初中數(shù)學(xué)120大招-111 逆向思維法

逆向思維法【規(guī)律總結(jié)】逆向思維法是指從事物的反面去思考問(wèn)題的思維方法。這種方法常常使問(wèn)題獲得創(chuàng)造性的解決?！镜淅治觥坷?、閱讀下面的解題過(guò)程：已知xx2+1解：由xx2+1=12知于是有x4+1x2=解答下面的題目：已知xx2-x+1=1A.17 B.19 C.149【答案】D【解析】【分析】

本題考查分式的運(yùn)算，求分式的值.解題的關(guān)鍵正確理解題目給出的解答思路．根據(jù)題意給出的解題思路解答即可求出答案．

【解答】

解：∵xx2-x+1=17，且x≠0，

∴x2-x+1x=7，

∴x+1x-1=7，

∴x+1x=8，

∴?x4+例2、已知4x=10，25y=10，則(x-2)(y-2)+3(xy-3)的值為【答案】-5【解析】【分析】

本題考查了冪的乘方和積的乘方的逆運(yùn)算，代數(shù)式求值，運(yùn)用了整體代入法的有關(guān)知識(shí)，根據(jù)4x=10，25y=10，得到2xy=x+y，然后將給出的代數(shù)式進(jìn)行變形，最后代入求值即可．

【解答】

解：∵4x=10，25y=10，

∴4xy=10y，25xy=10x，

4xy×25xy=10y×10x，

例3、已知2x=3，2y=5.求：

(1)2x+y的值；

(2)【答案】解：(1)=3×5=15；(2)原式==3=27；(3)原式==3=9【解析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法公式的靈活運(yùn)用．(1)把原式變?yōu)?x+y(2)把原式變?yōu)?x(3)把原式變?yōu)?x【好題演練】一、選擇題當(dāng)x=1+19942時(shí)，多項(xiàng)式4x3-1997x-19942019A.1 B.-1 C.22002 D.【答案】B【解析】【分析】

本題考查了因式分解的應(yīng)用及代數(shù)式的值，能將多項(xiàng)式化正確轉(zhuǎn)化形式是解題關(guān)鍵．先把原式轉(zhuǎn)化，再把x的值代入計(jì)算即可．

【解答】

解：原式=4xx+1x-1-1993x+1-12019

=x+14xx-1-1993-12019

=x+14×某班有學(xué)生50人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有35人，參加語(yǔ)文興趣小組的有30人，每人至少參加一個(gè)組，則兩個(gè)組都參加的有(????)A.10人 B.15人 C.20人 D.30人【答案】B【解析】【分析】

此題考查了數(shù)學(xué)技能與方法之逆向思維法

．

由于每人至少參加一個(gè)組，參加數(shù)學(xué)興趣小組的人數(shù)與參加語(yǔ)文興趣小組的人數(shù)和，把兩個(gè)組都參加的人數(shù)算了兩次，因此用它們的和去掉班內(nèi)的學(xué)生人數(shù)即可解決問(wèn)題．

【解答】解：參加數(shù)學(xué)興趣小組的有35人，里面包含參加語(yǔ)文興趣小組的人數(shù)，參加語(yǔ)文興趣小組的有30人，里面包含參加數(shù)學(xué)興趣小組的人數(shù)，因此35+30=65人，就把兩個(gè)組都參加的人數(shù)算了兩次，由此可知兩個(gè)組都參加的人數(shù)為65-50=15人．故選B．

對(duì)一個(gè)正整數(shù)x進(jìn)行如下變換：若x是奇數(shù)，則結(jié)果是3x+1；若x是偶數(shù)，則結(jié)果是12x.我們稱這樣的操作為第1次變換，再對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行同樣的操作稱為第2次變換，……以此類推．如對(duì)6第1次變換的結(jié)果是3，第2次變換的結(jié)果是10，第3次變換的結(jié)果是5……若正整數(shù)a第5次變換的結(jié)果是1，則a可能的值有(

