離散數(shù)學(xué)老師五章函數(shù)-1st

主要主要內(nèi)函數(shù)的基本概函數(shù)的性函數(shù)的合成、合成函數(shù)的特殊函反函數(shù)、特征函基二元運(yùn)回回5.1函數(shù)的基本5.1函數(shù)的基本概念和性定義：設(shè)是兩個(gè)任意的集合，并且是從到的一種關(guān)系。如果對(duì)于每一個(gè)∈，都存在唯一的Y，使得<x,y>∈f，則稱關(guān)系f為函數(shù)或映射，fX→Y對(duì)于函數(shù)來說f:X→Y，如果有<x,y>∈f，則稱x是稱y是函數(shù)f在x處的值。通常用y=f(x)表示<x,y>∈f。函數(shù)的基本概函數(shù)的基本概(1)每一個(gè)元素x∈X，都必須關(guān)系到某一個(gè)y∈Y也就是說，關(guān)系f的域是集合X本身，而不是X真子集x,y任意，則函數(shù)f在x處的值y是唯一的fy函數(shù)的基本概例：設(shè)A＝{1,函數(shù)的基本概例：設(shè)A＝{1,2,34},B={2,3,4,5,6},A到B={<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6>,<4,是否是由A到B的函數(shù)若調(diào)整為<4,4>}或<4,5>}函數(shù)的定義域和值函數(shù)的定義域和值X值域滿足RfY對(duì)于函數(shù)f,常用f(X)yY(x)(xXyf也稱f(x)是函數(shù)f的象注意：函數(shù)f的象點(diǎn)與自變量x的象點(diǎn)是不同的。們這里給出的函數(shù)的定義是全函數(shù)的定義，所函數(shù)的基本概念函數(shù)的基本概念和性例：設(shè)E是全集，(E)是E的冪集。對(duì)任何兩個(gè)集X,Y∈(E)，它們的并運(yùn)算和相交運(yùn)算都是從例：試說明下列二元關(guān)系是否是函數(shù) exp{x,exx arcsin{x,yx,yRsiny(1)是函數(shù)，(2)不是函函數(shù)的函數(shù)的基本概念和性例：設(shè)是自然數(shù)集合，函數(shù):定義成。顯然，，，…。這樣的函數(shù)，通常稱為皮亞諾后繼函數(shù)。注意：有時(shí)為了某種需要，要特別強(qiáng)調(diào)函數(shù)的函數(shù)的良定性函數(shù)的函數(shù)的相∈或∈都有fxg，則稱函數(shù)和是相等的，記作f。求/證明函數(shù)相等的方法函數(shù)的擴(kuò)大和縮函數(shù)的擴(kuò)大和縮定義：給定函數(shù)fX→Y，且有AX試構(gòu)成一個(gè)從A到Y(jié)的函gfI(AY)通常稱g是函數(shù)f的縮小，并記作f/A(2)如果g是f的縮小，則稱f是g的擴(kuò)大從定義可以看出，函數(shù)A→Y的域是集合而函數(shù)f的域則是集合X。f/A和f的陪域均是集Y。于是若g是f的縮小，則應(yīng)DgDf和g并且對(duì)于任何x∈Dg都有g(shù)(x)=(f/A)(x)=f(x)函數(shù)的擴(kuò)大和縮函數(shù)的擴(kuò)大和縮例：令X1={0,1},X2={0,1,2},Y={a,b,c,d}。定義從X12Y的函數(shù)fg=f{<0,2,a>,<2,2,d>}是從X1{<0,2>,<2,2>}到Y(jié)2函數(shù)于是f=g/X12，因此f是g在X2上的縮?。ɑ蚍Q限制1{<0,2>,<2,2>}上的擴(kuò)大（或稱延拓）21g是f到函數(shù)的表函數(shù)的表ffyxx34x35XfY函數(shù)f:X→Y函數(shù)的表設(shè)集合X={函數(shù)的表設(shè)集合X={a,b,c,d}和Y={1,2,3,4,5}，并且例試求出和f的矩陣表達(dá)式解函數(shù)的表函數(shù)的表變量與其函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系a上例中f的簡(jiǎn)化關(guān)系矩陣為Mf函數(shù)的函數(shù)的構(gòu)設(shè)X和Y是任意的兩個(gè)集合。