初中數(shù)學(xué)120大招-15 四邊形周長求最值問題

四邊形周長求最值問題1．（2021·四川遂寧·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B（－3，0）兩點，與y軸交于C（0，－3），對稱軸為直線，直線y＝－2x＋m經(jīng)過點A，且與y軸交于點D，與拋物線交于點E，與對稱軸交于點F．（1）求拋物線的解析式和m的值；（2）在y軸上是否存在點P，使得以D、E、P為頂點的三角形與△AOD相似，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；（3）直線y＝1上有M、N兩點（M在N的左側(cè)），且MN＝2，若將線段MN在直線y＝1上平移，當(dāng)它移動到某一位置時，四邊形MEFN的周長會達(dá)到最小，請求出周長的最小值（結(jié)果保留根號）．【答案】（1）；m=2；（2）存在，或；（3）【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性求出A（1，0），再利用待定系數(shù)法，即可求解；再把點A坐標(biāo)代入直線的解析式，即可求出m的值；（2）先求出E（-5，12），過點E作EP⊥y軸于點P，從而得，即可得到P的坐標(biāo)，過點E作，交y軸于點，可得，再利用tan∠ADO=tan∠PE，即可求解；（3）作直線y=1，將點F向左平移2個單位得到，作點E關(guān)于y=1的對稱點，連接與直線y=1交于點M，過點F作FN∥，交直線y=1于點N，在中和中分別求出EF，，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B（－3，0）兩點，對稱軸為直線，∴A（1，0），設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a(x-1)(x+3)，把C（0，－3）代入得：-3=a(0-1)(0+3)，解得：a=1，∴二次函數(shù)解析式為：y=(x-1)(x+3)，即：，∵直線y＝－2x＋m經(jīng)過點A，∴0=-2×1+m，解得：m=2；（2）由（1）得：直線AF的解析式為：y=-2x+2，又∵直線y=-2x+2與y軸交于點D，與拋物線交于點E，∴當(dāng)x=0時，y=2，即D（0，2），聯(lián)立，解得：，，∵點E在第二象限，∴E（-5，12），過點E作EP⊥y軸于點P，∵∠ADO=∠EDP，∠DOA=∠DPE=90°，∴，∴P（0，12）；過點E作，交y軸于點，可得，∵∠ED+∠PED=∠PE+∠PED=90°，∴∠ADO=∠ED=∠PE，即：tan∠ADO=tan∠PE，∴，即：，解得：，∴（0，14.5），綜上所述：點P的坐標(biāo)為（0，12）或（0，14.5）；（3）∵點E、F均為定點，∴線段EF長為定值，∵M(jìn)N=2，∴當(dāng)EM+FN為最小值時，四邊形MEFN的周長最小，作直線y=1，將點F向左平移2個單位得到，作點E關(guān)于y=1的對稱點，連接與直線y=1交于點M，過點F作FN∥，交直線y=1于點N，由作圖可知：，又∵三點共線，∴EM+FN=，此時，EM+FN的值最小，∵點F為直線y=-2x+2與直線x=-1的交點，∴F（-1，4），∴（-3，4），又∵E（-5，12），∴（-5，-10），延長F交線段E于點W，∵F與直線y=1平行，∴FW⊥E，∵在中，由勾股定理得：EF=，在中，由勾股定理得：=，∴四邊形MEFN的周長最小值=ME+FN+EF+MN=．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，利用軸對稱圖形的性質(zhì)，構(gòu)造線段和的最小值，是解題的關(guān)鍵．2．（2021·新疆沙依巴克·中考三模）如圖，拋物線經(jīng)過點，與軸交于點和點（點在點的右邊），且．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；（2）如圖1，點、在直線上的兩個動點，且，點在點的上方，求四邊形的周長的最小值；（3）如圖2，點為拋物線上一點，連接，直線把四邊形的面積分為3：5兩部分，求點的坐標(biāo)．【答案】（1），頂點坐標(biāo)為（1，4）；（2）四邊形的周長的最小值為；（3）點的坐標(biāo)為（4，－5）或（8，－45）.【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得a、b、c的值即可確定拋物線的解析式，再利用配方法得出頂點坐標(biāo)．（2）把向下移1個單位得點，再作關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點，連接，與對稱軸交于點，再在對稱軸上點上方取點，使得，連接，此時四邊形的周長最小，根據(jù)勾股定理即可得出．（3）分或兩種情況討論即可．【詳解】解：（1）∵點，，∴,把、、三點坐標(biāo)代入，得，解得，∴拋物線的解析式為：，∵，∴頂點坐標(biāo)為（1，4）；（2）把向下移1個單位得點，再作關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點，連接，與對稱軸交于點，再在對稱軸上點上方取點，使得，連接，此時四邊形的周長最小，則,∵,∴,∵對稱軸是直線，∴,∵,∴,,∴四邊形的周長的最小值為；（3）如圖，設(shè)直線交軸于點，直線把四邊形的面積分為3：5兩部分，又∵，則或5:3，則或1.5，即點的坐標(biāo)為（1.5，0）或（0.5，0），將點的坐標(biāo)代入直線的表達(dá)式：，解得：或－2，故直線的表達(dá)式為：或，聯(lián)立方程組解得：（不合題意值已舍去），解，解得：8（不合題意值已舍去），故點的坐標(biāo)為（4，－5）或（8，－45）.【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，勾股定理、軸對稱、一次函數(shù)等知識，靈活掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵3．