專題17.2 勾股定理的逆定理【八大題型】（舉一反三）-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（人教版）（解析版）

專題17.2勾股定理的逆定理【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】 1【題型2圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】 3【題型3在網(wǎng)格中判斷直角三角形】 6【題型4勾股數(shù)的探究】 9【題型5利用勾股定理的逆定理證明】 13【題型6利用勾股定理的逆定理求解】 17【題型7勾股逆定理的應(yīng)用】 20【題型8勾股定理及其逆定理的綜合】 23【知識(shí)點(diǎn)勾股定理的逆定理】如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=【題型1判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】【例1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校┯删€段a、b、c組成的三角形是直角三角形的是（

）A．a(chǎn)=5,b=3,c=3 B．a(chǎn)=C．a(chǎn)=6,b=4,c=5 D．a(chǎn)=7,b=24,c=25【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：A、32B、15C、42D、72故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足a+ba?b=cA．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不確定【答案】B【分析】將原式整理為a2【詳解】解：∵a+ba?b∴a2∴a2∴這個(gè)三角形是直角三角形；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟練掌握勾股定理逆定理、得出a2【變式1-2】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，以△ABC的兩邊BC、AC分別向外作正方形，它們的面積分別是S1，S2，若S1=2，S2【答案】直角【分析】根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理的逆定理即可得出答案．【詳解】解：∵S1=2，∴BC2=2∵AB∴AC∴△ABC是直角三角形，故答案為：直角．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和正方形面積的應(yīng)用，理解勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)校考期中）有四種說法：①三個(gè)內(nèi)角之比為5:6:1；②三邊形長(zhǎng)分別為：2,7,5；③三邊之長(zhǎng)為9、40、41；④三邊之比為【答案】①②③【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵三角形三個(gè)內(nèi)角之比為5:6:1，∴三角形最大的內(nèi)角為180°×6∴該三角形為直角三角形，故①正確；∵22∴該三角形為直角三角形，故②正確；∵92∴該三角形為直角三角形，故③正確；∵1.52∴該三角形不是直角三角形，故④錯(cuò)誤；故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理得逆定理，熟知三角形內(nèi)角和為180度和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【題型2圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】【例2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）同一平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)之間的距離為5cm，點(diǎn)C到直線AB的距離為2cm，且△ABC為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)【答案】8【分析】該題存在兩種情況；（1）AB為斜邊，則∠C=90°；（2）AB為直角邊，AC=2cm或BC=2cm；【詳解】（1）當(dāng)AB為斜邊時(shí)，點(diǎn)C到直線AB的距離為2cm，即AB邊上的高為2cm，符合要求的（2）當(dāng)AB為直角邊時(shí)，AC=2cm或BC=2cm，符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，如圖；符合要求的C點(diǎn)有8個(gè)；故答案是8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）在如圖所示的5×5的方格圖中，點(diǎn)A和點(diǎn)B均為圖中格點(diǎn)．點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，滿足△ABC為以AB為斜邊的直角三角形．這樣的點(diǎn)C有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)和直角三角形的判定找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點(diǎn)C共有4個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進(jìn)行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn)A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△ABO是直角三角形，則m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況考慮：當(dāng)∠OAB＝90°時(shí)，點(diǎn)A在x軸上，進(jìn)而可得出m＝0；當(dāng)∠OBA＝90°時(shí)，點(diǎn)B在x軸上，進(jìn)而可得出m＝5；當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．綜上，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論．【詳解】解：分三種情況考慮（如圖所示）：當(dāng)∠OAB＝90°時(shí)，m＝0；當(dāng)∠OBA＝90°時(shí)，m?5＝0，解得：m＝5；當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2?10m＋25，解得：m1＝1，m2＝4．綜上所述：m的值可以為0，5，1，4．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況求出m的值是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B在小正方形的頂點(diǎn)上，在圖中畫ΔABC（點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上），使ΔABC為直角三角形，并說明理由.（要求畫出兩個(gè)，且兩個(gè)三角形不全等）【答案】ΔABC為直角三角形，理由詳見解析.【分析】根據(jù)勾股定理逆定理和勾股定理進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：如圖所示.圖1

