13.3.1等腰三角形的性質(zhì)講義2024年華東師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

等腰三角形的性質(zhì)講義2024年華東師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)情景目標(biāo)導(dǎo)引情景導(dǎo)入汶川地震過(guò)后，某中學(xué)小亮同學(xué)用下面的方法檢測(cè)教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜邊中點(diǎn)D固定線繩的一端，線繩的另一端掛一個(gè)鉛錘，把這塊三角尺的斜邊緊貼在房梁上，結(jié)果，線繩經(jīng)過(guò)三角尺的直角頂點(diǎn)，由此小亮同學(xué)認(rèn)為房梁是水平的．你認(rèn)為小亮的判斷正確嗎？請(qǐng)你用本小節(jié)的幾何知識(shí)加以說(shuō)明．基本目標(biāo)1．熟悉和掌握等腰三角形的性質(zhì)，能靈活的使用等腰三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題。2．通過(guò)學(xué)生的分析、練習(xí)，是學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握相關(guān)知識(shí)。3．學(xué)生通過(guò)積極參與與感受到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)生的興趣。重點(diǎn)難點(diǎn)1.等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)。（重點(diǎn)）2.通過(guò)操作，如何觀察、分析、歸納得出等腰三角形的性質(zhì)。（難點(diǎn)）基礎(chǔ)知識(shí)詳解知識(shí)點(diǎn)一等腰三角形的概念內(nèi)容敘述兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。知識(shí)詳解如圖所示，在△ABC中，若AB=AC，則△ABC是等腰三角形。相等的兩邊AB、AC就是腰，BC就是底邊；兩腰的夾角∠BAC，就是頂角；腰與底邊的夾角∠ABC，∠ACB就是底角。特別提醒(1)等腰三角形是特殊三角形，它具有三角形的性質(zhì)。(2)等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。（3）等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則<a．(4)等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=．例1.

若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50°，則它的頂角為______．解析：(1)若這個(gè)內(nèi)角恰好是頂角，則頂角是50°；(2)若這個(gè)內(nèi)角是底角，則頂角＝180°－2×50°＝80°．答案：50°或80°．點(diǎn)撥：當(dāng)?shù)妊切我阎慕菦](méi)指明是頂角還是底角時(shí)，或者已知的邊沒(méi)指明是腰還是底邊時(shí)，若者已知的頂點(diǎn)沒(méi)指明是頂角的頂點(diǎn)還是底角的頂點(diǎn)時(shí)，均需要分類討論．變式練習(xí)1.（2013·山東濱州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，則∠B=______________．知識(shí)點(diǎn)二等腰三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)、難點(diǎn)）內(nèi)容敘述有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。知識(shí)詳解等腰三角形的性質(zhì)的有關(guān)定理及其推論

定理：等腰三角形有兩邊相等；

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）。

推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說(shuō)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

推論2：等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；

特別提醒等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。例

2．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在BC上，且CD=CE,∠D=740,，則∠B的度數(shù)為（）A、680B、320C、220D、160解析：在△CDE中，∵CD=CE，∴∠D=∠DEF=74°,∴∠C=180°2×74°=32°.∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°.答案：B點(diǎn)撥：本題考查了平行線性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和.本題把平行線、三角形內(nèi)角和、等腰三角形基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單組合進(jìn)行考查.注意“等邊對(duì)等角”前提是在同一個(gè)三角形中，也就是是等腰三角形的重要性質(zhì).變式練習(xí)2.如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC邊上的高，則∠DBC的度數(shù)是（）A． 18° B． 24° C． 30° D． 36°知識(shí)點(diǎn)三等邊三角形的概念及其性質(zhì)內(nèi)容敘述

三條邊都相等的三角形，我們把這樣的三角形叫做等邊三角形。知識(shí)詳解等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三條邊都相等；