（2021·山東曹縣·九年級期中）如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于，兩點，與軸交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若是拋物線上任意一點，過點作軸的平行線，交直線于點，若，求點的坐標(biāo)．（3）設(shè)點，是直線上兩動點，且，點在點上方，求四邊形周長的最小值．【答案】（1）；（2）點的坐標(biāo)為或或或；（3）【分析】（1）先求得點B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求得直線BC的函數(shù)表達(dá)式，分點M在直線BC的上方和下方兩種情況討論，分別得到一元二次方程，解方程即可求解；（3）根據(jù)題意知當(dāng)最小時，四邊形的周長最?。^B作BF⊥軸于B，并截取BF=DE=1，過F作FD∥BE交直線x=3于D，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到CD+AE的最小值為CF，利用兩點之間的距離公式即可求解．【詳解】解：（1）∵點B與點A關(guān)于直線x=3對稱，∴點B的坐標(biāo)為(8，0)，∴解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）當(dāng)x=0時，y=4,∴點的坐標(biāo)為(0，4)，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則解得，設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為①當(dāng)點M在直線BC的上方時，則，，整理得，解得，,點的坐標(biāo)為(2，6)或(6，4)；②當(dāng)點M在直線BC的下方時，則，，整理得，解得，，的坐標(biāo)為或；所以點的坐標(biāo)為(2，6)或(6，4)或或；（3）∵，C(0，4)，∴，又，∴當(dāng)最小時，四邊形的周長最?。唿cB與點A關(guān)于直線x=3對稱，∴AE=BE，過B作BF⊥軸于B，并截取BF=DE=1，連接CF，點F的坐標(biāo)為(8，1)，過F作FD∥BE交直線x=3于D，∴四邊形FDEB是平行四邊形，∴FD=EB=AE，∴CD+AE=CD+FDCF，∴CD+AE的最小值為CF，∵C(0，4)，F(xiàn)(8，1)，∴CF=，∴四邊形ACDE的周長最小值為AC+DE+CF=．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．4．（2021·四川岳池·中考三模）拋物線與軸交于點，（點在點的左邊），與軸交于點，點是該拋物線的頂點．（1）如圖1，連接，求線段的長；（2）如圖2，點是直線上方拋物線上一點，軸于點，與線段交于點；將線段沿軸左右平移，線段的對應(yīng)線段是，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求四邊形周長的最小值，并求出對應(yīng)的點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）四邊形周長的最小值為，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)拋物線解析式即可求出點C和點D坐標(biāo)，再利用兩點的距離公式即可求出結(jié)果．（2）根據(jù)題意可求出，．從而求出直線的解析式，即可設(shè)，．由此即可用x表示出PF和EF的長．在中，利用勾股定理可求出，即說明，從而得出，即可用x表示AE的長．再利用，即可用x表示的長為：，根據(jù)二次函數(shù)的頂點式即可知，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，，此時，由此可求出的長，由題意可知，即要使四邊形周長的最小，即的值最小即可．將點向右平移個單位長度得點，連接，則，再作點關(guān)于軸的對稱點，則，由所做圖形易得，即求出的長即可求出四邊形的周長最小值，最后利用點為的中點，即可求出坐標(biāo)，從而得到坐標(biāo)．【詳解】（1）當(dāng)時，代入拋物線解析式得：，∴，將拋物線一般式改為頂點式為：，∴，∴；（2）在中，令，則，解得：，，∴，，∵，易得直線的解析式為：，設(shè)，，∴，，在中，，，∴，∴，∴，∴，，，，∴當(dāng)?shù)闹底畲髸r，，此時，∴，∵，∴要使四邊形周長的最小，即的值最小，如圖，將點向右平移個單位長度得點，連接，則，再作點關(guān)于軸的對稱點，則，∴，∴連接與軸的交點即為使的值最小時的點，∴，即．將向左平移個單位長度即得點，∴，∴在中，，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，即．∴四邊形周長的最小值為．【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題．考查拋物線圖象與坐標(biāo)軸的交點問題，拋物線的頂點式與最值問題，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點的距離公式以及軸對稱變換等知識，為壓軸題，困難題型．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．5．（2021·山東·濟(jì)南外國語學(xué)校九年級月考）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過A(1，0)、B(4，0)兩點，與y軸交于點C．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得四邊形PAOC的周長最小?若存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；不存在，請說明理由．(3)在(2)的條件下，點Q是線段OB上一動點，當(dāng)△BPQ與△BAC相似時，求點Q的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）存在，9；（3）（，0）或（，0）【分析】（1）將A（1，0）、B（4，0）代入線y=ax2+bx+3，求出a、b即可；

