方陣的行列式與逆矩陣

關(guān)于方陣的行列式與逆矩陣一、方陣的行列式定義由階方陣的各元素按原位置排列構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算性質(zhì)

為階方陣,為數(shù)。回章目錄第2頁,共17頁，2024年2月25日，星期天二、逆矩陣在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時(shí)，有其中為的倒數(shù)，在矩陣的乘法運(yùn)算中，也有類似情形(單位陣相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中的1)。定義8對于階矩陣，如果存在階矩陣,使得則稱為可逆矩陣，是的逆方陣。注:(1)可逆矩陣及其逆矩陣是同階方陣。(2)可逆矩陣必為方陣。(3)若是的逆矩陣,則也是的逆矩陣。第3頁,共17頁，2024年2月25日，星期天定理1：，

證：若有兩個(gè)逆方陣和，即則即逆方陣唯一。注：(1)的逆方陣記為.

(2)定理2:若方陣可逆，則其行列式證：故,若方陣可逆，則其逆矩陣必唯一。

第4頁,共17頁，2024年2月25日，星期天定義9

設(shè)是行列式中元素的代數(shù)余子式,稱方陣注:為方陣的伴隨方陣。第5頁,共17頁，2024年2月25日，星期天因?yàn)榈?頁,共17頁，2024年2月25日，星期天定理3:定理3提供了一種利用伴隨方陣求逆方陣的方法，例11判斷下列，是否可逆。若可逆，求其逆，若，則可逆，且，其中

為的伴隨方陣。證：由(8)知由逆方陣定義，有由定理2，定理3，可逆的充分必要條件是第7頁,共17頁，2024年2月25日，星期天

中各元素的代數(shù)余子式為于是伴隨陣第8頁,共17頁，2024年2月25日，星期天用此法求逆方陣時(shí)，計(jì)算量較大。一般地，注:方陣的階數(shù)時(shí)，可以用此法。奇異矩陣與非奇異矩陣的定義方陣。當(dāng)時(shí)，稱為非奇異方陣。否則稱為奇異推論:證明：易知，可逆的充分必要條件是非奇異。對階方陣則可逆,且第9頁,共17頁，2024年2月25日，星期天定理4

證明：只證明(4)此推論簡化了判定方陣是否可逆的條件。設(shè)皆為階可逆方陣，則第10頁,共17頁，2024年2月25日，星期天例12對于階可逆方陣定義第11頁,共17頁，2024年2月25日，星期天例13解:

第12頁,共17頁，2024年2月25日，星期天于是例14例15第13頁,共17頁，2024年2月25日，星期天回章目錄第14頁,共17頁，2024年2月25日，星期天三、小結(jié)(2)逆矩陣的概念及運(yùn)算性質(zhì).(1)方陣行列式的概念及運(yùn)算性質(zhì).第15頁,共17頁，2024年2月25日，星期天思考題第