等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。特別提醒等邊三角形也稱為正三角形。等邊三角形是一種特殊的等腰三角形。它除了具有它本身所具有的性質(zhì)外，還具有等腰三角形的所有性質(zhì)。例3.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=度．解析：根據(jù)等邊三角形三個(gè)角相等，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．答案：15點(diǎn)撥：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補(bǔ)兩角和為180°以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中．變式練習(xí)3.如圖所示，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，且BD=AE，AD與CE交于點(diǎn)F，則∠DFC的度數(shù)為（）A．60° B．45° C．40° D．30°思維誤區(qū)診斷誤區(qū)一對(duì)等腰三角形的概念理解不透徹造成漏解例等腰三角形中，已知兩邊的長(zhǎng)分別是9和10，則周長(zhǎng)為______.錯(cuò)解：28正解：28或29錯(cuò)因分析：本題易出現(xiàn)錯(cuò)誤是只求出一個(gè)解，忽略另一種情況。思路分析:本題主要考查等腰三角形三邊之間的關(guān)系滿足兩個(gè)條件：1.任意兩邊之和大于第三邊。2.有其中兩邊相等。（1）當(dāng)?shù)谌呴L(zhǎng)為9時(shí)，則周長(zhǎng)為9+9+10＝28（2）當(dāng)?shù)谌呴L(zhǎng)為10時(shí)，則周長(zhǎng)為9+10+10＝29所以，等腰三角形中，兩邊的長(zhǎng)分別是9和10，則周長(zhǎng)為28或29。誤區(qū)二忽略了三角形的高線的位置情況導(dǎo)致錯(cuò)誤例2.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則頂角的度數(shù)為（）A．30° B．30°或150° C．60°或150° D．60°或120°錯(cuò)解：A解：如圖，∵∠ABD=60°，BD是高，

∴∠A=90°∠ABD=30°；

正解：B解：如圖1，∵∠ABD=60°，BD是高，

∴∠A=90°∠ABD=30°；

如圖2，∵∠ABD=60°，BD是高，

∴∠BAD=90°∠ABD=30°，

∴∠BAC=180°∠BAD=150°；

∴頂角的度數(shù)為30°或150°．

故選B．錯(cuò)因分析：只考慮到腰上的高線在三角形的內(nèi)部是產(chǎn)生錯(cuò)解的原因。思路分析:在處理三角形的高的問(wèn)題時(shí)，要注意：當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí)，有兩條高在三角形外；但三角形是銳角三角形時(shí)，三條高都在三角形內(nèi)；當(dāng)三角形是直角三角形時(shí)，有兩條高于直角邊重合。綜合題型展示題型一等腰三角形中角度的計(jì)算例1.等腰三角形的一個(gè)角是80°，則它頂角的度數(shù)是（）A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°解析：分80°角是頂角與底角兩種情況討論求解．①80°角是頂角時(shí)，三角形的頂角為80°，②80°角是底角時(shí)，頂角為180°80°×2=20°，綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為80°或20°．故選B．點(diǎn)撥：本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論求解．例2.如圖，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延長(zhǎng)BC至D，使CD=CA，連接AD，求∠BAD的度數(shù)．分析：要求∠BAD的度數(shù)，只要求出∠C的度數(shù)就行了，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，求出∠BAD的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和外角關(guān)系及等腰三角形性質(zhì)，易求∠C的度數(shù)．解：∵∠ACB=80°∴∠ACD=180°∠ACB=180°80°=100°