圖2如圖1，在ΔABC中，AC=5，BC=3，A因?yàn)锳C所以∠ACB=90°，即ΔABC為直角三角形.如圖2，在RtΔACD中，AC在RtΔBCE中，CB在RtΔABF中，AB所以AC所以∠ACB=90°，即ΔABC為直角三角形.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：根據(jù)勾股定理逆定理畫直角三角形.掌握勾股定理逆定理并會(huì)運(yùn)用是關(guān)鍵.【題型3在網(wǎng)格中判斷直角三角形】【例3】（2023春·北京西城·八年級(jí)校考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，AD是BC邊上的中線，那么AD的長(zhǎng)為（

）

A．2.5 B．3 C．22 D．【答案】A【分析】由勾股定理可得AC2=5,BC2【詳解】解：由勾股定理可得AC∴AC2+A∵AD是BC邊上的中線，∴AD=1故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形是基礎(chǔ)，掌握斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·廣東湛江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為_________．

【答案】45°【分析】根據(jù)勾股定理得到AB，BC，AC的長(zhǎng)度，再判斷△ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接AC，

由題意，AC=22+12∴AC=BC，AB∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=∠CAB=45°．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出△ABC是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．

(1)求四邊形ABCD的面積與周長(zhǎng)；(2)求證：∠BCD=90°．【答案】(1)周長(zhǎng)為：82+2(2)見解析【分析】（1）借助正方形的小格，根據(jù)勾股定理分別計(jì)算四邊形的各邊的長(zhǎng)，從而求得四邊形的周長(zhǎng)；（2）在△ABC中，根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判定．【詳解】（1）解：根據(jù)勾股定理可知AB=32，BC=34，CD=34，AD=52，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為32面積為：8×8?1（2）證明：連接BD，

∵BC=34，CD=34，DB=68，∴BC∴△BCD是直角三角形，即∠BCD=90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用以及勾股定理逆定理的運(yùn)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示的是2×5的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，P都在網(wǎng)格點(diǎn)上，則∠APB=________．

【答案】135°【分析】根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理可得△PCB是等腰直角三角形，可得∠BPC=45°，即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)AP至C，連接BC，CP=CB=2BP=3∵(5)∴△PCB是等腰直角三角形，∴∠BPC=45°，∴∠APB=180°?45°=135°，故答案為：135°．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是得到△PCB是等腰直角三角形．【題型4勾股數(shù)的探究】【例4】（2023春·安徽阜陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬早在17世紀(jì)就研究過形如x2+y2=(1)請(qǐng)你再寫出兩組勾股數(shù)：（___________），（___________）；(2)在研究直角三角形的勾股數(shù)時(shí)，古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出：如果n表示大于1的整數(shù)，x=2n，y=n2?1，z=n2【答案】(1)5，12(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)x2+y2=（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案．【詳解】（1）∵52∴52∴5，∵72∴72∴7，故答案為：5，12，（2）證明：∵x=2n，y=n∴x==4===z即x，∴以x，【點(diǎn)睛】此題考查勾股逆定理的證明，勾股數(shù)的規(guī)律探究，掌握勾股逆定理的證明，根據(jù)勾股定理得出勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┮韵铝懈鹘M數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，其中是勾股數(shù)的是（

