周期性”一節(jié)）（2）可利用解方程組的思想解出涉及的函數(shù)的解析式：例如：，可用代替得，即（3）函數(shù)方程也是關(guān)于變量的恒等式，所以通過對變量賦特殊值得到某些數(shù)的函數(shù)值2、雙變量函數(shù)方程的賦值方法：（1）對均賦特殊值，以得到某些點的函數(shù)值，其中有些函數(shù)值會對性質(zhì)的推導起到關(guān)鍵作用，比如，在賦特殊值的過程中要注意所賦的值要符合函數(shù)定義域。（2）其中某一個變量不變，另一個賦特殊值，可得到單變量的恒等式，通常用于推斷函數(shù)的性質(zhì)3、常見函數(shù)所符合的函數(shù)方程：在填空選擇題時可作為特殊的例子輔助處理，但是在解答題中不能用這些特殊的函數(shù)代表函數(shù)方程（1）：（2）：（3）①當時，：②當時，：二、典型例題例1：已知函數(shù)對任意的均有，且當時，（1）求證：為奇函數(shù)（2）求證：為上的增函數(shù)（1）思路：要證明奇函數(shù)，則需要出現(xiàn)在同一等式中，所以考慮令，則有，再通過代入特殊值計算出即可解：（1）令，則令，則解得為奇函數(shù)（2）思路：要證明單調(diào)遞增，則需任取，且，去證明與的大小，結(jié)合等式，則需要讓與分居等號的兩側(cè)，才能進行作差。所以考慮，進而。只需判斷的符號即可解：任取，且，令，代入方程可得：，依題意可得：即為增函數(shù)小煉有話說：第（2）問將拆分為是本題證明的亮點，達到了讓與分居等號的兩側(cè)的目的例2：已知定義在上的函數(shù)，對于任意實數(shù)都滿足，且，當時，（1）求的值（2）求證：在上是增函數(shù)（3）求不等式：的解集解：（1）令，則有，解得或令可得：（2）思路：考慮證明單調(diào)遞增，則需構(gòu)造出，即可設(shè)且令，則有，從而，由和已知條件可得：所以需要證明，即，，可考慮結(jié)合題目條件和，令，則有，從而單調(diào)性可證證明：，則令，代入函數(shù)方程有：，下證由已知可得，時，所以只需證明時，令，即在上單調(diào)遞增（3）思路：本題并沒有的解析式，所以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性求解。由（1）（2）問可得，從而，再根據(jù)單調(diào)性即可得到關(guān)于的不等式，解出不等式即可解：，且由（2）可得單調(diào)遞增解得例3：定義在的函數(shù)滿足關(guān)系，當時，，若，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.思路：由比較函數(shù)值大小聯(lián)想到考慮函數(shù)的單調(diào)性，先化簡，由可得：，令解得：，即，所給方程左邊已經(jīng)作差，所以考慮，，則，因為，所以，從而，即，得到在單調(diào)遞增，所以答案：D小煉有話說：本題在證明單調(diào)性時，因為考慮了中自變量的取值，所以只需考慮的單調(diào)性，縮小的范圍使得判斷的范圍較容易。但也可將在中任取，但是在判斷的范圍會比較復雜，可利用不等式的等價變形來證：假設(shè)，因為且由可得成立，從而例4：函數(shù)的定義域為，滿足，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：從所求中發(fā)現(xiàn)互為相反數(shù)，所以聯(lián)想到判定是否具有奇偶性。令，則有，需求出：令，則，再令，則，所以，為偶函數(shù)。所以，所解不等式為，因為為偶函數(shù)，且區(qū)間上單調(diào)遞增，所以自變量距離軸越近，則函數(shù)值越小，所以，即，解得，因為，所以的范圍為答案：D例5：設(shè)角的終邊在第一象限，函數(shù)的定義域為，且，當時，有，則使等式成立的的集合為思路：首先從所求出發(fā)，由確定代入的特殊值。令得：，則下一步需要確定的值，令，則有，所以，由角的終邊在第一象限可得：，從而的集合為答案：例6：定義在上的函數(shù)滿足：對于任意的，有，且時，有，設(shè)的最大值和最小值分別為，則的值為（）A.B.C.D.思路：由最值聯(lián)想到函數(shù)的單調(diào)性，從而先考慮證明單調(diào)，令（其中），則可證明為增函數(shù)，從而，再利用函數(shù)方程求出的值即可解：，且，令代入函數(shù)方程可得：，在單調(diào)遞增令，可得：答案：D例7：已知函數(shù)滿足：，對任意實數(shù)都有，則（）A.B.C.D.