又∵CD=CA∴∠CAD=∠D

∵∠ACD+∠CAD+∠D=180°∴∠CAD=∠D=40°

在△ABC內(nèi)∴∠BAD=180°∠ABC∠D=180°46°40°=94°．點(diǎn)撥：此題主要考三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)；找出角之間的關(guān)系利用內(nèi)角和求解是正確解答本題的關(guān)鍵．題型二等腰三角形中有關(guān)邊的計(jì)算或證明例3.等腰三角形的一條邊長(zhǎng)為6，另一邊長(zhǎng)為13，則它的周長(zhǎng)為（）A． 25 B． 25或32 C．32 D． 19解析： 因?yàn)橐阎L(zhǎng)度為6和13兩邊，沒(méi)有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．①當(dāng)6為底時(shí)，其它兩邊都為13，6、13、13可以構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為32；②當(dāng)6為腰時(shí)，其它兩邊為6和13，∵6+6＜13，∴不能構(gòu)成三角形，故舍去，∴答案只有32．答案：C．點(diǎn)撥： 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．例4.如圖，已知△ABC中，AB=AC，D、E分別是AB和BC上的點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若DE=EF，求證：BD=CF．分析：過(guò)D作DG∥AF交BC于G，證明△DGE≌△FCE，得出DG=CF，再證明DB=DG，通過(guò)等量代換得到BD=CF．證明：過(guò)D作DG∥AF交BC于G，如圖，

則∠F=∠GDE，DE=EF，∠DEG=∠FEC，∴△DGE≌△FCE（ASA），∴GD=CF，

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，又∵DG∥AF，∴∠ACB=∠BGD，∴∠B=∠BGD，∴BD=GD，

又∵GD=CF，∴BD=CF．點(diǎn)撥：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；解題中主要利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等和等角對(duì)等邊的性質(zhì)解答，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．題型三利用等腰三角形的性質(zhì)證明角相等例5.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，且BD=CE．求證：∠ADE=∠AED．分析：根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)可以得到∠B=∠C，然后證明△ABD和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等有AD=AE，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)即可證明．證明：法一：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角），在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED（等邊對(duì)等角）．

法二：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，∵AB=AC，∴BM=CM，∵BD=CE，∴DM=EM，∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED（等邊對(duì)等角）．點(diǎn)撥：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，找出已知邊的夾角相等是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是本題的突破點(diǎn)．題型四等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用例6.如圖，△ABC是一個(gè)等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，F(xiàn)是BE和CD的交點(diǎn)，已知∠BFC=120°．求證：AD=CE．分析：首先∠BFC=120°可以得到∠ECF=∠BFC∠CEB=120°∠CEB，又由△ABC是等邊三角形可以推出∠EBC=180°60°∠CEB=120°∠CEB，由此得到∠DCA=∠EBC，然后利用等邊三角形的性質(zhì)證明△ACD≌△CBE，再利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目結(jié)論．證明：∵∠BFC=120°，∴∠ECF=∠BFC∠CEB=120°∠CEB，

又△ABC是等邊三角形，∴∠EBC=180°60°∠CEB=120°∠CEB，

∴∠ECF=∠EBC，即∠DCA=∠EBC，

又∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAD=∠BCE=60°，AC=CB

∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE．點(diǎn)撥：本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；此題把全等三角形放在等邊三角形的背景中，利用等邊三角形的性質(zhì)來(lái)證明三角形全等，最后利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，而∠DCA=∠EBC的得到既是證明三角形全等的關(guān)鍵，又是正確解答本題的關(guān)鍵．題型五有關(guān)等腰三角形（等邊三角形）的探究題例7.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點(diǎn)，過(guò)D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．

（1）DE，DF，CG的長(zhǎng)之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；

（2）若D在底邊的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．分析：（1）連接AD，根據(jù)三角形ABC的面積=三角形ABD的面積+三角形ACD的面積，進(jìn)行分析證明；

（2）類似（1）的思路，仍然用計(jì)算面積的方法來(lái)確定線段之間的關(guān)系．即三角形ABC的面積=三角形ABD的面積三角形ACD的面積．解：（1）DE+DF=CG．