）A．3,4,5 B．6，8，10 【答案】B【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：A、32+4B、62+8C、12+22=3，3D、22+3故答案為：B．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股定理的逆定理和勾股數(shù)的定義，滿足a2【變式4-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)直角三角形”，這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”老師給出了下表（其中m，n為正整數(shù)，且m>n）：m23344…n11212…a23344…b4612816…c23344…(1)探究a，b，c與m，n之間的關(guān)系并用含m，n的代數(shù)式表示：a=______，b=______，c=______．(2)以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是否一定為直角三角形？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)m2+n2(2)以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)給出的數(shù)據(jù)總結(jié)即可；（2）分別計(jì)算出a2、b2、【詳解】（1）解：觀察可得a=m2+n2故答案為：m2+n2，（2）以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形，理由如下：a2b2∴a2∴以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理的逆定理，熟練掌握：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2【變式4-3】（2023春·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥校┕垂啥ɡ硎且粋€(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”；這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股數(shù)．（1）小李在研究勾股數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)，某些整數(shù)直角三角形的斜邊能寫成兩個(gè)整數(shù)的平方和，有一條直角邊能寫成這兩個(gè)整數(shù)的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；請(qǐng)證明：m，n為正整數(shù)，且m＞n，若有一個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)為m2+n2，有一條直角長(zhǎng)為m2﹣n2，則該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”；（2）有一個(gè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為7a?7和150?30b，斜邊長(zhǎng)415，且a和b均為正整數(shù)，用含b的代數(shù)式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均為正整數(shù)．證明：存在一個(gè)整數(shù)直角三角形，其斜邊長(zhǎng)為c1?c2．【答案】（1）見解析；（2）a=97+30b7，a＝31，【分析】（1）根據(jù)勾股定理：利用（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2，解得另一條直角邊長(zhǎng)為2mn，因?yàn)閙，n為正整數(shù)，所以2mn也為正整數(shù)，即可得證；（2）首先根據(jù)勾股定理求出a關(guān)于b的代數(shù)式，再根據(jù)被開方數(shù)需大于等于0，即可求得a、b的范圍，且a、b均為正整數(shù)，將b的可能值：1，2，3，4分別代入，即可求得符合條件的正整數(shù)a、b；（3）觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a1＝b1＝1，a2＝b2＝2時(shí)，c1?c2＝5×5＝25，而252【詳解】（1）證明：∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（m2+n2+m2﹣n2）?（m2+n2﹣m2+n2）＝2m2?2n2＝（2mn）2，∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2，∵m，n為正整數(shù)，且m＞n，∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均為正整數(shù)，∴該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”；（2）由勾股定理得：7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15，∴a=97+30b由題意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0，∴a＞1，0＜b＜5，∵a和b均為正整數(shù)，∴b的可能值為：1，2，3，4，當(dāng)b＝1時(shí)，a=97+307=當(dāng)b＝2時(shí)，a=97+607=當(dāng)b＝3時(shí)，a=97+907=當(dāng)b＝4時(shí)，a=97+1207=2177∵2102+30∴2102∴b＝4符合題意，∴a=97+30b7，a＝31，（3）證明：觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a1＝b1＝1，a2＝b2＝2時(shí)，c1?c2＝5×5＝25，152+202＝225+400＝625，252＝625，∴152+202＝252．∴存在一個(gè)整數(shù)直角三角形，其斜邊長(zhǎng)為c1?c2．【點(diǎn)睛】本題目考查勾股定理，難度一般，也是中考的?？贾R(shí)點(diǎn)，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用以及二次根式的相關(guān)性質(zhì)是順利解答此題的關(guān)鍵．【題型5利用勾股定理的逆定理證明】【例5】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知CD⊥AB，垂足為D，BD=1，CD=2，AD=4．求證：∠ACB=90°．