（2）四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC=1+3+5=9；

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)△BPQ∽△BCA，②當(dāng)△BQP∽△BCA．【詳解】解：（1）把A(1，0)、B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋3得，，

解得

所以，拋物線的解析式為；

（2）∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，如圖，連接BC，與對稱軸的交點即為所求的點P，此時PA+PC=BC，

∴四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC，

∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OA=1，OC=3，BC=5，

∴OC+OA+BC=1+3+5=9；

∴在拋物線的對稱軸上存在點P，使得四邊形PAOC的周長最小，四邊形PAOC周長的最小值為9；

（3）如圖，設(shè)對稱軸與x軸交于點D．

∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OB=4，AB=3，BC=5，

直線BC：，

由二次函數(shù)可得，對稱軸直線x=，

∴P（，），BP=，

①當(dāng)△BPQ∽△BCA，

∴，∴，

∴，

∴，

∴

②當(dāng)△BQP∽△BCA，

∴，

∴，

∴BQ=，

∴OQ=OB-BQ=4-=，

∴Q2（，0），

綜上，求得點Q的坐標(biāo)（，0）或（，0）【點睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運用二次函數(shù)的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·云南·曲靖市九年級月考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點和點，交軸于點．（1）求拋物線的解析式及頂點的坐標(biāo)；（2）點是拋物線上、之間的一點，過點作軸于點，軸，交拋物線于點，過點作軸于點，當(dāng)矩形的周長最大時，求點的坐標(biāo)；（3）如圖2，連接、，點在線段上（不與、重合），作直線軸交拋物線于點，是否存在點，使得與相似？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1），；（2）；（3）存在，或【分析】（1）根據(jù)點B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將二次函數(shù)解析式變形為頂點式，由此即可得出頂點D的坐標(biāo)；（2）設(shè)點，可得，，矩形的周長，即可求解；（3）設(shè)點，則，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得關(guān)于m的方程，可得M點的坐標(biāo)，要分類討論,以防遺漏．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點和點，交軸于點，將B，C代入解析式得：解得：b=－2，c=3∴拋物線的表達(dá)式為：，∵∴點；∴解析式為，頂點坐標(biāo)（2）設(shè)點，則，∵頂點坐標(biāo)，∴，矩形的周長，，故當(dāng)時，矩形周長最大，此時，點的橫坐標(biāo)為；將-2，代入得y=3∴坐標(biāo)為；（3）設(shè)點，則，令y=0,得解得：∴點A（-3,0），∴AM=m+3,OB=1,OC=3∵，∴當(dāng)時即，解得:(舍去)∴∵，∴當(dāng)時即，解得：(舍去)∴綜上所述：存在點，即或者，使得與相似．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)求函數(shù)解析式、三角形相似和二次函數(shù)的最值；(1)的關(guān)鍵是頂點是函數(shù)解析式；解(2)的關(guān)鍵是利用已知條件把表示出來；(3)的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程,要分類討論，以防遺漏．7．如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．點A坐標(biāo)的為，點C的坐標(biāo)為．（Ⅰ）求拋物線的解析式；（Ⅱ）點M為線段上一點（點M不與點A、B重合），過點M作i軸的垂線，與直線交于點E，與拋物線交于點P，過點P作交拋物線于點Q，過點Q作軸于點N．若點P在點Q左邊，當(dāng)矩形的周長最大時，求的面積；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)矩形的周長最大時，連接，過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線交于點G（點G在點F的上方）．若，求點F的坐標(biāo)．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或【分析】（Ⅰ）將點A，點C坐標(biāo)代入解析式可求解；

（Ⅱ）設(shè)M（x，0），P（x，-x2-2x+3），利用對稱性可求點Q（-2-x，-x2-2x+3），可求MP=-x2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x，則可用x表示矩形PMNQ的周長，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時，點P的坐標(biāo)，即可求點E，點M的坐標(biāo)，由三角形面積公式可求解；

