數(shù)學競賽培優(yōu)試卷二

-PAGE9-數(shù)學競賽培優(yōu)試卷二第1題第1題1．如圖,一個等邊三角形的邊長與它的一邊相外切的圓的周長相等,當這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊做無滑動旋轉,直至回到原出發(fā)位置時,則這個圓共轉了()A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈2．二次函數(shù)，當取值為時有最大值，則的取值范圍為（）（A）≤0（B）0≤≤3（C）≥3（D）以上都不對．3.若直角三角形的兩條直角邊長為、，斜邊長為，斜邊上的高為，則有（）（A）;（B）;（C）;（D）4．一條拋物線的頂點為（4，），且與x軸的兩個交點的橫坐標為一正一負，則a、b、c中為正數(shù)的（）（A）只有（B）只有（C）只有（D）只有和5．P是△ABC內一點，AD、BE、CF過點P并且交邊BC、CA、AB于D、E、F，A1B2C3D46．如果x和y是非零實數(shù)，使得和那么x+y等于（）（A）3（B）（C）（D）二、填空題1．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，，則（度）PABCDEFQ（第2題）2．如圖，、分別是的邊、上的點，與相交于點，與相交于點，若△APD，△BQC，則陰影部分的面積為．PABCDEFQ（第2題）（第3題）3．如圖，正方形的邊長為1，為所在直線上的兩點，且，，則四邊形的面積為___________（第3題）4.若ax2+(a+2)x+9a=0有兩個不同實根，x1,x2,且x1<2<x2,則a的取值范圍為5．如圖，在直徑為6的半圓弧上有兩動點、，弦、相交于點，則的值為___________________.三、簡答題1．如圖，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，點E為腰AC中點，點F在底邊BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面積。2．在代數(shù)學中，為了表述的簡潔，常用記號，…來表示以x為自變量的函數(shù)．例如，若用來表示二次函數(shù)，則；而表示自變量x取值為時的函數(shù)值，即．另外，我們把形如（其中為系數(shù)，x為變量）的函數(shù)稱為關于x的一元n次多項式．已知關于x的實系數(shù)多項式滿足：對任意實數(shù)，以下兩式恒成立．（ⅰ）；（ⅱ）．試解答如下兩個問題：（1）證明：函數(shù)是一次函數(shù)；（2）求函數(shù)與的表達式．3．4.余姚市自主招生考試數(shù)學答題卷（本卷滿分120分測試時間90分鐘）姓名學號一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分）題號12345678答案二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）9.10．11．12．13．14．15．三、解答題（本大題共5小題，第16、17、18、19題各10分，第20題12分，共52分）16．（1）已知非零實數(shù)滿足，試求的值．（2）已知實數(shù)滿足，試求的值．17．如圖，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，點E為腰AC中點，點F在底邊BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面積。18．在代數(shù)學中，為了表述的簡潔，常用記號，…來表示以x為自變量的函數(shù)．例如，若用來表示二次函數(shù)，則；而表示自變量x取值為時的函數(shù)值，即．另外，我們把形如（其中為系數(shù)，x為變量）的函數(shù)稱為關于x的一元n次多項式．已知關于x的實系數(shù)多項式滿足：對任意實數(shù)，以下兩式恒成立．（ⅰ）；（ⅱ）．試解答如下兩個問題：（1）證明：函數(shù)是一次函數(shù)；（2）求函數(shù)與的表達式．19．設拋物線與x軸交于兩個不同的點A（－1，0）、B（m，0），與y軸交于點C.且∠ACB＝90°.（1）求m的值和拋物線的解析式；（2）已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線交拋物線于另一點E.若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標.（3）在（2）的條件下，△BDP的外接圓半徑等于________________.20．（本題滿分12分）在ΔABC中，AB=AC，BC=6，sinB=，點P從點B出發(fā)沿射線BA移動，同時點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D．(1)如圖(1)，當點P為AB的中點時，求CD的長；(2)如圖(2)，過點P作直線BC的垂線，垂足為點E，當點P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段?請說明理由；(3)如圖(3)，當PQ經(jīng)過ΔABC的重心G時，求BP的長．余姚市自主招生考試數(shù)學參考答案（本卷滿分120分測試時間90分鐘）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分）題號12345678答案DCBADCA二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）9.3210．11．9012．4013．-4/15小于a小于014．15．三、解答題（本大題共5小題，第16、17、18、19題各10分，第20題12分，共52分）16．解：（1）由得，，………………2分將b消去可得，=………………4分………………5分（2）依題意得………………7分對等式兩端分別平方可得將兩式的左右對應相加可得………………9分即知………………10分17. 解法1：如圖，過C作CD⊥CE與EF的延長線交于D．因為∠ABE＋∠AEB=90°，∠CED＋∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以………………4分又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分線，點F到CE和CD的距離相等，所以………………8分…………10分（解法2：如圖3－278，作FH⊥CE于H）18.解：（1）設（c為常數(shù)），則在（?。┦街辛羁傻茫?分以x代y，即知．所以函數(shù)是一次函數(shù)．………………5分（2）由（?。┦街?，……6分代入（ⅱ）式得到，，即對任意實數(shù)恒成立．………………8分因此，；但同時注意到，所以，，經(jīng)檢驗符合題意．………………10分19．解答:21、（1）.M=4，y=1/2x2-3/2x-2………………2分(2)p1(13/7,0)

p2(-22/5,0)………………6分（3）3/14或3/5………………10分20．(1)過點P作PF∥AC交BC于F，∵P為AB的中點，F(xiàn)為BC的中點，∴FC=3，可證ΔPFD≌ΔQCD得DC=FD=2分．(2)當點P、Q在移動的過程中，線段DE的長度保持不變．3分①如果點P在線段AB上時，過點P作PF∥AC交BC于F，由AB=AC，可證PB=PF，∵PE⊥BC，∴BE=FE，再證ΔPFD≌ΔQCD得DC=FD，∴ED=BC=35分．②如果點P在線段BA的延長線上時，同理可得ED=36分．∴當點P、Q在移動的過程中，線段DE的長度保持不變7分．（3）作PE⊥