思路：由所求出發(fā)可考慮判斷是否具備周期性，令，可得，即，所以，兩式相加可得，則可判定的周期為6，由可得：，即，由可得，則，從而，所以，且答案：B例8：已知是定義在上的函數(shù)，，且對任意的，都有，那么__________思路：函數(shù)方程為“和→積”的特點，抓住，可發(fā)現(xiàn)令，則，所以可得：自變量間隔,，其函數(shù)值的和為0，所以將求和的式子兩兩一組，即：答案：例9：設(shè)函數(shù)的定義域為，，且對，都有，則的解析式為________思路：觀察到右邊的結(jié)構(gòu)并非的輪換對稱式，考慮其中一個變量不變，另一個變量賦值為1，則時，①，時，②，則求是關(guān)鍵，結(jié)合，可令，則，代入到①②可得：，即，消去解得：答案：:例10：已知函數(shù)是定義在上不恒為的函數(shù)，且對于任意的實數(shù)滿足，，，考察下列結(jié)論：①②為奇函數(shù)③數(shù)列為等差數(shù)列④數(shù)列為等比數(shù)列，其中正確的個數(shù)為()A．B．C．D．思路：考慮按照選項對函數(shù)方程中的進行賦值。①計算，令，可得；令，則，所以，①正確②使等式中出現(xiàn)，令，則，需要計算出，結(jié)合方程可令，則有，即，所以，為奇函數(shù)，②正確③從等差數(shù)列定義出發(fā)，考慮遞推公式，因為，所以可得：，從而判定為等差數(shù)列，③正確④若按照等比數(shù)列定義，考慮，則不易于進行化簡?？捎散鄢霭l(fā)得到的表達式：，所以，即，所以，從而可判定是一個等比數(shù)列，④正確答案：D第9煉零點存在的判定與證明一、基礎(chǔ)知識：1、函數(shù)的零點：一般的，對于函數(shù)，我們把方程的實數(shù)根叫作函數(shù)的零點。2、零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點，即，使得注：零點存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點不一定存在3、函數(shù)單調(diào)性對零點個數(shù)的影響：如果一個連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點至多有一個。因此分析一個函數(shù)零點的個數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)4、幾個“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)）（1）若，則“一定”存在零點，但“不一定”只有一個零點。要分析的性質(zhì)與圖像，如果單調(diào)，則“一定”只有一個零點（2）若，則“不一定”存在零點，也“不一定”沒有零點。如果單調(diào)，那么“一定”沒有零點（3）如果在區(qū)間中存在零點，則的符號是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖像影響。如果單調(diào)，則一定小于05、零點與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號：是一個在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點，且，則時，；時，6、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）可直接判斷的幾個結(jié)論：①若為增（減）函數(shù)，則也為增（減）函數(shù)②若為增函數(shù)，則為減函數(shù)；同樣，若為減函數(shù)，則為增函數(shù)③若為增函數(shù)，且，則為增函數(shù)（2）復合函數(shù)單調(diào)性：判斷的單調(diào)性可分別判斷與的單調(diào)性（注意要利用的范圍求出的范圍），若，均為增函數(shù)或均為減函數(shù)，則單調(diào)遞增；若，一增一減，則單調(diào)遞減（此規(guī)律可簡記為“同增異減”）（3）利用導數(shù)進行判斷——求出單調(diào)區(qū)間從而也可作出圖像7、證明零點存在的步驟：（1）將所證等式中的所有項移至等號一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)（2）判斷是否要對表達式進行合理變形，然后將表達式設(shè)為函數(shù)（3）分析函數(shù)的性質(zhì)，并考慮在已知范圍內(nèi)尋找端點函數(shù)值異號的區(qū)間（4）利用零點存在性定理證明零點存在例1：函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（）A.B.C.D.思路：函數(shù)為增函數(shù)，所以只需代入每個選項區(qū)間的端點，判斷函數(shù)值是否異號即可解：，，使得答案：C例2：函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（）A.B.C.D.思路：先能判斷出為增函數(shù)，然后利用零點存在性判定定理，只需驗證選項中區(qū)間端點函數(shù)值的符號即可。時，，從而，，所以，使得答案：A小煉有話說：（1）本題在處理時，是利用對數(shù)的性質(zhì)得到其的一個趨勢，從而確定符號。那么處理零點問題遇到無法計算的點時也要善于估計函數(shù)值的取向。（2）本題在估計出時，后，也可舉一個具體的函數(shù)值為負數(shù)的例子來說明，比如。