（Ⅲ）先求出點D坐標(biāo)，即可求DQ=，可得FG=4，設(shè)F（m，-m2-2m+3），則G（m，m+3），用含有m的式子表示FG的長度即可求解．【詳解】解:（Ⅰ）依題意解得所以（Ⅱ）拋物線的對稱軸是直線，，其中∵P、Q關(guān)于直線對稱設(shè)Q的橫坐標(biāo)為a則∴∴∴，∴周長當(dāng)時，d取最大值，此時，∴設(shè)直線的解析式為則，解得∴設(shè)直線的解析式為將代入，得∴，∴∴（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)矩形的周長最大時，此時點，與點C重合，∴∵∴過D作軸于K，則，∴∴是等腰直角三角形，∴設(shè)，則∴，解得，當(dāng)時，當(dāng)時，．∴或【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，利用參數(shù)表示線段的長度是本題的關(guān)鍵．8．（2021·山東·濟(jì)南市濟(jì)陽區(qū)中考模擬預(yù)測）如圖，拋物線y＝﹣2x﹣3經(jīng)過點A（﹣2，a），與x軸相交于B、C兩點（B點在C點左側(cè)）．（1）求a的值及B、C兩點坐標(biāo)；（2）點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BD，若點恰好落在拋物線的對稱軸上，求點和點D的坐標(biāo)；（3）設(shè)P（m，-3)是該拋物線上一點，點Q為拋物線的頂點，在x軸、y軸分別找點M、N，使四邊形MNQP的周長最小，請求出點M、N的坐標(biāo)．【答案】（1）5；（-1,0），（3,0）（2）（1，）；（1，）（3）（，0）；（0，）【分析】（1）把A（-2，a）代入y＝x2﹣2x﹣3可得a的值，分別令y=0求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，從而可得B、C點坐標(biāo)；（2）設(shè)對稱軸于BC的交點為E，先求出點C，點E坐標(biāo)，可求BC=4，BH=CH=2，由折疊的性質(zhì)可得BC'的長，由勾股定理可求C'H，DH的長，即可求解；（4）作Q點關(guān)于y軸的對稱點Q′（-1，-4），作點P（2，-3）關(guān)于x軸的對稱點P′（2，3），連接Q′P′分別交x、y軸于點M、N，此時，四邊形QPMN的周長最小，即可求解．【詳解】解：（1）把A（-2，a)代入y＝x2﹣2x﹣3，得a=5；當(dāng)y=0時，x2﹣2x﹣3=0解得x1=3,x2=-1∵B點在C點左側(cè)∴B(-1,0)，C(3,0)(2)如圖，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點H，則H點的坐標(biāo)為（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得，∴點C′的坐標(biāo)為（1，2），tan，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH?tan∠DBH＝2?tan30°＝，∴點D的坐標(biāo)為（1，）．