)A.1種 B.3種 C.32種 D.64種【答案】B【解析】【分析】

本題考查新定義問(wèn)題，逆向思維法，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是根據(jù)逆向思維法得：正整數(shù)a第5次變換的結(jié)果是1，

得第4次變換的結(jié)果是2，又因?yàn)閷?duì)一個(gè)正整數(shù)a，3a+1≠2，得第3次變換的結(jié)果是4，再分當(dāng)a是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，分別求得第三次變換的代數(shù)式，再根據(jù)第三次變換的結(jié)果為4的方程，解方程求得的整數(shù)解符合題意，否則舍去，即可解答．

【解答】

解：根據(jù)題意得：正整數(shù)a第5次變換的結(jié)果是1，

∴第4次變換的結(jié)果是2，

又因?yàn)閷?duì)一個(gè)正整數(shù)a，3a+1≠2，

∴第3次變換的結(jié)果是4，

當(dāng)a是奇數(shù)時(shí)：第1次變換的結(jié)果是3a+1，3a+1是偶數(shù)；

第2次變換的結(jié)果是3a+12，

第3次變換的結(jié)果是3×3a+12+1或3a+14，

∴3×3a+12+1=4，或3a+14=4，

解得：a=13(不合題意，舍去)或a=5；

當(dāng)a是偶數(shù)時(shí)，第1次變換的結(jié)果是a2，

第2次變換的結(jié)果是32a+1或a4，

第3次變換的結(jié)果是3×(32a+1)+1或12(32a+1)或3×a4+1或a8，

∴3×3a+22+1=4或12(32某地區(qū)水塘盛產(chǎn)一種水葫蘆，生長(zhǎng)速度很快，其所占的水域面積每天均會(huì)達(dá)到前一天的2倍，已知某池塘中第一天有1平方米水葫蘆，到第10天，整個(gè)池塘恰好長(zhǎng)滿水葫蘆，則當(dāng)?shù)?????)天水葫蘆所占的面積是池塘面積的一半．A.2 B.5 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】

本題考查的是逆向思維有關(guān)知識(shí)，第10天后整個(gè)池塘長(zhǎng)滿了水葫蘆，增加一倍的意思是指后一天是前一天的2倍，即前一天是后一天的一半，因此，第9天時(shí)水葫蘆所占面積是池塘的12．

【解答】

解：第10天是全部，我們看成單位“1”；

第9天：1÷2=12；

答：第9天時(shí)水葫蘆所占面積是池塘的12．

按下面的程序計(jì)算：當(dāng)輸入x=100時(shí)，輸出結(jié)果是299；當(dāng)輸入x=50時(shí)，輸出結(jié)果是446；如果輸入x的值是正整數(shù)，輸出結(jié)果是257，那么滿足條件的x的值最多有(????)

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【試題解析】【分析】

此題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，利用逆向思維來(lái)做，分析第一個(gè)數(shù)就是直接輸出257，可得方程3x-1=257，解方程即可求得第一個(gè)數(shù)，再求得輸出為這個(gè)數(shù)的第二個(gè)數(shù)，以此類推即可求得所有答案．

【解答】

解：第一個(gè)數(shù)就是直接輸出其結(jié)果的：3x-1=257，

解得：x=86，

第二個(gè)數(shù)是(3x-1)×3-1=257，

解得：x=29；

第三個(gè)數(shù)是：3[3(3x-1)-1]-1=257，

解得：x=10，

第四個(gè)數(shù)是3{3[3(3x-1)-1]-1}-1=257，

解得：x=113(不合題意舍去)；

故滿足條件所有x的值是86、29或10，共3個(gè)．

某城市一年漏掉的水相當(dāng)于建一個(gè)自來(lái)水廠的費(fèi)用，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，全市至少有6×105個(gè)水龍頭，2×105個(gè)抽水馬桶漏水．如果一個(gè)關(guān)不緊的水龍頭一個(gè)月漏掉a(m3)水，一個(gè)漏水的抽水馬桶一個(gè)月漏掉b(A.(6a+2b)m3 B.(6a+2b×105)m【答案】C【解析】【分析】