證明：連接AD，則S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB?CG=AB?DE+AC?DF，

∵AB=AC，∴CG=DE+DF．

（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論不成立，但有DEDF=CG．

理由：連接AD，則S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB?DE=AB?CG+AC?DF

∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DEDF=CG．

同理當(dāng)D點(diǎn)在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，則有DEDF=CG，說(shuō)明方法同上．點(diǎn)撥：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；在解決一題多變的時(shí)候，基本思路是相同的；注意通過(guò)不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，來(lái)進(jìn)行證明結(jié)論的方法，是非常獨(dú)特的，也是一種很好的方法，注意掌握應(yīng)用．本節(jié)鞏固訓(xùn)練 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和8，則它的周長(zhǎng)為（） A． 12 B． 16 C． 20 D． 16或202．若等腰三角形的頂角為80°，則它的底角度數(shù)為（）A． 80° B． 50° C． 40° D． 20°3.如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，則AC的長(zhǎng)為（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 54.如圖，過(guò)正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A作直線l∥BE，則∠1的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．38° D．45°5.如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．∠B=48° B．∠AED=66° C．∠A=84° D．∠B+∠C=96°6.已知一等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為4，底角為β．滿足下列條件的三角形不一定與已知三角形全等的是（）A．兩條邊長(zhǎng)分別為4，5，它們的夾角為βB．兩個(gè)角是β，它們的夾邊為4C．三條邊長(zhǎng)分別是4，5，5D．兩條邊長(zhǎng)是5，一個(gè)角是β7.如圖，將邊長(zhǎng)為2個(gè)單位的等邊△ABC沿邊BC向右平移1個(gè)單位得到△DEF，則四邊形ABFD的周長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．10 D．128.如圖，△ABD與△ACE均為正三角形，且AB＜AC，則BE與CD之間的大小關(guān)系是（）A．BE=CD B．BE＞CDC．BE＜CD D．大小關(guān)系不確定9.如圖所示，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，且BD=AE，AD與CE交于點(diǎn)F，則∠DFC的度數(shù)為（）A．60° B．45° C．40° D．30°10.在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，則∠B=．11.如圖，△ABC是等邊三角形，AD為中線，AD=AE，則∠EDC的度數(shù)為．12.已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊△CDE，則∠AED的度數(shù)是．能力提升13.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，且BD=CE．

求證：AD=AE．14.如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．(1)求證：BE＝CE；(2)若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，如圖2，∠BAC＝45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．ABCDABCDE(圖1)ABCDEF(圖2)15.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，CD為腰AB上的高，求∠BCD的度數(shù)．16.已知：等邊△ABC中，點(diǎn)O是邊AC，BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M，N分別在直線AC，BC上，且∠MON=60°．

（1）如圖1，當(dāng)CM=CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，請(qǐng)寫出AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2，當(dāng)CM≠CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC

的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系．

參考答案：基礎(chǔ)知識(shí)詳解變式練習(xí)1.SKIPIF1<02.A3.A本節(jié)鞏固訓(xùn)練1.C2.B3.D4.B5.B6.D7.B【解析】AC與DF是對(duì)應(yīng)邊，AC=2，則DF=2，向右平移一個(gè)單位，則AD=1，BF=3，故其周長(zhǎng)為2+1+2+3=8．8.A9.A10.65°11.15°12.15°或75°13.證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∵AB=AC，∴BF=CF，

∵BD=CE，∴DF=EF，∴AD=AE．14.證明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴∠BAE＝∠CAE．在△ABE和△ACE中，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，△ABE≌△ACE．∴BE＝CE．(2)∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴△ABF為等腰直角三角形．∴AF＝BF．由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF．在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，∴△AEF≌△BCF．15.解：∵AB=AC∴∠C=∠B

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=50°∴∠C=∠B=65°

∵CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∴∠ACD=40°∴∠BCD=25°．16.解：（1）MN=AMCN，

理由是：在AM上截取AN′=CN，連接ON′，OC，OA，

∵O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，∴OC=OA，O也是等邊三角形三個(gè)角的平分線交點(diǎn)，

∴∠OCA=∠OAB=∠OCN=×60°=30°，∴∠AOC=180°30°30°=12