在X×Y的所有子集中，并不全都是從X到Y(jié)的函數(shù)，僅有一些子集可以用來定義：設(shè)A和B是任意兩個(gè)集合BA={f|f:函數(shù)的構(gòu)函數(shù)的構(gòu)能的函數(shù)f:X→Y。解：首先求出的X×Y所有序偶，于是應(yīng)XY{a,0,b,0,c,0,a,1,b,1,于是，有個(gè)可能的子集，但其中僅有下列23集可以用來定義函數(shù)f0{a,0,b,0,c,f2{a,0,b,1,c,f4{a,1,b,0,c,f6{a,1,b,1,c,f1{a,0,b,0,f3{a,0,b,1,f5{a,1,b,0,f7{a,1,b,1,函數(shù)的函數(shù)的構(gòu)函數(shù)f:A→B的域都是集合A都恰有m個(gè)序偶。而且，任何元素x∈A，都可以在B的n例：設(shè)A為任意集合，B為任意非空集合因?yàn)椴淮嬖趶腂到Ф的函數(shù)，所以ФB=Ф5.2函數(shù)的5.2函數(shù)的合成和合成函數(shù)的性定義：設(shè)fX→Y和gY→Z是兩個(gè)函數(shù)。于是，合成gof{x,z(xX)(zZ)(y)(yYyf(x)zg(注意：合成函數(shù)g?f與合成關(guān)系f?g實(shí)際上表示同個(gè)集合。這種表示方法的不同有其方便之處對(duì)合成函數(shù)g?f，當(dāng)z=(g?f)(x)時(shí)，必有g(shù)?f與g(f(x函數(shù)函數(shù)的合成和合成函數(shù)的性函數(shù)f的值域是函數(shù)g的域Y的子集，亦即RfDg。條件RfDg能確保合成函數(shù)g?f是非空的。否則，合定理：設(shè)f:X→Y和g:Y→Z是兩（）合成函數(shù)是從個(gè)∈，都有（2）Dg?f=f-1[Dg],函數(shù)的合成和合成函數(shù)的合成和合成函數(shù)的性f證明(1)假設(shè)x∈X和z1,z2∈Z，再假設(shè)z2=g(y)。也就是說，僅能有z1=z2=z和<x,z>∈g?f。因函數(shù)的合成函數(shù)的合成和合成函數(shù)的性證明：(2)若x∈Dgf，則存在z∈Z使<x,z>∈g?f。 ∈g。但由<y,z>∈g知y∈Dg，再由<x,y>∈f，即得x∈f-1[Dg]。另一方面，若x∈f-1[Dg]，則有y∈Dg使<x,y>∈f。但由y∈Dg知，有z∈Z使<y,z>∈g，所以<x,z>∈g?f，這同理可證函數(shù)的合成和合成函數(shù)的性例：設(shè)集合X={x1,x2,x3,x4Y={y1,y2,y3,y4,y5}，Z={z1函數(shù)的合成和合成函數(shù)的性例：設(shè)集合X={x1,x2,x3,x4Y={y1,y2,y3,y4,y5}，Z={z1,z2,z3}。函數(shù)f:X→Y和g:Y→Z分別是f{x1,y2,x2,y1,x3,y3,x4,y5g{y1,z1,y2,z2,y3,z3,y4,z3,y5,z2試求出函數(shù)g?f=X→Z，并給出它的圖{x1,z2,x2,z1,x3,z3,x4,z2解：goXy3z2x3z3x4y5函數(shù)的合成和合成函數(shù)的性函數(shù)的合成和合成函數(shù)的性ho(gof)(hog)o(hog)owhofghgozho(gof函數(shù)的函數(shù)的合成和合成函數(shù)的性hogofho(gof)(hog)o推廣：設(shè)有n個(gè)函數(shù)：f1X1→X2，f2X2→X3…，fn:Xn→Xn+1，于是無(wú)括號(hào)表達(dá)式唯一地表達(dá)了從X1函數(shù)的合函數(shù)的合成和合成函數(shù)的性例：設(shè)I是整數(shù)集合，并且函數(shù)f:I→I給定成解：合成函數(shù)f3(i)是一個(gè)由I到I的函數(shù)，于是f3(i)f2(i)of(i)(f(i)of(i))off(f(f(i))f(f(2if(4i3)2(4i3)18i等冪函定義：給定函數(shù)f:X等冪函定義：給定函數(shù)f:X→X，如果有f2=f，則稱f是個(gè)等例：設(shè)I是整數(shù)集合和Nm={0,1,2,…m-1}，并且函數(shù)I→Nm是m)。