【答案】見解析【分析】根據(jù)勾股定理得出BC2，【詳解】證明：∵CD⊥AB，垂足為D，BD=1，CD=2，AD=4，∴BC2=B∵AB=AD+BD=4+1=5，∴AB∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理與其逆定理的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）在△ABC的三邊分別是a、b、c，且【答案】直角三角形，理由見解析【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】解：∵a=∴a2b2c2∴a2故△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，會(huì)利用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形是解答的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，以△ABC的每一條邊為邊作三個(gè)正方形．已知這三個(gè)正方形構(gòu)成的圖形中，綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等，則△ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)證明你的判斷．【答案】△ABC是直角三角形，證明見解析【分析】設(shè)坐標(biāo)綠色部分的面積和為a，右邊綠色部分的面積為b，藍(lán)色部分的面積和為c，坐標(biāo)空白部分的面積為d，右邊空白部分的面積為e，【詳解】設(shè)坐標(biāo)綠色部分的面積和為a，右邊綠色部分的面積為b，藍(lán)色部分的面積和為c，坐標(biāo)空白部分的面積為d，右邊空白部分的面積為e，然后根據(jù)綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等列式得到(a+d)+(b+e)=c+d+e，然后由a+d=AC∵綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等∴a+b=c∴a+b+d+e=c+d+e∴(a+d)+(b+e)=c+d+e∵a+d=A∴c+d+e=A∴A∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的逆定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．【變式5-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=7，AC=25，AD是中線，點(diǎn)E在(1)求證：△CDE≌(2)證明：CE⊥AE；(3)求△ABC的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)84【分析】（1）根據(jù)SAS證明△CDE≌△BDA即可；（2）結(jié)論：△ACE是直角三角形；首先根據(jù)△CDE≌△BDA，推出CE=AB=7，最后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明；（3）由全等三角形的性質(zhì)得出S△ABC=S△ACE，所以計(jì)算【詳解】（1）證明：∵AD是邊BC上的中線，∴BD=CD，在△BDA和△CDE中，AD=BD∠ADB=∠EDC∴△CDE≌△BDA（SAS），（2）結(jié)論：△ACE是直角三角形；理由：由（1）知：△CDE≌△BDA,∴CE=AB=7，∵AD=ED=12，∴AE=24，∵AE∴AE∴∠E=90°，∴△ACE是直角三角形；（3）∵△CDE≌△BDA，∴S△CDE∴S△ABC∵S△ACE=12AE·CE∴S△ABC【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合題，考查三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理的運(yùn)用，三角形的面積計(jì)算方法，掌握三角形全等的判定方法與勾股定理逆定理是解決問題的關(guān)鍵．【題型6利用勾股定理的逆定理求解】【例6】（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，將三角形紙片沿AD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，則△BDE的周長(zhǎng)為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】利用勾股定理的逆定理判斷出∠C=90°，利用翻折不變性可得AE=AC=3，推出BE=2，即可解決問題．【詳解】解：在△ABC中，∵AB=5，BC=4，AC=3，∴AB∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，由翻折的性質(zhì)可知：AE=AC=3，CD=DE，∴BE=2，∴△BDE的周長(zhǎng)=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=4+2=6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式6-1】（2023春·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，AB=AC，BC=5，BD=3，CD=4．求AC的長(zhǎng)．【答案】AC=【分析】由勾股定理的逆定理判定∠BDC=90°，再在Rt△ADC【詳解】解：∵BC=5，BD=3，CD=4，∴BD∴∠BDC=90°．∴∠ADC=180°?∠BDC=90°．∴AD設(shè)AC=x．∵AB=AC，BD=3，∴AD=x?3．∴(x?3)2解得x=25∴AC=25【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握定理，靈活運(yùn)用．【變式6-2】（2023春·河南開封·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a+2b?112+2a?b?2【答案】△ABC是直角三角形，它的周長(zhǎng)是12，面積是6【分析】首先把原等式變形為a+2b?112+2a?b?2+c?52=0【詳解】解：由題意得a+2b?112∴a+2b?112∴a+2b?11=02a?b?2=0∴a=3，b=4，c=5，∵a2∴△ABC是直角三角形，它的周長(zhǎng)是3+4+5=12，面積是12【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解三元一次方程組，勾股定理逆定理以及三角形的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算方法；注意解題的思路與方法的靈活性．【變式6-3】（2023春·陜西榆林·八年級(jí)?？计谀┮阎凇鰽CB中，AC=12,BC=5,AB=13，點(diǎn)E為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則FE+EB的最小值是_________．