高考二輪專題-圓錐曲線的概念與性質(zhì)

高考復(fù)習(xí)專題——圓錐曲線的概念及性質(zhì)一、熱點(diǎn)視角展示1．專題主要內(nèi)容⑴橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)、橢圓的參數(shù)方程．⑵雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)．⑶拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)．2．專題學(xué)問特點(diǎn)⑴用代數(shù)的方法探討解決幾何問題，重點(diǎn)是用數(shù)形結(jié)合的思想把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．⑵解題思路比較簡(jiǎn)潔，概念公式較多，規(guī)律性較強(qiáng)，但運(yùn)算過(guò)程往往比較困難，對(duì)運(yùn)算實(shí)力、恒等變形能力及綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)學(xué)問和方法的實(shí)力要求較高．3．專題高考地位本專題是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在歷年高考試題中均占有舉足輕重的地位，問題總量除包括倒數(shù)第1（2）題的壓軸題外，還至少包括2~3道小題．本專題內(nèi)容在高考題中所占的分值是20多分，占總分值的15%左右．⑴圓錐曲線中的定義、離心率、焦點(diǎn)三角形、焦半徑、通徑等學(xué)問點(diǎn)是填空題和選擇題中的高檔試題，難度不高，但方法比較敏捷．⑵直線與圓錐曲線的位置關(guān)系簡(jiǎn)潔和平面對(duì)量、數(shù)列、不等式綜合，涉及存在性問題、定值問題、定點(diǎn)問題、求參數(shù)問題．⑶求曲線的軌跡方程是解析幾何一個(gè)基本問題，是歷年來(lái)高考的一大熱點(diǎn)．⑷圓錐曲線（包括直線與圓）和函數(shù)、數(shù)列、不等式、三角、平面對(duì)量等學(xué)問聯(lián)系親密．直線與圓錐曲線中的存在性問題、定值問題漸成考試定勢(shì)．⑸數(shù)形結(jié)合思想本身就是解析幾何的靈魂，在高考解析幾何題中的運(yùn)用更為常見；分類探討思想主要體現(xiàn)在解答題中對(duì)參數(shù)問題的探討；等價(jià)轉(zhuǎn)化思想：在解題中?；鸀橹保⒏呖兼溄?、（2010天津）已知雙曲線的一條漸近線方程是y=,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（A）（B）（C）（D）2、（11全國(guó)Ⅰ）設(shè)直線L過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，L與C交于A,B兩點(diǎn)，為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為（A）（B）（C）2（D）33．（2010福建）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的隨意一點(diǎn)，則的最大值為CA．2 B．3 C．6 D．84.（11四川）在拋物線上取橫坐標(biāo)為、的兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋物線和圓相切，則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（A） （B） （C） （D）解：令拋物線上的點(diǎn)為、，則，由，故切點(diǎn)為，切線方程為，該直線又和圓相切，則，解得或（舍去），則拋物線為，定點(diǎn)坐標(biāo)為，選A．5．(2010遼寧)設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．假如直線AF的斜率為－eq\r(3)，那么|PF|＝()A．4eq\r(3)B．8C．8eq\r(3)D．16解法一：AF直線方程為：y＝－eq\r(3)(x－2)，當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝4eq\r(3)，∴A(－2,4eq\r(3))．當(dāng)y＝4eq\r(3)時(shí)代入y2＝8x中，x＝6，∴P(6,4eq\r(3))，∴|PF|＝|PA|＝6－(－2)＝8.故選B.解法二：∵PA⊥l，∴PA∥x軸．又∵∠AFO＝60°，∴∠FAP＝60°，又知PA＝PF，∴△PAF為等邊三角形．又在Rt△AFF′中，F(xiàn)F′＝4，∴FA＝8，∴PA＝8.故選B.1．已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為eq\f(4,3)eq\r(5)和eq\f(2,3)eq\r(5)，過(guò)P作長(zhǎng)軸的垂線恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求此橢圓的方程．解法一：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，則由題意，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，∴a＝eq\r(5).在方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中，令x＝±c，得|y|＝eq\f(b2,a).在方程eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1中，令y＝±c，得|x|＝eq\f(b2,a).依題意知eq\f(b2,a)＝eq\f(2,3)eq\r(5)，∴b2＝eq\f(10,3).即橢圓的方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(3y2,10)＝1或eq\f(y2,5)＋eq\f(3x2,10)＝1.解法二：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，則|PF1|＝eq\f(4\r(5),3)，|PF2|＝eq\f(2\r(5),3).由橢圓的定義，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，即a＝eq\r(5).由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于長(zhǎng)軸．故在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝eq\f(60,9)，∴c2＝eq\f(5,3)，于是b2＝a2－c2＝eq\f(10,3).又所求的橢圓的焦點(diǎn)可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(3y2,10)＝1或eq\f(3x2,10)＋eq\f(y2,5)＝1.2．（06北京）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2,,|PF1|=,,|PF2|=.（I）求橢圓C的方程；（II）若直線L過(guò)圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線L的方程。解法一：(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3.在Rt△PF1F2中，故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2－c2=4,所以橢圓C的方程為＝1.(Ⅱ)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）.由圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.從而可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1,代入橢圓C的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.所以解得，所以直線l的方程為即8x-9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意)解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 ① ②由①－②得 ③因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1+x2=－4,y1+y2=2,代入③得＝，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)3.（09重慶）已知以原點(diǎn)為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率．（Ⅰ）求該雙曲線的方程；（Ⅱ）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；解：（Ⅰ）由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，由準(zhǔn)線方程為得，由得解得從而，該雙曲線的方程為；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A、D為雙曲線的焦點(diǎn)，所以，是圓上的點(diǎn)，其圓心為，半徑為1，故從而當(dāng)在線段CD上時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為直線CD的方程為，因點(diǎn)M在雙曲線右支上，故由方程組得；4.（11北京）已知橢圓G：，過(guò)點(diǎn)（m，0）作圓的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)。（1）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（2）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值。解：（Ⅰ）由已知得所以所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為（Ⅱ）由題意知，.當(dāng)時(shí)，切線l的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為此時(shí)當(dāng)m=－1時(shí)，同理可得；當(dāng)時(shí)，設(shè)切線l的方程為由；設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則；又由l與圓所以由于當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍耶?dāng)時(shí)，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.5．(06上海)已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。