本題考查了單項(xiàng)式的乘法，用單項(xiàng)式分別表示水龍頭和馬桶一個(gè)月漏水的量，再求它們的和．根據(jù)題意，把所有水龍頭漏掉的水和所有馬桶漏掉的水相加即可．

【解答】

解：所有水龍頭漏掉的為(6×105)am3，所有抽水馬桶漏掉的為(2×105)bm3．

一個(gè)月造成的水流失量至少是

二、填空題任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，如[4]=4，[3]=1，現(xiàn)對(duì)為72進(jìn)行如下操作；這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?；類似地，只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是________．【答案】6560【解析】【分析】

本題主要考查了新定義，無(wú)理數(shù)的估算，采用逆向思維是解答的關(guān)鍵．運(yùn)用逆向思維進(jìn)行解答，按新定義，先求出第三次操作前a的最大整數(shù)，再求第二次操作前a的最大整數(shù)，最后求出第一次操作前的最大整數(shù)a便可．

【解答】

解：∵[8]=2，[9]=3，

∴第三次操作前a的最大整數(shù)值為8，

∵[80]=8，[81]=9，

∴第二次操作前a的最大整數(shù)值為80，

∵[6560]=80，[6561]=81，按下面程序計(jì)算，若開始輸入x的值(x>1)，最后輸出的結(jié)果為656，則滿足條件所有x的值是____________________．【答案】131或26或5【解析】【分析】此題考查了解方程的應(yīng)用.注意理解題意是解題的關(guān)鍵.分析第一個(gè)數(shù)就是直接輸出656，可得方程5x+1=656，解方程即可求得第一個(gè)數(shù)，再求得輸出為這個(gè)數(shù)的第二個(gè)數(shù)，以此類推即可求得所有答案.

【解答】解：我們用逆向思維來(lái)做：

第一個(gè)數(shù)就是直接輸出其結(jié)果的：5x+1=656，

解得：x=131；

第二個(gè)數(shù)是(5x+1)×5+1=656，

解得：x=26；

同理：可求出第三個(gè)數(shù)是5；

第四個(gè)數(shù)是45，

∵輸入x的值(x>1)，

∴45不合題意舍去，

∴滿足條件所有x的值是131或26或5．

故答案為131或26

如圖，已知△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，P為邊AB上一點(diǎn)，AB=12，AC=8，AD=6，當(dāng)AP的長(zhǎng)度為___________時(shí)，△ADP和△ABC相似．

【答案】4或9【解析】【分析】

此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用倒推法以及分類討論是解題的關(guān)鍵．

分別根據(jù)當(dāng)△ADP∽△ACB時(shí)，當(dāng)△ADP∽△ABC時(shí)，求出AP的長(zhǎng)即可．

【解答】

解：當(dāng)△ADP∽△ACB時(shí)，

∴APAB=ADAC，

∴AP12=68，

解得：AP=9，

當(dāng)△ADP∽△ABC時(shí)，

∴ADAB=APAC，

∴612=AP8，

解得：AP=4，設(shè)an為n4(n為正整數(shù))的末位數(shù)，如a1=1，a2=6，a3【答案】85【解析】【分析】

本題考查了尾數(shù)特征，本題關(guān)鍵是得出正整數(shù)n4的末位數(shù)依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十個(gè)一循環(huán)．

正整數(shù)n4的末位數(shù)依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十個(gè)一循環(huán)，得出其中規(guī)律，即可求解．

【解答】

解：a1～a10依次為1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，

a11～a20與a1～a10分別相等，a計(jì)算：(-0.25)2020×4【答案】4【解析】【分析】

本題主要考查了冪的乘方和積的乘方的逆用，解答此題的關(guān)鍵是逆用積的乘方的運(yùn)算法則，解答此題可將42021變?yōu)?2020×4，然后再用積的乘方的逆用可得[-0.25×4]2020×4，然后即開始即可．