（3）如圖2，∵Q為拋物線的頂點，∴Q（1，﹣4），∴Q關(guān)于y軸的對稱點Q'（﹣1，﹣4），∵P（m,-3）在拋物線上，∴P（2，﹣3），∴點P關(guān)于x軸的對稱點P'（2，3），連接Q′、P′分別交x、y軸于點M、N，此時，四邊形OPMN的周長最小，，設(shè)直線Q′P′的解析式為y=kx+b，則有，解得，∴直線P'Q'的解析式為y＝x﹣，當(dāng)x=0時，y=﹣；當(dāng)y=0時，x=;∴M（，0），N（0，﹣）．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)等知識，其中（3），利用對稱點性質(zhì)求解是此類題目的一般解法，需要掌握．9．（重慶市九年級月考）如圖1，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸從左到右交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D（1）求直線AC的解析式與點D的坐標(biāo)；（2）在直線AC上方的拋物線上有一點E，作EF∥x軸，與拋物線交于點F，作EM⊥x軸于M，作FN⊥x軸于N，長度為2的線段PQ在直線AC上運動（點P在點Q右側(cè)），當(dāng)四邊形EMNF的周長取最大值求四邊形DPQE的周長的最小值及對應(yīng)的點Q的坐標(biāo)；（3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點D在直線AD上移動，點D平移后的對應(yīng)點為D′，點A平移后的對應(yīng)點為A′，△A′D′C是否能為直角三角形？若能，請求出對應(yīng)的線段D′C的長；若不能，請說明理由.【答案】（1）直線AC的解析式為：，；（2）四邊形DPQE的周長的最小值是，對應(yīng)的點Q的坐標(biāo)為；（3）=或或3.【分析】(1)拋物線與x軸從左到右交于A、B兩點，只要令y=0，即可求出A、B兩點；與y軸交于點C，只要令x=0，即可求出點C；由點A、C的坐標(biāo)可得直線AC的解析；D的坐標(biāo)用頂點公式或者先求出對稱軸代入解析式，即可求出；(2)作點E關(guān)于直線AC的對稱點E'(0,1)，將點E'沿AC方向平移個單位得到E″(2,3)，連接E″D交直線AC于點P，將點P向下平移個單位得到Q，則點Q為所求點即可求解，再根據(jù)個點坐標(biāo)求出四邊形的邊長，進(jìn)而計算周長；(3)分A'D'是斜邊、A'C是斜邊、CD'是斜邊三種情況，分別求解即可．【詳解】解：(1)∵拋物線與x軸從左到右交于A、B兩點，∴令y=0，即，解得：，則∵拋物線與y軸交于點C，∴由點A、C的坐標(biāo)得，直線AC的解析式為：；∵D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸為：，∴；(2)設(shè)點，∵拋物線的對稱軸為：，軸，∴四邊形的周長，當(dāng)時，最大，此時點；∵，；∴；∵且P、Q在上∴P、Q兩點橫縱坐標(biāo)差為2，作點關(guān)于直線的對稱點，將點沿方向平移個單位得到，由點坐標(biāo)得，直線的解析式為：；聯(lián)立直線AC、直線的解析式并解得：，故點，將點沿著直線CA向左向下平移個單位得到點；∵，，，；∴，；此時四邊形的周長最??；(3)由待定系數(shù)法求得直線AD的解析式為：，則設(shè)拋物線向右平移m個單位，則向上平移2m個單位，∴、，，而點，∴；①當(dāng)是斜邊時，如圖2，分別過點、作y軸的垂線交于點N、M，則，