正是在已分析清楚函數(shù)趨勢的前提下，才能保證快速找到合適的例子。例3：（2010，浙江）已知是函數(shù)的一個零點，若，則（）A.B.C.D.思路：條件給出了的零點，且可以分析出在為連續(xù)的增函數(shù)，所以結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得答案：B例4：已知函數(shù)，當時，函數(shù)的零點，則________思路：由的范圍和解析式可判斷出為增函數(shù)，所以是唯一的零點。考慮，，所以，從而答案：例5：定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，若的“新駐點”分別為，則（）A.B.C.D.思路：可先求出，由“新駐點”的定義可得對應(yīng)方程為：，從而構(gòu)造函數(shù)，再利用零點存在性定理判斷的范圍即可解：所以分別為方程的根，即為函數(shù)：的零點在單調(diào)減，在單調(diào)增，而，時，，而答案：C例6：若函數(shù)的零點與的零點之差的絕對值不超過，則可以是（）A．B．C．D．思路：可判斷出單增且連續(xù)，所以至多一個零點，但的零點無法直接求出，而各選項的零點便于求解，所以考慮先解出各選項的零點，再判斷的零點所在區(qū)間即可解：設(shè)各選項的零點分別為，則有對于，可得：，所以C選項符合條件答案：C例7：設(shè)函數(shù)，若實數(shù)分別是的零點，則（）A.B.C.D.思路：可先根據(jù)零點存在定理判斷出的取值范圍：，從而；，從而，所以有，考慮，且發(fā)現(xiàn)為增函數(shù)。進而，即答案：A例8：已知定義在上的函數(shù)，求證：存在唯一的零點，且零點屬于思路：本題要證兩個要素：一個是存在零點，一個是零點唯一。證明零點存在可用零點存在性定理，而要說明唯一，則需要函數(shù)的單調(diào)性解：在單調(diào)遞增，使得因為單調(diào)，所以若，且則由單調(diào)性的性質(zhì)：與題設(shè)矛盾所以的零點唯一小煉有話說：如果函數(shù)在單調(diào)遞增，則在中，，即函數(shù)值與自變量一一對應(yīng)。在解答題中常用這個結(jié)論證明零點的唯一性例9：（2011年，天津）已知，函數(shù)（的圖像連續(xù)不斷）（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）當時，證明：存在，使得解：（1）令解得：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）思路：由（1）可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而從圖像上看必然會在存在使得，但由于是證明題，解題過程要有理有據(jù)。所以可以考慮將所證等式變?yōu)?，?gòu)造函數(shù)，從而只需利用零點存在性定理證明有零點即可。解：設(shè)由（1）可得：當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因為根據(jù)零點存在性定理可得：，使得即存在，使得小煉有話說：（1）在證明存在某個點的函數(shù)值與常數(shù)相等時，往往可以將常數(shù)挪至函數(shù)的一側(cè)并構(gòu)造函數(shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化成為證明函數(shù)存在零點的問題。（2）本題在尋找小于零的點時，先觀察表達式的特點：，意味著只要取得足夠大，早晚比要大的多，所以只需要取較大的自變量便可以找到的點。選擇也可，選擇等等也可以。例10：已知函數(shù)，其中常數(shù)，若有兩個零點，求證：思路：若要證零點位于某個區(qū)間，則考慮利用零點存在性定理，即證且，即只需判斷的符號，可先由存在兩個零點判斷出的取值范圍為，從而，只需將視為關(guān)于的函數(shù)，再利用函數(shù)性質(zhì)證明均大于零即可。解：令設(shè)，可得為增函數(shù)且時，時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以在，有兩個零點在單調(diào)遞增在單調(diào)遞增而，使得即另一方面：而，使得即綜上所述：第10煉函數(shù)零點的個數(shù)問題一、知識點講解與分析：1、零點的定義：一般地，對于函數(shù)，我們把方程的實數(shù)根稱為函數(shù)的零點2、函數(shù)零點存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點，使得。