【解答】

解：原式=(-0.25)2020×42020×4，

=[4×(-0.25)若1x+2y【答案】3【解析】【分析】本題考查了整體思想的應(yīng)用，將兩個(gè)方程相加，把1x【解答】解：兩個(gè)式子相加得到，(1即，4(∴1故答案為3．

三、解答題(1)已知點(diǎn)A(4-a,-2a-3)和點(diǎn)B(-2,5)且AB平行于x軸，試求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)把點(diǎn)P(m+1,n-2m)先向右平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位后得到的點(diǎn)P’的坐標(biāo)為(3,-2)，試求m，n的值;【答案】解：(1)∵AB平行于x軸，且點(diǎn)A(4-a,-2a-3)，點(diǎn)B(-2,5)，

∴-2a-3=5，

解得：a=-4．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8,5)；

(2)∵點(diǎn)P(m+1,n-2m)先向右平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位后得到的點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(3,-2)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,4)，

∴m+1=-1n-2m=4，

解得：m=-2n=0．

故m、n的值分別為-2【解析】本題主要考查坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確與x軸平行的直線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相等．

(1)根據(jù)AB平行于x軸，點(diǎn)B(-2,5)和點(diǎn)A(4-a,-2a-3)，可知點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等，從而即可求得a的值，進(jìn)而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)利用平移中點(diǎn)的變化規(guī)律求解即可平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減，本題可采用逆向思維進(jìn)行求解．

已知1x+1y=5【答案】解：由題意得，1x+1y=5可轉(zhuǎn)化為x+y=5xy;

∴2x-3xy+2yx+2xy+y

=【解析】【分析】

這類題考察學(xué)生關(guān)于分式化簡(jiǎn)的技巧的掌握，多練習(xí)，多看，積累經(jīng)驗(yàn).可以通過(guò)變化已知條件，已達(dá)到消元目的．

【解答】

解：由題意得，1x+1y=5可轉(zhuǎn)化為x+y=5xy;

∴2x-3xy+2yx+2xy+y

=2(x+y)-3xy(1)若3n=2,3m(2)已知n為正整數(shù)，且x2n=4，求【答案】解：(1)

∵3n=2,3m=5，

∴32m-3n+1=(3m)2÷(3n)3×3

=25×38

=75【解析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法和同底數(shù)冪的除法，和冪的乘方的法則，以及整體代入法的應(yīng)用，

(1)本題考查了同底數(shù)冪的乘法和同底數(shù)冪的除法和冪的乘，利用同底數(shù)冪的乘法和同底數(shù)冪的除法和冪的乘的計(jì)算法則解決此題；

(2)本題考查了冪的乘方的法則，以及整體代入法的應(yīng)用，利用冪的乘方的法則先化簡(jiǎn)，再整體代入求值即可；

由冪的運(yùn)算逆向思維可以得到am+n=am?a(1)計(jì)算：5(2)若3×9m×(3)比較大?。篴=255，b=344，c=533，d=622，請(qǐng)確定a，b，【答案】解：(1)52020×(15)2018=(5×15)2018×52=1×25=25；

(2)3×9m×27m=3×(32)m【解析】本題考查了冪的乘方和積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解決本題的關(guān)鍵是公式的逆運(yùn)用．

(1)根據(jù)積的乘方公式，進(jìn)行逆運(yùn)算，即可解答；

(2)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

(3)轉(zhuǎn)化為指數(shù)相同，再比較底數(shù)的大小，即可解答．

已知P=999999，Q=1199【答案】解：P=Q．理由如下：P=99【解析】本題主要考查了積的乘方法則和同底數(shù)冪的乘除法則的應(yīng)用，首先把99看成是9×11，運(yùn)用積的乘方法則對(duì)P的分子進(jìn)行變形，然后逆用同底數(shù)冪的乘法法則對(duì)P的分母進(jìn)行變形，最后約分即可．

我們可以用f(x)表示x為自變量的函數(shù)，如一次函數(shù)y=2x-1，可表示f(x)=2x-1，f(1)=