則，即，

解得：(舍去)或；

②當(dāng)是斜邊時，如圖3，

過點作x軸的平行線交y軸于點N，交過點作y軸的平行線于點M，

同理可得：，則，

即，解得：；

③當(dāng)是斜邊時，同理可得：，解得：，故或?1或1則=或或3．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、點的對稱性、解直角三角形等，其中第（3）問，要注意分類求解，避免遺漏．10．（2021·廣東·廣州市第五中學(xué)九年級期中）如圖，過原點的拋物線與軸交于點，為拋物線的頂點，連接，點是線段上的一個動點，過點作，垂足為點．（1）將繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得，當(dāng)點落在拋物線上時，求點的坐標(biāo)．（2）當(dāng)時，將線段繞平面某點旋轉(zhuǎn)得到線段，若點、都落在拋物線上，求點和的坐標(biāo)．（3）當(dāng)（1）中的點落在拋物線上時，將拋物線向左或向右平移個單位，點、平移后對應(yīng)的點分別記為、，是否存在，使得以、、、為頂點的四邊形周長最短？若存在，請直接寫出的值和拋物線平移的方向，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（，0）；（2），；（3）存在，拋物線向左平移【分析】（1），過點B作BQ⊥x軸于Q，過點作⊥于D，先證明△OQB是等腰直角三角形，得到∠BOP=45°，從而可以證明△OCP是等腰直角三角形，OC=CP，∠OPC=45°，設(shè)P（m，0），則，代入拋物線解析式求解即可；（2）過點C作CD⊥OA于D，求出C（1，1），將線段PC繞平面某點旋轉(zhuǎn)180°得到線段EF，設(shè)這個點的坐標(biāo)為（a，b），則，，從而得到，，再根據(jù)E、F在拋物線上，求解即可；（3）將沿平移，使得與B點重合，點A落在處，，以過B的直線y=2為對稱軸，作的對稱點，連接，當(dāng)點M為與直線y=2的交點時，此時以O(shè)、M、N、A為頂點的四邊形周長最短，先求出，則，再求出M的坐標(biāo)即可得到答案．【詳解】解：（1）如圖所示，過點B作BQ⊥x軸于Q，過點作⊥于D，∵點B是拋物線的頂點，∴B（2，2），∴OQ=BQ=2，∴△OQB是等腰直角三角形，∴∠BOP=45°，又∵PC⊥OB，∴∠OCP=90°，∴△OCP是等腰直角三角形，∴OC=CP，∠OPC=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，設(shè)P（m，0），則，∴，∴∵在拋物線上，∴即，解得或（舍去），∴P（，0）；（2）如圖所示，過點C作CD⊥OA于D，∵B（2，2），PB⊥OA，∴OP=PB=2，△OBP為等腰直角三角形，P（2，0），由（1）得PC=OC，∵，∴，∴，又∵