江西省部分地區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。4．本卷命題范圍：高考范圍。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，若，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，且，其中為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．43．在倡導(dǎo)“節(jié)能環(huán)保”“低碳生活”的今天，新能源逐漸被人們所接受，進(jìn)而青睞．新能源汽車作為新能源產(chǎn)業(yè)中的重要支柱產(chǎn)業(yè)之一取得了長(zhǎng)足的發(fā)展．為預(yù)測(cè)某省未來(lái)新能源汽車的保有量，采用阻滯型模型，進(jìn)行估計(jì)，其中為第年底新能源汽車的保有量，為年增長(zhǎng)率，為飽和量，為初始值（單位：萬(wàn)輛）．若該省2021年底新能源汽車的保有量為20萬(wàn)輛，以此作為初始值，若以后每年的增長(zhǎng)率為0.12，飽和量為1300萬(wàn)輛，那么2031年底該省新能源汽車的保有量約為（采取四舍五入法，精確到1萬(wàn)輛）（參考數(shù)據(jù)：）（）A．62萬(wàn) B．63萬(wàn) C．64萬(wàn) D．65萬(wàn)4．有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人必須去一個(gè)工廠且每個(gè)工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（）A．12 B．14 C．22 D．245．已知某棱長(zhǎng)為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍為（）A． B． C． D．7．如圖，四邊形為正方形，平面，則三棱錐的體積為（）A．12 B．6 C． D．8．已知直線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足，則當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．若，則（）A． B．C． D．10．設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，分別表示直線的斜率，則（）A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)，使得C．存在點(diǎn)，使得 D．存在點(diǎn)，使得11．已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增 D．的值域?yàn)槿?、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量滿足，則在上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____．13．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是平分交于．則面積的最小值為_(kāi)_____；若，則的面積為_(kāi)_____．14．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）記為公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，．（1）求；（2）設(shè)，由與的公共項(xiàng)從小到大組成數(shù)列，求的前項(xiàng)和．16．（本小題滿分15分）如圖，在三棱錐中，與都為等邊三角形，平面平面分別為的中點(diǎn)，且在棱上，且滿足，連接．（1）求證：平面；（2）設(shè)，求直線與平面所成角的正弦值．17．（本小題滿分15分）為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號(hào)的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評(píng)估檢測(cè)，綜合得分的頻率分布直方圖如圖所示：減排器等級(jí)及利潤(rùn)率如下表，其中．綜合得分的范圍減排器等級(jí)減排器利潤(rùn)率一級(jí)品二級(jí)品三級(jí)品（1）若從這100件甲型號(hào)減排器中按等級(jí)用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10件，再?gòu)倪@10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一級(jí)品的概率；（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計(jì)總體，則：①若從乙型號(hào)減排器中隨機(jī)抽取4件，記為其中二級(jí)品的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；②從數(shù)學(xué)期望來(lái)看，投資哪種型號(hào)的減排器利潤(rùn)率較大？18．（本小題滿分17分）已知拋物線是軸下方一點(diǎn)，為上不同兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)均在上．（1）若的中點(diǎn)為，證明：軸；（2）若在曲線上運(yùn)動(dòng)，求面積的最大值．19．（本小題滿分17分）記函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若（其中）恒成立，則稱在上具有性質(zhì)．（1）判斷函數(shù)（且）在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由；（2）設(shè)均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)且，對(duì)于任意的，不等式成立，求的最大值．

高三數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．A由題意得且，解得．故選A．2．C由知，則，解得，故．故選C．3．C由題意知，因?yàn)?，所以，所以．故選C．4．B按工廠接收的女生人數(shù)分類，第一類：工廠僅接收1名女生有種分配方法；第二類：工廠接收2名女生有種分配方法．綜上知不同的分配方法有種．故選．5．A在棱長(zhǎng)為2的正方體中構(gòu)造棱長(zhǎng)為的正四面體，顯然正四面體的棱切球即為正方體的內(nèi)切球，故球的半徑，則．故選A．6．由，得的定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)，而在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，則可化為解得或．故選D．7．B如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接．因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕驗(yàn)槠矫嫫矫?，所以，又平面，所以平面．又，過(guò)作于，易得四邊形為矩形，則，所以，，，由余弦定理得，所以，所以．所以．故選B．8．B由，得，故由，得，由，得，設(shè)，則，即，即點(diǎn)軌跡為半徑為的動(dòng)圓．設(shè)該動(dòng)圓圓心為，則，整理得，代入中，得，即軌跡的圓心在圓上，故點(diǎn)與該圓上的點(diǎn)的連線的距離加上圓的半徑即為點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值，最大值為．故選B．9．ACD，又，所以，所以，即，故A正確；當(dāng)，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；，又，所以，所以，即，故C正確；因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確．故選ACD．10．ABD對(duì)于，易得，A正確；對(duì)于，由，得以為直徑的圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，因而存在點(diǎn)使得，B正確；對(duì)于C，設(shè)，由，解得，與矛盾，C錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，因?yàn)?，而，所以，所以存在點(diǎn)，使得，D正確．故選ABD．11．BCD因?yàn)椋詾橹芷诤瘮?shù)，但最小正周期不是，故A錯(cuò)誤；，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)榍?，則，故，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；由于為周期函數(shù)，且是的一個(gè)周期，只需求出在上的值域，即為在上的值域，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍?，則，故，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，因此的值域?yàn)?，故D正確．故選BCD．12．因?yàn)椋?，則在上的投影向量為．13．，即，所以，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以；因?yàn)?，即，又，所以，即，因?yàn)?，解得，因此?4．由雙曲線的定義得：，所以，所以，因?yàn)?，①?dāng)即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以此時(shí)，即，不符合題意；②當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以此時(shí)，解得，符合題意．15．解：（1）設(shè)的公比為，因?yàn)椋?，所以，解得．又，解得．故．?）因?yàn)?，則是首項(xiàng)為0，公差為2的等差數(shù)列，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，所以．16．（1）證明：連接，如圖所示．在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，，所以為的重心，所以，又，所以，又平面平面，所以平面．（2）解：連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以．因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則，所以．設(shè)平面的法向量，則令，解得，所以平面的一個(gè)法向量，．設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．17．解：（1）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號(hào)減排器中的一級(jí)品的頻率為，按等級(jí)用分層抽樣的方法抽取10件，則抽取一級(jí)品為（件）記“抽取的5件中至少有3件一級(jí)品”為事件，則．（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為，二級(jí)品的概率為，三級(jí)品的概率為，由題意，的所有可能的取值為，所以，，，，所以，或者；②由題意知，甲型號(hào)減排器的利潤(rùn)率的平均值：；乙型號(hào)減排器的利潤(rùn)率的平均值：；，又，則，所以投資乙型號(hào)減排器的平均利潤(rùn)率較大．18．（1）證明：設(shè)，則，所以的中點(diǎn)為，代入的方程，得，同理，所以是方程的兩根，由題意，，所以判別式，所以，所以，所以直線的方程為，所以軸．（2）解：由題意知直線的斜率一定存在，則，所以其方程為，即．所以，又點(diǎn)到直線的距離，所以．又點(diǎn)在曲線上，所以，且，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以，即面積的最大值為24．說(shuō)明：根據(jù)（1）中證明的結(jié)論，計(jì)算也可以．19．解：（1）令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上不具有性質(zhì)．（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，且為奇函數(shù)，所以在處