（1）在上連續(xù)是使用零點存在性定理判定零點的前提（2）零點存在性定理中的幾個“不一定”（假設(shè)連續(xù)）①若，則的零點不一定只有一個，可以有多個②若，那么在不一定有零點③若在有零點，則不一定必須異號3、若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點唯一4、函數(shù)的零點，方程的根，兩圖像交點之間的聯(lián)系設(shè)函數(shù)為，則的零點即為滿足方程的根，若,則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?，即方程的根在坐標系中為交點的橫坐標，其范圍和個數(shù)可從圖像中得到。由此看來，函數(shù)的零點，方程的根，兩圖像的交點這三者各有特點，且能相互轉(zhuǎn)化，在解決有關(guān)根的問題以及已知根的個數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化。（詳見方法技巧）二、方法與技巧：1、零點存在性定理的應(yīng)用：若一個方程有解但無法直接求出時，可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個函數(shù)，從而利用零點存在性定理將零點確定在一個較小的范圍內(nèi)。例如：對于方程，無法直接求出根，構(gòu)造函數(shù)，由即可判定其零點必在中2、函數(shù)的零點，方程的根，兩函數(shù)的交點在零點問題中的作用（1）函數(shù)的零點：工具：零點存在性定理作用：通過代入特殊值精確計算，將零點圈定在一個較小的范圍內(nèi)。缺點：方法單一，只能判定零點存在而無法判斷個數(shù)，且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關(guān)（2）方程的根：工具：方程的等價變形作用：當所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖像時，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，從而利用等式的性質(zhì)可對方程進行變形，構(gòu)造出便于分析的函數(shù)缺點：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉(zhuǎn)化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根，也無法判斷根的個數(shù)（3）兩函數(shù)的交點：工具：數(shù)形結(jié)合作用：前兩個主要是代數(shù)運算與變形，而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點，是將抽象的代數(shù)運算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。通過圖像可清楚的數(shù)出交點的個數(shù)（即零點，根的個數(shù)）或者確定參數(shù)的取值范圍。缺點：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)（故當方程含參時，通常進行參變分離，其目的在于若含的函數(shù)可作出圖像，那么因為另外一個只含參數(shù)的圖像為直線，所以便于觀察），另一方面取決于作圖的精確度，所以會涉及到一個構(gòu)造函數(shù)的技巧，以及作圖時速度與精度的平衡（作圖問題詳見：1.7函數(shù)的圖像）3、在高中階段主要考察三個方面：（1）零點所在區(qū)間——零點存在性定理，（2）二次方程根分布問題，（3）數(shù)形結(jié)合解決根的個數(shù)問題或求參數(shù)的值。其中第（3）個類型常要用到函數(shù)零點，方程，與圖像交點的轉(zhuǎn)化，請通過例題體會如何利用方程構(gòu)造出函數(shù)，進而通過圖像解決問題的。三、例題精析：例1：直線與函數(shù)的圖象有三個相異的交點，則的取值范圍為()．A．B．C．D．思路：考慮數(shù)形結(jié)合，先做出的圖像，，令可解得：或，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為，極小值為，做出草圖。而為一條水平線，通過圖像可得，介于極大值與極小值之間，則有在三個相異交點。可得：答案：A小煉有話說：作圖時可先作常系數(shù)函數(shù)圖象，對于含有參數(shù)的函數(shù)，先分析參數(shù)所扮演的角色，然后數(shù)形結(jié)合，即可求出參數(shù)范圍。例2：設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程在上恰有兩個相異實根，則實數(shù)的取值范圍是_________思路：方程等價于：，即函數(shù)與的圖像恰有兩個交點，分析的單調(diào)性并作出草圖：令解得：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，由圖像可得，水平線位于之間時，恰好與有兩個不同的交點。答案：小煉有話說：（1）本題中的方程為，在構(gòu)造函數(shù)時，進行了與的分離，此法的好處在于一側(cè)函數(shù)圖像為一條曲線，而含參數(shù)的函數(shù)圖像由于不含所以為一條水平線，便于上下平移，進行數(shù)形結(jié)合。