解(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),由得點(diǎn)P在橢圓上，得,∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是.(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說(shuō)該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(－,－),則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,∴△ABC的面積S△ABC=于是S△ABC=由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時(shí),等號(hào)成立.∴S△ABC的最大值是.6．(11湖南)已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離與點(diǎn)到軸的距離的等等于1．（I）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（II）過(guò)點(diǎn)作兩條斜率存在且相互垂直的直線，設(shè)與軌跡相交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，求的最小值．解：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意為化簡(jiǎn)得當(dāng)、所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為（II）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為．由，得設(shè)則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是．因?yàn)?，所以的斜率為．設(shè)則同理可得：

故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最小值16．7.(11江西）已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于（）兩點(diǎn)，且．（1）求該拋物線的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值．8．（11四川）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線為，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）證明：當(dāng)取最小值時(shí)，與共線?！军c(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察橢圓中的基本量的關(guān)系，進(jìn)而求橢圓待定常數(shù)，考察向量的綜合應(yīng)用；【突破】：熟識(shí)橢圓各基本量間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，嫻熟地進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，設(shè)而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的敏捷應(yīng)用。9．（08遼寧）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k>0時(shí)，恒有||>||．解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿意消去y并整理得，故．若，即．而，于是，化簡(jiǎn)得，所以．（Ⅲ）．因?yàn)锳在第一象限，故．由知，從而．又，故，即在題設(shè)條件下，恒有．1．（11浙江）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若;則點(diǎn)的坐標(biāo)是．2．（11天津）已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解法1．由題設(shè)可得雙曲線方程滿意，即．于是．又拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則，于是．所以雙曲線的方程．故選Ｂ．解法2．因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則．由此解除Ａ，Ｃ．又雙曲線的一條漸近線方程是，則，由此又解除Ｄ，故選Ｂ．3.（2010全國(guó)1）已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，則的離心率為.命題意圖：本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、其次定義、平面對(duì)量學(xué)問，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)探討形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化問題的捷徑.4.（11江西）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，直線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是.解:作圖可知一個(gè)切點(diǎn)為（1,0），所以橢圓.分析可知直線為圓與以為圓心，為半徑的圓的公共弦.由與相減得直線方程為：.令，解得，∴，又，∴，故所求橢圓方程為：5.（11山東）設(shè)M(，)為拋物線C：上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則的取值范圍是（A）(0，2)（B）[0，2]（C）(2，+∞)（D）[2，+∞)6．(09陜西)已知雙曲線C的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，離心率e＝eq\f(\r(5),2)，頂點(diǎn)到漸近線的距離為eq\f(2\r(5),5).(1)求雙曲線C的方程；(2)如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，求△AOB面積的取值范圍．解：解法一：(1)由題意知，雙曲線C的頂點(diǎn)(0，a)到漸近線ax－by＝0的距離為eq\f(2\r(5),5)，∴eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(2\r(5),5)，即eq\f(ab,c)＝eq\f(2\r(5),5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ab,c)＝\f(2\r(5),5)，,\f(c,a)＝\f(\r(5),2)，,c2＝a2＋b2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,c＝\r(5)，))∴雙曲線C的方程為eq\f(y2,4)－x2＝1.(2)由(1)知雙曲線C的兩條漸近線方程為y＝±2x.設(shè)A(m,2m)，B(－n,2n)，m>0，n>0.由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))得P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－λn,1＋λ)，\f(2m＋λn,1＋λ)))，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入eq\f(y2,4)－x2＝1，化簡(jiǎn)得mn＝eq\f(1＋λ2,4λ)，設(shè)∠AOB＝2θ，∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝2，∴tanθ＝eq\f(1,2)，sin2θ＝eq\f(4,5).又|OA|＝eq\r(5)m，|OB|＝eq\r(5)n，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|·sin2θ＝2mn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,λ)))＋1. 記S(λ)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,λ)))＋1，λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，則S′(λ)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ2))).由S′(λ)＝0得λ＝1，又S(1)＝2，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(8,3)，S(2)＝eq\f(9,4)，∴當(dāng)λ＝1時(shí)，△AOB的面積取得最小值2，當(dāng)λ＝eq\f(1,3)時(shí)，△AOB的面積取得最大值eq\f(8,3).∴△AOB面積的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3))).解法二：(1)同解法一．(2)設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，由題意知|k|<2，m>0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,y＝2x))得A點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2－k)，\f(2m,2－k)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,y＝－2x))，得B點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－m,2＋k)，\f(2m,2＋k))).由eq\o(AP,\s\up6(→))=λeq\o(PB,\s\up6(→))得P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,1＋λ)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2－k)－\f(λ,2＋k)))，\f(2m,1＋λ)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2－k)＋\f(λ,2＋k)))))，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入eq\f(y2,4)－x2＝1得eq\f(4m2,4－k2)＝eq\f(1＋λ2,λ).設(shè)Q為直線AB與y軸的交點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m)．S△AOB＝S△AOQ＋S△BOQ＝eq\f(1,2)|OQ|·|xA|＋eq\f(1,2)|OQ|·|xB|＝eq\f(1,2)m·(xA－xB)＝eq\f(1,2)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co