【答案】120【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，再作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′E,B′F,AB【詳解】解：∵在△ACB中，AC=12,BC=5,AB=13，∴AC∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B∴B∴FE+EB=FE+B由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)B′,E,F共線時(shí)，F(xiàn)E+B由垂線段最短可知，當(dāng)B′F⊥AB時(shí)，又∵S∴1解得B′即FE+EB的最小值為12013故答案為：12013【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．【題型7勾股逆定理的應(yīng)用】【例7】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的?？空続的距離為AC=15km，與公路上另一?？空綛的距離為BC=20km，?？空続、B之間的距離為AB=25km，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C(1)請(qǐng)判斷△ABC的形狀？(2)求修建的公路CD的長(zhǎng)．【答案】(1)直角三角形(2)12【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，由AC2+B（2）利用△ABC的面積公式可得，CD?AB=AC?BC，從而求出CD的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：△ABC是直角三角形．理由：∵AC=15km，BC=20km，∴152∴AC∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．（2）解：∵CD⊥AB，∴S∴CD=AC?BC答：修建的公路CD的長(zhǎng)是12km【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應(yīng)用，以及三角形的面積公式等知識(shí)，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·廣西南寧·八年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大．隨著中國(guó)科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開始應(yīng)用飛機(jī)灑水的方式撲滅火源．如圖，△ABC區(qū)域內(nèi)是一片森林，有一臺(tái)救火飛機(jī)沿東西方向AB，由點(diǎn)A飛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為其中一個(gè)著火點(diǎn)，且點(diǎn)C與點(diǎn)A，B的距離分別為600m和800m，又AB=1000m，飛機(jī)中心周圍(1)求△ABC的面積．(2)著火點(diǎn)C能否受到灑水影響？為什么？【答案】(1)240000(2)受影響【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再利用面積公式計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響．【詳解】（1）解：∵AC=600m，BC=800m，∴AC∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC（2）如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∴S∴600×800=1000CD，∴CD=480，∵飛機(jī)中心周圍500m∴著火點(diǎn)C受灑水影響．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【變式7-2】（2023春·廣西桂林·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一根12米的電線桿AB，用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知用去鐵絲AC＝15米，AD＝13米，又測(cè)得地面上B、C兩點(diǎn)之間距離是9米，B、D兩點(diǎn)之間距離是5米，則電線桿和地面是否垂直，為什么？【答案】電線桿和地面垂直，理由見解析【分析】由勾股定理的逆定理判斷△ABD是直角三角形，△ABC是直角三角形，即可解答．【詳解】解：電線桿和地面垂直，理由如下：連接BD在△ABD中，∵BD2+AB2＝52+122＝169＝132＝AD2，∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，∴AB⊥BD，在△ABC中，∵BC2+AB2＝92+122＝225＝152＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴電線桿和地面垂直．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）海面上有兩個(gè)疑似漂浮目標(biāo)．A艦艇以12海里/時(shí)的速度離開港口O，向北偏西50°方向航行；同時(shí)，B艦艇在同地以16海里/時(shí)的速度向北偏東一定角度的航向行駛，如圖所示，離開港口5小時(shí)后兩船相距100海里，則B艦艇的航行方向是______．【答案】北偏東40°【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度數(shù)即可．【詳解】由題意得，OA=12×5=60（海里），OB=16×5=80（海里），又∵AB=100海里，∵602即O∴∠AOB=90°，∵∠DOA=50°，∴∠BOD=40°，則B艦艇的航行方向是北偏東40°，故答案為：北偏東40°．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用和方位角的知識(shí)，根據(jù)題意判斷出△AOB是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．【題型8勾股定理及其逆定理的綜合】【例8】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD、BD，且AD⊥BD．已知AD=4，BD=3，AC=13，BC=12．則圖中陰影部分的面積為________．

【答案】24【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形，根據(jù)陰影部分的面積S等于S△ABC【詳解】∵AD⊥BD，∴AB∵AD=4，BD=3，∴AB=5，∵AC=13，BC=12，∴AC2=169，B∴AC∴△ABC是直角三角形，設(shè)陰影部分的面積S，∴S=S∴S=24，∴設(shè)陰影部分的面積為：24．故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的運(yùn)用和勾股定理的逆定理．【變式8-1】（2023春·江西贛州·八年級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4