由此可得：若關(guān)于的函數(shù)易于作出圖像，則優(yōu)先進行參變分離。所以在本題中將方程轉(zhuǎn)變?yōu)?，?gòu)造函數(shù)并進行數(shù)形結(jié)合。（2）在作出函數(shù)草圖時要注意邊界值是否能夠取到，數(shù)形結(jié)合時也要注意能否取到邊界值。例3：已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.思路：函數(shù)有三個零點，等價于方程有三個不同實數(shù)根，進而等價于與圖像有三個不同交點，作出的圖像，則的正負會導致圖像不同，且會影響的位置，所以按進行分類討論，然后通過圖像求出的范圍為。答案：D小煉有話說：（1）本題體現(xiàn)了三類問題之間的聯(lián)系：即函數(shù)的零點方程的根函數(shù)圖象的交點，運用方程可進行等式的變形進而構(gòu)造函數(shù)進行數(shù)形結(jié)合，解決這類問題要選擇合適的函數(shù)，以便于作圖，便于求出參數(shù)的取值范圍為原則。（2）本題所求在圖像中扮演兩個角色，一方面決定左側(cè)圖像直線的傾斜角，另一方面決定水平線的位置與軸的關(guān)系，所以在作圖時要兼顧這兩方面，進行數(shù)形結(jié)合。例4：已知函數(shù)滿足，當，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有三個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是（）思路：，當時，，所以，而有三個不同零點與有三個不同交點，如圖所示，可得直線應(yīng)在圖中兩條虛線之間，所以可解得：答案：B小煉有話說：本題有以下兩個亮點。（1）如何利用，已知的解析式求的解析式。（2）參數(shù)的作用為直線的斜率，故數(shù)形結(jié)合求出三個交點時的范圍例5：已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．4 B．6 C．8 D．10思路：由為偶函數(shù)可得：只需作出正半軸的圖像，再利用對稱性作另一半圖像即可，當時，可以利用利用圖像變換作出圖像，時，，即自變量差2個單位，函數(shù)值折半，進而可作出，，……的圖像，的零點個數(shù)即為根的個數(shù)，即與的交點個數(shù)，觀察圖像在時，有5個交點，根據(jù)對稱性可得時，也有5個交點。共計10個交點答案：D小煉有話說：（1）類似函數(shù)的周期性，但有一個倍數(shù)關(guān)系。依然可以考慮利用周期性的思想，在作圖時，以一個“周期”圖像為基礎(chǔ)，其余各部分按照倍數(shù)調(diào)整圖像即可（2）周期性函數(shù)作圖時，若函數(shù)圖像不連續(xù)，則要注意每個周期的邊界值是屬于哪一段周期，在圖像中要準確標出，便于數(shù)形結(jié)合。（3）巧妙利用的奇偶性，可以簡化解題步驟。例如本題中求交點個數(shù)時，只需分析正半軸的情況，而負半軸可用對稱性解決例6：對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足，稱為“局部奇函數(shù)”，若為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：由“局部奇函數(shù)”可得：，整理可得：，考慮到，從而可將視為整體，方程轉(zhuǎn)化為：，利用換元設(shè)（），則問題轉(zhuǎn)化為只需讓方程存在大于等于2的解即可，故分一個解和兩個解來進行分類討論。設(shè)。（1）若方程有一個解，則有相切（切點大于等于2）或相交（其中交點在兩側(cè)），即或，解得：或（2）若方程有兩解，則，解得：，綜上所述：答案：A小煉有話說：本題借用“局部奇函數(shù)”概念，實質(zhì)為方程的根的問題，在化簡時將視為整體，進而將原方程進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，將問題轉(zhuǎn)化為二次方程根分布問題，進行求解。例7：已知函數(shù)的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線，當時，，則關(guān)于的函數(shù)的零點的個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．0或2思路：，結(jié)合的零點個數(shù)即為方程，結(jié)合條件中的不等式，可將方程化為，可設(shè)，即只需求出的零點個數(shù)，當時，，即在上單調(diào)遞增；同理可得：在上單調(diào)遞減，，故，所以不存在零點。答案：A小煉有話說：（1）本題由于解析式未知，故無法利用圖像解決，所以根據(jù)條件考慮構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與零點存在性定理進行解決。