試證明，對(duì)于n≥1都有fn=f證明：（歸納證法）當(dāng)n=2 foff(f(i))f(i(mod2(i(modm))(modm)i(modm)得證。對(duì)于所有的n≥1，都有f5.3特殊函定義：給定函數(shù)X→Y5.3特殊函定義：給定函數(shù)X→Y如果函數(shù)f的值域RfY，則稱f為映入的映射x fxfx1 212 x1f或者則稱f為一對(duì)一的映射，或稱f為單射函數(shù)定義：給定函數(shù)X→Y。如果f既是滿射的又是射的，則稱f為一對(duì)一映滿的映射，或稱f為雙射5.3特殊函例（5.3特殊函例（a）內(nèi)射，單射；（b）滿射；（c）（d）雙射，單射，滿補(bǔ)函數(shù)f補(bǔ)函數(shù)fX→Y是雙射函數(shù)，必須要求X和Y含有思考：從X到Y(jié)上存在多少個(gè)雙射函數(shù)定理：假設(shè)m和n是正整數(shù)并且滿足n≥m，n補(bǔ)函數(shù)補(bǔ)函數(shù)f:X→Y是滿射函數(shù)，X中的元素個(gè)數(shù)是中的元素個(gè)數(shù)是m≥個(gè)這樣的滿射函數(shù)？例：X={1,2,3,4}，Y={a,b}，可以定義多少X→Y的滿射函數(shù)24-補(bǔ)補(bǔ)P1,P2,P3三種情況~1I~P2I~P3用N(A)表示滿足情況A的集合的基數(shù)，N表示全集基數(shù)，也就是從元素集合到根據(jù)包含排斥原理，有補(bǔ)定理：假補(bǔ)定理：假設(shè)m和n是正整數(shù)并且滿足C(n,2)(nL(1)n1C(n,n1)特殊函特殊函定理：給定函數(shù)f和g，并且有合成函數(shù)g?f。于證明：給定集合X，Y和Z，并且有函數(shù)f:X→Y和特殊函特殊函證明另外，因?yàn)閒是個(gè)滿射函數(shù)，所以存在某一個(gè)元x∈X，能使由元素z∈Z的任意性，知命題（a）為真特殊函特殊函證明（b）設(shè)任意的元素xi,xj∈X且有xi≠xj,因?yàn)閒是單射由命題（a）和命題（b）可直接推出命題注意：以上定理各部分的逆定理均不成立特殊函給定函數(shù)f和g特殊函給定函數(shù)f和g，并且有合成函數(shù)f,定理（1）如果g?f是滿射函數(shù)，則g必定是滿射的（2）如果f是個(gè)單射函數(shù)，則f必定是個(gè)單射函數(shù)（）如果g是個(gè)雙射函數(shù)，則必定是滿射的，f是單射的。證明：給定集合X，Y和Z，并且有函數(shù)f:X→Y和(1)合成函數(shù)fX→Z。因?yàn)間?f是個(gè)滿射函數(shù)，以的值域。設(shè)任意的元素∈，某些和∈，于是應(yīng)有可見，Rg=Rg?f=Z，即g是滿射的，得證特殊特殊函1）反證法證明。設(shè)fg，g?是滿射函數(shù)，若g存在Z中的元素0，使得對(duì)于任意的Y中的元g?f(x)=g(f(x))=g(y)≠z0,故g?f不是滿射函數(shù)，與特殊函（特殊函（2）合成函數(shù)g?fX→Z。設(shè)xi,xj∈X和xi≠xj。因?yàn)?xixj)(gof)(xi)(gof)(xjg(f(xi))g(f(xj因?yàn)間是函數(shù)，所以象點(diǎn)不同時(shí)，原象一定不相同即g(f(xi))g(f(xj))f(xi)f(xj根據(jù)永真蘊(yùn)含關(guān)系的可傳遞性，應(yīng)(xixj)f(xi)f(xj得證由（1）和（2）可知（3）成立特殊特殊函恒等函定義：給定集合X，并且有函數(shù)IX:恒等函定義：給定集合X，并且有函數(shù)IX:X→X。對(duì)于所有的x∈X，有IX(x)=x，亦即IX={<x,x>|x∈X}則稱IX為恒等函定理：給定集合X和Y。對(duì)