（2）所給不等式呈現(xiàn)出輪流求導的特點，猜想可能是符合導數(shù)的乘法法則，變形后可得，而的零點問題可利用方程進行變形，從而與條件中的相聯(lián)系，從而構(gòu)造出例8：定義域為的偶函數(shù)滿足對，有，且當時，，若函數(shù)在上至少有三個零點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：體現(xiàn)的是間隔2個單位的自變量，其函數(shù)值差，聯(lián)想到周期性，考慮先求出的值，由為偶函數(shù)，可令，得，為周期是2的周期函數(shù)。已知條件中函數(shù)有三個零點，可將零點問題轉(zhuǎn)化為方程即至少有三個根，所以與有三個交點。先利用在的函數(shù)解析式及周期性對稱性作圖，通過圖像可得：時，不會有3個交點，考慮的圖像。設(shè)，則，利用圖像變換作圖，通過觀察可得：只需當時，的圖像在上方即可，即所以答案：B小煉有話說：本題有以下幾個亮點：（1）的周期性的判定：可猜想與周期性有關(guān)，可帶入特殊值，解出，進而判定周期，配合對稱性作圖（2）在選擇出交點的函數(shù)時，若要數(shù)形結(jié)合，則要選擇能夠做出圖像的函數(shù)，例如在本題中，的圖像可做，且可通過圖像變換做出例9：已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，其中，若方程恰有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：由可得，即的周期為，所解方程可視為與的交點，而的作用為影響圖像直線的斜率，也絕對此段的最值（），先做出的圖像，再根據(jù)三個交點的條件作出的圖像（如圖），可發(fā)現(xiàn)只要在處，的圖像高于圖像且在處的圖像低于圖像即可。所以有，即答案：B例10：（2014甘肅天水一中五月考）已知函數(shù)的圖像上關(guān)于軸對稱的點至少有3對，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：考慮設(shè)對稱點為，其中，則問題轉(zhuǎn)化為方程至少有三個解。即有三個根，所以問題轉(zhuǎn)化為與有三個交點，先做出的圖像，通過觀察可知若與其有三個交點，則，進一步觀察圖像可得：只要，則滿足題意，所以，所以答案：A三、近年模擬題題目精選：1、已知是以為周期的偶函數(shù)，當時，，那么在區(qū)間內(nèi)，關(guān)于的方程有個根，則的取值范圍是()．A．或B．C．或D．2、（2014吉林九校聯(lián)考二模，16）若直角坐標平面內(nèi)A,B兩點滿足條件：①點都在函數(shù)的圖像上；點關(guān)于原點對稱，則稱是函數(shù)的一個“姊妹點對”（與可看作同一點對），已知，則的“姊妹點對”有______個3、（2015，天津）已知函數(shù)函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.4、（2015，湖南）已知，若存在實數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是______5、（2014，新課標全國卷I）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6、（2014，山東）已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.7、（2014，天津）已知函數(shù)，若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_________8、（2015，江蘇）已知函數(shù)，則方程實根的個數(shù)為__________9、已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.10、對于函數(shù)，設(shè)，若存在使得，則稱與互為“零點關(guān)聯(lián)函數(shù)”，若函數(shù)與互為“零點關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.11、已知偶函數(shù)滿足對任意，均有且，若方程恰有5個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是.12、（2016，河南中原第一次聯(lián)考）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有9個零點，則實數(shù)的值為________13、（2014，四川）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)（1）設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求的取值范圍習題答案：1、答案：B解析：根據(jù)周期性和對稱性可作出的圖像，